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(共9张PPT)
小专题（五）　分式化简求值的常见类型
第9章　分　式
类型一　谨防求值中的隐含条件
1. 先化简，再求值： ÷ ，请在－2，0，2，3中选一
个合适的数代入求值.
解：原式＝ · ＝ · － ·
＝ － ＝ .因为 解得 所以m＝3.当m＝3时，原式＝3
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类型二　引入参数求值
2. 已知 ＝ ＝ （xyz≠0），求 的值.
解：设 ＝ ＝ ＝k，则x＝2k，y＝3k，z＝4k.所以原式＝
＝0
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类型三　整体法代入求值
3. 已知 ＝ ，求 的值.
解：因为 ＝ ，所以3a＋3b＝a－b，即a＝－2b.所以 ＝
＝－
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4. 已知 － ＝2，求 的值.
解：因为 － ＝2，所以 ＝2.所以x－y＝－2xy.所以 ＝
＝ ＝
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5. 若a2＋b2＝3ab，求 的值.
解：原式＝ · ＝ · ＝ .因为a2＋b2＝
3ab，所以原式＝ ＝ ＝ ＝3
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6. 已知x＋y＝xy，求 ＋ －（1－x）（1－y）的值.
解：因为x＋y＝xy，所以原式＝ －（1－x－y＋xy）＝ －1
＋x＋y－xy＝1－1＋0＝0
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类型四　巧用倒数求值
7. 已知 ＝ ，求 的值.
解：由 ＝ ，知x≠0.所以 ＝3，即x＋ ＝3.所以 ＝x2＋
＝ －2＝32－2＝7.所以 的值为
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8. 已知 ＝ ，求 的值.
解：由 ＝ ，知x≠0.所以 ＝5，即x－3＋ ＝5.所以x
＋ ＝8.所以 ＝x2＋1＋ ＝ －2＋1＝82－2＋1＝63.
所以 ＝
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8(共9张PPT)
阶段检测（9.1～9.2）
第9章　分　式
一、 选择题（每题5分，共25分）
1. 下列分式是最简分式的是 （　C　）
A. B. C. D.
2. 下列分式中，无论x为何值，一定有意义的是（　D　）
A. B. C. D.
C
D
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3. （2024·牡丹江）下列计算正确的是（　D　）
A. 2a3·a2＝2a6
B. （－2a）3÷b× ＝－8a3
C. （a3＋a2＋a）÷a＝a2＋a
D. 3a－2＝
D
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4. （南充中考）下列运算正确的是（　D　）
A. · ＝ B. ÷ ＝
C. ＋ ＝ D. － ＝
5. （2024·太湖段考）若a＋b＋c＝0且a，b，c均不为0，则a
＋b ＋c（ ＋ ）的值为（　A　）
A. －6 B. －2 C. 0 D. 2
D
A
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二、 填空题（每题6分，共24分）
6. 若分式 的值为0，则x的值为 .
7. 已知 ＝2，则 的值为 　 　.
8. （包头中考）化简：（ ＋ ）÷ ＝ .
9. （2024·济宁）已知a2－2b＋1＝0，则 的值是 .
5　
　
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2　
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三、 解答题（共51分）
10. （9分）有下列三个代数式：① a2－2ab＋b2；② 3a－3b；③ a2－
b2.从中任意选两个代数式分别作为分子和分母构造分式，然后进行化
简，并求出当a＝6，b＝3时该分式的值.
解：答案不唯一，如选①为分子，②为分母，组成分式 ，化
简该分式，得 ＝ ＝ 　当a＝6，b＝3时，原式
＝ ＝1
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11. （18分）计算：
（1） （2024·广西模拟） －x－1；
解：原式＝ －（x＋1）＝ ＝ ＝
（2） · ÷（－ab4）；
解：原式＝ ·（－ ）· ＝ · · ＝
（3） （2024·河南） ÷ .
解：原式＝ ÷ ＝ · ＝
a＋2
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12. （10分）先化简： ÷ ，再给a选一个适当的数求值.
解： ÷ ＝ · ＝ ＝ .
因为a≠0且a＋1≠0，a－1≠0，所以a≠0，a≠－1，a≠1.a的取值
不唯一，如当a＝2时，原式＝ ＝3
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13. （14分）第1个等式： ＝ ＋ ，第2个等式： ＝ ＋ ，第3个等
式： ＝ ＋ ，第4个等式： ＝ ＋ ，第5个等式： ＝ ＋ ……
按照以上规律，解决下面的问题：
（1） 写出第6个等式： ；
＝ ＋ 　
（2） 写出你猜想的第n（n为正整数）个等式：
（用含n的等式表示），并说明其正确性.
解：因为右边＝ ＋ ＝ ＝ ＝左边，所以等式正确
＝ ＋ 　
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13(共10张PPT)
9.2　分式的运算
第5课时　分式的混合运算
第9章　分　式
一、 选择题（每题5分，共25分）
1. （临沂中考）计算（a－ ）÷（ －b）的结果是（　A　）
A. － B. C. － D.
2. 计算 － ÷ 的结果是（　A　）
A. 1 B. C. D.
A
A
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3. 化简 ÷ 的结果是 （　C　）
A. y B. C. D.
4. 如图，小敏同学不小心将分式运算的作业撕坏了一角.已知该运算正
确，则撕坏的部分中“□”代表的是 （　C　）
A. B. C. D.
第4题
C
C
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5. 如果m＋n＝1，那么代数式 （m2－n2）的值为（　D　）
A. －3 B. －1 C. 1 D. 3
D
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二、 填空题（每题6分，共24分）
6. 计算： － ÷ ＝ 　 　.
7. 若W· ＝1，则W＝ 　 　.
8. 若a＝2，则代数式（a－ ）÷ 的值为 .
9. （2024·绥化）计算： ÷ ＝ 　 　.
　
　
3　
　
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三、 解答题（共51分）
10. （10分）（2024·辽宁）计算： · ＋ .
解：原式＝ · ＋ ＝ ＋ ＝ ＝1
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11. （12分）（2024·兰州）先化简，再求值： ÷ ，其中a
＝4.
解：原式＝ · ＝ · ＝ .当a＝4时，原式＝
＝
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12. （14分）（2024·牡丹江）先化简，再求值： ÷ ，并
从－1，0，1，2，3中选一个合适的数代入求值.
解： ÷ ＝ ÷ ＝ ÷ ＝ · ＝ .因为x≠0且x≠3，所以x＝－1或x＝1或x＝2.当x＝－1时，原式＝ ＝－ ；当x＝1时，原式＝ ＝－1；当x＝2时，原式＝ ＝－2
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13. （15分）在数学课上，老师对同学们说：“你们任意说出一个x的
值（x≠0，1，2），我立刻就能知道式子（1＋ ）÷ 的计算结
果.”请说出其中的道理.
解：因为（1＋ ）÷ ＝ ÷ ＝ · ＝x，
所以任意说出一个x的值（x≠0，1，2），老师立刻就能知道式子
（1＋ ）÷ 的计算结果，即为x的值
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（附加题）（20分）　（2024·眉山）已知a1＝x＋1（x≠0且x≠－1），a2＝ ，a3＝ ，…，an＝ ，则a2024＝ 　－ 　.
－ 　
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13(共12张PPT)
9.3　分式方程
第2课时　分式方程的应用
第9章　分　式
一、 选择题（每题7分，共28分）
1. （2024·新疆）某校七年级学生去距学校20km的科技馆研学，一部分
学生乘甲车先出发，5min后其余学生再乘乙车出发，结果同时到达.已
知乙车的速度是甲车速度的1.2倍，设甲车的速度为xkm/h，则根据题
意可列方程为（　D　）
A. － ＝5 B. － ＝5
C. － ＝ D. － ＝
D
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2. 某工厂计划生产1500个零件，但在实际生产时……求实际每天生产
零件的个数.在本题中，若实际每天生产零件x个，可得方程 －
＝10，则题目中用“……”表示的条件应是（　B　）
A. 每天比原计划多生产5个，结果延期10天完成
B. 每天比原计划多生产5个，结果提前10天完成
C. 每天比原计划少生产5个，结果延期10天完成
D. 每天比原计划少生产5个，结果提前10天完成
B
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3. （2024·枣庄）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产产品100件，改造后生产600件产品的时间与改造前生产400件产品的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（　B　）
A. 200 B. 300 C. 400 D. 500
B
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4. 某商场进行促销，某款空调在优惠后，每购买一台可立减200元.若
同样用11万元购买此款空调的台数，优惠后比优惠前多10％，则优惠前
此款空调每台的售价为（　B　）
A. 2000元 B. 2200元
C. 2400元 D. 3000元
B
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二、 填空题（每题8分，共24分）
5. 某工地调来72人挖土和运土，已知3人挖出的土1人恰好能全部运走，则怎样分配劳动力才能使挖出的土恰好及时运走？设派x人挖土，其他人运土.有下列方程：① x＋3x＝72；② 72－x＝ ；③ ＝ ；
④ ＝3.其中，正确的是 （填序号）.
6. 某校为了丰富学生的课外活动，准备购买一批体育器材.已知A类器材比B类器材的单价高10元，用300元购买A类器材与用200元购买
B类器材的数量相同，则B类器材的单价为 元.
②③④　
20　
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7. （衡阳中考）某地为美化环境，计划植树6000棵.由于志愿者的加入，实际每天植树的棵数比原计划增加了25％，结果提前3天完成任务.实际每天植树 棵.
500　
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三、 解答题（共48分）
8. （15分）（2024·威海）某公司为节能环保，安装了一批A型节能灯，一年用电16000千瓦·时.后购进一批相同数量的B型节能灯，一年用电9600千瓦·时.一盏A型节能灯每年的用电量比一盏B型节能灯每年用电量的2倍少32千瓦·时.求一盏A型节能灯每年的用电量.
解：设一盏B型节能灯每年的用电量为x千瓦·时，则一盏A型节能灯每年的用电量为（2x－32）千瓦·时.依题意，得 ＝ ，解得x＝96.经检验，x＝96是原分式方程的解，且符合题意.所以2x－32＝160.
答：一盏A型节能灯每年的用电量为160千瓦·时
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9. （15分）（2024·云南）某旅行社组织游客从A地到B地旅游.已知A地
到B地的路程为300km，乘坐C型车比乘坐D型车少用2h，C型车的平均
速度是D型车的平均速度的3倍，求D型车的平均速度.
解：设D型车的平均速度是xkm/h，则C型车的平均速度是3xkm/h.根
据题意，得 － ＝2，解得x＝100.经检验，x＝100是原方程的
解，且符合题意.答：D型车的平均速度是100km/h
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10. （18分）（2024·重庆B卷）某工程队承接了老旧小区改造工程中1000平方米的外墙粉刷任务，选派甲、乙两人分别用A，B两种外墙漆各完成总粉刷任务的一半.据测算需要A，B两种外墙漆各300千克，购买外墙漆的总费用为15000元，已知A种外墙漆每千克的价格比B种外墙漆每千克的价格多2元.
（1） 求A，B两种外墙漆每千克的价格；
解：（1） 设A种外墙漆每千克的价格是x元，B种外墙漆每千克的价格是y元.根据题意，得 解得 答：A
种外墙漆每千克的价格是26元，B种外墙漆每千克的价格是24元
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（2） 已知乙每小时粉刷外墙的面积是甲每小时粉刷外墙的面积的 ，
乙完成粉刷任务所需时间比甲完成粉刷任务所需时间多5小时，则甲每
小时粉刷外墙的面积是多少平方米？
解：（2） 设甲每小时粉刷外墙的面积是m平方米，则乙每小时粉刷外
墙的面积是 m平方米.根据题意，得 － ＝5，解得m＝25.经检
验，m＝25是原方程的解，且符合题意.答：甲每小时粉刷外墙的面积
是25平方米
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（附加题）（20分）　一名游泳者在河中逆流而上，他的水壶在桥下被
水冲走.他继续向前游了20分钟后发现水壶遗失，于是立即返回追寻水壶，终于在桥下游距桥2千米处追到了水壶.这条河的水流速度是每小时
千米.
3　
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10(共13张PPT)
9.2　分式的运算
第1课时　分式的乘除
第9章　分　式
一、 选择题（每题6分，共24分）
1. 化简 · 的结果为 （　C　）
A. B. C. D.
2. 计算 ÷ · 的结果是（　A　）
A. B. x C. D. 2y
C
A
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3. 下列各式计算错误的是 （　D　）
A. · ＝－ B. ÷ ＝
C. ÷（a2－ab）＝ D. （－a）3÷ ＝b
4. 计算 ÷ · 的结果是（　D　）
A. 1 B. a C. a－1 D. a＋1
D
D
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二、 填空题（每题6分，共24分）
5. 计算：－6xy÷ ＝ 　－ 　； ÷ ＝ 　－ 　.
6. 当x＝10时，计算 ÷ 的结果是 　 　.
7. 计算：（x＋ ）（2x－1）÷（4x2－1）＝ 　 　.
8. 若 ÷ 的值是5，则a＝ 　 　.
－ 　
－ 　
　
　
　
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三、 解答题（共52分）
9. （16分）计算：
（1） （2024·扬州） ÷（x－2）；
解：原式＝ · ＝
（2） （2024·新疆） ÷ .
解：原式＝ · ＝1
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10. （10分）（仙桃中考）先化简，再求值： ÷ ，其中a＝
－1.
解：原式＝ · ＝ .当a＝－1时，原式＝
＝2
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11. （12分）计算： ÷ · .
解： ÷ · ＝ ÷（－1）①＝ ②＝
③.
上述过程是否有错？若有错，是从第几步开始出错的？并写出正确的计
算过程.
解：有错　从第①步开始出错的　正确的计算过程如下：原式＝
· · ＝ · · ＝
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12. （14分）（2024·呼和浩特）某研究人员对分别种植在两块试验田中
的“丰收1号”和“丰收2号”两种小麦进行研究，两块试验田共产粮
1000kg，种植“丰收1号”小麦的试验田产粮量比种植“丰收2号”小麦
的试验田产粮量的1.2倍少100kg，其中“丰收1号”小麦种植在边长为
am（a＞1）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的试验
田中（如图①所示），“丰收2号”小麦种植在边长为（a－1）m的正
方形试验田中（如图②所示）.
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①
第12题
②
（1） 请分别求出种植“丰收1号”小麦和“丰收2号”小麦的两块试验
田的产粮量.
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解：（1） 设种植“丰收2号”小麦的试验田的产粮量为xkg，则种植
“丰收1号”小麦的试验田的产粮量为（1.2x－100）kg.根据题意，得
x＋1.2x－100＝1000，解得x＝500.所以种植“丰收1号”小麦的试验
田的产粮量为1000－500＝500（kg）.答：种植“丰收1号”小麦和“丰
收2号”小麦的两块试验田的产粮量都为500kg
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（2） 哪种小麦的单位面积产量高？高的单位面积产量是低的单位面积
产量的多少倍？
①
第12题
②
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解：（2） “丰收1号”小麦的单位面积产量为 kg，“丰收2号”小
麦的单位面积产量为 kg.因为（a2－1）－（a－1）2＝a2－1
－a2＋2a－1＝2a－2，a＞1，所以2a－2＞0.所以a2－1＞（a－1）2.
所以 ＜ .所以“丰收2号”小麦的单位面积产量高.因为
÷ ＝ · ＝ ，所以高的单位面积产
量是低的单位面积产量的 倍.答：“丰收2号”小麦的单位面积产量
高，高的单位面积产量是低的单位面积产量的 倍
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（附加题）（20分）　给定一列分式： ，－ ， ，－ ， ，…（其中x≠0，y≠0），那么这列分式中第n个分式除以第
（n－1）个分式的商是 .
－ 　
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12(共12张PPT)
9.2　分式的运算
第4课时　分式的加减
第9章　分　式
一、 选择题（每题5分，共25分）
1. （2024·甘肃）计算 － 的结果为（　A　）
A. 2 B. 2a－b C. D.
2. （2024·宿州三模）化简 ＋ 的结果正确的是（　B　）
A. 2 B. －2 C. D.
A
B
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3. （2024·淮北三模）化简 － 的结果是（　A　）
A. － B. C. － D.
4. （临沂中考）计算 － 的结果是（　A　）
A. B.
C. D.
A
A
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5. （2024·合肥瑶海期末）若常数m，n满足 ＝ ＋ ，则m2－
n2的值为（　A　）
A. －3 B. －2 C. 2 D. 3
A
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二、 填空题（每题6分，共24分）
6. （2024·威海）计算： ＋ ＝ .
7. （自贡中考）化简： － ＝ 　 　.
8. 如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的部分是 .
第8题
－x－2　
　
1　
9. 已知 ＋ ＝1，且a≠－b，则 的值为 .
1　
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三、 解答题（共51分）
10. （16分）计算：
（1） － ；
解：原式＝ ＝ ＝
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（2） ＋ ＋2.
解：原式＝ ＋ ＋2＝ ＋ ＋2＝
＋ ＋ ＝ ＝
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11. （9分）（2024·长春）先化简，再求值： － ，其中x＝ .
解：原式＝ ＝ ＝x2.当x＝ 时，原式＝（ ）2＝2
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12. （12分）（乐山中考）已知 － ＝ ，求a，b
的值.
解：因为 － ＝ ＝ ＝ ，所以 解得
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13. （14分）（2024·乐山）先化简，再求值： － ，其中x＝3.
小乐同学的计算过程如下：
解： － ＝ － ……①
＝ － ……②
＝ ……③
＝ ……④
＝ ……⑤
当x＝3时，原式＝1.
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（1） 小乐同学的解答过程中，第 步开始出现了错误；
③　
（2） 请帮助小乐同学写出正确的解答过程.
解： － ＝ － ＝ － ＝
＝ ＝ .当x＝3时，原式＝
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（附加题）（20分）　已知 ＋ ＝ ， ＋ ＝ ， ＋ ＝ ，则
的值为 　 　.
　
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13(共11张PPT)
9.1　分式及其基本性质
第1课时　分式的有关概念
第9章　分　式
一、 选择题（每题5分，共25分）
1. 下列式子是分式的是（　D　）
A. B. C. D.
2. （宁波中考）要使分式 有意义，x的取值应满足（　B　）
A. x≠0 B. x≠－2
C. x≥－2 D. x＞－2
D
B
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3. （桂林中考）若分式 的值为0，则x的值是（　A　）
A. 2 B. －2 C. 3 D. －3
4. 已知a＝1，b＝2，则 的值是（　D　）
A. B. － C. 2 D. －2
5. 下列分式一定有意义的是（　C　）
A. B. C. D.
A
D
C
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二、 填空题（每题6分，共24分）
6. 某市对一段全长1500米的道路进行改造，原计划每天修x米，为了尽
量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天修路比原计划
的2倍还多35米，那么修这条路实际用了 天.
7. 当x＝2时，分式 无意义，则a＝ .
8. （2024·济南）若分式 的值为0，则实数x的值为 .
　
10　
1　
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9. 利用下列三个整式中的两个或三个：① x＋5；② x－5；③ x2－36，构造一个分式，使得当x＝5时，分式的值为0，且当x＝－6时，分式无意义.请你写出一个满足上述全部特点的分式： .
（答案不唯一）
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三、 解答题（共51分）
10. （15分）已知下列6个整式：x＋2，x－2，2x＋1，2，x2＋x－1，
x2－x－11.
（1） 从上面的6个整式中选择2个合适的整式，组成一个分式；
解：（1） 答案不唯一，如
（2） 从6个整式中选择2个合适的整式进行乘法运算，使运算结果为一
个不含有一次项的多项式，请你列出算式，并写出运算过程.
解：（2） 选择x＋2，x－2进行乘法运算，运算结果为（x＋2）
（x－2）＝x2－4，不含有一次项
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11. （10分）已知分式 ，当x＝1时，分式无意义；当x＝4时，分
式的值为0，求a＋b的值.
解：因为当x＝1时，分式无意义，所以1－a＝0.所以a＝1.因为当x
＝4时，分式的值为0，所以4＋2b＝0.所以b＝－2.所以a＋b＝1－2
＝－1
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12. （12分）解决下面的问题：
（1） 甲车以vkm/h的速度行完A，B两地间的路程用了1h，乙车的速度
比甲车慢5km/h.乙车行完A，B两地间的路程需要多少小时？
解：（1） 乙车行完A，B两地间的路程需要 ＝ （h）
（2） 某批发商以a元/个的价格购进一种畅销商品，共花费600元，然
后以比进价每个高5元的价格全部卖出.批发商共赚多少元？
解：（2） 批发商共赚 ·5＝ （元）
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13. （14分）郝老师出了这样一道题：当x的值分别为－ ，－2，0，1， 时，求分式 的值.
（1） 请完成这道题.
解：（1） 当x＝－ 时， ＝ ＝ ＝ ；当x＝－2时， ＝ ＝ ＝ ；当x＝0时， ＝ ＝ ；当x＝1时， ＝ ＝ ；当x＝ 时， ＝ ＝ ＝
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（2） 做完这道题后，聪明的靖靖发现：无论x取何值，上述分式都有
意义.请你说说原因.
解：（2） x2－2x＋3＝（x2－2x＋1）＋2＝（x－1）2＋2.因为
（x－1）2≥0，所以（x－1）2＋2＞0.所以无论x取何值，该分式都有意义
（3） 如果分式 无论x取何实数都有意义，请写出m的取值
范围.
解：（3） 因为x2－2x＋m＝（x2－2x＋1）＋（m－1）＝（x－1）2
＋（m－1），所以当m－1＞0，即m＞1时，无论x取何实数，
分式都有意义
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（附加题）（20分）　若 ＝0，则ba＝ .
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13(共14张PPT)
9.3　分式方程
第1课时　分式方程及其解法
第9章　分　式
一、 选择题（每题5分，共25分）
1. 下列式子是分式方程的是 （　C　）
A. ＝ B. ＋
C. － ＝1 D. ＋2＝
C
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2. （2024·济宁）解分式方程1－ ＝－ 时，去分母变形正确的是（　A　）
A. 2－6x＋2＝－5 B. 6x－2－2＝－5
C. 2－6x－1＝5 D. 6x－2＋1＝5
3. （2024·广东）方程 ＝ 的解是 （　D　）
A. x＝－3 B. x＝－9 C. x＝3 D. x＝9
A
D
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4. 已知关于x的分式方程 ＝3的解是x＝3，则m的值为（　B　）
A. 3 B. －3 C. －1 D. 1
5. 若关于x的方程 － ＝1有增根，则m的值为 （　D　）
A. －2 B. 2 C. －3 D. 3
B
D
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二、 填空题（每题6分，共24分）
6. （2024·辽宁）方程 ＝1的解为 .
7. 若关于x的分式方程 －1＝ 无解，则m＝ .
8. 某同学在解关于x的分式方程 ＋6＝ 的过程中，去分母时由于
常数6漏乘了最简公分母，最后解得x＝－1.x＝－1是该同学去分母后
得到的整式方程 的解，据此可求得m＝ ，原分
式方程的解为 .
x＝3　
2　
x－3＋6＝m　
2　
x＝ 　
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9. （2024·牡丹江）若分式方程 ＝3－ 的解为正整数，则整数m
的值为 .
－1　
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三、 解答题（共51分）
10. （18分）解方程：
（1） （2024·广州） ＝ ；
解：方程两边同乘以x（2x－5），得x＝3（2x－5）.展开，得x＝6x
－15，解得x＝3.经检验，x＝3时，x（2x－5）≠0，所以原分式方程
的解为x＝3
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（2） （2024·福建） ＋1＝ .
解：方程两边同乘以（x＋2）（x－2），得3（x－2）＋（x＋2）
（x－2）＝x（x＋2）.展开，得3x－6＋x2－4＝x2＋2x，解得x＝10.经检验，x＝10时，（x＋2）（x－2）≠0，所以原方程的解为x＝10
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11. （10分）如图，点A，B在数轴上，它们对应的数分别为－2， ，且点A，B到原点的距离相等.求x的值.
第11题
解：根据题意，得 ＝2.去分母，得x＝2（x＋1），解得x＝－2.经
检验，当x＝－2时，x＋1≠0，所以x＝－2是原分式方程的解
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12. （10分）当x为何值时，分式 的值比分式 的值大3？
解：由题意，得 － ＝3.去分母，得－（3－x）－1＝3（x－2），解得x＝1.经检验，当x＝1时，x－2≠0，所以x＝1是原分式方程的解.所以当x＝1时，分式 的值比分式 的值大3
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13. （13分）阅读下面解方程的过程，完成问题.
解方程： ＝ － .
解：x＋1＝2（x－1）－4……第一步
　　x＋1＝2x－1－4……第二步
　x－2x＝－1－1－4……第三步
　　－x＝－6……第四步
x＝6……第五步
检验：当x＝6时，x2－1＝35≠0，
所以x＝6是原方程的根.
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13
（1） ① 以上解题过程中，第一步变形的依据是（　A　）
A. 等式的基本性质
B. 不等式的基本性质
C. 分式的基本性质
② 从第 步开始出现错误，这一步错误的原因是
.
（2） 该方程的正确解是 .
A
二　
去括号时第二
项没有乘以2　
x＝7　
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13
（3） 除纠正上述错误外，请你根据平时的学习经验，就解分式方程时
还需要注意的事项给其他同学提一条建议.
解：解分式方程时还需要注意的事项是解完分式方程后要代入检验（合
理即可）
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（附加题）（20分）　已知关于x的方程x＋ ＝a＋ 的解是x1＝a，x2＝ ，应用此结论解方程x＋ ＝a＋ 的解为 .
x1＝a，x2＝ 　
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13(共12张PPT)
9.1　分式及其基本性质
第3课时　分式的约分
第9章　分　式
一、 选择题（每题5分，共25分）
1. 化简 的结果是 （　C　）
A. B. C. D.
2. 下列分式中，属于最简分式的是 （　C　）
A. B. C. D.
C
C
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3. （2024·界首期末）下列约分正确的是 （　C　）
A. ＝1 B. ＝a－b
C. ＝a＋b D. ＝－1
4. 化简 的结果是 （　A　）
A. B. C. －1 D. 2x－1
C
A
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13
5. 小张同学化简分式 得到的结果为 ，□部分不小心用橡皮擦掉
了，请你推测，□部分的代数式应该是 （　B　）
A. x＋2 B. （x－2）2
C. x－2 D. （x＋2）2
B
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13
二、 填空题（每题6分，共24分）
6. 当分式 约分变成最简分式时，结果为 　 　.
7. 小丽在化简分式 ＝ 时，*部分不小心滴上了墨水.请你推测，
*部分的二次三项式应该是 .
8. 任意写一个能约分且分母是二次三项式的分式：
.
不唯一）
　
x2－2x＋1　
答案不唯一，如
　
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13
9. 从多项式4x2＋4xy＋y2，2x＋y，4x2－y2中任选两个，其中一个作
为分子，另一个作为分母，组成一个分式为 ，化简后的结果
为 .（答案不唯一）
　
　
（答案不唯一）
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三、 解答题（共51分）
10. （16分）约分：
（1） ；
（2） .
解：原式＝ ＝
解：原式＝ ＝
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11. （9分）先化简分式 ，然后在0，1，2三个数值中选择一个
合适的作为a来代入求值.
解：原式＝ ＝ ＝ .当a＝0或2时，原分式的分母为0，分式无意义，故a的值只能取1.当a＝1时，原式＝ ＝－
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12. （12分）已知2＋ ＝22× ，3＋ ＝32× ，4＋ ＝42× ，….若10＋ ＝102× （a，b为正整数，且a，b互质），求分式 的值.
解：由题意，得a＝10，b＝a2－1＝102－1＝99，所以 ＝
＝ ＝ ＝
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13. （14分）有趣的“约分”.
“约去”指数，如 ＝ ， ＝ .你见过这样的约分吗？
面对这荒谬的约分，一笑之后，再认真检验，发现其结果竟然正确！这
是什么原因呢？
仔细观察式子，我们可进行如下猜想： ＝ .请
说明这个等式的正确性[提示：a3＋b3＝（a＋b）（a2－ab＋b2）].
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13
解：因为a3＋（a－b）3＝[a＋（a－b）][a2－a（a－b）＋
（a－b）2]＝[a＋（a－b）]（a2－a2＋ab＋a2－2ab＋b2）＝
[a＋（a－b）]（a2－ab＋b2），所以 ＝ ＝ .所以这个等式正确
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13
（附加题）（20分）　对于一些计算量特别大，或用常规方法解不出来
的问题，可考虑用设参数的方法.例如：在计算20003－1999×2000×
2001时，设m＝2000，则原式可化为m3－（m－1）m·（m＋1），化简结果为m，即原式等于2000.请你用这种方法计算： ＝ 　 　.
　
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13(共10张PPT)
第9章小测
第9章　分　式
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. （2024·合肥三模）若分式 的值为0，则x的值为（　C　）
A. 0 B. 1 C. －1 D. ±1
2. （2024·砀山期末）下列分式中，属于最简分式的为（　A　）
A. B. C. D.
C
A
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3. 下列约分正确的是（　C　）
A. ＝ B. ＝x－y
C. ＝－m＋1 D. ＝
4. 计算 · ÷ 的结果是（　C　）
A. － B. C. － D.
C
C
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5. 已知x＋ ＝3，则分式 的值为（　C　）
A. B. C. D.
C
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二、 填空题（每题7分，共28分）
6. （2024·安徽）若分式 有意义，则实数x的取值范围是 .
7. （2024·徐州）分式方程 ＝ 的解为 .
8. （2024·内江）已知实数a，b满足ab＝1，则 ＋ ＝ .
9. 定义新运算：a b＝ ＋ ，如2 3＝ ＋ ＝ .若a （－b）＝
2，则 的值是 　－ 　.
x≠4　
x＝1　
1　
－ 　
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三、 解答题（共42分）
10. （8分）（2024·泸州）化简： ÷ .
解：原式＝ ÷ ＝ · ＝
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11. （8分）（2024·陕西）解方程： ＋ ＝1.
解：方程两边同乘以（x＋1）（x－1），得2＋x（x＋1）＝（x＋1）（x－1），解得x＝－3.经检验，当x＝－3时，（x＋1）（x－1）≠
0，所以原分式方程的解是x＝－3
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12. （12分）（2024·广元）先化简，再求值： ÷ － ，
其中a，b满足b－2a＝0.
解：原式＝ · － ＝ － ＝ .因为b－2a＝0，所以b＝2a.所以原式＝ ＝
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13. （14分）（2024·雅安）某市为治理污水，保护环境，需铺设一段全长为3000米的污水排放管道，为了减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25％，结果提前15天完成铺设任务.
（1） 求原计划与实际每天各铺设管道多少米.
解：（1） 设原计划每天铺设管道x米，则实际每天铺设管道（1＋25％）x＝1.25x米.根据题意，得 ＋15＝ ，解得x＝40.经检验，x＝
40是原分式方程的解，且符合题意.所以1.25x＝50.答：原计划与实际
每天各铺设管道40米、50米
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13
（2） 负责该工程的施工单位，按原计划对工人的工资进行了初步的预
算，工人每天人均工资为300元，所有工人的工资总金额不超过18万元.
该公司原计划最多安排多少名工人施工？
解：（2） 设该公司原计划安排y名工人施工.3000÷40＝75（天）.根
据题意，得300×75y≤180000，解得y≤8.所以该不等式的最大整数解
为8.答：该公司原计划最多安排8名工人施工
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小专题（六）　分式通分的常用技巧
第9章　分　式
类型一　约分后通分
1. 化简： － .
解：原式＝ － ＝ － ＝－
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类型二　逐步通分
2. 化简： － ＋ － .
解：原式＝ － ＋ ＝ － － ＝
－ ＝ － ＝ ＝－
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类型三　整体通分
3. 化简：a2＋a＋1－ .
解：原式＝ － ＝ ＝
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类型四　裂式相消
4. 化简： － ＋ .
解：原式＝ － － ＋ ＋ － ＝ － ＝
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类型五　分离整式后通分
5. 化简： ＋ ＋ .
解：原式＝1＋ ＋ ＋ ＝1＋ ＋2－ ＋3－ ＝
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类型六　分组通分
6. 化简： － ＋ － .
解：原式＝ － ＝ － ＝－
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类型一约分后通分
1.化简：
x--x
x+2
x3-x2
x2-4
解：原式=
32
4
a-2-(a+2)
32
4
32
a4-16
a2+4
a+2)(a-2
-16
a2+4
16
4
(a2-4)
+4
【a2
+4
32
8a2
8
4-0
2
8
(a2+4(a2-4
a4-16
a4-16
a4-16
a2+4
类型三整体通分
3.化简：a2+a十1-a3
类型四
裂式相消
4.化简：
2
3
(x-2)(x-3)
x-1)(x-3
x+1)(x-2)
类型五分离整式后通分
5.化简：
2x+3
13x2+5x
X
x+2
x2+2x1
解：原式=1+2+21+3x+2x=1++2-十3-=
x+2
x十2
x+2
x+2
6x+12x+4
x2+2x(共10张PPT)
9.2　分式的运算
第2课时　分式的乘方
第9章　分　式
一、 选择题（每题6分，共24分）
1. 计算 的结果是 （　D　）
A. B.
C. D.
D
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2. 下列计算中，错误的是 （　C　）
A. ＝－ B. ＝
C. ＝ D. ＝
3. 计算 的结果是 （　C　）
A. b2＋2n B. － C. D. －
C
C
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4. 已知 ÷ ＝3，则a4b4的值为 （　B　）
A. 6 B. 9 C. 12 D. 81
B
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二、 填空题（每题6分，共24分）
5. 若（－ ）4＝ （m＞0），则m的值为 .
6. 计算（ ）2÷（－ ）3的结果是 　－ 　.
7. 计算：（a3bc）2·（ ）2＝ .
8. 当x＝2，y＝3时，计算 · ÷ 的结果为 .
2　
－ 　
a10　
－18　
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三、 解答题（共52分）
9. （10分）计算：
（1） （－ ）3；
解：原式＝－
（2） （ ）2.
解：原式＝ ＝
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10. （20分）计算：
（1） －12x4y2·（－ ）3；
解：原式＝－12x4y2·（－ ）＝
（2） 4x2y÷（－ ）2；
解：原式＝4x2y· ＝y3
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（3） （－ ）3·（－ ）2；
解：原式＝－ · ＝－x3y2
（4） ·（ ）3.
解：原式＝ · ＝
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11. （12分）计算：
（1） ÷ ÷ ；
解：原式＝ · ·a3b3＝
（2） · ÷ .
解：原式＝ · · ＝ ＝
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12. （10分）已知 ＝2，求 ÷ · 的值.
解：原式＝ · · ＝ ＝（ ）2.因为
＝2，所以原式＝22＝4
（附加题）（20分）　已知a2＋b2＋10a－6b＋34＝0，则代数式
· ÷ 的值为 　－ 　.
解：原式＝ · · ＝ ＝（ ）2.因为
＝2，所以原式＝22＝4
－ 　
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12(共12张PPT)
9.1　分式及其基本性质
第2课时　分式的基本性质
第9章　分　式
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. 如果把 中的x和y都扩大为原来的10倍，那么这个代数式的值
（　D　）
A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的5倍
C. 扩大为原来的10倍 D. 不变
D
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2. 如图，若 ＝2，则表示 的值的点落在（　A　）
A. ①处 B. ②处 C. ③处 D. ④处
第2题
3. 分式 可变形为（　D　）
A. B. － C. － D. －
A
D
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4. （河北中考）若a≠b，则下列分式变形正确的是（　D　）
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
D
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5. 不改变分式的值，将分式 中的分子、分母的系数化为整
数，结果为（　A　）
A. B.
C. D.
A
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二、 填空题（每题7分，共28分）
6. 利用分式的基本性质填空：
（1） ＝ ；（2） ＝ ；
（3） ＝ ；（4） ＝ .
7. 若不改变分式的值，使分式 中的各项系数化为整数，则分子、分母应同时乘以 .
90　
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8. 分式 的值为m，若将x，y都扩大为原来的2倍，则变化后分式
的值为 .
9. 已知分式 的值是m.如果分式中的x，y用它们的相反数代入，所得的值为n，那么m，n的关系是 .
m　
m＋n＝0　
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三、 解答题（共42分）
10. （12分）对分式 进行变形，甲同学的做法： ＝ ＝a－b；乙同学的做法： ＝ ＝
＝a－b.请根据分式的基本性质，判断甲、乙两名同学
的做法是否正确，并说明理由.
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解：甲同学的做法是正确的，乙同学的做法是错误的　理由：因为对于
分式 ，要保证其有意义，必须满足a＋b≠0，所以根据分式的基
本性质，将分式的分子、分母都除以a＋b，其值不会改变.因此甲同学
的做法是正确的.因为a－b是否为0是不确定的，所以就不能运用分式
的基本性质将分子、分母都乘以a－b对其变形，因此乙同学的做法是
错误的.
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11. （14分）当a为何值时，分式 无意义？
小明是这样解答的：
因为 ＝ ＝ ，由a＋3＝0，得a＝－3.
所以当a＝－3时，分式无意义.　
你认为小明的解答正确吗？若不正确，请说明理由.
解：不正确　理由：由题意，得分式无意义，所以a2－9＝0.所以a＝
±3.所以当a＝±3时，分式无意义.所以小明的解答不正确.
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12. （16分）
（1） 已知a∶b∶c＝2∶3∶5，求 的值；
解：因为a∶b∶c＝2∶3∶5，所以设a＝2k，b＝3k，c＝5k（k≠0）.所以原式＝ ＝ ＝－
（2） 已知a＝2b，求 的值.
解：由题意，得a≠0，b≠0.因为a＝2b，所以原式＝ ＝
＝
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（附加题）（20分）　已知 ＝ ＝ （xyz≠0），则＝ .
　
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12(共12张PPT)
9.2　分式的运算
第3课时　分式的通分
第9章　分　式
一、 选择题（每题5分，共25分）
1. 分式 与－ 的最简公分母是 （　C　）
A. B. 3xy2 C. 6y2 D. 6y3
2. 分式 的分母经过通分后变成2（a－b）2（a＋b），那么分子
应变为 （　C　）
A. 6a（a－b）2（a＋b） B. 2（a－b）
C. 6a（a－b） D. 6a（a＋b）
C
C
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3. 分式 ， ， 通分后的结果为 （　A　）
A. ， ，
B. ， ，
C. ， ，
D. ， ，
A
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4. 将分式 ， ， 通分后，各分式的分子之和为
（　A　）
A. 2a2＋7a＋11 B. a2＋8a＋10
C. 2a2＋4a＋4 D. 4a2＋11a＋13
A
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5. 分式 ， ， 通分的过程中，不正确的是
（　B　）
A. 最简公分母是（x－2）（x＋3）2
B. ＝
C. ＝
D. ＝
B
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二、 填空题（每题6分，共24分）
6. 分式 ， ， 的最简公分母是 .
7. 将分式 化成分母为x（x－2）的分式： 　 　.
8. 将分式 ， ， 通分，分母所乘的单项式依次为 ，
， .
9. 将分式 ， ， 通分时，最简公分母是
，此时分式 通分后的分子为 .
12xy3　
　
4a2y　
6ax2　
3xy2　
2（a－b）
（a＋b）　
6a　
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三、 解答题（共51分）
10. （12分）
（1） 写出两个分式，使它们的最简公分母是6x2y，且其中一个分式的
分母不含字母x；
解：答案不唯一，如（1）两个分式可以为 ， 　
（2） 写出两个分式，使它们的最简公分母是x（x＋y）（x－y）.
解：答案不唯一，如（2） 两个分式可以为 ，
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11. （14分）将下列各组分式通分：
（1） ，－ ；
解： ，－
解： ，
（2） ， ；
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（3） ， ， .
解： ， ，
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12. （13分）小强昨天做了一道题“将下面的分式通分： ， ”.
他的解答过程如下： ＝ ＝x－3； ＝ ＝3（x＋1）.
请你指出他的错误，并改正.
解：错误有两处：① 两个分式通分的结果弄丢了分母，分式通分后应
仍为分式；② 第2个分式的分子符号错误　正确的解答： ＝
， ＝
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13. （12分）若分式 ， 通分后分子的和等于最简公分母，求xy
的值.
解：因为 ＝ ， ＝ ，通分后分子的和等
于最简公分母，所以x＋1＋y＋1＝（x＋1）（y＋1），即x＋1＋y＋
1＝xy＋x＋y＋1.所以xy＝1
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（附加题）（20分）　甲工程队完成一项工程需要（2a－6）天，乙工
程队完成这项工程要比甲工程队多8天，写出表示甲、乙两队每天完成
的工作量的式子.若两式的分母不同，则将两个式子进行通分.
解：因为甲工程队完成一项工程需要（2a－6）天，乙工程队完成这项
工程要比甲工程队多8天，所以乙工程队完成这项工程需要2a－6＋8＝
（2a＋2）天.所以甲、乙两队每天完成的工作量的式子分别为 ，
.将两个式子进行通分， ＝ ＝ ， ＝
＝
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