资源简介 (共12张PPT)小专题（七） 平行四边形的证明与计算第17章 平行四边形类型一 利用平行四边形性质与判定的证明与计算1. 如图，在 ABCD中，点E、F分别在BA、DC的延长线上，且BE＝DF. 连结AF，交BC于点H，连结EC.（1）求证：四边形EAFC是平行四边形；解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD，AB∥CD. ∴ AE∥CF. ∵ BE＝DF，∴ BE－AB＝DF－CD，即AE＝CF. ∴ 四边形EAFC是平行四边形第1题12345（2）若∠F＝∠D＝70°，求∠CHF的度数.解：（2）∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC. ∴ ∠CHF＝∠DAF. ∵ ∠D＝∠F＝70°，∴ ∠DAF＝180°－∠D－∠F＝180°－70°－70°＝40°.∴ ∠CHF＝40°第1题123452. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，E为边AD上一点，且AB＝AE，连结BE，过点A作AF⊥BE，垂足为F，延长AF，交DC的延长线于点G.（1）求证：BE平分∠ABC；解：（1） ∵ AB∥CD，AD∥BC，∴ 四边形ABCD是平行四边形，∠AEB＝∠CBE. ∵ AB＝AE，∴ ∠ABE＝∠AEB. ∴ ∠ABE＝∠CBE.∴ BE平分∠ABC第2题12345（2）★若DE＝2，求CG的长.解：（2）∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD. ∵ AB∥CD，∴ ∠BAG＝∠G. ∵ AB＝AE，AF⊥BE，∴ ∠BAG＝∠EAG. ∴ ∠EAG＝∠G. ∴ DG＝AD. ∵ DE＝AD－AE＝2，AB＝AE＝CD，∴ CG＝DG－CD＝2123453. 如图，在 ABCD中，BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC.（1）求证：四边形BEDG是平行四边形.解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC. ∴ ∠DAC＝∠BCA.∵ BE、DG分别平分∠ABC、∠ADC，∴ ∠ADG＝ ∠ADC，∠CBE＝ ∠ABC. ∴ ∠ADG＝∠CBE. ∴ △ADG≌△CBE.∴ ∠AGD＝∠CEB，DG＝BE. ∴ 180°－∠AGD＝180°－∠CEB. ∴ ∠DGE＝∠BEG. ∴ BE∥DG. ∵ BE＝DG，∴ 四边形BEDG是平行四边形12345（2）★过点E作EF⊥AB，垂足为F. 若 ABCD的周长为28，EF＝5，求S△ABC.解：（2）如图，过点E作EH⊥BC于点H.∵ ABCD的周长为28，∴ AB＋BC＝ ×28＝14.∵ BE平分∠ABC，EF⊥AB，EH⊥BC，∴ EH＝EF＝5.∴ S△ABC＝ AB EF＋ BC EH＝ EF （AB＋AC）＝ ×5×14＝3512345类型二 与折叠相关的证明与计算4. ★如图，在 ABCD中，AB＝AC，点E、F分别在AD、BC上，沿EF折叠平行四边形，使点A、C互相重合，点B落在点G的位置.（1）连结GF、CE，求证：△CED≌△CFG；解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，∠B＝∠D. 由折叠的性质，得AB＝CG，∠B＝∠G，∠BAD＝∠GCE.∴ ∠BCD＝∠GCE，CD＝CG，∠D＝∠G.∵ ∠ECD＋∠BCE＝∠BCD，∠BCE＋∠FCG＝∠GCE，∴ ∠ECD＝∠FCG. ∴ △CED≌△CFG第4题12345（2）若∠BCD＝130°，求∠AEF的度数.解：（2）∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC.∵ ∠BCD＝130°，∴ ∠B＝50°.∵ AB＝AC，∴ ∠ACB＝∠B＝50°.∵ AD∥BC，∴ ∠DAC＝∠ACB＝50°.∵ EF为折痕，点A与点C重合，∴ AC⊥EF. ∴ ∠AOE＝90°.∴ ∠AEF＝180°－∠DAC－∠AOE＝40°12345类型三 与动点相关的证明与计算5. ★★如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝21.动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点P、Q分别从点D、C同时出发，当点P运动到点A时，点Q随之停止运动.设运动的时间为t秒.（1）当t＝2时，求△BPQ的面积；12345解：（1） 如图，过点P作PM⊥BC于点M. 根据题意得，QB＝16－t，AP＝21－2t.∵ ∠C＝90°，∴ DC⊥BC. 又∵ AD∥BC，∴ 易得PM＝DC＝12.∵ QB＝16－t，∴ △BPQ的面积＝ QB PM＝ （16－t）×12＝96－6t .把t＝2代入，得△BPQ的面积＝96－6×2＝8412345（2）若四边形ABQP是平行四边形，求t的值.解：（2）∵ 四边形ABQP是平行四边形，∴ AP＝BQ，即21－2t＝16－t，解得t＝5.∴ 当四边形ABQP是平行四边形时，t的值是512345(共13张PPT)17.2 平行四边形的判定第3课时 平行四边形性质与判定的综合应用第17章 平行四边形一、 选择题（每题6分，共24分）1. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC、BD相交于点O. 若AC＝8 cm，则线段AO的长为（ B ）A. 2 cm B. 4 cm C. 3 cm D. 5 cm第1题B12345678910112. 在四边形ABCD中，∠A＝30°，∠B＝150°，∠C＝30°，AB＝2，则CD的长为（ C ）A. 1 B. C. 2 D.3. 在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∠A＝55°，则∠C的度数为（ C ）A. 55° B. 35°C. 55°或125° D. 35°或145°CC12345678910114. （教材变式）如图，在 ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，G、H是对角线BD上的两点，且BG＝DH. 有下列结论：①GF⊥BD；② ∠DEH＝∠BFG；③ 四边形EGFH是平行四边形；④EG＝ BD. 其中，正确的是（ B ）A. ①② B. ②③ C. ①②③ D. ②③④第4题B1234567891011二、 填空题（每题7分，共28分）5. 在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∠A＝50°，则∠B＝ 130° .6. 如图，在 ABCD中，过对角线AC上一点P作EG∥AB、FH∥BC，图中面积分别相等的平行四边形共有 3 对.第6题130° 3 12345678910117. 如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，且∠BAD、∠ADC的平分线AE、DF分别交BC于点E、F. 若EF＝1，AB＝4，则AD的长为 7 .第7题7 12345678910118. ★如图，在 ABCD中，E是BD的中点，MN经过点E，分别与AD、BC相交于点M、N，连结BM、CM、DN. 有下列四个结论：①AM＝CN；② BM＝BC；③ A、C、E三点共线；④ 若MD＝2AM，则S△MNC＝S△BNE. 其中，正确的有 ①③④ （填序号）.第8题①③④ 1234567891011三、 解答题（共48分）9. （14分）（浙江中考）尺规作图问题：如图①，点E在 ABCD边AD上（不与点A、D重合），连结CE. 用尺规作AF∥CE，F是边BC上一点.小明：“如图②，以点C为圆心、AE长为半径作弧，交BC于点F，连结AF，则AF∥CE. ”小丽：“以点A为圆心、CE长为半径作弧，交BC于点F，连结AF，则AF∥CE. ”小明：“小丽，你的作法有问题.”小丽：“哦……我明白了！”1234567891011（1）根据小明的作法，求证：AF∥CE；解：（1）根据小明的作法，知CF＝AE.∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC. 又∵ CF＝AE，∴ 四边形AFCE是平行四边形.∴ AF∥CE（2）指出小丽作法中存在的问题.解：（2）以点A为圆心、CE长为半径画弧，交BC于点F，此时可能会有两个交点，只有其中之一符合题意.故小丽的作法有问题123456789101110. （16分）如图，将 ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕l交CD边于点E，连结BE.（1）求证：四边形BCED′是平行四边形；第10题解：（1）∵ 将 ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，∴ ∠DAE＝∠D′AE，∠DEA＝∠D′EA，∠D＝∠AD′E. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ CD∥AB，即DE∥AD′.∴ ∠DEA＝∠EAD′.∴ ∠DAE＝∠D′AE＝∠DEA＝∠D′EA. ∴ AD∥D′E. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥DC，BC∥AD. ∴ D′E∥BC. 又∵AB∥CD，即CE∥BD′，∴ 四边形BCED′是平行四边形1234567891011（2）若BE平分∠ABC，求证：AB2＝AE2＋BE2.解：（2）∵ BE平分∠ABC，∴ ∠CBE＝∠EBA. ∵ AD∥BC，∴ ∠DAB＋∠ABC＝180°.∵ ∠DAE＝∠BAE，∴ ∠EAB＋∠EBA＝ （∠DAB＋∠CBA）＝90°.∴ ∠AEB＝90°.∴ AB2＝AE2＋BE2第10题123456789101111. （18分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，延长DC到点E，使CE＝CD. 过点E作EF∥AD交AC的延长线于点F，连结AE、DF.（1） 求证：四边形ADFE是平行四边形；解：（1） ∵ EF∥AD，∴ ∠FEC＝∠ADC.又∵ CE＝CD，∠FCE＝∠ACD，∴ △FCE≌△ACD. ∴ EF＝DA.又∵ EF∥AD，∴ 四边形ADFE是平行四边形第11题1234567891011（2） 过点E作EG⊥DF于点G，若BD＝2，AE＝6，求EG的长.解：（2） 由（1），可知四边形ADFE是平行四边形，∴ DF＝AE＝6.∵ AB＝AC，AD⊥BC，∴ ∠ADC＝90°，CD＝BD＝2.由（1），得△FCE≌△ACD，∴ CE＝CD，即CE＝CD＝BD＝2.∴ DE＝2CD＝4.∵ EF∥AD，∴ ∠DEF＝∠ADC＝90°.∴ 在Rt△DEF中，由勾股定理，得EF＝ ＝ ＝ .∵ EG⊥DF，∴ S△DEF＝ DF EG＝ DE EF. ∴ EG＝ ＝ ＝ ，即EG的长为1234567891011(共13张PPT)第17章小测第17章 平行四边形一、 选择题（每题7分，共28分）1. （贵州中考）如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，则下列结论一定正确的是（ B ）A. AB＝BC B. AD＝BCC. OA＝OB D. AC⊥BD第1题B123456789102. （乐山中考）如图，下列条件不能判定四边形ABCD为平行四边形的是（ D ）A. AB∥DC，AD∥BC B. AB＝DC，AD＝BCC. AO＝CO，BO＝DO D. AB∥DC，AD＝BC第2题D123456789103. 如图，在△ABC中，AC＝BC，DE为△ABC的中位线，连结CD.若∠B＝68°，则∠EDC的度数为（ B ）A. 20° B. 22° C. 32° D. 34°第3题B123456789104. ★（教材变式）如图，AC是 ABCD的对角线，过点B作BG⊥AC交AD于点G，垂足为E，过点D作DH⊥AC交BC于点H，垂足为F，连结GH、EH. 有下列结论：① BE＝DF；② 四边形GBHD是平行四边形；③ ∠GAC＝∠DHC；④ GH平分 ABCD的周长；⑤ S△ABE＝S△EHC. 其中，正确的个数是（ C ）A. 2 B. 3 C. 4 D. 5第4题C12345678910二、 填空题（每题7分，共21分）5. 新考法 条件开放 如图，在四边形ABCD中，E是边CD的中点，连结AE并延长，交BC的延长线于点F，BC＝CF. 添加一个条件： AE＝EF（答案不唯一） ，可使四边形ABCD是平行四边形（写出一个即可）.第5题AE＝EF（答案不唯一） 123456789106. 新考法 条件开放 如图，在正六边形ABCDEF中，M、N是对角线BE上的两点.添加下列条件中的一个：① BM＝EN；② ∠FAN＝∠CDM；③ AM＝DN；④ ∠AMB＝∠DNE. 其中，能使四边形AMDN是平行四边形的是 ①②④ （填上所有符合要求的条件的序号）.第6题①②④ 123456789107. ★分类讨论思想 如图，在等边三角形ABC中，BC＝6 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动.如果点E、F同时出发，设运动的时间为t s，当t＝ 2或6 时，以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形.第7题2或6 12345678910三、 解答题（共51分）8. （15分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，EC⊥DC，且∠CDE＝∠B，求证：四边形ADEC是平行四边形.第8题解：∵ AB＝AC，D是BC的中点，∴ AD⊥BC.又∵ EC⊥DC，∴ AD∥EC. ∵ AB＝AC，∴ ∠DCA＝∠B. 又∵ ∠CDE＝∠B，∴ ∠CDE＝∠DCA. ∴ ED∥AC. ∴ 四边形ADEC是平行四边形123456789109. （18分）（教材变式）如图，在△ABC中，D、E分别是CB、AB的中点，连结DE，F是AE的中点，连结CF并延长交DE的延长线于点G，连结AG.（1）求证：四边形CAGE是平行四边形；解：（1） ∵ D、E分别是CB、AB的中点，∴ DE是△ACB的中位线.∴ DE∥AC，即EG∥AC. ∴ ∠ACF＝∠EGF. ∵ F是AE的中点，∴ AF＝EF. ∵ ∠AFC＝∠EFG，∴ △AFC≌△EFG. ∴ AC＝EG. ∴ 四边形CAGE是平行四边形第9题12345678910（2）若CD⊥DG，DE＝1，CD＝2，求CG的长.解：（2）∵ DE是△ACB的中位线，DE＝1，∴ AC＝2DE＝2.∵ 四边形CAGE是平行四边形，∴ EG＝AC＝2.∴ DG＝3.∵ CD⊥DG，CD＝2，∴ CG＝ ＝ ＝1234567891010. ★（18分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边BC上，连结DE，DE＝AD，点F在DE上，连结AF，AF＝CD，且∠AFE＝∠ADC.（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；解：（1） ∵ ∠AFE＝∠ADC，∠AFE＝∠FAD＋∠ADF，∠ADC＝∠ADF＋∠EDC，∴ ∠DAF＝∠EDC.∵ AD＝DE，AF＝CD，∴ △ADF≌△DEC. ∴ ∠ADF＝∠DEC. ∴ AD∥BC. ∵ AB∥CD，∴ 四边形ABCD是平行四边形第10题12345678910（2）连结AE，若BE＝CE，在不添加任何辅助线及字母的情况下，请直接写出图中面积等于△ADE面积一半的所有三角形.解：（2）△ABE，△DCE，△AEF，△ADF12345678910(共14张PPT)17.2 平行四边形的判定第2课时 平行四边形的判定定理3第17章 平行四边形一、 选择题（每题6分，共24分）1. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列条件中，能判定这个四边形是平行四边形的是（ C ）A. OA＝2，OB＝2，OC＝2.5，OD＝1.5B. OA＝2，OB＝2，OC＝2.5，OD＝2.5C. OA＝2，OB＝1.5，OC＝2，OD＝1.5D. OA＝1.5，OB＝2，OC＝2.5，OD＝2第1题C12345678910112. 在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA＝OC，添加下列条件：① OB＝OD；② AD＝BC；③ AD∥BC；④ ∠BAD＝∠BCD. 其中，能判定四边形ABCD是平行四边形的个数为（ C ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1C12345678910113. 如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ D ）A. BE＝DF B. ∠BAE＝∠DCFC. AF∥CE D. AE＝CF第3题D12345678910114. 在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，给出下列四个条件：① AD∥BC；② AD＝BC；③ OA＝OC；④ OB＝OD. 从中任选两个条件，能使四边形ABCD为平行四边形的情况有（ C ）A. 2种 B. 3种 C. 4种 D. 5种C1234567891011二、 填空题（每题7分，共28分）5. 如图，木匠通常取两条木棒各自的中点，将它们重合、进行加固，则得到的四边形（虚线部分）是 平行四边形 ，判断的依据是 对角线互相平分的四边形是平行四边形 .第5题平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 12345678910116. 如图，在四边形ABCD中，AD＝12，对角线AC、BD交于点O，∠ADB＝90°，OD＝OB＝5，AC＝26，则四边形ABCD的面积为 120 .第6题120 12345678910117. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是DC上一点，连结BE并延长，交AD的延长线于点F，请你添加一个条件： 答案不唯一，如BD∥FC ，使得四边形BDFC为平行四边形（写出一个即可）.第7题答案不唯一，如BD∥FC 12345678910118. ★（教材变式）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BD＝12 cm，AC＝6 cm，点E在线段BO上从点B出发，以1 cm/s的速度运动，点F在线段OD上从点O出发，以2 cm/s的速度运动.若点E、F同时运动，设运动的时间为t s，则当t＝ 2 时，四边形AECF是平行四边形.第8题2 1234567891011三、 解答题（共48分）9. （14分）如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠ABD＝∠CDB，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，且BE＝DF.求证：四边形ABCD是平行四边形.第9题1234567891011解：∵ ∠ABD＝∠CDB，∴ AB∥CD. ∴ ∠EAB＝∠FCD.∵ BE⊥AC，DF⊥AC，∴ ∠AEB＝∠CFD＝90°.在△AEB和△CFD中， ∴ △AEB≌△CFD. ∴ AB＝CD.又∵ AB∥CD，∴ 四边形ABCD是平行四边形123456789101110. （16分）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，且O为AC的中点，AE＝CF，DF∥BE，求证：四边形ABCD是平行四边形.第10题解：∵ O为AC的中点，∴ OA＝OC. ∵ AE＝CF，∴ OA＋AE＝OC＋CF，即OE＝OF. ∵ DF∥BE，∴ ∠E＝∠F. 在△BOE和△DOF中，∴ △BOE≌△DOF. ∴ OB＝OD. 又∵ OA＝OC，∴ 四边形ABCD是平行四边形123456789101111. ★（18分）（教材变式）如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD，E、F分别是对角线AC上的两点，且AE＝CF，连结BE、DF.（1）求证：BE＝DF；解：（1）∵ AB＝CD，BC＝AD，∴ 四边形ABCD是平行四边形.∴ AB∥CD. ∴ ∠BAE＝∠DCF. 又∵ AB＝CD，AE＝CF，∴ △ABE≌△CDF. ∴ BE＝DF1234567891011（2）连结BF、DE，判断四边形BFDE的形状.解：（2） 如图，连结BD，与AC交于点O. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AO＝CO，BO＝DO. 又∵ AE＝CF，∴ AO－AE＝CO－CF，即EO＝FO. ∴ 四边形BFDE是平行四边形第11题答案1234567891011(共14张PPT)17.2 平行四边形的判定第1课时 平行四边形的判定定理1、2第17章 平行四边形一、 选择题（每题6分，共24分）1. 依据所标数据，下列图形一定为平行四边形的是（ C ）C12345678910112. 如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD. 若∠D＝120°，则∠C的度数为（ A ）A. 60° B. 70° C. 80° D. 90°第2题A12345678910113. 如图，E是 ABCD边AD延长线上的一点，连结BE、CE、BD，BE交CD于点F. 添加下列条件，不能判定四边形BCED是平行四边形的为（ D ）A. BD∥CE B. DE＝BCC. ∠AEC＝∠CBD D. ∠AEB＝∠BCD第3题D12345678910114. （安徽中考）在如图所示的 ABCD中，E、G分别为边AD、BC的中点，点F、H分别在边AB、CD上移动（不与端点重合），且满足AF＝CH，则下列为定值的是（ C ）A. 四边形EFGH的周长 B. ∠EFG的大小C. 四边形EFGH的面积 D. 线段FH的长第4题C1234567891011二、 填空题（每题7分，共28分）5. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，添加下列条件中的一个：①AB∥CD；② AB＝CD；③ AD＝BC；④ ∠B＝∠C. 其中，能使四边形ABCD是平行四边形的是 ①③ （填序号）.第5题①③ 12345678910116. 如图，给出了四边形的部分数据，再添加一个条件：一条线段的长为9，可得此四边形是平行四边形，则这条线段是 ④ （填序号）.第6题④ 12345678910117. 如图，A是直线l外的一点，在直线l上取两点B、C，以点A为圆心、BC为半径画弧，以点C为圆心、AB为半径画弧，两弧交于点D，且点D与点A位于直线l的同侧，连结AB、AD、CD，则四边形ABCD是平行四边形，其依据是 两组对边分别相等的四边形是平行四 形 .第7题两组对边分别相等的四边形是平行四边形12345678910118. ★如图，在四边形ABCD中，AD＝BC且AD∥BC，AB＝8，AD＝5，AE平分∠DAB，交BC的延长线于点F，则CF＝ 3 .第8题3 1234567891011三、 解答题（共48分）9. （14分）如图，B是AC的中点，AE∥BD，BE∥CD. 请找出图中的平行四边形，并说明理由.第9题解：四边形ABDE、BCDE是平行四边形 理由：∵ B是AC的中点，∴ AB＝BC. ∵ AE∥BD，BE∥CD，∴ ∠AEB＝∠EBD，∠CDB＝∠EBD，∠ABE＝∠BCD. ∴ ∠AEB＝∠BDC. ∴ △AEB≌△BDC. ∴ EB＝CD，AE＝BD. ∴ 四边形ABDE是平行四边形.∵ EB＝CD，BE∥CD，∴ 四边形BCDE是平行四边形.123456789101110. （16分）（湖南中考）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，点E在边AB上， ① .请从“① ∠B＝∠AED；② AE＝BE，AE＝CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下面的问题：（1）根据你选的条件，求证：四边形BCDE是平行四边形；解：（1） ∵ ∠B＝∠AED，∴ BC∥DE. ∵ AB∥CD，∴ 四边形BCDE是平行四边形第10题① 1234567891011（2）若AD⊥AB，AD＝8，BC＝10，求线段AE的长.解：（2）由（1）可知，四边形BCDE是平行四边形，∴ DE＝BC＝10.∵ AD⊥AB，∴ ∠A＝90°.∴ AE＝ ＝ ＝6，即线段AE的长为6（本题答案不唯一）第10题123456789101111. ★（18分）（教材变式）如图，△ABC是等边三角形，点D在边BC上，△ADF是以AD为边的等边三角形，过点F作BC的平行线，交线段AC于点E，连结BF. 求证：（1） △AFB≌△ADC；解：（1）∵ △ADF和△ABC都是等边三角形，∴ AF＝AD，AB＝AC，∠FAD＝∠BAC＝∠ABC＝∠C＝60°.又∵ ∠FAB＝∠FAD－∠BAD，∠DAC＝∠BAC－∠BAD，∴ ∠FAB＝∠DAC. 又∵ AF＝AD，AB＝AC，∴ △AFB≌△ADC第11题1234567891011（2）四边形BCEF是平行四边形.解：（2）∵ △AFB≌△ADC，∴ ∠ABF＝∠C＝60°.又∵ ∠BAC＝∠C＝60°，∴ ∠ABF＝∠BAC. ∴ FB∥AC. 又∵ BC∥EF，∴ 四边形BCEF是平行四边形第11题1234567891011(共14张PPT)17.2 平行四边形的判定第4课时 三角形中位线定理第17章 平行四边形一、 选择题（每题6分，共24分）1. （河南中考）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点均在网格线的交点上，D、E分别是边BA、CA与网格线的交点，连结DE，则DE的长为（ B ）A. B. 1 C. D.第1题B12345678910112. （广安中考）如图，在△ABC中，D、E分别是AC、BC的中点，若∠A＝45°，∠CED＝70°，则∠C的度数为（ D ）A. 45° B. 50° C. 60° D. 65°第2题D12345678910113. （山西中考）如图，在 ABCD中，O是对角线AC的中点，E是边AD的中点，连结OE. 下列两条线段的数量关系中，一定成立的是（ C ）A. OE＝ AD B. OE＝ BCC. OE＝ AB D. OE＝ AC第3题C12345678910114. ★如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，点D、E分别在边AB和BC上，且AD＝4，CE＝3，连结DE，M、N分别是AC、DE的中点，连结MN，则MN的长度为（ A ）A. B. C. 2 D.第4题A1234567891011二、 填空题（每题7分，共28分）5. （教材变式）如图，CD是△ABC的中线，E、F分别是AC、DC的中点，若EF＝1，则AB＝ 4 .第5题4 12345678910116. （教材变式）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，E、F分别是AB、CD的中点，且AD＝BC，∠A＝60°，∠ABC＝86°，则∠PEF的度数为 17° .第6题17° 12345678910117. 如图，在四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点.若EF⊥AD，AB＝5，AD＝3，则EF的长为 2 .第7题2 12345678910118. ★（教材变式）如图，在△ABC中，D是边BC的中点，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E. 若AB＝5，AC＝7，则ED＝ 1 .第8题1 1234567891011三、 解答题（共48分）9. （14分）如图，在锐角三角形ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，M、F是AC上的点，且∠A＝∠AFE，DM＝DA. 求证：四边形DMFE是平行四边形.第9题解：∵ DM＝DA，∴ ∠A＝∠DMA. ∵ ∠A＝∠AFE，∴ ∠DMA＝∠AFE. ∴ DM∥EF.∵ D、E分别是AB、BC的中点，∴ DE是△ABC的中位线.∴ DE∥AC，即DE∥MF. ∴ 四边形DMFE是平行四边形123456789101110. （16分）如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，点H在线段CE上，连结BH，G、F分别是BH、CH的中点.（1）求证：四边形DEFG是平行四边形；解：（1） ∵D、E分别是AB、AC的中点，G、F分别是BH、CH的中点，∴ DE是△ABC的中位线，GF是△HBC的中位线.∴ DE∥BC，DE＝ BC，GF∥BC，GF＝ BC.∴ DE∥GF，DE＝GF. ∴ 四边形DEFG是平行四边形第10题1234567891011（2）★若DG⊥BH，BD＝3，EF＝2，求线段BG的长.解：（2）∵ 四边形DEFG是平行四边形，∴ DG＝EF＝2.∵ DG⊥BH，∴ ∠DGB＝90°.∴ BG＝ ＝ ＝第10题123456789101111. ★（18分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E、F分别是BC、AC的中点，延长BA到点D，使AB＝2AD，连结DE、DF、AE、EF，AF与DE的交点为O.（1）判断AE与DF的数量关系，并说明理由；解：（1） AE＝DF 理由：∵ E、F分别是BC、AC的中点，∴ EF是△ABC的中位线.∴ EF∥AB，AB＝2EF. ∵ AB＝2AD，∴ EF∥AD，AD＝EF. ∴ 四边形AEFD是平行四边形.∴ AE＝DF.第11题1234567891011（2）若AB＝6，BC＝10，求OD的长.解：（2）∵ ∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，AB＝2AD，∴ AC＝ ＝ ＝8，AD＝ AB＝3.由（1），知四边形AEFD是平行四边形，F是AC的中点，∴ OA＝OF，AF＝CF. ∴ OA＝ AF＝ AC＝2.∵ ∠BAC＝90°，∴ ∠DAO＝90°.∴ OD＝ ＝ ＝1234567891011(共19张PPT)17.1 平行四边形的性质第2课时 平行四边形对角线的性质第17章 平行四边形一、 选择题（每题6分，共30分）1. （益阳中考）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，下列结论一定成立的是（ C ）A. OA＝OB B. OA⊥OBC. OA＝OC D. ∠OBA＝∠OBC第1题C1234567891011122. （湖北中考）如图， ABCD的对角线相交于原点O. 若点A的坐标为（－1，2），则点C的坐标为（ C ）A. （2，－1） B. （－2，1）C. （1，－2） D. （－1，－2）第2题C1234567891011123. 若 ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC＋BD＝16，CD＝6，则△ABO的周长为（ D ）A. 8 B. 10 C. 12 D. 14D1234567891011124. 如图，在 ABCD中，对角线AC、BD相交于点O. 若AO＝1.5 cm，△ABC的周长为8 cm，则 ABCD的周长为（ B ）A. 5 cm B. 10 cm C. 11 cm D. 16 cm第4题B1234567891011125. 如图，在 ABCD中（AB≠BC），直线EF经过其对角线的交点O，且分别交AD、BC于点M、N，分别交BA、DC的延长线于点E、F. 有下列结论：① AO＝BO；② OE＝OF；③ △EAM≌△FCN；④△EAO≌△DCO. 其中，正确的是（ B ）A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ①③第5题B123456789101112二、 填空题（每题6分，共24分）6. （教材变式）如图， ABCD的周长是30，AC、BD相交于点O，△OAB的周长比△OBC的周长长3，则AB的长为 9 .第6题9 1234567891011127. 如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠BAC＝90°，AC＝6，BD＝10，则CD的长为 4 .第7题4 1234567891011128. 如图，O是 ABCD的对角线的交点，E为CD的中点，AE交BD于点F. 若S△AOE＝3，则S△AOB＝ 6 .第8题6 1234567891011129. ★如图，EF过 ABCD的对角线AC、BD的交点O，交AD于点E，交BC于点F，有下列结论：① OE＝OF；② 若AB＝4，AC＝6，则2＜BD＜14；③ 图中共有4对全等三角形；④ S四边形ABFE＝S△ABC. 其中，正确的结论有 3 个.第9题3 123456789101112三、 解答题（共46分）10. （14分）（教材变式）如图， ABCD的对角线相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F. 求证：BE＝DF.第10题123456789101112解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AB＝CD.∴ ∠ABE＝∠CDF. ∵ AE⊥BD，CF⊥BD，∴ ∠AEB＝∠CFD＝90°.在△ABE和△CDF中， ∴ △ABE≌△CDF.∴ BE＝DF12345678910111211. （16分）如图，在 ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OE⊥AC，交BC于点E.（1） 若△ABE的周长为10 cm，求 ABCD的周长；解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD，AD＝BC，OA＝OC. ∵ OE⊥AC，∴ OE垂直平分AC. ∴ AE＝CE. ∵ △ABE的周长为10 cm，∴ AB＋BE＋AE＝10 cm.∴ AB＋BE＋CE＝10 cm，即AB＋BC＝10 cm.∴ ABCD的周长为AB＋BC＋CD＋DA＝2AB＋2BC＝2（AB＋BC）＝2×10＝20（cm）第11题123456789101112（2） 若∠ABC＝78°，AE平分∠BAC，求∠DAC的度数.解：（2） 根据（1），得AE＝CE，∴ ∠EAC＝∠ECA. ∵ AE平分∠BAC，∴ ∠BAE＝∠EAC＝∠ECA. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC.∴ ∠DAC＝∠ACB，∠BAD＋∠ABC＝180°.∴ ∠BAE＝∠EAC＝∠DAC，∠BAD＝180°－∠ABC＝102°.∵ ∠BAD＝∠BAE＋∠EAC＋∠DAC，∴ ∠BAD＝3∠DAC. ∴ ∠DAC＝34°第11题12345678910111212. ★（16分）如图①，在 ABCD中，AC、BD交于点O，过点O的直线交AD于点E，交BC于点F.（1）求证：四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等；123456789101112解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD，OA＝OC，AD∥BC. ∴ ∠OAE＝∠OCF. 在△OAE和△OCF中，∴ △OAE≌△OCF. ∴ AE＝CF. 同理可得△ODE≌△OBF，∴ DE＝BF. ∴ AB＋AE＋EF＋BF＝CD＋CF＋EF＋DE. ∴ 四边形AEFB与四边形DEFC的周长相等123456789101112（2）判断直线EF将 ABCD的面积分成几等份，并说明理由；解：（2）直线EF将 ABCD的面积分成2等份 理由：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD，OA＝OC，OB＝OD. 在△AOB和△COD中， ∴ △AOB≌△COD. ∴ S△AOB＝S△COD.123456789101112由（1）知，△OAE≌△OCF，△ODE≌△OBF. ∴ S△OAE＝S△OCF，S△ODE＝S△OBF. ∴ S△AOB＋S△OAE＋S△OBF＝S△COD＋S△OCF＋S△ODE，即直线EF将 ABCD的面积分成2等份.123456789101112（3）张大爷家有一个平行四边形菜园，园中有一口水井P，如图②，张大爷计划把菜园平均分成两块，分别种植西红柿和茄子，且使两块地共用这口水井，请你利用（2）中的结论帮助张大爷把菜园平均分.解：（3）如图，连结AC、BD交于点O，作直线OP，则直线OP两侧的四边形面积相等123456789101112(共13张PPT)17.1 平行四边形的性质第1课时 平行四边形边、角的性质第17章 平行四边形一、 选择题（每题6分，共30分）1. 平行四边形具有而一般四边形不具有的性质是（ D ）A. 内角和等于360° B. 外角和等于360°C. 不稳定性 D. 对边平行且相等2. （教材变式）在 ABCD中，∠B＋∠D＝80°，则∠A的度数为（ D ）A. 40° B. 80° C. 100° D. 140°DD1234567891011123. （教材变式）如图，在 ABCD中，BC＝3，CD＝2.以点C为圆心、适当长为半径画弧，交BC于点P，交CD于点Q，再分别以点P、Q为圆心、大于 PQ的长为半径画弧，两弧相交于点N，射线CN交BA的延长线于点E，则AE的长为（ B ）A. B. 1 C. D.第3题B1234567891011124. 如图，将 ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处.若∠1＝56°，∠2＝42°，则∠A的度数为（ C ）A. 108° B. 109° C. 110° D. 111°第4题C1234567891011125. 如图，四边形ABCD是平行四边形，点E、B、D、F在同一条直线上，添加一个条件使得△ABE≌△CDF，下列条件不正确的是（ A ）A. AE＝CF B. ∠AEB＝∠CFDC. ∠EAB＝∠FCD D. BE＝DF第5题A123456789101112二、 填空题（每题6分，共24分）6. （教材变式）在 ABCD中，若∠B＝3∠A，则∠C的度数为 45° .7. 如图，在 ABCD中，AC＝4 cm.若△ACD的周长为13 cm，则 ABCD的周长为 18 cm .第7题45° 18 cm 1234567891011128. （教材变式）如图，AB∥CD，AD∥BC，AD＝5，BE＝8，△DCE的面积为6，则四边形ABCD的面积为 20 .第8题20 1234567891011129. ★（广州中考）如图，在 ABCD中，BC＝2，点E在DA的延长线上，BE＝3，若BA平分∠EBC，则DE＝ 5 .第9题5 123456789101112三、 解答题（共46分）10. （14分）（南充中考）如图，在 ABCD中，点E、F在对角线AC上，∠CBE＝∠ADF. 求证：（1） AE＝CF；解：（1）∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC，AD＝BC. ∴ ∠DAF＝∠BCE. 在△ADF和△CBE中， ∴ △ADF≌△CBE. ∴ AF＝CE. ∴ AF－EF＝CE－EF. ∴ AE＝CF第10题123456789101112（2）BE∥DF.解：（2）∵ △ADF≌△CBE，∴ ∠AFD＝∠CEB. ∴ BE∥DF第10题12345678910111211. （15分）（教材变式）（宜宾中考）如图，E是 ABCD边CD的中点，连结AE并延长，交BC的延长线于点F，AD＝5.求证：△ADE≌△FCE，并求BF的长.第11题解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ BC∥AD，BC＝AD＝5.∴ ∠D＝∠FCE. ∵ E是CD的中点，∴ DE＝CE. 在△ADE和△FCE中， ∴△ADE≌△FCE. ∴ FC＝AD＝5.∴ BF＝BC＋FC＝5＋5＝1012345678910111212. ★（17分）如图，在 ABCD中，BD⊥AD，∠A＝45°，E、F分别是AB、CD上的点，且BE＝DF，连结EF交BD于点O.（1） 求证：BO＝DO；解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ DC∥AB. ∴ ∠OBE＝∠ODF. 在△OBE和△ODF中，∴ △OBE≌△ODF. ∴ BO＝DO123456789101112（2） 若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于点G，当FG＝1时，求AE的长.解：（2） ∵ EF⊥AB，∴ ∠GEA＝90°.∵ DC∥AB，∴ ∠GEA＝∠GFD＝90°.∵ ∠A＝45°，∴ ∠G＝90°－∠A＝45°.∴ ∠G＝∠A. ∴ AE＝GE. ∵ BD⊥AD，∴ ∠ADB＝∠GDO＝90°.∴ ∠GOD＝90°－∠G＝45°.∴ ∠G＝∠GOD. ∴ DG＝DO.又∵ ∠GFD＝90°，∴ DF⊥GO. ∴ OF＝FG＝1.根据（1），得△OBE≌△ODF. ∴ OE＝OF＝1.∴ GE＝OE＋OF＋FG＝3.∴ AE＝GE＝3123456789101112 展开更多...... 收起↑ 资源列表 小专题（七） 平行四边形的证明与计算.pptx 第17章小测.pptx 第1课时 平行四边形边、角的性质.pptx 第2课时 平行四边形对角线的性质.pptx 第1课时 平行四边形的判定定理1、2.pptx 第2课时 平行四边形的判定定理3.pptx 第3课时 平行四边形性质与判定的综合应用.pptx 第4课时 三角形中位线定理.pptx
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