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(共11张PPT)
15.4　零指数幂与负整数指数幂
第2课时　科学记数法
第15章　分　式
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. 新考向 跨学科 （河南中考）通电瞬间，导线中的电流以接近光速形
成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有0.000 074 m/s，比蜗
牛爬行的速度还慢.数据“0.000 074”用科学记数法表示为（　C　）
A. 0.74×10－4 B. 7.4×10－4
C. 7.4×10－5 D. 74×10－6
C
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2. 新考向 科技前沿 （威海中考）据央视网2025年4月19日消息，复旦
大学集成芯片与系统全国重点实验室、芯片与系统前沿技术研究院科研
团队成功研制出半导体电荷存储器“破晓”.“破晓”存储器擦写速度
提升至400皮秒实现一次擦或者写.一皮秒仅相当于一万亿分之一秒.400
皮秒用科学记数法表示为（　A　）
A. 4×10－10秒 B. 4×10－11秒
C. 4×10－12秒 D. 40×10－12秒
A
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3. 已知一粒米的质量约为2.1×10－5 kg，则数据2.1×10－5用小数表示
为（　D　）
A. 0.021 B. 0.002 1
C. 0.000 21 D. 0.000 021
4. 若a＝3.2×10－5，b＝7.5×10－5，c＝6.3×10－6，则a、b、c三个
数的大小关系为（　C　）
A. a＜b＜c B. a＜c＜b
C. c＜a＜b D. c＜b＜a
D
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5. 新考向 跨学科 红外线是太阳光线中众多不可见光线中的一种，且应
用广泛，某红外线遥控器发出的红外线波长约为9.4×10－7 m，则下列
说法正确的是（　C　）
A. 9.4×10－7＋10＝9.4×10－6 B. 9.4×10－7－1.4＝8×10－7
C. 9.4×10－7是8位小数 D. 9.4×10－7是7位小数
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二、 填空题（每题6分，共30分）
6. 新考向 跨学科 （泰州中考）溶度积是化学中沉淀的溶解平衡常数.
常温下CaCO3的溶度积约为0.000 000 002 8，将数据0.000 000 002 8用科
学记数法表示为 　2.8×10－9　.
7. 氢原子的半径约为0.000 000 000 05 m，用科学记数法表示为
5×10n，则n的值为 　－11　.
8. 新考向 跨学科　 钻石标尺的最小刻度是0.2 nm（1 nm＝10－9 m），
那么这个最小刻度用科学记数法表示为 　2×10－10　m.
2.8×10－9　
－11　
2×10－10　
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9. （教材变式）已知空气的单位体积质量约为1.293×10－3 g/cm3，将
数据1.293×10－3用小数表示为 　0.001 293　.
10. 新考向 科技前沿　 在芯片制造过程中，“埃”是一个重要的长度
单位，它比纳米还要小，使用“埃”级别的光源和光刻胶，可以实现高
分辨率的图案制作，从而实现更高密度的集成电路.已知1埃＝ nm，
1 nm＝0.000 000 001 m，则6埃用科学记数法表示为 　6×10－10　m.
0.001 293　
6×10－10　
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三、 解答题（共40分）
11. （8分）把下列各数用科学记数法表示出来：
（1）0.000 000 15；
解：0.000 000 15＝1.5×10－7
（2） －0.000 27；
解：－0.000 27＝－2.7×10－4
（3）（5.2×1.8）×0.001；
解：（5.2×1.8）×0.001＝0.009 36＝9.36×10－3
（4） 1÷（2×105）2.
解：1÷（2×105）2＝（4×1010）－1＝0.25×10－10＝2.5×10－11
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12. （12分）下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？
（1）3×10－3；
解：3×10－3的原数为0.003
（2）8.32×10－5；
解：8.32×10－5的原数为0.000 083 2
（3） －6.06×10－6；
解：－6.06×10－6的原数为－0.000 006 06
（4） 1.001×10－7.
解：1.001×10－7的原数为0.000 000 100 1
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13. （10分）世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种
植物长为0.000 6 m，宽为0.000 33 m，它的果实像一粒微小的无花果，
质量只有0.000 000 07 g.
（1）用科学记数法表示上述三个数据；
解：（1） 0.000 6＝6×10－4，0.000 33＝3.3×10－4，0.000 000 07＝
7×10－8
（2）一个橘子的质量约为70 g，一个橘子的质量相当于多少粒澳大利亚
出水浮萍果实的质量？
解：（2）70÷0.000 000 07＝1 000 000 000＝109（粒）
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14. ★（10分）经科学家研究发现，与我们日常生活密不可分的水中的
一个水分子的质量约是3×10－26 kg，那么12 g水中大约有多少个水分
子？科学家通过进一步研究又发现，一个水分子是由两个氢原子和一个
氧原子构成的，已知一个氧原子的质量约为2.657×10－26 kg，则一个氢
原子的质量约为多少千克？
解：12 g＝1.2×10－2 kg，1.2×10－2÷（3×10－26）＝4×1023（个），
∴12 g水中大约有4×1023个水分子 ×（3×10－26－2.657×10－26）＝1.715×10－27（kg），∴ 一个氢原子的质量约为1.715×10－27 kg
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小专题（二）　利用分式方程的解的情况求字母的值
或取值范围
第15章　分　式
类型一　利用分式方程的解求字母的值
1. 已知关于x的方程 ＝ 的解是x＝1，则a的值为（　C　）
A. 2 B. 1 C. －1 D. －2
2. 已知关于x的分式方程 ＝ 与分式方程 ＝ 的解相同，求m2
－2m的值.
解：解分式方程 ＝ ，解得x＝3.经检验，x＝3是方程的解.把x＝3
代入 ＝ ，解得m＝ .∴ m2－2m＝2－2× ＝－
C
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类型二　利用分式方程有解确定字母的条件
3. 若关于x的分式方程 －3＝0有解，则实数m应满足的条件是
（　B　）
A. m＝－2 B. m≠－2 C. m＝2 D. m≠2
4. 已知关于x的分式方程 ＋ ＝2有解，则m应满足的条件是
（　A　）
A. m≠1且m≠2 B. m≠2
C. m＝1或m＝2 D. m≠1或m≠2
B
A
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类型三　利用分式方程有整数解求字母的值
5. （牡丹江中考）若分式方程 ＝3－ 的解为正整数，则整数m的
值为 　－1　.
－1　
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类型四　利用分式方程解的范围求字母的取值范围
6. 若关于x的分式方程 －2＝ 的解为非负数，则m的取值范围是
（　D　）
A. m≥ B. m＞
C. m＜ 且m≠ D. m≤ 且m≠
7. 若关于x的分式方程 ＋ ＝ 的解大于1，则m的取值范围
是 　m＞0且m≠1　.
D
m＞0且m≠1　
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8. ★已知关于x的分式方程 －1＝ 的解满足－
2≤x≤5，求m的取值范围.
解：方程两边同乘以（x－1）（x＋2），得x（x＋2）－（x－1）
（x＋2）＝m，解得x＝m－2.∵ 分式方程有可能产生增根x＝1或x
＝－2，∴ m－2≠1且m－2≠－2.∴ m≠3且m≠0.∵ 关于x的分式方
程 －1＝ 的解满足－2≤x≤5，∴ －2≤m－
2≤5，解得0≤m≤7.综上所述，m的取值范围是0＜m≤7且m≠3
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9. 已知关于x的分式方程 ＝ －3.
（1）当方程的解为正整数时，求整数m的值；
解：（1） 方程两边同乘以（x－2），得x＋1＝mx－3（x－2），解
得x＝ .∵ 方程的解为正整数，且x≠2，∴ 4－m＝5或4－m＝1，
解得m＝－1或m＝3.∴ 整数m的值为－1或3
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（2）当方程的解为正数时，求m的取值范围.
解：（2）由（1），知x＝ .∵ 方程的解为正数，且x≠2，∴
＞0，且 ≠2，解得m＜4，且m≠ .∴ m的取值范围是m＜4且
m≠
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类型五　利用分式方程有增根或无解求字母的值
10. 若关于x的分式方程 ＝ －2有增根，则a的值是（　A　）
A. －2 B. －1 C. 0 D. 1
11. （遂宁中考）若关于x的分式方程 ＝ －1无解，则a的值为
（　D　）
A. 2 B. 3 C. 0或2 D. －1或3
A
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12. ★已知关于x的分式方程 ＋ ＝ .
（1）若方程的增根为x＝2，求m的值；
解：（1） 方程两边同乘以（x＋2）（x－2），得2（x＋2）＋mx＝2
（x－2），整理，得mx＝－8.∵ 增根为 x＝2，∴ 2m＝－8，解得m
＝－4
（2）若方程有增根，求m的值；
解：（2）∵ 方程有增根，∴ （x＋2）（x－2）＝0.∴ x＝－2或x＝2.
当x＝－2时，－2m＝－8，解得m＝4；当x＝2时，2m＝－8，解得
m＝－4.∴ 若方程有增根，则m的值为±4
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（3）若方程无解，求m的值.
解：（3） 由（2），知当m＝±4时，原分式方程有增根，即无解；去
分母后的整式方程为mx＝－8，当m＝0时，x无意义，即无解.综上所
述，m的值为4、－4或0
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类型六　分式方程的特殊解与不等式组结合
13. ★（眉山中考）若关于x的不等式组 至少有两个正
整数解，且关于x的分式方程 ＝2－ 的解为正整数，则所有满足
条件的整数a的值之和为（　B　）
A. 8 B. 14 C. 18 D. 38
B
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15.3　可化为一元一次方程的分式方程
第2课时　分式方程的应用
第15章　分　式
一、 选择题（每题7分，共28分）
1. （绥化中考）用A、B两种货车运输化工原料，A货车比B货车每小
时多运输15 t，A货车运输450 t所用时间与B货车运输300 t所用时间相
等.若设B货车每小时运输化工原料x t，则可列方程为（　C　）
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
C
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2. （临夏中考）端午节期间，某商家推出“优惠酬宾”活动，决定每
袋粽子降价2元销售.细心的小夏发现，降价后用240元可以比降价前多
购买10袋，求每袋粽子的原价是多少元.设每袋粽子的原价是x元，所得
方程正确的是（　C　）
A. － ＝10 B. － ＝10
C. － ＝10 D. － ＝10
C
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3. （绥化中考）一艘货轮在静水中的航速为40 km/h，它以该航速沿江
顺流航行120 km所用时间与以该航速沿江逆流航行80 km所用时间相
等，则江水的流速为（　D　）
A. 5 km/h B. 6 km/h C. 7 km/h D. 8 km/h
D
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4. （山东中考）为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改
造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产
400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为（　B　）
A. 200 B. 300 C. 400 D. 500
B
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二、 填空题（每题7分，共28分）
5. （江西中考）小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗
费6 000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1 000元电费行驶的路程相
同，且每百公里的耗油费比耗电费多50元，求纯电汽车每百公里的耗电
费.设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，可列分式方程为 　 ＝
　.（公里是一种长度单位）
＝
　
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6. （绵阳中考）随着国家提倡节能减排，新能源车将成为时代“宠
儿”.端午节期间，君君一家驾乘新购买的新能源车，去相距180 km的
古镇旅行，原计划以速度v km/h匀速前行，因急事以计划速度的1.2倍
匀速行驶，结果就比原计划提前了0.5 h到达，则原计划的速度v
为 　60　km/h.
60　
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7. 某超市第一次用3 000元购进某种干果销售，第二次又调拨9 000元购
进该种干果，但第二次的进价比第一次的进价高了20%，购进干果的质
量比第一次的2倍还多300千克.如果该超市先按每千克9元的价格出售，
当大部分干果售出后，最后的600千克按原售价的7折售完，那么该超市
两次销售这种干果共盈利 　5 280　元.
5 280　
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8. 新情境 现实生活 琳琳和华华相约周末到家乡美食小镇游玩，两人同
时分别到达小吃摊位A和D，并约在出口C会合，琳琳从摊位A经过摊
位B，最后到达出口C，华华从摊位D直接前往出口C，速度与琳琳从
摊位B到出口C的速度相同，两人在每两个地点间均匀速前进，各点间
距如图所示.若琳琳从摊位A到摊位B的速度比从摊位B到出口C的速度
慢10 m/min，且从摊位A到摊位B的时间为从摊位B到出口C时间的一
半，则 　琳琳　（填“琳琳”或“华华”）先到达出口C.
琳琳　
第8题
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三、 解答题（共44分）
9. （12分）（扬州中考）某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和
实用价值的书签，已知甲款书签价格是乙款书签价格的 倍，且用100元
购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个.求这两款书
签的单价.
解：设乙款书签的单价是x元，则甲款书签的单价是 x元.根据题意，
得 － ＝3，解得x＝16.经检验，x＝16是所列方程的解，且符合
题意.∴ x＝ ×16＝20.∴ 甲款书签的单价是20元，乙款书签的单价是
16元
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10. ★（16分）（贵州中考）为推动乡村振兴，政府大力扶持小型
企业.根据市场需求，某小型企业为加快生产速度，更新了生产设
备，更新设备后生产效率比更新前提高了25%，设更新设备前每天
生产x件产品.
（1）更新设备后每天生产 　1.25x　件产品（用含x的代数式表示）；
1.25x　
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（2）更新设备前生产5 000件产品比更新设备后生产6 000件产品多用2
天，求更新设备后每天生产多少件产品.
解：由题意，知 －2＝ ，解得x＝100.经检验，x＝100是原方
程的解，且符合题意.∴ 1.25×100＝125（件）.∴ 更新设备后每天生产
125件产品
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11. ★（16分）某公司会计欲查询乙商品的进价，发现进货单已被墨水
污染，进货单如下表所示：
商品采购员李阿姨和仓库保管员王师傅对采购情况的回忆如下：
李阿姨：“我记得每件甲商品的进价比每件乙商品的进价高50%.”
王师傅：“甲商品的数量比乙商品多40件.”
请你求出乙商品的进价，并帮助他们补全进货单.
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解：设乙商品的进价为x元/件，则甲商品的进价为（1＋50%）x元/件.
根据题意，得 － ＝40，解得x＝40.经检验，x＝40是
原方程的解，且符合题意.∴ （1＋50%）x＝60， ＝80，
＝120.∴ 乙商品的进价为40元/件.补全进货单如下表：
商　品 进价/（元/件） 数量/件 总金额/元
甲 60 120 7 200
乙 40 80 3 200
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11(共12张PPT)
第15章小测
第15章　分　式
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. 下列各分式中，是最简分式的为（　A　）
A. B. C. D.
2. 下列各式从左到右的变形正确的是（　D　）
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝a－b
A
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3. 下列说法错误的是（　A　）
A. 若式子 有意义，则x的取值范围是x≠－1或x≠1
B. 分式 中的x、y都扩大为原来的2倍，那么分式的值不变
C. 分式 的值不可能等于0
D. 若 表示一个整数，则整数x可取值的个数是4
A
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4. 牛奶和鸡蛋中含有丰富的蛋白质.已知m g牛奶中含a g蛋白质，比
n g鸡蛋中含的蛋白质少b g，则m g鸡蛋中蛋白质的含量是（　B　）
A. g B. g
C. g D. g
5. 若关于x的分式方程 －1＝ 无解，则m的值为（　D　）
A. － B. 1 C. 或2 D. － 或－
B
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二、 填空题（每题6分，共24分）
6. 计算：2×2－1＋－1＋｜ －2｜＋0＋ ＝ 　5－ 　.
7. 新情境 科技民生 5G是第五代移动通信技术，运用5G网络下载一个
1 000 KB的文件只需要0.000 76 s，则数据0.000 76用科学记数法可表示
为 　7.6×10－4　.
8. 计算：（2m2n－2）2 3m－3n3＝ 　 　.
9. ★整体思想 已知a、b满足 ＋ ＝ ，则2的值为 　2　.
5－ 　
7.6×10－4　
　
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三、 解答题（共46分）
10. （10分）解方程：
（1） ＝ ；
解：方程两边同乘以x（2x＋1），得3（2x＋1）＝4x，解得x＝－ .
经检验，x＝－ 是原方程的解
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（2） ＝5＋ .
解：方程两边同乘以（3x－1），得6x＝5（3x－1）＋2，解得x＝ .
经检验，x＝ 是原方程的增根.∴ 原方程无解
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11. （12分）已知关于x的分式方程 － ＝1.
（1）若该方程的解为x＝3，求m的值；
解：（1） 把x＝3代入原方程，得 － ＝1，解得m＝4
（2）若此方程的解为负数，求m的取值范围.
解：（2）方程两边同乘以（x＋1），得3x－1－m＝x＋1，解得x＝
.∵ 方程的解为负数，∴ ＜0，解得m＜－2.∵ 原分式方程有
解，∴ ≠－1，解得m≠－4.∴ m的取值范围是m＜－2且m≠－4
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12. （12分）（1）先化简，再求值： ÷ ，其中x
＝－1＋（－3）0；
解：原式＝ ＝ ＝
＝ .∵ x＝－1＋（－3）0＝2＋1＝3，∴ 原式＝ ＝1
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（2）（达州中考）先化简 ÷ ，再从－2、－1、0、
1、2之中选择一个合适的数作为x的值代入求值.
解：原式＝ ＝
＝ ＝ .∵ x－2≠0且x＋2≠0且x≠0且x＋1≠0，∴ 易得x可以取1.当x＝1时，原式
＝ ＝2
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13. ★（12分）（常德中考）儿童节将至，张老板计划购进A型玩具
和B型玩具进行销售，若用1 200元购进A型玩具的数量比用1 500元
购进B型玩具的数量多20个，且一个B型玩具的进价是一个A型玩具
进价的1.5倍.
（1）求A型玩具和B型玩具的进价分别是多少；
解：（1） 设A型玩具的进价是x元/个，则B型玩具的进价是1.5x元/个.
由题意，得 － ＝20，解得x＝10.经检验，x＝10是原方程的
解，且符合题意.∴ 10×1.5＝15（元/个）.∴ A型玩具的进价是10元/
个，B型玩具的进价是15元/个
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（2）若A型玩具的售价为12元/个，B型玩具的售价为20元/个，张老板
购进A、B型玩具共75个，要使总利润不低于300元，则A型玩具最多购
进多少个？
解：（2）设购进A型玩具m个，则购进B型玩具（75－m）个.根据题
意，得（12－10）m＋（20－15）（75－m）≥300，解得m≤25.∴ A
型玩具最多购进25个
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13(共10张PPT)
小专题（一）　分式的化简与求值
第15章　分　式
类型一　分式的化简
1. 化简：（1）2÷3 ；
解：原式＝ ÷ ＝ ＝
（2） ÷（x＋2） .
解：原式＝ ＝ ＝
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2. 化简：（1） ＋1－x；
解：原式＝ ＋ ＝ ＋ ＝
（2） － .
解：原式＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋
＝
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3. 化简：（1） （江西中考） ÷ ；
解：原式＝ ＝
＝
（2）（甘肃中考） ＋ ÷ .
解：原式＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＝1
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类型二　分式的化简与求值
4. （苏州中考）先化简，再求值： ，其中x＝－2.
解：原式＝ ＝ ＝ .当x＝－2时，
原式＝ ＝2
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5. 先化简，再求值： ÷ ，其中x、y满足
（x＋2）2＋｜y－3｜＝0.
解：原式＝ ÷ ＝
÷ ＝ ＝ .∵ x、y满足（x＋2）2＋｜y－3｜＝
0，∴ x＋2＝0且y－3＝0，解得x＝－2，y＝3.当x＝－2，y＝3时，
原式＝ ＝ ＝－2
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6. （牡丹江中考）先化简 ÷ ，再从－1、0、1、2、3中
选一个合适的数代入求值.
解：原式＝ ÷ ＝ ÷ ＝
＝ .∵ x≠0且x≠3，∴ x＝－1或x＝1或x＝2.选的数不唯一，如当
x＝－1时，原式＝ ＝－
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7. 整体思想 先化简，再求值： ÷ ，其中x满足x2＋
3x－1＝0.
解：原式＝ ＝（x2－9） ＝（x＋
3）（x－3） ＝3x（x＋3）＝3x2＋9x.∵ x2＋3x－1＝0，∴ x2＋
3x＝1.∴ 原式＝3x2＋9x＝3（x2＋3x）＝3×1＝3
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8. ★先化简，再求值： ÷ ，其中x是不等式组
的整数解.
解：原式＝ × ＝－ ×
＝－ .解不等式组 得－2＜x≤2.∵ x为整数，x（x＋2）≠0，x2－4≠0，（x＋1）2≠0，
x≠0、－2、2、－1.∴ x＝1.∴ 原式＝－ ＝
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9. ★先化简，再求值： ÷ ，其中x与2、3构
成△ABC的三边，且x为整数.
解：原式＝ ＝
＝ .∵ x与2、3构成△ABC的三边，且x为整数，∴ 3－2＜x＜3＋
2，即1＜x＜5.∴ x＝2、3、4.当x＝2或x＝4时，原式没有意义，故x
＝3.当x＝3时，原式＝ ＝ ＝3
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9(共11张PPT)
15.2　分式的运算
第2课时　分式的加减
第15章　分　式
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. （教材变式）（河南中考）化简 － 的结果是（　A　）
A. x＋1 B. x C. x－1 D. x－2
2. 计算 － 的结果为（　B　）
A. x＋y B. C. x－y D.
A
B
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3. 下列计算正确的是（　D　）
A. － ＝ B. ＋ ＝
C. － ＝ D. ＋ ＝0
4. 若A＝ ，B＝ ＋ ，其中x≠±2，则下列结论正确的是
（　A　）
A. A＋B＝0 B. A－B＝0
C. A B＝1 D. ＝1
D
A
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5. ★（河北中考）已知A为整式，若计算 － 的结果为
，则整式A为（　A　）
A. x B. y C. x＋y D. x－y
A
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二、 填空题（每题6分，共24分）
6. （湖北中考）计算 －x的结果是 　2　.
7. 新考法 新定义题 定义新运算：a b＝ － ，若a b＝ ，则
的值是 　－2　.
8. 整体思想 已知实数a、b满足ab＝1，则 ＋ ＝ 　1　.
9. 已知P＝ ，Q＝ ，计算P÷（1＋Q）＝ 　 　；若
P÷（1＋Q）的值为正整数，则满足条件的所有整数a的和为 　16　.
2　
－2　
1　
　
16　
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三、 解答题（共46分）
10. （16分）计算：
（1） － ；
解：原式＝ － ＝ ＝
＝ ＝
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（2） （教材变式） －x＋y；
解：原式＝ ＝ ＝
（3）（陕西中考） ÷ ；
解：原式＝ ＝ ＝x＋2
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（4） （泸州中考） ÷ .
解：原式＝ ÷ ＝
＝
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11. （14分）（眉山中考）先化简，再求值： ÷ ，其
中x、y满足（x＋2）2＋｜y－1｜＝0.
解：原式＝ ＝
＝ .∵ （x＋2）2＋｜y－1｜＝0，∴ x＋2＝
0，y－1＝0.∴ x＝－2，y＝1.∴ 原式＝ ＝－1
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12. ★（16分）甲、乙两人去同一家饲料公司分别购买两次饲料，两次
购买饲料的单价分别为每千克m元和 n元，且m≠n，两人的购买方式
也不同，其中甲每次购买1 000 kg，乙每次花费800元.
（1） 甲、乙两人两次购买饲料的平均单价各是多少（用含m、n的式
子表示）？
解：（1）∵ 两次购买饲料的单价分别为每千克m元和n元，且
m≠n，∴ 甲两次购买饲料的平均单价是每千克 ＝
（元），乙两次购买饲料的平均单价是每千克 ＝ （元）
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（2） 谁的购买方式较合算？
解：（2）甲、乙两人两次购买饲料的平均单价的差是每千克 －
＝ － ＝ ＝ （元）.
∵ m、n为正数，且m≠n，∴ ＞0.∴ ＞ .∴ 乙的购买方式较合算
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12(共12张PPT)
15.1　分式及其基本性质
第1课时　分　式
第15章　分　式
注：题首标★的为稍难题，标★★的为较难题.
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. （教材变式）代数式 x， ， ，x2－ ， ， 中，属于分
式的有（　B　）
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
2. （教材变式）分式 有意义的条件是（　A　）
A. x≠3 B. x＝3 C. x≠3且x≠0 D. x≠0
B
A
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3. 当x＝2时，分式 的值为0，则a的值为（　A　）
A. 2 B. －2 C. 2或－2 D. 4
A
4. 下列关于分式的判断，正确的是（　D　）
A. 当x＝2时， 的值为零
B. 当x≠1时， 有意义
C. 无论x为何值， 不可能为整数
D. 无论x为何值， 均有意义
D
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5. 有游客m人，如果每n人住1间客房，结果还有1人无房可住，那么客
房的间数为（　A　）
A. B. －1 C. D. ＋1
A
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二、 填空题（每题6分，共24分）
6. 新考法 结论开放（广西中考）写出一个使分式 有意义的x的
值，可以是 .
7. 当x＝ 时，分式 没有意义；当x＝ 时，分式
的值为0.
8. 小丽的妈妈每月给她m元零花钱，她计划每天用a元（用于买早点、
乘车），而实际她每天节约b元，则她实际 天才全部用完.
1（答案不唯一）　
－2　
－1　
　
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9. 已知分式 ，当x＝－a时，有下列结论：① 分式的值为0；② 分
式无意义；③ 若a≠－ ，则分式的值为0；④ 若a≠ ，则分式的值为
0.其中，正确的是 （填序号）.
③　
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13
三、 解答题（共46分）
10. （12分）当x取什么值时，下列分式有意义？
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
解：x≠0
解：x≠
解：x≠±1
解：x取全体实数
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11. （10分）已知分式 ，解答下面的问题：
（1）如果当x＝1时，分式的值为0，求2x＋y的值；
解：（1） 由题意，得 解得y＝－1.∴ 2x＋y＝2＋（－1）＝1
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13
（2）如果｜x－y＋4｜＋（x＋y－2）2＝0，求分式的值.
解：（2）∵｜x－y＋4｜＋（x＋y－2）2＝0，∴
解得 ∴ ＝ ＝－
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12. ★（10分）根据规划设计，某工程队准备修建一条长1 000 m的公
路.由于采取新的施工方式，实际每天修建公路的长度比原计划增加
20 m，从而缩短了工期.假设原计划每天修建公路a m.
（1）原计划修建这条公路需要多少天？实际修建这条公路用了多少
天？
解：（1） 原计划修建这条公路需要 天，实际修建这条公路用了
天
（2）实际修建这条公路的工期比原计划缩短了几天？
解：（2）实际修建这条公路的工期比原计划缩短了 天
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13. （14分）已知当x＝－2时，分式 无意义；当x＝1时，此分式
的值为0.
（1）求a、b的值；
解：（1）由题意，得 解得
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（2）★在（1）的条件下，当分式 的值为正整数时，求整数x
的值.
解：（2）当a＝2，b＝1时，分式 ＝ .∵ 分式 的值为正整
数，x是整数，∴ x＋1＝1或x＋1＝2或x＋1＝4，解得x＝0或x＝1或
x＝3
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13(共14张PPT)
15.1　分式及其基本性质
第2课时　分式的基本性质
第15章　分　式
一、 选择题（每题6分，共30分）
1. 下列各式从左到右的变形正确的是（　B　）
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
2. （教材变式）若分式 中的x和y都缩小到原来的一半，分式的
值不变，则A可能是（　A　）
A. 3x＋2y B. 3x＋3 C. 2xy D. 3
B
A
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3. 下列分式中，属于最简分式的为（　B　）
A. B. C. D.
B
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4. （教材变式）把 ， ， 通分的过程中，
不正确的是（　D　）
A. 最简公分母是（x－2）（x＋3）2
B. ＝
C. ＝
D. ＝
D
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5. ★整体思想 若a－b＝－5ab，则分式 的值为（　C　）
A. B. － C. － D.
C
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二、 填空题（每题6分，共24分）
6. 若 ＝ 成立，则a的取值范围是 　a≠ 　 .
7. 分式 与 的最简公分母是 　x（x－2）　 .
8. 琪琪在化简分式 时得到的结果为 ，则 ？ 部分的代数式
是 　（x－2）2　 .
9. 不改变分式 的值，若把其分子与分母中的各项系数都化成整
数，其结果为 　 　 .
a≠ 　
x（x－2）　
（x－2）2　
　
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12
三、 解答题（共46分）
10. （18分）（教材变式）约分：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
解：
解：－
解：－
（4） ；
（5） ；
（6） .
解：
解：
解：
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11. （16分）（教材变式）通分：
（1） ， ；
解：最简公分母：（3－x）2（3＋x）， ＝ ＝
＝ ， ＝ ＝
＝
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（2） ， ；
解：最简公分母：2（a＋3）（1－a）， ＝
＝ ＝ ， ＝
＝ ＝
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（3） ， ， ；
解：最简公分母：10a2b2c2， ＝ ， ＝ ，
＝－
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12
（4） ， ， .
解：最简公分母：（x＋1）（x－1）2（x－2）， ＝
， ＝ ，
＝
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3
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12
12. ★（12分）新考法 新定义题 如果一个分式的分子或分母可以因式
分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”.
（1）有下列分式：① ；② ；③ ；④ .其中，
是“和谐分式”的为 　②　 （填序号）.
②　
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12
（2）若a为正整数，且 为“和谐分式”，求a的值.
解：（2）∵ 为“和谐分式”，∴ x2＋ax＋4可以因式分解，
且分解的因式中不能含有x＋1.∵ a为正整数，∴ 可以使x2＋ax＋4因
式分解的a的值为4或5.当a＝4时， ＝ ，分式是
“和谐分式”；当a＝5时， ＝ ＝ ，分
式不是“和谐分式”.∴ a的值是4
1
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12
（3）有下列三个整式：m2－n2，m2＋2mn＋n2，m－n，任意选择两
个整式，分别作为分子、分母构造分式，要求构造的分式为“和谐分
式”，请直接写出所有的结果.
解：（3） 或
1
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3
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12(共12张PPT)
阶段检测（15.1～15.2）
第15章　分　式
一、 选择题（每题5分，共25分）
1. 要使下列分式有意义，则x的取值是全体实数的为（　D　）
A. B. C. D.
2. 下列分式化简正确的是（　B　）
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
D
B
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13
3. （天津中考）计算 ＋ 的结果等于（　A　）
A. B. C. D. 1
4. ★若A＝ ，B＝ ，则A÷B的值可能为（　D　）
A. 0 B. C. 1 D. 2
A
D
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13
5. ★对于M＝ ，N＝ ，嘉嘉和淇淇给出如下结论：嘉嘉：当x
＞0时，M－N＞0；淇淇：当x＝2时，M＝N. 下列说法正确的是
（　B　）
A. 嘉嘉对，淇淇错 B. 嘉嘉错，淇淇对
C. 嘉嘉、淇淇都对 D. 嘉嘉、淇淇都不对
B
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13
二、 填空题（每题6分，共24分）
6. 新考法 结论开放 请写出一个关于x的分式，无论x取何值，该分式
都有意义且当x＝1时，分式的值为2： 　答案不唯一，如 　.
7. 不改变分式的值，把分式 的分子、分母的最高次项的系数
都化为正数，则分式 ＝ 　－ 　.
答案不唯一，如 　
－ 　
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8. 新考法 新定义题 定义两种运算：a Δ b＝ ，a*b＝ ，则
m Δ n÷（m*n）＝ 　 　.
9. ★已知 ＋ ＝ ，则BA的值为 　－1　.
　
－1　
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三、 解答题（共51分）
10. （12分）计算：
（1）2 3÷4；
解：原式＝ ＝－
（2） ÷ .
解：原式＝ ÷ ＝ ÷ ＝ ÷ ＝ ＝－
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11. （12分）先化简 ÷ ，然后从－2＜x≤2的范围内
选取一个合适的整数x，求代数式的值.
解：原式＝ ÷ ＝ ＝ .∵ －
2＜x≤2的范围内的整数有－1、0、1、2，x－1≠0且x≠0且x＋
1≠0，∴ x可以取2.当x＝2时，原式＝ ＝4
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12. （13分）已知A＝ ÷ .
（1）化简A；
解：（1） A＝ ÷ ＝ ÷ ＝
＝
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（2）若x的值刚好使分式 的值为0，求A的值.
解：（2）∵ 分式 的值为0，∴ ｜x｜－3＝0且x－3≠0.∴ x＝
－3.当x＝－3时，原式＝ ＝－
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13. （14分）已知分式A＝ ÷ .
（1）化简此分式；
解：（1） A＝ ÷ ＝ ÷ ＝
＝
（2）若x是整数，A的值也是整数，求出符合条件的x的值；
解：（2）∵ x是整数，A的值也是整数，x≠±1，x≠0，∴ x＝2
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（3）★分式B＝ ，当x＜－1时，比较分式A和B的大小关系.
解：（3）A－B＝ － ＝ ＝ .∵ x＜－1，∴ ＜0.
∴ A＜B
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13(共12张PPT)
15.2　分式的运算
第1课时　分式的乘除
第15章　分　式
一、 选择题（每题5分，共25分）
1. （教材变式）计算 的结果是（　C　）
A. 6xyz B. －
C. －6xyz D. 6x2yz
2. （教材变式）化简2的结果是（　C　）
A. B. － C. D. －
C
C
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3. 若分式 ÷ 可进行约分化简，则整式P不可以是（　B　）
A. x－2 B. x C. x（x－2） D. x2－4
4. 整体思想 已知n－m＝2，则代数式 的值是（　A　）
A. －4 B. 2 C. －2 D. 4
B
A
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5. 有下列计算：① ＝ ；②8a2b2 ＝－6a3；③
÷ ＝ ；④a÷b ＝a；⑤ ÷（a2b2）＝ .其
中，结果正确的有（　D　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
D
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二、 填空题（每题5分，共25分）
6. 化简2 的结果是 　 　.
7. 当a＝100时，代数式（a－2）÷ 的值为 　102　.
8. 已知分式 乘以一个分式A后的结果为－ ，则这个分式
A为 　－ 　.
　
102　
－ 　
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9. 若分式 ÷ 的值是整数，则整数m的值为 　2　.
10. 在公式c＝ 中，r＝ ，设e、R、r不变，n增至为n1，且n1
＝2n，此时c的值为c1，则 ＝ 　 　.
2　
　
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三、 解答题（共50分）
11. （20分）计算：
（1）3x2y ÷ ；
解：原式＝ ＝－
（2） 3 2÷4；
解：原式＝－ ÷ ＝－ ＝－
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（3） ÷ ；
解：原式＝ ＝
（4） ÷（x＋y）÷ .
解：原式＝ ＝
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12. ★（15分）佳琪在做作业时发现一道题有一部分被墨滴遮住了，如
图所示.
（1）佳琪猜测，被墨滴遮住的内容是“2a”，请你根据佳琪的猜测完
成计算；
解：（1） 原式＝ ÷ ＝ ÷ ＝ × ＝
第12题
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（2）第二天，佳琪的同桌告诉她，这道题被墨滴遮住的是一个二次二
项式，并且这道题的标准答案是 ，请你通过计算说明被墨滴遮住的
内容是什么.
解：（2）根据题意，得 ÷ ＝ ＝ ＝ ，故被墨滴遮住的内容是2a2－2a
第12题
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13. ★（15分）把同样多的花种撒播在甲、乙两块土地上（如图①②），求甲、乙两块土地的撒播密度的比.若a＝ b，则哪一块土地的撒播密度大？（说明：甲块土地花种撒播部分是指边长为a的正方形内去掉一个边长为b的正方形蓄水池后余下的部分，撒播密度＝ ）
第13题
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13
解：设花种数量为m.根据题意，得甲块土地的撒播密度是 ，乙块
土地的撒播密度是 ＝ .∴ 甲、乙两块土地的撒播密
度的比为 ∶ ＝ .当a＝ b时， ＝
＝1.∴ 若a＝ b，则甲、乙两块土地的撒播密度一样大
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13(共10张PPT)
15.4　零指数幂与负整数指数幂
第1课时　零指数幂与负整数指数幂
第15章　分　式
一、 选择题（每题5分，共25分）
1. （教材变式）下列结果正确的是（　C　）
A. （－3）－2＝－ B. 9×50＝0
C. π0＝1 D. 2－3＝－
C
2. （教材变式）若a＝－3－2，b＝－2，c＝0，则a、b、c
的大小关系为（　B　）
A. a＜b＜c B. a＜c＜b
C. b＜a＜c D. c＜a＜b
B
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3. （教材变式）若（x－3）0－2（3x－6）－2有意义，则x的取值范围
是（　D　）
A. x＞3 B. x＜2
C. x≠3或x≠2 D. x≠3且x≠2
D
4. 下列等式中，成立的是（　B　）
A. x2 x－3＝x B. x3÷x6＝x－3（x≠0）
C. （x－3）2＝x－5 D. －2＝
B
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5. 有下列算式：① 10－3＝0.001；② 0.000 10＝0.000 1；③ 3a－2＝
；④ （－x）3÷（－x）5＝x－2.其中，计算正确的有（　B　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
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二、 填空题（每题5分，共25分）
6. 计算：－3－（π－3.14）0－｜－9｜＝ 　－2　.
7. 若m、n满足｜m－2｜＋（n－2 026）2＝0，则m－2＋n0＝ 　 　.
8. 小琳做了如下四道题：① x3 x－4＝x；② ［（y－x）－m］－n＝（x－y）mn；③ x－3÷x－3＝1；④ （－π）0＝1.其中，她做错的是 　 ①
（填序号）.
－2　
　
①②
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9. 已知a＝－（2 027＋π）0，b＝（－10）－1，c＝2，d＝－3，则以上四个数的结果中，最大值和最小值的差为 　9　.
10. 新考法 新定义题 定义一种新运算： nxn－1dx＝an－bn，例如
2xdx＝k2－m2，则 －x－2dx＝ 　－ 　.
9　
－ 　
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三、 解答题（共50分）
11. （10分）计算：
（1）（－2）－1＋16÷（－2）－3＋（π－2）0×－1；
解：原式＝－ ＋16÷ ＋1×（－3）＝－ －128－3＝－131
（2）（π－3.14）0－－2×（－1）2 026＋（－2）3.
解：原式＝1－4×1－8＝1－4－8＝－11
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12. （12分）（教材变式）计算下列各式（结果化为只含有正整数指数
幂的形式）：
（1）（a2b－3）－2 （a－2b3）2；
解：原式＝a－4b6 a－4b6＝a－8b12＝
（2） 3 （2a2b－1c－1）3；
解：原式＝ c6a－3b－9 8a6b－3c－3＝ a3b－12c3＝
（3）a－3b2 （a2b－2）－4÷（a－2b－1）2.
解：原式＝a－3b2 a－8b8÷a－4b－2＝a－11b10÷a－4b－2＝a－7b12＝
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13. （14分）（教材变式）已知x＋x－1＝3，求下列式子的值：
（1）x2＋x－2；
解：∵ x＋x－1＝3，∴ （x＋x－1）2＝x2＋2＋x－2＝9，解得x2＋x－2
＝7
（2） x4＋x－4；
解：∵ （x2＋x－2）2＝x4＋2＋x－4＝49，∴ x4＋x－4＝47
（3） x－x－1.
解：∵ （x－x－1）2＝x2－2＋x－2＝7－2＝5，∴ x－x－1＝±
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14. ★（14分）新考法 阅读理解 阅读材料并解决问题：
①1的任何次幂都为1；② －1的偶数次幂也为1；③ －1的奇数次幂为－
1；④ 任何不等于零的数的零次幂都为1.
请问当x为何值时，代数式（2x＋3）x＋1 110的值为1？
解：① 当2x＋3＝1，即x＝－1时，代数式（2x＋3）x＋1 110＝11 109＝
1；② 当2x＋3＝－1，即x＝－2时，代数式（2x＋3）x＋1 110＝（－1）
1 108＝1；③ 当x＋1 110＝0，即x＝－1 110时，2x＋3＝－2 217≠0.
∴ 代数式（2x＋3）x＋1 110＝（－2 217）0＝1.∴ 当x为－1、－2、－
1 110时，代数式（2x＋3）x＋1 110的值为1
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14(共12张PPT)
15.3　可化为一元一次方程的分式方程
第1课时　分式方程及其解法
第15章　分　式
一、 选择题（每题6分，共24分）
1. 有下列方程：①2x＋ ＝10；②3－ ＝2；③ －3＝0；④
＋ ＝0.其中，属于分式方程的有（　B　）
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②④
B
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2. （教材变式）（湖南中考）将分式方程 ＝ 去分母后得到的整式
方程为（　A　）
A. x＋1＝2x B. x＋2＝1
C. 1＝2x D. x＝2（x＋1）
3. 若关于x的分式方程 ＝ 的解为x＝3，则m的值为（　D　）
A. －3 B. －9 C. 3 D. 9
A
D
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4. ★（教材变式）若关于x的分式方程 － ＝1的解为正数，则m
的取值范围是（　C　）
A. m＞－3 B. m≠1
C. m＞－3且m≠－2 D. m＞－3且m≠1
C
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二、 填空题（每题7分，共28分）
5. （北京中考）方程 ＋ ＝0的解为 　x＝－1　.
6. 当a＝ 　－3　时，关于x的分式方程 － ＝1与 ＝3的解
相同.
7. ★（教材变式）如果关于x的分式方程 ＋ ＝1有增根，那么m
的值是 　3　.
x＝－1　
－3　
3　
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8. ★新考法 新定义题 定义一种新运算“*”：a*b＝ ，如：2*3
＝ ，有下列结论：① a*a＝ ；② 5*x＝2的解是x＝3；③ 4*（－x）
＝3*6的解是x＝－4；④ 若（x＋1）*（x－1）＝0，则x＝1.其中，错
误的结论是 　①②④　（填序号）.
①②④　
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三、 解答题（共48分）
9. （16分）解方程：
（1）（福建中考） ＋1＝ ；
解：方程两边同乘以（x＋2）（x－2），得3（x－2）＋（x＋2）
（x－2）＝x（x＋2），解得x＝10.经检验，x＝10是原方程的解
（2） － ＝ ；
解：方程两边同乘以（x＋1）（x－1），得2（x＋1）－3（x－1）
＝x＋3，解得x＝1.经检验，x＝1是原方程的增根.∴ 原方程无解
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（3）（陕西中考） －1＝ ；
解：方程两边同乘以x（x＋5），得2x2－x（x＋5）＝（x＋5）2，
解得x＝－ .经检验，x＝－ 是原方程的解
（4） －1＝ .
解：方程两边同乘以（x＋2）（x－1），得x（x＋2）－（x＋2）
（x－1）＝3，解得x＝1.经检验，x＝1是原方程的增根.∴ 原方程无解
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10. ★（16分）新考法 过程性学习 王涵解分式方程时，由于印刷问
题，有一个数“？”看不清楚： ＝2－ .
（1）她把这个数“？”猜成－2，请你帮王涵解这个分式方程；
解：（1） 由题意，得 ＝2－ .去分母，得x＝2（x－3）＋2，解
得x＝4.经检验，x＝4是原方程的解
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（2）王涵的妈妈说：“我看到标准答案为x＝3是方程的增根，原分式
方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少.
解：（2）设原分式方程中“？”代表的数为m.方程两边同乘以（x－
3），得x＝2（x－3）－m.∵ x＝3是原分式方程的增根，∴ 把x＝3代
入x＝2（x－3）－m，解得m＝－3.∴ 原分式方程中“？”代表的数
是－3
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11. ★（16分）已知关于x的分式方程 － ＝1.
（1）若分式方程的根是x＝5，求a的值；
解：（1） 把x＝5代入 － ＝1，得 － ＝1，解得a＝－1
（2）若分式方程有增根，求a的值；
解：（2）方程两边同乘以x（x－2），得x（x－a）－5（x－2）＝
x（x－2），整理，得（a＋3）x＝10.∵ 分式方程有增根，∴ x（x－
2）＝0.∴ x＝0或x＝2.把x＝0代入（a＋3）x＝10，a的值不存在；
把x＝2代入（a＋3）x＝10，解得a＝2.综上所述，a的值为2
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（3）若分式方程无解，求a的值.
解：（3）由（2），知（a＋3）x＝10.当a＋3＝0时，方程无解，即a
＝－3；当a＋3≠0时，要使方程无解，则分式方程有增根，由（2），
知a＝2.综上所述，a的值为－3或2
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