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(共13张PPT)
小专题（七）　四边形中的剪拼与折叠问题
第二十一章　四 边 形
类型一　四边形的剪拼问题
1. 如图所示的两个图形都是由边长为1的小正方形拼成的，甲、乙两名
同学将它们分别沿着两条互相垂直的虚线（乙：M，N分别是小正方形
一边上的中点）剪开，准备拼一个与原来面积相等的正方形，则下列说
法正确的是（　A　）
A. 甲、乙都可以 B. 甲、乙都不可以
C. 甲不可以、乙可以 D. 甲可以、乙不可以
A
第1题
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2. 分类讨论思想 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝90°，BC＝1，将△ABC沿中位线DE剪开后，把得到的两部分拼成平行四边形，所
拼成的平行四边形的周长是 .
第2题
2＋或4
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3. 操作与计算：如图①②，四边形ABCD是菱形，AB＝6，∠A＝60°.
操作：请你设计两种裁剪方法，将菱形ABCD进行适当的分割，使得分
割后的各部分恰好拼成矩形.要求：① 在图中画出剪拼示意图；② 拼
图的各部分之间不能互相重叠，不能留有空隙；③ 拼成的矩形相同，
只能算一种.
计算：直接写出所拼出的矩形的长、宽.
第3题
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解：如答图①，矩形的长、宽分别为6，3 ；如答图②，矩形的长、
宽分别为6 ，3
第3题答案
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类型二　四边形的折叠问题
4. （河北中考）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A落在点A′
处，A′D交BC于点E. 将△CDE沿DE折叠，点C落在△BDE内的点
C′处，下列结论一定正确的是（　D　）
A. ∠1＝45°－α B. ∠1＝α
C. ∠2＝90°－α D. ∠2＝2α
D
第4题
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5. （河南中考）如图，在菱形ABCD中，∠B＝45°，AB＝6，点E在
边BC上，连接AE，将△ABE沿AE折叠，若点B落在BC延长线上的点
F处，则CF的长为（　D　）
A. 2 B. 6－3 C. 2 D. 6 －6
第5题
D
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6. （甘肃中考）如图，把平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点
B落在点B′处，B′C与AD相交于点E，此时△CDE恰为等边三角形.
若AB＝6 cm，则AD＝ cm.
第6题
12　
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7. （牡丹江中考改编）小明同学手中有一张矩形纸片ABCD，AD＝
12 cm，CD＝10 cm，他进行了如下操作：第一步，如图①，将矩形纸
片对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，将纸片展平.第二步，如图
②，再一次折叠纸片，把△ADN沿AN折叠得到△AD′N，AD′交折痕
MN于点E，则线段EN的长为 cm.
第7题
　
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8. （内江中考）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在
x轴上，点B的坐标为（1，0），点E在边CD上.将△ADE沿AE折叠，
点D落在点F处.若点F的坐标为（0，3），则点E的坐标为
.
第8题
（－1.5，
5）　
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9. 【问题情境】 在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的
折叠”为主题开展数学活动，请你解答各小组在活动中产生的问题.
如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝4 cm，AD＝8 cm，将矩形纸片进
行折叠.
【问题解决】
（1） 如图①，“团结智慧”小组将该矩形纸片沿对角线AC折叠，点B
的对应点为B′，则DE＝ cm，S△AEC＝ cm2.
3　
10　
第9题
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【实践探究】
（2） 如图②，“奇思妙想”小组将矩形纸片ABCD沿着EF（点E在
AD边上，点F在BC边上）所在的直线折叠，点B的对应点为D，点A
的对应点为A′，连接BE.
① 试判断四边形BEDF的形状，并说明理由；
第9题
解： （2）① 四边形BEDF为菱形　理由：由折叠的性质得，BE＝ED，BF＝DF，∠BFE＝∠EFD. ∵ 四边形ABCD为矩形，∴ AD∥BC.
∴ ∠DEF＝∠BFE. ∴ ∠DEF＝∠EFD. ∴ ED＝DF. ∴ BE＝ED＝
BF＝DF. ∴ 四边形BEDF为菱形.　
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② 求折痕EF的长.
解： （2）② 连接BD.
∵ 四边形ABCD为矩形，∴ ∠A＝90°.∴ BD＝ ＝ ＝4 （cm）.设AE＝m cm，则ED＝（8－m）cm.由折叠的性质得，A′E＝AE＝m cm，AB＝A′D＝4 cm，∠A′＝∠A＝90°，∴ 在Rt△A′DE中，由勾股定理，得m2＋42＝（8－m）2，解得m＝3.∴ AE＝3 cm，ED＝5 cm.∵ S菱形BEDF＝ ＝ED AB，∴ ＝5×4.
∴ EF＝2 cm
第9题
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9(共14张PPT)
21.6　菱　形
第1课时　菱形的概念及其性质
第二十一章　四 边 形
一、 选择题（每小题6分，共30分）
1. 在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列结论错误的是
（　C　）
A. AB＝AD B. AC⊥BD
C. AC＝BD D. ∠DAC＝∠BAC
C
2. 如图，在菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1的度数为（　D　）
A. 30° B. 25° C. 20° D. 15°
第2题
D
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3. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝6，BD＝
8，EF为过点O的一条直线，则图中涂色部分的面积为（　B　）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
第3题
B
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4. （教材变式）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点D在x
轴上，边BC在y轴上.若点A的坐标为（12，13），则点C的坐标为
（　B　）
A. （0，－8） B. （0，－5）
C. （－5，0） D. （0，－6）
第4题
B
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5. ★如图，木制活动衣帽架由3个全等的菱形构成，在点A，E，F，
C，G，H处安装上、下两排挂钩，可以根据需要改变挂钩间的距离，
并在点B，M处固定.已知菱形ABCD的边长为20 cm，要使两排挂钩的
距离（即点A，C之间的距离）为32 cm，则点B，M之间的距离为
（　C　）
A. 36 cm B. 60 cm C. 72 cm D. 96 cm
第5题
C
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二、 填空题（每小题6分，共24分）
6. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O. 若AB＝2
cm，AC＝4 cm，则BD的长为 cm.
第6题
8　
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7. 如图，两条笔直的公路l1，l2相交于点O，C村庄的村民分别在两条
公路的旁边各建一个加工厂B，D. 已知四边形OBCD是菱形，C村庄
到公路l1的距离为4 km，则C村庄到公路l2的距离是 km.
第7题
4　
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8. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，CH⊥AB，垂
足为H，连接OH. 若OH＝3，∠ADC＝60°，则CH的长为 .
第8题
3 　
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9. ★（绥化中考）如图，在菱形ABCD中，AB＝4，对角线BD＝4 ，P是边CD的中点，M是对角线BD上的一个动点，连接PM，CM，则
PM＋CM的最小值为 .
第9题
2 　
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三、 解答题（共46分）
10. （12分）（泸州中考）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边
AB，BC上的点，且AE＝CF. 求证：AF＝CE.
第10题
解：∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AB＝BC. ∵ AE＝CF，∴ AB－AE＝BC－CF，即BE＝BF. △ABF和△CBE中，∵ ∴ △ABF≌△CBE. ∴ AF＝CE
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11. （16分）如图，在菱形ABCD中，F为对角线BD上一点，E为AB
延长线上一点，DF＝BE，CE＝CF. 求证：
（1） △CFD≌△CEB；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ CD＝CB. 在△CFD和△CEB中，∵ ∴ △CFD≌△CEB
第11题
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（2） ∠CEF＝60°.
解：（2） ∵ △CFD≌△CEB，∴ ∠CDB＝∠CBE，∠DCF＝∠BCE. ∴ ∠DCF＋∠FCB＝∠BCE＋∠FCB，即∠DCB＝∠FCE. ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ ∠CBD＝∠ABD. ∵ CD＝CB，∴ ∠CDB＝∠CBD. ∴ ∠ABD＝∠CBD＝∠CBE. ∵ ∠ABD＋∠CBD＋∠CBE＝180°，∴ ∠CBD＝60°.又∵ CD＝CB，∴ △DCB是等边三角形.
∴ ∠DCB＝60°.∴ ∠FCE＝60°.又∵ CF＝CE，∴ △CFE是等边
三角形.∴ ∠CEF＝60°
第11题
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12. ★（18分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC
＝12，BD＝16，且DE∥AC，AE∥BD.
（1） 试判断四边形ODEA的形状，并说明理由；
解：（1） 四边形ODEA是矩形　理由：∵ DE∥AC，AE∥BD，∴ 四边形ODEA是平行四边形.∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AC⊥BD. ∴ ∠AOD＝90°.∴ 四边形ODEA是矩形.
第12题
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（2） 求OE的长.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ OA＝ AC＝6，OD＝ BD＝8，AC⊥BD. ∴ ∠AOD＝90°.在Rt△AOD中，由勾股定理，得AD＝ ＝10.∵ 四边形ODEA是矩形，∴ OE＝AD＝10
第12题
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12(共14张PPT)
小专题（六）　特殊四边形中的最值问题
第二十一章　四 边 形
类型一　利用“垂线段最短”求最值
1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，且有一点P从点B沿着
BD往点D移动，若过点P作AB的垂线交AB于点E，过点P作AD的垂
线交AD于点F，连接EF，则EF长的最小值为（　B　）
A. C. 5 D. 7
第1题
B
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2. 如图，菱形ABCD的边长为8，∠B＝45°，E，F分别是CD，BC
边上的动点，连接AE，EF，G是AE的中点，H是EF的中点，连接
GH，则GH长的最小值为 .
第2题
2 　
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3. 如图，在正方形ABCD中，AB＝6，E为对角线AC上的动点，以DE
为边作正方形DEFG，H是CD上一点，且DH＝ CD，连接GH，求
GH长的最小值.
第3题
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解：连接CG. ∵ 四边形ABCD是正方形，四边形DEFG是正方形，
∴ DA＝DC，DE＝DG，∠ADC＝∠EDG＝90°，∠DAC＝45°.∴
易得∠ADE＝∠CDG. ∴ △ADE≌△CDG. ∴ ∠DCG＝∠DAE＝
45°.∴ 点G的运动轨迹是射线CG. 根据垂线段最短可知，当GH⊥CG
时，GH的长最小.∵ GH⊥CG，∴ ∠HGC＝90°.∵ ∠DCG＝45°，
∴ ∠CHG＝45°＝∠DCG. ∴ GH＝CG. ∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AB＝CD＝6.∴ DH＝ CD＝4.∴ CH＝CD－DH＝2.∴ 在Rt△GHC中，GH2＋CG2＝2GH2＝CH2＝22，解得GH＝ （负值舍去）.
∴ GH长的最小值为
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类型二　利用“轴对称性”求最值
4. 如图，在边长为6的正方形ABCD中，E为AD的中点，P为AB上的
一个动点，则PE＋PC的最小值为 .
第4题
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5. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，矩形内部有一动点P满足
S△PAB＝ S矩形ABCD，则点P到A，B两点的距离之和PA＋PB的最小值
为 .
第5题
2 　
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6. 如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，P，Q分别是BC，
BD上的动点，则CQ＋PQ的最小值为 .
第6题
　
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7. 如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为
AB的中点，若P为AC上一个动点，求PF＋PE的最小值.
第7题
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10
解：如图，作点F关于直线AC的对称点F′，连接EF′，交AC于点
P，连接PF，则AF＝AF′，PF＝PF′.此时PF＋PE的值最小，最
小值为PF＋PE＝PF′＋PE＝EF′的长.过点E作EG⊥AD于点G，则∠AGE＝∠EGF′＝90°.∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠BAD＝∠B＝90°＝∠AGE. ∴ 四边形ABEG是矩形.∴ GE＝AB＝4，AG＝BE＝1.∵ F为AB的中点，∴ AF＝ AB＝2.∴ AF′＝2.
在Rt△EF′G中，GF′＝AF′－AG＝2－1＝1，GE
＝4，∴ EF′＝ ＝ ＝ .∴ PF＋
PE的最小值为
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类型三　利用“三角形的三边关系”或“两点之间线段最短”求最值
8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B分别在y轴的
正半轴和x轴的正半轴上，当点B在x轴的正半轴上运动时，点A随之
在y轴的正半轴上运动，矩形ABCD的形状保持不变.当∠OAB＝30°
时，点A的纵坐标为2 ，点C的纵坐标为1，则点D到点O的最大距
离是（　B　）
A. 2 B. 2＋2
C. 4＋2 D. 4＋2
B
第8题
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9. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AB为边在三角形外的平行四
边形AEDB的对角线交于点F，AE＝2，AB＝5，则CF长的最大值
是 .
第9题
3.5　
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10
10. 河的两岸成平行线，A，B是位于河两岸的两个车间（如图），要
在河上造一座桥，使桥垂直于河岸，并且使A，B间的路程最短.确定
桥的位置的方案如下：作从点A到河岸的垂线，分别交河岸PQ，MN
于点F，G. 在AG上取AE＝FG，连接EB，EB交MN于点D. 在点D
处作到对岸的垂线DC交PQ于点C，那么DC就是造桥的位置.请你对
方案可行性给出证明.
第10题
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10
解：由题意，得AG⊥PQ，AG⊥MN，CD⊥PQ. ∴ ∠AFC＝∠CFG＝∠AGD＝∠DCF＝90°.∴ 四边形FGDC为矩形，AE∥CD，FG＝CD. ∵ AE＝FG，∴ AE＝CD. ∴ 四边形AEDC为平行四边形.∴ AC＝ED. 根据两点之间线段最短可知，AC＋CD＋DB＝（ED＋DB）＋CD＝EB＋CD. ∵ CD的长度是平行线PQ，MN之间的距离，为定值，∴ 当AC＋BD＝EB时，A，B间的路程最短
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10(共14张PPT)
21.8　梯　形
第二十一章　四 边 形
一、 选择题（每小题6分，共30分）
1. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC. 若∠ADC＝140°，且BD⊥CD，则∠DBC的度数为（　C　）
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
第1题
C
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2. 如图，四边形OABC是等腰梯形，O是坐标原点，点A，C的坐标分
别是（1，2），（3，0），则点B的坐标是（　C　）
A. （3，2） B. （2，3）
C. （2，2） D. （4，2）
第2题
C
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3. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DC⊥BC，将梯形沿对角线BD
折叠，点A恰好落在DC边上的点A′处，∠A′BC＝20°，则∠A′BD的
度数是（　B　）
A. 15° B. 25° C. 30° D. 40°
第3题
B
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4. 如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，AD＝CD，O为
AC的中点，DO的延长线交AB于点E. 若BE＝3，BC＝4，则AB的长
为（　C　）
A. 5 B. 7 C. 8 D. 9
第4题
C
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5. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝3，AD＝
2，若∠C＝45°，则BC的长为（　D　）
A. 6 B. 4 C. 2＋3 D. 5
第5题
D
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二、 填空题（每小题6分，共24分）
6. 如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC＝3 cm，∠A＝
60°，BD平分∠ABC，则梯形的周长为 cm.
第6题
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7. 如图，在梯形ABCD中，∠A＝90°，AD∥BC，BC＝BD，CE⊥BD，垂足为E. 若AD＝4，CE＝3，则DE的长为 .
第7题
1　
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8. ★ 分类讨论思想 在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝6，AB＝4，CD＝5，则BC的长为 .
9. ★如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，如果BC＝
4，AD＝2，那么梯形ABCD的面积为 .
第9题
9或3　
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12
三、 解答题（共46分）
10. （12分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为
E，BE＝ （AD＋BC）.求证：AB＝CD.
第10题
解：如图，过点D作DF∥AB，交BC于点F. ∵ AD∥BC，
DF∥AB，∴ 四边形ABFD为平行四边形.∴ BF＝AD，AB＝DF. ∵ BE＝ （AD＋BC），BE＝BF＋EF，∴ BF＋EF＝ （BF＋BF＋EF＋EC）.∴ EF＝EC. ∵ DE⊥BC，∴ DF＝DC. ∴ AB＝CD
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11. （16分）（教材变式）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝
90°，AB＝1 060 m，CD＝460 m，AD＝1 000 m.求：
（1） BC的长；
解：（1） 过点D作DE⊥AB于点E，则∠AED＝90°.又∵ ∠B＝90°，∴ DE∥BC. 又∵ AB∥CD，∴ 四边形BCDE是平行四边形.∴ BC＝DE，BE＝CD＝460 m.∴ AE＝1 060－460＝600（m）.∴ BC＝DE＝ ＝800（m）
第11题
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（2） 梯形ABCD的面积.
解：（2） S四边形ABCD＝ ＝608 000（m2）
第11题
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12. ★（18分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AC＝
BC，∠ACB的平分线交DA的延长线于点E，交AB于点F.
（1） 求证：四边形AEBC是菱形；
解：（1） ∵ AC＝BC，CE是∠ACB的平分线，∴AF＝FB，CE⊥AB，∠ACE＝∠BCE. ∵ AD∥BC，∴ ∠AEC＝∠BCE. ∴ ∠ACE＝∠AEC. ∴ AE＝AC. ∵ CE⊥AB，∴ EF＝FC. ∵ AF＝FB，∴ 四边形AEBC为平行四边形.∵ CE⊥AB，∴ 四边形AEBC是菱形
第12题
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（2） 连接BD交CE于点G，如果BD⊥BE，求证：∠ADB＝2∠ABD.
解：（2） ∵ 在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，∴ 梯形ABCD是等腰梯形.∴ ∠ABC＝∠DCB. ∵ BC＝CB，∴ △ABC≌△DCB. ∴ AC＝BD. 由（1），可知四边形AEBC是菱形.∴ AC＝BE＝EA. ∴ BE＝BD，∠EAB＝∠EBA. ∵ BD⊥BE，∴ ∠BED＝∠BDE＝45°.
∴ ∠EAB＝∠EBA＝ ×（180°－45°）＝67.5°.∴ ∠ABD＝90°
－67.5°＝22.5°.∴ ∠ADB＝2∠ABD
第12题
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12(共15张PPT)
21.7　正 方 形
第2课时　正方形的判定
第二十一章　四 边 形
一、 选择题（每小题6分，共30分）
1. 已知一个四边形的四条边相等，为使该四边形是正方形，甲、乙两
人分别添加了一个条件，甲：四边形的四个角均相等；乙：四边形的对
角线相等.下列判断正确的是（　C　）
A. 只有甲对 B. 只有乙对
C. 甲和乙都对 D. 甲和乙都不对
C
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2. 有下列条件：① 对角线互相垂直且相等的平行四边形；② 对角线互
相垂直的矩形；③ 对角线相等的菱形；④ 对角线互相垂直平分且相等
的四边形.其中，四边形是正方形的有（　D　）
A. ①③④ B. ①②④
C. ②③④ D. ①②③④
D
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3. 如图，将一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角打开.如果打开的
图形是一个正方形，那么剪口线与折痕所夹锐角的度数是（　C　）
A. 22.5° B. 30° C. 45° D. 60°
第3题
C
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4. 如图，在正方形ABCD中，BD与AC相交于点O. 嘉嘉作DP∥OC，
CP∥OD，在正方形ABCD外，DP，CP交于点P；淇淇作DP＝OC，CP＝OD，在正方形ABCD外，DP，CP交于点P. 两人的作法中，能使四边形OCPD是正方形的为（　C　）
A. 只有嘉嘉 B. 只有淇淇
C. 嘉嘉和淇淇 D. 以上均不正确
C
第4题
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5. ★如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于
点D，交AB于点E，且BE＝BF，连接CE，CF，添加一个条件，仍
不能证明四边形BECF是正方形的为（　D　）
A. BC＝AC B. BD＝DF
C. CF⊥BF D. AC＝BF
第5题
D
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二、 填空题（每小题7分，共21分）
6. 新考法 条件开放题 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AC与BD互相平分交于点O. 要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是 .
第6题
答案不唯一，如AB＝BC
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7. 在数学志趣课活动中，老师把一张矩形纸片按如图所示的方式折叠，
就可以裁出正方形纸片，你知道这是为什么吗？理由：
.
第7题
有一组邻边相
等的矩形是正方形　
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8. ★如图，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为四边上的点，连
接EH，EF，HG，FG，EG，HF. 有下列说法：① 若AE＝DF＝CG＝BH，则四边形EFGH为正方形；② 若EG＝HF，则必有EG⊥HF；
③ 若HF⊥EG，则必有EG＝HF. 其中，正确的是 （填序号）.
第8题
①②③
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三、 解答题（共49分）
9. （12分）（教材变式）如图，菱形ABCD的对角线交于点O，E，F
是对角线BD所在直线上的两点，且∠AED＝45°，DF＝BE，连接
AE，CE，AF，CF，得四边形AECF. 求证：四边形AECF是正方形.
第9题
解：∵ 四边形ABCD是菱形，∴ BO＝DO，AC⊥BD，AO＝CO. ∵ BE＝DF，∴ BE＋BO＝DF＋DO，即FO＝EO. ∴ EF与AC互相垂直平分.∴ 四边形AECF是菱形.∴ ∠AEF＝∠CEF＝45°.∴ ∠AEC＝90°.∴ 菱形AECF是正方形
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10. （17分）如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D. 小
明灵活运用轴对称知识将图形进行翻折变换：分别以直线AB，AC为对
称轴，画出△ABD，△ACD的轴对称图形，点D的对称点分别为E，
F，延长EB，FC相交于点G. 请按照小明的思路，探究并解答下面的
问题：
（1） 求证：四边形AEGF是正方形；
第10题
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解：（1） 根据题意得，△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，∴ AD＝AE，∠DAB＝∠EAB，∠ADB＝∠E，AD＝AF，∠DAC＝∠FAC，∠ADC＝∠F. ∵ ∠BAC＝∠DAB＋∠DAC＝∠45°，∴ ∠EAF＝∠DAB＋∠DAC＋∠EAB＋∠FAC＝2（∠DAB＋∠DAC）＝90°.∵ AD⊥BC，∴ ∠ADB＝∠ADC＝90°.∴ ∠E＝∠F＝90°＝∠EAF.
∴ 四边形AEGF是矩形.∵ AD＝AE，AD＝AF，∴ AE＝AF. ∴ 四边形AEGF是正方形
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（2） 若AD＝6，BD＝2，则CD＝ .
第10题
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11. ★（20分）如图，点E在正方形ABCD的边BC上，∠AEF＝90°且
EF＝AE，过点F作FM⊥BC，交BC的延长线于点M.
（1） 求证：BE＝CM；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠B＝90°，AB＝BC. ∴ ∠BAE＋∠BEA＝90°.∵ ∠AEF＝90°，∴ ∠BEA＋∠FEM＝90°.
∴ ∠BAE＝∠FEM. ∵ FM⊥BC，∴ ∠M＝90°.∴ ∠B＝∠M＝90°.∵ AE＝EF，∴ △ABE≌△EMF. ∴ AB＝EM. ∴ BC＝EM.
∴ BC－EC＝EM－EC，即BE＝CM
第11题
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（2） 延长CD至点N，使得DN＝BE，连接AN，FN，求证：四边形
AEFN是正方形.
第11题
解：（2） ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠B＝∠ADC＝∠BAD＝90°，AB＝AD. ∴ ∠ADN＝90°.∴ ∠B＝∠ADN. ∵ BE＝DN，∴ △ABE≌△ADN. ∴ AE＝AN，∠BAE＝∠DAN. ∵ AE＝EF，∴ EF＝AN. ∵ ∠DAN＋∠EAD＝∠BAE＋∠EAD＝∠BAD＝90°，∴ ∠EAN＝∠AEF＝90°.∴ ∠EAN＋∠AEF＝180°.∴ AN∥EF. ∴ 四边形AEFN是平行四边形.∵ AE＝EF，∴ 四边形AEFN是菱形.∵ ∠AEF＝90°，∴ 四边形AEFN是正方形
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11(共14张PPT)
21.1　多 边 形
第1课时　多边形的概念及四边形的内角和与外角和
第二十一章　四 边 形
一、 选择题（每小题6分，共30分）
1. 如图所示的图形中，属于多边形的有（　A　）
第1题
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
A
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2. （河北中考）如图，将三角形纸片剪掉一个角得到四边形，设△ABC与四边形BCDE的外角和分别为α，β，则下列判断正确的是（　A　）
A. α＝β B. α＜β
C. α＞β D. 无法比较α与β的大小
第2题
A
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3. （教材变式）在四边形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度数之比为
1∶3∶5，∠D＝90°，则∠C的度数为（　D　）
A. 30° B. 90° C. 130° D. 150°
4. ★如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F等于 （　C　）
A. 240° B. 300° C. 360° D. 540°
第4题
D
C
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5. ★把一个正方形锯掉一个角，剩下的多边形是（　D　）
A. 三角形 B. 四边形
C. 五边形 D. 三角形或四边形或五边形
D
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二、 填空题（每小题6分，共24分）
6. 如图，某中学的电动伸缩校门利用的数学原理是 .
第6题
四边形的不稳定性
7. 如图，若∠2＋∠3＋∠4＝320°，则∠1＝ °.
第7题
40　
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8. 如图，学校有一块四边形试验田，将其分割成A，B两块，则x－y
＝ °.
第8题
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9. ★如图，在四边形纸片ABCD中，∠A＝75°，∠B＝65°，将纸片
折叠，使点C，D分别落在边AB上的点C′，D′处，折痕为MN，则
∠AMD′＋∠BNC′＝ .
第9题
80°　
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三、 解答题（共46分）
10. （12分）（教材变式）如图，在四边形ABCD中，∠A＝80°，∠D＝140°，BO平分∠ABC，CO平分∠DCB，求∠BOC的度数.
第10题
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解：∵ ∠A＋∠ABC＋∠DCB＋∠D＝360°，∠A＝80°，∠D＝
140°，∴ ∠ABC＋∠DCB＝360°－∠A－∠D＝360°－80°－140°＝140°.∵ BO平分∠ABC，CO平分∠DCB，∴ ∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠DCB. ∴ ∠OBC＋∠OCB＝ （∠ABC＋∠DCB）＝ ×140°＝70°.∴ ∠BOC＝180°－（∠OBC＋∠OCB）＝180°－70°＝110°
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11. （16分）（教材变式）在四边形ABCD中，∠B＋∠D＝180°，
∠DCE是四边形ABCD的一个外角.
（1） 如图①，试判断∠DCE与∠A的数量关系，并说明理由；
解：（1） ∠DCE＝∠A　理由：∵ 在四边形ABCD中，∠B＋∠D＋∠A＋∠BCD＝360°，∠B＋∠D＝180°，∴ ∠A＋∠BCD＝360°
－180°＝180°.∵ ∠DCE＋∠BCD＝180°，∴ ∠DCE＝∠A.
第11题
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（2） 如图②，若∠B＝90°，AF平分∠BAD，CF平分∠DCE，且
AF与CF相交于点F，试判断AF与CF的位置关系，并说明理由.
第11题
解：（2） AF⊥CF　理由：∵ 在△ABE中，∠B＝90°，∴ ∠EAB＋∠AEB＝90°.∵ AE平分∠BAD，CF平分∠DCE，∴ ∠EAB＝ ∠BAD，∠ECF＝ ∠DCE. 由（1），知∠DCE＝∠BAD，∴ ∠EAB＝∠ECF. ∴ ∠ECF＋∠AEB＝90°.∴ ∠CFE＝180°－（∠ECF＋∠AEB）＝90°.∴ AF⊥CF.
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12. （18分）（1） 如图①，从一个五边形的一个顶点出发，除去这个
顶点本身及与它相邻的两个顶点，能画出（5－3）条对角线.这样依次
从五边形的5个顶点出发，可以画出5×（5－3）条对角线，但发现其中
每一条对角线都重复画了一次，所以五边形共有 条对角线.
（2） 同理，从一个n边形的一个顶点出发，除去它本身及与它相邻的
两个顶点，有（n－3）条对角线.这样依次从n边形的n个顶点出发，
可以有n（n－3）条对角线，但每一条对角线都重复算了一次，所以n
边形共有 条对角线.
5　
　
第12题
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（3） 如图②，当n＝10时，求这个十边形的对角线条数.
第12题
解：（3）当n＝10时， ＝35（条），即这个十边形的对角线条数为35
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12(共11张PPT)
21.1　多 边 形
第2课时　多边形的内角和与外角和
第二十一章　四 边 形
一、 选择题（每小题6分，共30分）
1. 一个十二边形的内角和等于（　D　）
A. 2 160° B. 2 080°
2. 从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余不相邻的
各顶点.若这些连线把这个n边形分割成5个三角形，则n的值是（　C　）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
D
C
C. 1 980° D. 1 800°
3. （教材变式）（遂宁中考）如果一个凸多边形的内角和是外角和的4
倍，那么该凸多边形的边数为（　A　）
A. 10 B. 11 C. 12 D. 13
A
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4. 如图，在六边形ABCDEF中，若∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝500°，
∠DEF与∠AFE的平分线交于点G，则∠G的度数为（　C　）
A. 55° B. 65° C. 70° D. 80°
第4题
C
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5. ★（扬州中考）如图，小明从点A出发沿直线前进10米到达点B，向
左转45°后又沿直线前进10米到达点C，再向左转45°后沿直线前进10
米到达点D……照这样走下去，小明第一次回到出发点A时所走的路程
为（　B　）
A. 100米 B. 80米 C. 60米 D. 40米
B
第5题
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12
二、 填空题（每小题6分，共24分）
6. （扬州中考）若多边形的每个内角都是140°，则这个多边形的边数
为 .
7. 如图①所示的冰裂纹窗棂在古建筑中被广泛应用，如图②所示为这
种窗棂中的部分图案.若∠1＋∠2＋∠3＝227°，则∠4＋∠5的度数
为 °.
第7题
9　
227　
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8. 如图，∠E＝∠F＝∠G＝108°，∠BCG＝∠ADE＝72°，则∠A
＋∠B的度数为 °.
第8题
9. ★在n边形中，设∠A的外角的度数为α，除∠A以外的（n－1）个
内角的和为β.若β＝α＋540°，则n＝ .
72　
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12
三、 解答题（共46分）
10. （12分）在如图所示的五边形ABCDE中，AE∥CD，∠A＝110°，∠B＝120°，求∠C的度数.
第10题
解：∵ AE∥CD，∴ ∠D＋∠E＝180°.∵ 五边形ABCDE的内角和为
180°×（5－2）＝540°，∠A＝110°，∠B＝120°，∴ ∠C＝540°－∠A－∠B－∠D－∠E＝130°
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12
11. （16分）自然界中处处都可见六边形的身影，比如在水面上吹起一
层泡泡，也就是“泡泡筏”，这些泡泡最后会变成六边形或者接近六边
形的形状.如图所示为一个泡泡抽象出的数学平面图形，六边形ABCDEF的内角都相等，CF∥AB.
（1） 求∠FCD的度数；
解：（1） ∵ 六边形ABCDEF的内角都相等，∴ ∠B＝∠BCD＝∠A＝［（6－2）×180°］÷6＝120°.∵ CF∥AB，∴ ∠BCF＋∠B＝180°.∴ ∠BCF＝60°.∴ ∠FCD＝∠BCD－∠BCF＝60°
第11题
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12
（2） 求证：AF∥CD.
解：（2） 由（1），得∠A＝120°.∵ CF∥AB，∴ ∠A＋∠AFC＝180°.∴ ∠AFC＝60°.∴ ∠AFC＝∠FCD. ∴ AF∥CD
第11题
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12
12. ★（18分）看图回答问题：
（1） 小明为什么说内角和不可能为2 026°？
解：（1） ∵ n边形的内角和是（n－2） 180°，∴ 内角和一定是180°的倍数.∵ 2 026°÷180°＝11……46°，∴ 内角和不可能为2 026°
第12题
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12
（2） 小华求的是几边形的内角和？
第12题
解：（2） 设该凸多边形是n边形.由题意，得2 026°－180°＜（n－2）×180°＜2 026°，解得12 ＜n＜13 .∵ n是正整数，∴ n＝13，即该凸多边形的边数是13.∴ 小华求的是十三边形的内角和
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12(共14张PPT)
阶段检测（21.2～21.4）
第二十一章　四 边 形
一、 选择题（每小题6分，共30分）
1. 新情境 现实生活 嘉淇不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图所示的
四块，为配到一块与原来完全相同的平行四边形玻璃，则她需要带的两块碎玻璃的编号是（　D　）
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ②④
第1题
D
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2. 如图，DE是△ABC的中位线，若DE＋BC＝15，则DE的长为
（　A　）
A. 5 B. 7 C. 9 D. 10
第2题
A
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3. 在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O. 给出下列四个条
件：① AD∥BC；② AD＝BC；③ OA＝OC；④ OB＝OD. 从中任选
两个条件，能判定四边形ABCD是平行四边形的选法有（　B　）
A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种
B
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11
4. 如图，在 ABCD中，点E在边AD上，以BE为折痕，将△ABE向上
翻折，点A正好落在边CD上的点F处.若△FDE的周长为14，△FCB
的周长为22，则FC的长为（　A　）
A. 4 B. 6 C. 5 D. 3
第4题
A
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5. ★如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，△ABD，△ACE，△BCF都是等边三角形，有下列结论：① AB⊥AC；② 四边形AEFD是
平行四边形；③ ∠DFE＝110°；④ S四边形AEFD＝1.其中，正确的个数是（　B　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
第5题
B
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11
二、 填空题（每小题8分，共24分）
6. （扬州中考）如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，BC的中
点，点F在线段DE的延长线上，且∠BFC＝90°.若AC＝4，BC＝8，
则DF的长是 .
第6题
6　
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11
7. ★ 分类讨论思想 在平面直角坐标系中，A（1，2），B（2，1），C（5，4），若以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为 .
（－2，－1）或（4，5）或（6，3）　
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8. ★ 分类讨论思想 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8 cm，AD＝24 m，BC＝26 cm.点P从点A出发，以1 cm/s的速度向
点D运动，同时点Q从点C出发，以3 cm/s的速度向点B运动，规定其中
一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t s时，A，B，P，Q四点中有两个点与CD组成平行四边形，则t的值为
.
6或8　
第8题
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3
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5
6
7
8
9
10
11
三、 解答题（共46分）
9. （12分）如图，四边形ABCD是平行四边形，线段MF在 ABCD的
左侧，连接MA，MD，FB和FC，四边形MABF的对角线AF和BM交
于点O，且OA＝OF，OM＝OB. 求证：四边形DMFC是平行四边形.
第9题
解：∵ 四边形MABF的对角线AF和BM交于点O，且OA＝OF，OM＝OB，∴ 四边形MABF是平行四边形.∴ FM∥AB，且FM＝AB. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ CD∥AB，且CD＝AB. ∴ FM∥CD，且FM＝CD. ∴ 四边形DMFC是平行四边形
1
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4
5
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9
10
11
10. （10分）如图，BD是△ABC的中线，E是线段BD的中点，连接
CE并延长至点F，使得EF＝CE，连接FB，FD. 求证：
（1） BF∥CD；
解：（1） ∵ E是线段BD的中点，∴ BE＝DE. 又∵ EF＝CE，∴ 四边形FBCD是平行四边形.∴ BF∥CD
第10题
（2） AB与FD互相平分.
解：（2） 连接AF. ∵ 四边形FBCD是平行四边形，∴ BF∥CD，BF＝CD. ∵ BD是△ABC的中线，∴ AD＝CD. ∴ AD＝BF. ∴ 四边形AFBD是平行四边形.∴ AB与FD互相平分
1
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11
11. ★（24分）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.
（1） 若AC＝12，BD＝14，求AD长的取值范围.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，AC＝12，BD＝14，∴ OA＝ AC＝6，OD＝ BD＝7.在△AOD中，OD－OA＜AD＜OD＋OA，
即7－6＜AD＜7＋6.∴ 1＜AD＜13
第11题
1
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5
6
7
8
9
10
11
（2） 若∠ACB＝40°，AC＝BC，求∠ADC的度数.
解：（2） ∵ AC＝BC，∠ACB＝40°，∴ ∠CAB＝∠ABC＝（180°－∠ACB）＝70°.∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠ADC＝∠ABC
＝70°
第11题
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10
11
（3） 点E在CA的延长线上，点F在AC的延长线上，且AE＝CF，点
G，H均在线段BD上，且BG＝DH. 求证：四边形EGFH是平行四边
形.
解：（3） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA＝OC，OB＝OD. ∵ AE＝CF，∴ OA＋AE＝OC＋CF，即OE＝OF. ∵ BG＝DH，∴ OB－BG＝OD－DH，即OG＝OH. ∴ 四边形EGFH是平行四边形
第11题
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10
11(共17张PPT)
21.4　三角形的中位线
第二十一章　四 边 形
一、 选择题（每小题6分，共30分）
1. 在实践活动课上，嘉嘉想测量校园内假山B，C两点间的距离.如
图，他先在假山的一侧选定一点A，分别取AB，AC的中点D，E，并
测得DE＝6 m，则假山B，C两点间的距离是（　C　）
A. 4 m B. 8 m C. 12 m D. 16 m
第1题
C
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12
2. （广东中考）如图，D，E，F分别是△ABC各边上的中点，∠A＝
70°，则∠EDF的度数为（　C　）
A. 20° B. 40° C. 70° D. 110°
第2题
C
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10
11
12
3. 如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AC的中点，BF平分
∠ABC，交DE于点F. 若BC＝6，则DF的长是（　B　）
A. 2 B. 3 C. 2.5 D. 4
第3题
B
1
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6
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8
9
10
11
12
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D为斜边AC的中点，连接
BD，E为BD上一点，连接AE，CE，F为CE的中点，连接DF. 若
AE＝AD，DF＝2，则BD的长为（　D　）
A. 2 B. 3 C. 2 D. 4
第4题
D
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11
12
5. ★（教材变式）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，
E，F分别是AB，CD的中点，连接PE，PF，EF，AD＝BC，∠EPF＝120°，则∠PEF的度数是（　A　）
A. 30° B. 40° C. 50° D. 60°
第5题
A
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11
12
二、 填空题（每小题6分，共24分）
6. 如图，某居民小区为了美化居住环境，要在一块等边三角形空地上
围一个四边形花坛.已知四边形BCFE的顶点E，F分别是边AB，AC的
中点，量得EF＝8米，∠B＝∠C＝60°，则四边形花坛的周长是
米.
第6题
40　
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5
6
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8
9
10
11
12
7. 如图，将△ABC沿着它的中位线DE折叠，点A落在点F处.若∠C＝
120°，∠A＝20°，则∠FEB的度数是 .
第7题
100°　
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6
7
8
9
10
11
12
8. 如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝8，D，E分别是边AB，AC的
中点，连接DE，点F在DE上，且∠AFB＝90°，则EF＝ .
第8题
1　
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5
6
7
8
9
10
11
12
9. ★如图，在 ABCD中，∠C＝120°，AB＝2，AD＝2AB，H，G
分别是边DC，BC上的动点，连接AH，HG，E，F分别为AH，GH
的中点，连接EF，则EF长的最小值为 .
第9题
　
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4
5
6
7
8
9
10
11
12
三、 解答题（共46分）
10. （12分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝
12，在边AC上截取AD＝AB，连接BD，过点A作AE⊥BD于点E，F
是BC的中点，连接EF，求EF的长.
第10题
解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝ ＝ ＝13.∵ AD＝AB＝5，∴ CD＝AC－AD＝13－5＝8.∵ AD＝AB，AE⊥BD，∴ BE＝ED. ∵ F是BC的中点，∴ EF是△BDC的中位线.∴ EF＝ CD＝ ×8＝4
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12
11. （16分）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，CA的
中点，AH⊥BC，垂足为H.
（1） 试判断线段DE与FH之间的数量关系，并说明理由；
解：（1） DE＝FH　理由：∵ D，E分别是边AB，BC的中点，∴ DE＝ AC. ∵ AH⊥BC，∴ ∠AHC＝90°.又∵ F是CA的中点，∴ FH
＝ AC. ∴ DE＝FH.
第11题
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12
（2） 求证：∠DHF＝∠DEF.
解：（2） ∵ AH⊥BC，∴ ∠AHB＝90°.在Rt△ABH中，∵ D为斜边AB上的中点，∴ DH＝AD＝ AB. ∴ ∠DAH＝∠DHA. 同理，可证∠FAH＝∠FHA. ∴ ∠DAH＋∠FAH＝∠DHA＋∠FHA，即∠DAF
＝∠DHF. ∵ D，E，F分别为边AB，BC，CA的中点，∴ EF∥AD，DE∥AF. ∴ 四边形ADEF是平行四边.∴ ∠DEF＝∠DAF. ∵ ∠DAF
＝∠DHF，∴ ∠DHF＝∠DEF
第11题
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12
12. ★（18分）【三角形中位线定理】 如图①，在△ABC中，D，E分
别是边AB，AC的中点.直接写出DE和BC的关系.
第12题
解： DE∥BC，DE＝ BC
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12
【应用】 如图②，在四边形ABCD中，E，F分别是边AB，AD的中
点，若BC＝5，CD＝3，EF＝2，∠AFE＝45°，求∠ADC的度数.
第12题
解： 连接BD. ∵ E，F分别是边AB，AD的中点，∴ EF∥BD，BD＝2EF＝4.∴ ∠ADB＝∠AFE＝45°.∵ BC＝5，CD＝3，∴ BD2＋CD2＝25，BC2＝25.∴ BD2＋CD2＝BC2.∴ △BCD是直角三角形，且∠BDC
＝90°.∴ ∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝135°
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12
【拓展】 如图③，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点E，M，N分
别为AD，BC的中点，MN分别交AC，BD于点F，G，EF＝EG. 求
证：BD＝AC.
第12题
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12
解： 如图③，取DC的中点H，连接MH，NH. ∵ M，H分别是AD，DC的中点，∴ MH是△ADC的中位线.∴ MH∥AC，且MH＝ AC. 同理，可得NH∥BD，且NH＝ BD. ∵ EF＝EG，∴ ∠EFG＝∠EGF. ∵ MH∥AC，NH∥BD，∴ ∠EFG＝∠HMN，∠EGF＝∠HNM.
∴ ∠HMN＝∠HNM. ∴ MH＝NH. ∴ AC＝BD
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12(共15张PPT)
小专题（八）　四边形中的动点问题
第二十一章　四 边 形
类型一　与平行四边形有关的动点问题
1. 在 ABCD中，动点P在AD边上，以0.5 cm/s的速度从点A向点D
运动.
（1） 如图①，在运动过程中，若CP平分∠BCD，
且满足CD＝CP，求∠B的度数；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠B＝∠D，AD∥BC.
∴ ∠DPC＝∠PCB. ∵ CP平分∠BCD，∴ ∠PCD＝∠PCB. ∴ ∠DPC＝∠DCP. ∴ DP＝CD. ∵ CD＝CP，∴ CP＝CD＝DP. ∴ △PDC是
等边三角形.∴ ∠D＝60°.∴ ∠B＝60°
第1题
1
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3
4
5
6
（2） 如图②，另一动点Q在BC边上，以2 cm/s的速度从点C出发，在
BC间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同
时点Q也停止运动），若AD＝6 cm，求当运动时间为多少秒时，以
P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形.
第1题
1
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3
4
5
6
解：（2） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC，AD＝BC＝
6 cm.∴ PD∥BQ. 若以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边
形，则PD＝BQ. 设运动时间为t s.① 当0≤t≤3时，PD＝（6－0.5t）
cm，BQ＝（6－2t）cm，∴ 6－0.5t＝6－2t，解得t＝0.② 当3＜t≤6
时，PD＝（6－0.5t）cm，BQ＝（2t－6）cm，∴ 6－0.5t＝2t－6，
解得t＝4.8.③ 当6＜t≤9时，PD＝（6－0.5t）cm，BQ＝（18－2t）
cm，∴ 6－0.5t＝18－2t，解得t＝8.④ 当9＜t≤12时，PD＝（6－
0.5t）cm，BQ＝（2t－18）cm，∴ 6－0.5t＝2t－18，解得t＝9.6.综
上所述，当运动时间为0 s或4.8 s或8 s或9.6 s时，以P，D，Q，B四
点组成的四边形是平行四边形
1
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4
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6
类型二　与矩形有关的动点问题
2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝13 cm，动点P，Q分别从点A，C同
时发出，点P以3 cm/s的速度向点B运动，到点B停止运动，点Q以
2 cm/s的速度向点D运动，到点D停止运动，设运动时间为t s.
（1） 当t为何值时，四边形APQD是矩形？并说明理由.
第2题
1
2
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5
6
解：（1） 当t为 时，四边形APQD是矩形　理由：由题意知，CQ
＝2t cm，AP＝3t cm.∵ 四边形ABCD是矩形，∴ CD＝AB＝13 cm，AB∥CD，∠D＝90°.∴ DQ＝CD－CQ＝（13－2t）cm.当AP＝DQ时，四边形APQD是平行四边形.∵ ∠D＝90°，∴ 四边形APQD是矩形.∴ 3t＝13－2t，解得t＝ .∴ 当t为 时，四边形APQD是矩形.
1
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4
5
6
（2） 连接QB，当t为何值时，PQ＝BQ？
第2题
解：（2） 由题意知，CQ＝2t cm，AP＝3t cm，则PB＝AB－AP＝
（13－3t）cm.如图，过点Q作QE⊥AB于点E，则∠QEB＝90°.
∵ PQ＝BQ，∴ BE＝ PB＝ cm.∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠C＝∠ABC＝90°.∴ ∠QEB＝∠C＝∠ABC＝90°.∴ 四边形
BCQE是矩形.∴ BE＝CQ＝2t cm.∴ 2t＝ － t，解得t＝ .∴ 当t
为 时，PQ＝BQ
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5
6
类型三　与菱形有关的动点问题
3. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5 cm，∠ADC＝120°，点E，F同时
从A，C两点出发，分别沿AB，CB方向向点B匀速移动（到点B为
止），点E的速度为1 cm/s，点F的速度为2 cm/s，经过t s △DEF为等
边三角形，则t的值为（　D　）
A. B. C. D.
D
第3题
1
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5
6
4. 如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，△AEF为等边三
角形，点E，F分别在菱形的边BC，CD上滑动，且点E，F不与点
B，C，D重合.
（1） 求证：无论点E，F在边BC，CD上如何滑动，总有BE＝CF.
第4题
1
2
3
4
5
6
解：（1） 如图，连接AC. ∵ 四边形ABCD为菱形，∠BAD＝120°，
∴ BC∥AD，∠BAC＝∠DAC＝60°.∴ ∠1＋∠EAC＝60°.∵ △AEF
为等边三角形，∴ ∠EAF＝60°，AE＝AF. ∴ ∠3＋∠EAC＝60°.∴ ∠1＝∠3.∵ ∠BAD＝120°，BC∥AD，∴ ∠ABC＝180°－∠BAD＝60°，∠ACB＝∠DAC＝60°.∴ ∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°.∴ △ABC为等边三角形.∴ AC＝AB. 在△ABE和△ACF中，∵ ∴ △ABE≌△ACF. ∴ BE＝CF. ∴ 无论点E，F在边BC，CD上如何
滑动，总有BE＝CF
1
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3
4
5
6
（2） 当点E，F在边BC，CD上滑动时，四边形AECF的面积是否
会发生变化？如果不变，求出四边形AECF的面积；如果变化，请说
明理由.
第4题
解：（2） 四边形AECF的面积不会发生变化　由（1），得
△ABE≌△ACF，则S△ABE＝S△ACF. ∴ S四边形AECF＝S△AEC＋S△ACF＝
S△AEC＋S△ABE＝S△ABC，是定值.如图，过点A作AH⊥BC于点H，则
易得BH＝2，∠AHB＝90°.在Rt△AHB中，由勾股定理，得AH＝
＝2 .∴ S四边形AECF＝S△ABC＝ BC AH＝4
1
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4
5
6
类型四　与正方形有关的动点问题
5. 如图，在正方形ABCD中，点E从点B出发，沿边BC方向向终点C运动，DF⊥AE交AB于点F，连接EF，以FD，FE为邻边构造 DFEP，
连接CP，则∠FAE＋∠EPC的度数的变化情况是（　C　）
A. 一直减小 B. 先减小后增大
C. 一直不变 D. 先增大后减小
第5题
C
1
2
3
4
5
6
6. 如图，正方形ABCD的边长为4，O为对角线BD的中点，E为AD边
上的动点，点F在CD边上，连接OE，OF，OE⊥OF.
（1） 求证：OE＝OF.
第6题
1
2
3
4
5
6
解：（1） 如图，过点O作OM⊥AD于点M，ON⊥CD于点N.
∴ ∠OMD＝∠OME＝∠ONF＝90°.∵ 四边形ABCD是正方形，且
边长为4，∴ AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠ADB＝45°，∠ADC＝∠C
＝90°.∴ ∠OMD＝∠ADC＝∠ONF＝90°.∴ 四边形OMDN是矩形.
∵ ∠OMD＝90°，∠ADB＝45°，∴ ∠MOD＝90°－45°＝45°.
∴ ∠ADB＝∠MOD. ∴ OM＝DM. ∴ 四边形OMDN是正方形.∴ OM
＝ON，∠MON＝90°.∵ OE⊥OF，∴ ∠EOF＝∠MON＝90°.
∴ ∠EOF－∠MOF＝∠MON－∠MOF，即∠EOM＝∠FON. 在
△EOM和△FON中，∵
∴ △EOM≌△FON. ∴ OE＝OF
1
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3
4
5
6
（2） 当点E在AD边上运动时，四边形OEDF的面积是否会发生变
化？若不变，请求出其面积；若改变，请说明理由.
第6题
解：（2） 当点E在AD边上运动时，四边形OEDF的面积不会发生变
化　∵ ∠ONF＝∠C＝90°，∴ ON∥BC. ∵ O为对角线BD的中点，
∴ 易得ON是△DBC的中位线.∴ ON＝ BC＝2.∴ 正方形OMDN的面
积为4.由（1），可知△EOM≌△FON，∴ S△EOM＝S△FON. ∴ S四边形
OEDF＝S△EOM＋S四边形OMDF＝S△FON＋S四边形OMDF＝S正方形OMDN＝4
1
2
3
4
5
6(共14张PPT)
21.3　平行四边形的判定
第1课时　利用一组对边的条件判定平行四边形
第二十一章　四 边 形
一、 选择题（每小题6分，共24分）
1. （河北中考）根据所标数据，下列图形一定是平行四边形的为
（　D　）
A B C D
D
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4
5
6
7
8
9
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11
2. 如图，在 ABCD中，E，F分别为边AB，DC的中点，则图中的平
行四边形共有（　B　）　　　　　　　
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
第2题
B
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3
4
5
6
7
8
9
10
11
3. 如图，E是 ABCD的边AD的延长线上一点，连接BE，CE，BD，
BE交CD于点F，添加以下条件，不能判定四边形BCED是平行四边形的为（　C　）
A. ∠ABD＝∠DCE B. DF＝CF
C. ∠AEB＝∠BCD D. ∠AEC＝∠CBD
第3题
C
1
2
3
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6
7
8
9
10
11
4. ★如图①，在 ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角.要用尺规作图
的方法在对边AD，BC上分别找点M，N，使四边形ANCM为平行四边
形，现有甲、乙、丙三种方案：甲：如图②，分别作AD，BC的垂直平
分线，交AD，BC于点M，N；乙：如图③，分别以点B，D为圆心，
AB，CD长为半径作弧，交BC，AD于点N，M；丙：如图④，在BC
上取一点N，使BA＝BN，以点C为圆心，BN长为半径作弧，交AD于
点M. 其中，正确的是（　C　）
C
A. 乙、丙 B. 甲、丙
C. 甲、乙 D. 甲、乙、丙
第4题
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5
6
7
8
9
10
11
二、 填空题（每小题7分，共28分）
5. 已知在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD，四边形ABCD的周
长是40 cm，两邻边的比是3∶2，则较长边的长是 cm.
6. 如图，在 ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，且AE＝CF.
若∠EBF＝45°，则∠EDF的度数是 .
第6题
12　
45°　
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3
4
5
6
7
8
9
10
11
7. 如图，AB∥DC，ED∥BC，AE∥BD，连接BE，AD，AC，写
出图中和△ABD面积相等的三角形（不包括△ABD）：
.
第7题
△ABC，
△BDE　
1
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3
4
5
6
7
8
9
10
11
8. ★ 分类讨论思想 已知平面直角坐标系内有四个点O（0，0），A（1，1），B（3，1），C（x，0），若以O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则x＝ .
2或－2　
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3
4
5
6
7
8
9
10
11
三、 解答题（共48分）
9. （14分）（教材变式）如图，在 ABCD中，点E，F分别在BA，
DC的延长线上，且BE＝DF. 连接AF，交BC于点H，连接EC.
（1） 求证：四边形EAFC是平行四边形；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD，BE∥DF.
∴ AE∥CF. ∵ BE＝DF，∴ BE－AB＝DF－CD，即AE＝CF.
∴ 四边形EAFC是平行四边形
第9题
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9
10
11
（2） 若∠E＝∠D＝70°，求∠AHB的度数.
解：（2） ∵ 四边形EAFC是平行四边形，∴ AF∥EC. ∴ ∠BAH＝∠E＝70°.∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠B＝∠D＝70°.∴
∠AHB＝180°－∠B－∠BAH＝40°
第9题
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5
6
7
8
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10
11
10. （16分）如图，点B，F，C，E在直线l上（点F，C之间不能直
接测量），点A，D在直线l的异侧，测得AB＝DE，AC＝DF，BF
＝EC.
（1） 求证：△ABC≌△DEF；
解：（1） ∵ BF＝EC，∴ BF＋FC＝EC＋FC，
即BC＝EF. 在△ABC和△DEF中，∵ ∴ △ABC≌△DEF
第10题
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11
（2） 连接AF，CD，求证：四边形AFDC是平行四边形.
解：（2） ∵ △ABC≌△DEF，∴ ∠ACB＝∠DFE. ∴ AC∥DF.
又∵ AC＝DF，∴ 四边形AFDC是平行四边形
第10题
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11. ★（18分）如图，在 ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C
两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，延长AE，CF，分别
交CD，AB于点M，N.
（1） 求证：四边形AMCN是平行四边形；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ CD∥AB. ∵ AE⊥BD，CF⊥BD，∴ ∠AEB＝∠CFD＝90°.∴ AM∥CN. ∴ 四边形AMCN
是平行四边形
第11题
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（2） 已知DE＝4，FN＝3，求BN的长.
解：（2） ∵ 四边形AMCN是平行四边形，∴ CM＝AN. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ CD＝AB，CD∥AB. ∴ CD－CM＝AB－AN，即DM＝BN. ∵ CD∥AB，∴ ∠MDE＝∠NBF. ∵ AE⊥BD，
CF⊥BD，∴ ∠DEM＝∠BFN＝90°.∴ △MDE≌△NBF. ∴ DE＝BF＝4.在Rt△NBF中，由勾股定理，得BN＝ ＝
＝5
第11题
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11(共13张PPT)
21.2　平行四边形的性质
第1课时　平行四边形的概念及边、角的性质
第二十一章　四 边 形
一、 选择题（每小题6分，共30分）
1. 如图，在 ABCD中，EF∥AD，HN∥AB，则图中的平行四边形
共有（　B　）
A. 8个 B. 9个 C. 7个 D. 5个
第1题
B
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12
2. （湖北中考）如图， ABCD的对角线交点在原点处.若A（－1，2），
则点C的坐标是（　C　）
A. （2，－1） B. （－2，1）
C. （1，－2） D. （－1，－2）
第2题
C
3. 在 ABCD中，∠A与∠B的度数之比为1∶2，则∠C的度数是
（　C　）
A. 120° B. 100° C. 60° D. 50°
C
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4. （教材变式）如图，在 ABCD中，AC＝3 cm，若△ABC的周长为
11 cm，则 ABCD的周长为（　C　）
A. 6 cm B. 12 cm C. 16 cm D. 11 cm
第4题
C
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12
5. ★如图，将 ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处.若∠1＝
56°，∠2＝42°，则∠A的度数为（　C　）
A. 108° B. 109° C. 110° D. 111°
第5题
C
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12
二、 填空题（每小题6分，共24分）
6. 如图，在平面直角坐标系中， ABCD的顶点A，B，C在坐标轴
上，AB＝AC＝5，B（－3，0），点D在第一象限，则点D的坐标
是 .
第6题
（6，4）　
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12
7. 如图，平移图形M，与图形N可以拼成一个平行四边形，则图中∠α
＝ °.
第7题
8. ★ 分类讨论思想 在 ABCD中，AD＝5 cm，∠BAD的平分线交边CD于点E，∠ABC的平分线交边CD于点F，当C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，线段AB的长为 cm.
30　
7.5或15
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12
9. ★如图，在 ABCD中，AB⊥AC，AB＝3，AC＝4，分别以点A，
C为圆心，大于 AC的长为半径作弧，两弧相交于点M，N，过M，N
两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边
形AECF的周长为 .
第9题
10　
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12
三、 解答题（共46分）
10. （12分）（宜宾中考）如图，E是 ABCD边CD的中点，连接AE
并延长交BC的延长线于点F，AD＝5.求证：△ADE≌△FCE，并求
BF的长.
第10题
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，BC＝AD＝5.∴ ∠D＝∠FCE. ∵ E是CD的中点，∴ DE＝CE. 在△ADE和△FCE中，∵ ∴ △ADE≌△FCE. ∴ FC＝AD＝5.∴ BF＝BC＋FC＝5＋5＝10
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11. （16分）如图，在 ABCD中，AE，CF分别平分∠BAD和∠BCD，
交对角线BD于点E，F.
（1） 若∠BCF＝60°，求∠ABC的度数；
解：（1） ∵ CF平分∠BCD，∴ ∠BCD＝2∠BCF. ∵ ∠BCF＝60°，∴ ∠BCD＝120°.∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD.
∴ ∠ABC＋∠BCD＝180°.∴ ∠ABC＝180°－∠BCD＝60°
第11题
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12
（2） 求证：BE＝DF.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，AB∥CD. ∴ ∠ABE＝∠CDF. ∵ AE，CF分别平分∠BAD和∠BCD，∴ ∠BAE＝ ∠BAD，∠DCF＝ ∠BCD. ∴ ∠BAE＝
∠DCF. 在△ABE和△CDF中，∵
∴ △ABE≌△CDF. ∴ BE＝DF
第11题
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12
12. ★ （18分）如图，以 ABCD的边BC，CD为边分别向外作等边三
角形BCP和等边三角形CDQ，连接PQ，AP，AQ. 试判断△APQ的形
状，并说明理由.
第12题
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12
解：△APQ是等边三角形　理由：∵ △BCP，△CDQ是等边三角形，
∴ PB＝BC＝PC，QD＝DC＝QC，∠PBC＝∠PCB＝60°，∠QDC＝∠QCD＝60°.∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB＝DC，BC＝AD，∠ABC＝∠ADC，AB∥CD. ∴ ∠ABC＋∠BCD＝180°，PB＝AD＝PC，AB＝QD＝QC. ∵ ∠ABC＝∠ADC，∠PBC＝∠QDC＝60°，∴ ∠ABC＋∠PBC＝∠ADC＋∠QDC，即∠ABP＝∠QDA.
∴ △ABP≌△QDA. ∴ PA＝AQ. ∵ ∠PCQ＝360°－∠PCB－∠QCD－∠BCD＝360°－60°－60°－∠BCD＝240°－（180°－∠ABC）＝60°＋∠ABC＝∠PBC＋∠ABC＝∠PBA，AB＝QC，PB＝PC，∴ △ABP≌△QCP. ∴ PA＝PQ. ∴ PA＝AQ＝PQ. ∴ △APQ是等
边三角形.
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12(共13张PPT)
阶段检测（21.5～21.7）
第二十一章　四 边 形
一、 选择题（每小题6分，共30分）
1. （泸州中考）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（　A　）
A. 对角线相等 B. 对角线互相平分
C. 对角线互相垂直 D. 对角相等
A
2. （辽宁中考）如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，BE＝BC，
连接CE，若AB＝3，AE＝4，则CE的长为（　D　）
A. 1 B. 5 C. 2
第2题
D
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11
3. 用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中，错误的是
（　C　）
A B C D
C
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4. 如图，E为正方形ABCD的边BC的延长线上一点，且CE＝BD，AE
交DC于点F，则∠AFC的度数为（　B　）
A. 122.5° B. 112.5° C. 135° D. 125°
第4题
B
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5. ★如图，在矩形ABCD中，AB＝4，CB＝3，P为对角线AC上一点.
当△BCP是等腰三角形时，求AP的长.甲：当P为AC的中点时，△BCP是等腰三角形，∴ AP＝2.5.乙：当CP＝3时，△BCP是等腰三角形，
∴ AP＝2.下列说法正确的是（　D　）
A. 甲的结论正确
B. 乙的结论正确
C. 甲、乙的结论合起来正确
D. 甲、乙的结论合起来也不正确
D
第5题
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11
二、 填空题（每小题6分，共18分）
6. 已知矩形的一边长为6 cm，一条对角线的长为10 cm，则矩形的面积
为 cm2.
7. 小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图①），测
得对角线AC＝10 cm，将正方形学具变形为菱形（如图②），∠DAB＝60°，则图②中对角线AC的长为 cm.
第7题
48　
10 　
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8. （凉山中考）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于
点O，E是边CD的中点，过点E作EF⊥BD于点F，EG⊥AC于点
G，若AC＝12，BD＝16，则FG的长为 .
第8题
5　
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三、 解答题（共52分）
9. （16分）如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，
DE＝AF，DE⊥AF于点G. 求证：（1） △ABF≌△DAE；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠DAE＝∠B＝90°.∴ ∠BAF＋∠DAF＝90°.∵ DE⊥AF，∴ ∠AGD＝90°.∴ ∠ADE＋∠DAF＝90°.∴ ∠BAF＝∠ADE. 在△ABF和△DAE中，
∵ ∴ △ABF≌△DAE
第9题
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11
（2） 四边形ABCD是正方形.
解：（2） ∵ △ABF≌△DAE，∴ AB＝DA. 又∵ 四边形ABCD是矩形，∴ 四边形ABCD是正方形
第9题
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10. （16分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，
E是AD的中点，连接AD，CE，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点
F，连接BF.
（1） 求证：四边形ADBF是菱形；
解：（1） ∵ AF∥BC，∴ ∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE. ∵ E是AD的中点，∴ AE＝DE. ∴ △FAE≌△CDE. ∴ FA＝CD. ∵ D是
BC的中点，∴ BD＝CD. ∴ FA＝BD. 又∵ AF∥BC，∴ 四边形ADBF是平行四边形.∵ ∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴ AD＝BD＝ BC.
∴ 四边形ADBF是菱形
第10题
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（2） 若AB＝8，菱形ADBF的面积为40，求AC的长.
解：（2） ∵ 四边形ADBF是菱形，∴ S菱形ADBF＝2S△ABD. ∵ D是BC的中点，∴ S△ABC＝2S△ABD. ∴ S菱形ADBF＝S△ABC＝40.∴ AB AC＝40.
∵ AB＝8，∴ ×8×AC＝40.∴ AC＝10
第10题
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11. ★（20分）如图，在矩形ABCD中，P是线段AD上一动点，O为
BD的中点，PO的延长线交BC于点Q，连接BP，DQ.
（1） 求证：OP＝OQ.
解：（1） ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ AD∥BC.
∴ ∠PDO＝∠QBO. ∵ O为BD的中点，∴ OB＝OD.
在△POD和△QOB中，∵
∴ △POD≌△QOB. ∴ OP＝OQ
第11题
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（2） 若AD＝8 cm，AB＝6 cm，点P从点A出发，以1 cm/s的速度向
点D运动（不与点D重合）.设点P的运动时间为t s，请用含t的代数式
表示PD的长，并求当t为何值时，BD⊥PQ.
解：（2） 由题意，得AP＝t cm，则PD＝AD－AP＝（8－t） cm.∵ OB＝OD，OP＝OQ，∴ 四边形PBQD是平行四边形.∵ BD⊥PQ，∴ 四边形PBQD是菱形.∴ BP＝PD＝（8－t）cm.∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠A＝90°.在Rt△ABP中，由勾股定理，得AB2＋AP2＝BP2，即62＋t2＝（8－t）2，解得t＝ .∴ 当t＝ 时，BD⊥PQ
第11题
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11(共16张PPT)
21.7　正 方 形
第1课时　正方形的性质
第二十一章　四 边 形
一、 选择题（每小题6分，共30分）
1. 正方形具有而菱形不一定具有的性质是（　B　）
A. 四条边都相等 B. 对角线相等
C. 对角线互相垂直平分 D. 对角线平分一组对角
B
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2. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，P为边BC上一
点，且BP＝OB，则∠COP的度数为（　B　）
A. 15° B. 22.5° C. 25° D. 17.5°
第2题
B
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3. （教材变式）如图，在正方形ABCD外作等边三角形ADE，则∠ECB的度数是（　D　）
A. 15° B. 30° C. 60° D. 75°
第3题
D
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4. （湖北中考）如图，折叠正方形ABCD的一边BC，使点C落在BD上
的点F处，折痕BE交AC于点G. 若DE＝2 ，则CG的长是（　B　）
A. B. 2 C. ＋1 D. 2 －1
第4题
B
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5. ★如图，E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝
DF，AE，BF相交于点O. 有下列结论：① AE＝BF；② AE⊥BF；③
AO＝OE；④ S△AOB＝S四边形DEOF. 其中，正确的有（　C　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
第5题
C
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12
二、 填空题（每小题6分，共24分）
6. 如图，边长为2的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O的直线
分别交AD，BC于点E，F，则涂色部分的面积是 .
第6题
1　
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7. 如图，E是正方形ABCD的对角线BD上的一点，EF⊥BC于点F.
若CF＝3，EF＝4，则AE的长是 .
第7题
5　
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12
8. 如图，在正方形ABCD中，O是对角线的交点，过点O作OE⊥OF，
分别交AD，CD于点E，F，连接EF. 若AE＝6，CF＝4，则EF＝ .
第8题
2 　
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9. ★（北京中考）如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，CF⊥BE，垂足为F，连接AF. 若AB＝1，∠EBC＝30°，则△ABF的面积为 .
第9题
　
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三、 解答题（共46分）
10. （12分）（浙江中考）【问题背景】 如图，某兴趣小组需要在正方
形纸板ABCD上剪下机翼状纸板（涂色部分），点E在对角线BD上.
【数学理解】
（1） 该机翼状纸板由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE的证明过程；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝CB，
∠ABD＝∠CBD. 又∵ BE＝BE，∴ △ABE≌△CBE
第10题
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（2） 若裁剪过程中满足DE＝DA，求“机翼角”∠BAE的度数.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠BAD＝90°，∠ADB＝45°.∵ DE＝DA，∴ ∠DAE＝∠DEA. ∵ ∠DAE＋∠DEA＋∠ADE＝180°，∴ ∠DAE＝∠DEA＝ ×（180°－∠ADE）＝67.5°.∴ ∠BAE＝∠BAD－∠DAE＝22.5°
第10题
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11. （16分）如图，E，F是正方形ABCD的对角线BD上的两点，且
BE＝DF.
（1） 求证：△ABE≌△CDF；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝CD，∠ABE＝∠CDF＝45°.又∵ BE＝DF，∴ △ABE≌△CDF
第11题
（2） 若AB＝3 ，BE＝2，求四边形AECF的面积.
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解：（2） 连接AC，交BD于点O. ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ ∠ABC＝90°，AC⊥BD，AC＝BD，BC＝AB＝3 ，AO＝CO，BO＝DO. ∵ BE＝DF，∴ BO－BE＝DO－DF，即OE＝OF. 又∵ AO＝CO，∴ 四边形AECF是平行四边形.∵ AC⊥BD，∴ 四边形AECF是菱形.在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC＝ ＝
＝6.∴ BD＝AC＝6.∵ BE＝DF＝2，∴ EF＝BD－BE－DF＝2.∴ S四边形AECF＝ AC EF＝ ×6×2＝6
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12. ★（18分）新考法 新定义题 定义：对角线相等且互相垂直的四边形叫作“宁美四边形”.
（1） 有下列四边形：① 平行四边形；② 矩形；③ 菱形；④ 正方形.
其中，一定是“宁美四边形”的有 （填序号）.
④　
第12题
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12
（2） 如图，在正方形ABCD中，E为BC上一点，连接AE，过点B作
BG⊥AE，交AE于点H，交CD于点G，连接AG，EG. 求证：四边形
ABEG是“宁美四边形”.
第12题
解：（2） ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°.∴ ∠ABG＋∠CBG＝90°.∵BG⊥AE，∴ ∠AHB＝90°.∴ ∠BAE＋∠ABG＝90°.∴ ∠BAE＝∠CBG. 在△ABE和△BCG中，∵ ∴ △ABE≌△BCG. ∴ AE＝BG. 又∵ BG⊥AE，∴ 四边形ABEG是“宁美四边形”
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12(共13张PPT)
21.6　菱　形
第2课时　菱形的判定
第二十一章　四 边 形
一、 选择题（每小题6分，共30分）
1. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD互相垂直，则下列条件中，
能判定四边形ABCD是菱形的为（　B　）
A. BA＝BC B. AC，BD互相平分
C. AC＝BD D. AB∥CD
第1题
B
2. 根据所标数据，下列四边形不一定是菱形的为（　C　）
A B C D
C
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3. （内江中考）按如下步骤作四边形ABCD：① 画∠EAF；② 以点A
为圆心，1个单位长度为半径作弧，分别交AE，AF于点B，D；③ 分
别以点B和点D为圆心，1个单位长度为半径作弧，两弧交于点C；④
连接BC，DC，BD，作出四边形ABCD如图所示.若∠A＝40°，则
∠BDC的度数是（　D　）
A. 64° B. 66° C. 68° D. 70°
第3题
D
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4. 如图，在 ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点，点G，H在
AC上，且AH＝CG. 若添加一个条件使四边形EGFH是菱形，则下列
可以添加的条件是（　D　）
A. AB＝AD B. AB⊥AD
C. AB＝AC D. AB⊥AC
第4题
D
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5. ★（德阳中考）如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD边AB，
BC，CD，DA的中点，如果BD＝AC，四边形EFGH的面积为24，且
HF＝6，那么GH的长为（　B　）
A. 4 B. 5 C. 8 D. 10
第5题
B
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二、 填空题（每小题8分，共24分）
6. 新考法 条件开放题 如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件： ，使 ABCD为菱形.
第6题
答案不唯一，如AB＝AD
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8
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11
7. 如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BG平分∠ABC，交AD于点G，
DH平分∠ADC，交BC于点H. 要使四边形BHDG为菱形，则AD的长
为 .
第7题
1＋ 　
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8. ★（教材变式）如图，将两条宽度都为1的纸条重叠在一起，使
∠ABC＝45°，则四边形ABCD的周长为 　4 　，面积为 　 　.
第8题
4 　
　
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11
三、 解答题（共46分）
9. （12分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，BD平分∠ABC，
∠A＝∠C. 求证：四边形ABCD为菱形.
第9题
解：∵ BD平分∠ABC，∴ ∠ABD＝∠CBD. 在△ABD和△CBD中，
∵ ∴ △ABD≌△CBD. ∴ AB＝CB，AD＝CD.
∵ AB＝AD，∴ AB＝CB＝CD＝AD. ∴ 四边形ABCD为菱形
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10. ★（16分）石家庄火车站建于1902年，经过多年的改建扩建，现已
成为京津冀地区重要的交通枢纽.为提高车站照明效果，新购进一批简
单而精致的吊灯（如图①），其正面的平面图如图②所示，四边形
ABCD是一个菱形外框架，对角线AC，BD相交于点O，四边形AECF
是其内部框架，且点E，F在BD上，BE＝DF.
（1） 求证：四边形AECF为菱形；
第10题
解：（1） ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ OB＝OD，OA＝OC. ∵ BE＝DF，∴ OB－BE＝OD－DF，即OE＝OF. ∴ 四边形AECF是平行四边形.∵ 四边形ABCD是菱形，∴ AC⊥BD. ∴ 四边形AECF为菱形
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（2） 若AE⊥AD，F为DE的中点，AF＝2，求四边形ABCD的周长.
解：（2） ∵ 四边形AECF是菱形，AF＝2，∴ AE＝AF＝2.
∵ AE⊥AD，∴ ∠DAE＝90°.在Rt△ADE中，F为DE的中点，∴DE＝2AF＝4.∴ 由勾股定理，得AD＝ ＝ ＝2 .
∵ 四边形ABCD为菱形，∴ 菱形ABCD的周长为4×2 ＝8
第10题
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11. ★（18分）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角
线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延
长线于点E，连接OE.
（1） 求证：四边形ABCD是菱形；
解：（1） ∵ AB∥DC，∴ ∠OAB＝∠DCA. ∵ AC平分∠BAD，∴ ∠OAB＝∠DAC. ∴ ∠DCA＝∠DAC. ∴ CD＝AD＝AB. ∵ AB∥DC，∴ 四边形ABCD是平行四边形.∵ AB＝AD，∴ 四边形ABCD是菱形
第11题
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11
（2） 若AB＝ ，BD＝2，求OE的长；
解：（2） ∵ 四边形ABCD是菱形，∴ OB＝ BD＝1，OA＝OC，BD⊥AC. ∴ ∠AOB＝90°.∵ CE⊥AB，∴ ∠AEC＝90°.在Rt△AEC中，∵ OA＝OC，∴ OE＝OA＝OC. 在Rt△AOB中，AB＝ ，OB＝1，∴ OA＝ ＝ ＝2.∴ OE＝OA＝2
第11题
（3） 在（2）的条件下，已知M是线段AC上一
点，且DM＝ ，则CM的长为 .
3或1　
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10
11(共15张PPT)
21.3　平行四边形的判定
第2课时　利用两组对边、对角线的条件判定平行四边形
第二十一章　四 边 形
一、 选择题（每小题6分，共24分）
1. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件
不能判定这个四边形是平行四边形的为（　D　）
A. AB＝DC，AD＝BC B. AB∥DC，∠ADO＝∠CBO
C. AO＝CO，BO＝DO D. AB＝AD，OB＝OD
第1题
D
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2. 如图，在△ABC中，∠B＝49°，分别以点A，C为圆心，BC，AB
长为半径作弧，两弧相交于点D，连接AD，CD，则∠ADC的度数为
（　B　）
A. 41° B. 49° C. 51° D. 59°
第2题
B
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3. 两块含30°角的全等的三角尺，能拼出的平行四边形的个数是
（　C　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 无数
C
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4. ★如图①，在 ABCD中，AD＞AB，∠ABC为锐角.要在对角线
BD上找点N，M，使四边形ANCM为平行四边形，现有图②中的甲、
乙、丙三种方案，则正确的方案（　A　）
A
甲： 　乙： 丙：
① ②
第4题
A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、乙才是
C. 只有甲、丙才是 D. 只有乙、丙才是
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二、 填空题（每小题8分，共24分）
5. 如图，要做一个平行四边形框架，只要将两根木条AC，BD的中点
重叠并用钉子固定，这样四边形ABCD就是平行四边形，这种做法的依
据是 .
第5题
两条对角线互相平分的四边形是平行四边形　
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6. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是边DC的中点，连接BE并
延长，交AD的延长线于点F，连接BD，CF，则四边形BDFC 平行四边形（填“是”或“不是”）.
第6题
是　
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10
7. ★如图，E是 ABCD的边AB上的点，连接DE，CE，Q是CE的中
点，连接BQ并延长交CD于点F，连接AF与DE相交于点P，若S△APD
＝3 cm2，S△BQC＝7 cm2，则涂色部分的面积为 cm2.
第7题
17　
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三、 解答题（共52分）
8. （16分）如图所示为由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小
等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端点都在格点上.要求以AB为
边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上.请在网格图中画出4种
不同的设计图形.
第8题
解：如图， ABCD即为所求
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9. （16分）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AD＝
3，BC＝5，E是边CD的中点，连接BE并延长，与AD的延长线交于
点F，连接BD，CF.
（1） 求证：四边形BDFC是平行四边形；
第9题
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解：（1） ∵ ∠A＝∠ABC＝90°，∴ ∠A＋∠ABC＝180°.∴ BC∥AD. ∴ ∠CBE＝∠DFE. ∵ E是边CD的中点，∴ CE＝DE. 在△BEC和△FED中，∵ ∴ △BEC≌△FED. ∴ BE＝FE. 又∵ CE＝DE，∴ 四边形BDFC是平行四边形
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（2） 若BD＝BC，求四边形BDFC的面积.
解：（2） ∵ BD＝BC＝5，∴ 在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB＝ ＝ ＝4.∵ 四边形BDFC是平行四边形，∴ DF＝BC＝5.∴ S四边形BDFC＝DF AB＝5×4＝20
第9题
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10. ★（20分）如图，四边形ABCD是平行四边形.M，N两点分别从
点D到点A、从点B到点C运动，速度相同；E，F两点分别从点A到
点B、从点C到点D运动，速度相同.点M，N之间和点E，F之间分别
用橡皮筋连接.
（1） 没有出发时，这两根橡皮筋有何关系？
解：（1） 如图①，设AC，BD相交于点O. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA＝OC，OB＝OD，即EF与MN互相平分.∴ 没有出发时，这两根橡皮筋互相平分
第10题
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（2） 若M，N，E，F四点同时出发，这两根橡皮筋还存在（1）中
的结论吗？为什么？
第10题
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10
解：（2） 若M，N，E，F四点同时出发，这两根橡皮筋还存在（1）中的结论　如图②，连接ME，EN，NF，FM. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠A＝∠C. ∵ M，N两点分别从点D到点A、从点B到点C运动，速度相同，E，F两点分别从点A到点B、从点C到点D运动，速度相同，∴ DM＝BN，AE＝CF. ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD＝BC. ∴ AD－DM＝BC－BN，即AM＝CN. 在△AEM和△CFN中，∵ ∴ △AEM≌△CFN. ∴ E＝FN. 同理，可得EN＝
FM. ∴ 四边形ENFM是平行四边形.
∴ EF与MN互相平分
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10(共13张PPT)
第二十一章小测
第二十一章　四 边 形
一、 选择题（每小题6分，共24分）
1. （云南中考）一个六边形的内角和等于（　C　）
A. 360° B. 540° C. 720° D. 900°
C
2. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理出如图所示的转换图，①
②③④处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（　C　）
A. ①处可填∠A＝90°
C. ③处可填AD＝CB
C
第2题
B. ②处可填AD＝AB
D. ④处可填∠A＝90°
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3. （兰州中考）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于
点O，点E，F分别在边AB，BC上，连接EF交对角线BD于点P. 若
P为EF的中点，∠ADB＝35°，则∠DPE的度数为（　C　）
A. 95° B. 100° C. 110° D. 145°
第3题
C
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11
4. ★（安徽中考）在如图所示的 ABCD中，E，G分别为边AD，BC
的中点，点F，H分别在边AB，CD上移动（不与端点重合），且满足
AF＝CH，则下列为定值的是（　C　）
A. 四边形EFGH的周长 B. ∠EFG的大小
C. 四边形EFGH的面积 D. 线段FH的长
第4题
C
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11
二、 填空题（每小题7分，共28分）
5. 在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若OA＝ ，AB＝
3，则BC的长为 .
6. 如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F为BC上的点，且DE∥AB，AF∥DC，DE⊥AF于点G，若AG＝3，DG＝4，四边形ABED的面积
为36，则梯形ABCD的周长为 .
第6题
4　
46　
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11
7. 如图，把菱形ABCD沿AE折叠，点B落在BC边上的点F处，连接
DF，若∠BAE＝20°，则∠FDC的度数为 °.
第7题
15　
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5
6
7
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11
8. ★★如图①， ABCD是某公园的平面示意图，A，B，C，D分别
是该公园的四个入口，两条主干道AC，BD交于点O，经测量AB＝
0.5 km，AC＝1.2 km，BD＝1 km.如图②，为提升游客游览的体验
感，准备修建三条绿道AN，MN，CM，其中点M在OB上，点N在
OD上，且BM＝ON（点M与点O，B不重合），则AN＋MN＋CM的
最小值为 km.
第8题
　
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三、 解答题（共48分）
9. （12分）如图，在△ABC中，中线BE，CD交于点O，F，G分别
是OB，OC的中点.连接DF，FG，EG，DE，求证：DF＝EG.
第9题
解：∵ BE，CD都是△ABC的中线，∴ E，D分别是AC，AB的中点.∴ DE是△ABC的中位线.∴ DE∥BC，DE＝ BC. ∵ F，G分别是OB，OC的中点，∴ FG∥BC，FG＝ BC. ∴ DE∥FG且DE＝FG. ∴ 四边形DEGF是平行四边形.∴ DF＝EG
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10. （16分）如图，四边形ABCD是正方形，E是边BC的中点，连接
DE，过点E作DE的垂线，交正方形外角的平分线于点F. 求证：
（1） ∠FEB＝∠EDC；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是正方形，∴ BC＝DC，∠ABC＝∠C＝
90°.∴ ∠EDC＋∠DEC＝90°.∵ DE⊥EF，∴ ∠DEF＝90°.
∴ ∠FEB＋∠DEC＝90°.∴ ∠FEB＝∠EDC
第10题
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（2） EF＝DE.
第10题
解：（2） 如图，在CD上截取CH＝CE，连接EH. ∵ ∠C＝90°，
∴ △CEH是等腰直角三角形.∴ ∠CHE＝45°.∴ ∠DHE＝180°－
∠CHE＝135°.∵ ∠ABC＝90°，∴ ∠ABP＝90°.∵ BF是正方形外
角∠ABP的平分线，∴ ∠ABF＝ ∠ABP＝45°.∴ ∠EBF＝∠ABC
＋∠ABF＝135°.∴ ∠EBF＝∠DHE＝135°.∵ BC＝DC，CH＝
CE，∴ BC－CE＝DC－CH，即BE＝HD. 在△BEF和△HDE中，
∵ ∴ △BEF≌△HDE. ∴ EF＝DE
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11. （20分）如图，在△ABC中，D是边BC的中点，点F，E分别在线
段AD及其延长线上，DE＝DF，连接BF，CF，BE，CE.
（1） 若BC＝EF，求证：四边形BECF是矩形.
解：（1） ∵ D是边BC的中点，∴ BD＝CD. ∵ DE＝DF，∴ 四边形BECF是平行四边形.∵ BC＝EF，∴ 四边形BECF是矩形
第11题
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11
解：（2） ① 当AC的长为5时，四边形BECF是菱形∵ AB＝AC＝5，D是边BC的中点，∴ AD⊥BC. ∴ EF⊥BC. 由（1），知四边形BECF是平行四边形，∴ 四边形BECF是菱形
第11题
（2） 已知AB＝5，BC＝6.
① 当AC的长为多少时，四边形BECF是菱形？并加以证明.
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② 请直接写出当AF的长为多少时，四边形BECF是正方形.
解：（2）② 当AF的长为1时，四边形BECF是正方形　当四边形BECF是正方形时，BC＝EF＝6，BC⊥EF. ∵ D是边BC的中点，∴ BD＝CD＝DE＝DF＝3.∴ 在Rt△ABD中，由勾股定理，得AD＝
＝ ＝4.∴ AF＝AD－DF＝4－3＝1.
第11题
（2） 已知AB＝5，BC＝6.
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11(共16张PPT)
21.2　平行四边形的性质
第2课时　平行四边形对角线的性质
第二十一章　四 边 形
一、 选择题（每小题6分，共30分）
1. 如图， ABCD的对角线交于点O，若AC＝8，BD＝10，AB＝6，
则△OAB的周长为（　C　）
A. 12 B. 13 C. 15 D. 16
第1题
C
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12
2. 如图，在 ABCD中，全等三角形共有（　C　）
A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对
第2题
C
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12
3. （教材变式）如图，在 ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，过
点O的直线分别交AD，BC于点M，N. 若△CON的面积为2，△DOM
的面积为4，则 ABCD的面积是（　C　）
A. 12 B. 16 C. 24 D. 32
第3题
C
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4. 如图，在 ABCD中，O是对角线的交点，AE⊥BC于点E，连接OE. 若△ABC的周长为12， ABCD的周长为16，则OE的长为（　C　）
A. 6 B. 4 C. 2 D. 1
第4题
C
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12
5. ★如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE平分∠ADC，
交边BC于点E，∠BCD＝60°，AD＝2AB，连接OE. 有下列结论：
① S ABCD＝AB BD；② DB平分∠ADE；③ AB＝DE；④ S△CDE＝
S△BOC. 其中，正确的有（　D　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
第5题
D
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二、 填空题（每小题6分，共24分）
6. 如图，在 ABCD中，若AC＝8，BD＝6，AD＝a，则a的取值范
围是 .
第6题
1＜a＜7　
7. 如图， ABCD的周长是36，其对角线AC和BD交于点O，AB＞
BC，△AOB和△AOD的周长差是4，则AD的长是 .
第7题
7　
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12
8. 如图， ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC. 若AB＝
4，BD＝10，则AC的长是 .
第8题
6　
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6
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12
9. ★如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，AB＝AC＝8，P为AB边上
一动点，以PA，PC为一组邻边作 PAQC，则对角线PQ长的最小值
为 .
第9题
4 　
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三、 解答题（共46分）
10. （12分）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点
O的直线EF与BA，DC的延长线分别交于点E，F，求证：AE＝CF.
第10题
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AO
＝CO，AB∥CD. ∴ ∠AEO＝∠CFO.
在△AOE和△COF中，∵
∴ △AOE≌△COF. ∴ AE＝CF
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11. （16分）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别
过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，AC平分∠DAE.
（1） 若∠AOE＝50°，求∠ACB的度数；
解：（1） ∵ AE⊥BD，∴ ∠AEO＝90°.∵ ∠AOE＝50°，∴ ∠EAO＝40°.∵ AC平分∠DAE，∴ ∠DAC＝∠EAO＝40°.∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC. ∴ ∠ACB＝∠DAC＝40°
第11题
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12
（2） 求证：AE＝CF.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OA＝OC. ∵ AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEO＝∠CFO＝90°.又∵ ∠AOE＝∠COF，∴
△AEO≌△CFO. ∴ AE＝CF
第11题
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12. ★（18分）新考法 新定义题 【问题情境】 定义：如果一个平行四边形一条对角线的长恰好等于另一条对角线长的3倍，那么称这个平行四边形为“倍线平行四边形”.
【数学思考】 如图①，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
若AB＝BC＝2 ，AC＝4，试判断 ABCD是否为“倍线平行四边
形”，并说明理由.
第12题
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解： ABCD为“倍线平行四边形”　理由：∵ 四边形ABCD是平行四
边形，∴ AO＝OC＝ AC＝ ×4＝2，BD＝2OB. ∵ AB＝BC＝2 ，
∴ BO⊥AC. ∴ ∠AOB＝90°.∴ 在Rt△AOB中，OB＝ ＝
6.∴ BD＝12.∵ AC＝4，∴ BD＝3AC. ∴ ABCD为“倍线平行四边
形”.
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12
【深入探究】 如图②， ABCD为“倍线平行四边形”（BD＞AC），
对角线AC，BD相交于点O，E是BC上的动点，连接AE交BD于点F.
若E是BC的中点，AC⊥AB，AB＝2 ，求AE的长.
第12题
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解： ∵ ABCD为“倍线平行四边形”，BD＞AC，∴ BD＝3AC，BO＝ BD，AO＝ AC. ∴ BO＝3AO. ∵ AC⊥AB，∴ ∠BAO＝90°.在Rt△AOB中，BO2－AO2＝AB2，∴ 9AO2－AO2＝（2 ）2.∴ AO＝1（负值舍去）.∴ AC＝2.∴ 在Rt△ABC中，BC＝ ＝2 .
∵ E是BC的中点，∠BAC＝90°，∴ AE＝ BC＝
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12(共16张PPT)
21.5　矩　形
第1课时　矩形的概念及其性质
第二十一章　四 边 形
一、 选择题（每小题6分，共30分）
1. 如图，矩形ABCD的对角线AC和BD交于点O，则下列结论一定正
确的是（　D　）
A. ∠BAC＝∠DAC B. AC⊥BD
C. BA＝BO D. BO＝ AC
第1题
D
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2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于
点E，∠AOD＝130°，则∠CDE的大小是（　C　）
A. 65° B. 40° C. 25° D. 20°
第2题
C
3. （绥化中考）若一个矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个
夹角为60°，则这个矩形的面积是（　B　）
A. 25 B. 25 C. 25 D. 50
B
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4. 如图，在矩形ABCD中，E为边CD的中点，连接AE并延长，交BC
的延长线于点F，连接BD，DF. 图中全等的直角三角形共有（　C　）
A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对
第4题
C
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5. 如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD，交
BC于点E，连接OE. 若∠DAO＝30°，则∠BEO的度数为（　D　）
A. 45° B. 60° C. 65° D. 75°
第5题
D
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二、 填空题（每小题6分，共24分）
6. 如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，连接AE，DE. 若AD＝
DE＝2，∠BAE＝15°，则CE的长为 .
第6题
　
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7. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是边AD的
中点，点F在对角线AC上，且AF＝ AC，连接EF. 若AC＝10，则
EF＝ .
第7题
　
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8. ★如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝8，AD＝6，折叠纸片使边AD
落在对角线DB上，点A落在点A′处，折痕为DG，则△DBG的面积
为 .
第8题
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9. ★★如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，动点E，F分别从点
A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运
动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG长
的最大值为 .
第9题
　
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三、 解答题（共46分）
10. （12分）（吉林中考）如图，在矩形ABCD中，点E，F在边BC
上，连接AE，DF，∠BAE＝∠CDF.
（1） 求证：△ABE≌△DCF；
解：（1） 在矩形ABCD中，AB＝CD，∠B＝∠C＝90°.在△ABE和△DCF中，∵ ∴△ABE≌△DCF
第10题
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（2） 当AB＝12，DF＝13时，求BE的长.
解：（2） 由（1），知△ABE≌△DCF，∴ AE＝DF＝13.在Rt△ABE中，由勾股定理，得BE＝ ＝5
第10题
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11. （16分）如图，延长矩形ABCD的边BC至点E，使CE＝BD，连
接AE.
（1） 若∠ADB＝40°，求∠E的度数；
解：（1） 如图，连接AC，交BD于点O. ∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ BD＝AC，OB＝OD＝OA＝OC，AD∥BC. ∴ ∠ADB＝∠DBC
＝∠ACB＝40°.∵ CE＝BD，∴ AC＝CE. ∴ ∠EAC＝∠E. ∵ ∠ACB＝∠E＋∠EAC＝2∠E，∴ ∠E＝20°
第11题
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（2） 若AB＝3，CE＝5，求AE的长.
解：（2） ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠ABC＝90°.∵ CE＝5，
∴ AC＝CE＝5.在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝ ＝
＝4.∴ BE＝BC＋CE＝4＋5＝9.在Rt△ABE中，由勾股定
理，得AE＝ ＝ ＝3
第11题
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12. ★（18分）如图，在矩形ABCD中，BE是∠ABC的平分线，过点
D作DF⊥BE，交BE的延长线于点F，连接AF，CF.
（1） 求证：AE＝AB；
解：（1） ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠ABC＝∠BAD
＝90°.∵ BE平分∠ABC，∴ ∠ABE＝ ∠ABC＝45°.
∴ ∠AEB＝180°－∠BAE－∠ABE＝45°.∴ ∠ABE＝∠AEB. ∴ AB＝AE
第12题
（2） 求证：AF⊥CF；
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解：（2） ∵ 四边形ABCD是矩形，∴ ∠ADC＝90°，AB＝CD. ∵ AB＝AE，∴ CD＝AE. ∵ ∠AEB＝45°，∴ ∠AEF＝135°，∠DEF＝45°.∵ DF⊥BE，∴ ∠DFE＝90°.∴ ∠EDF＝180°－∠DFE－∠DEF＝45°.∴ ∠EDF＝∠DEF. ∴ DF＝EF，∠FDC＝∠EDF＋∠ADC＝135°.∴ ∠AEF＝∠FDC. ∴ △AEF≌△CDF. ∴ ∠AFE＝∠CFD. ∴ ∠AFE＋∠EFC＝∠CFD＋∠EFC，即∠AFC＝∠DFE＝
90°.∴ AF⊥CF
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（3） 若AB＝6，BC＝8，求CF的长.
解：（3） 连接AC. ∵ 在Rt△ABC中，AC2＝AB2＋BC2＝62＋82 ＝100，∴ 在Rt△AFC中，AF2＋CF2 ＝AC2＝100.∵ △AEF≌△CDF，∴ AF
＝CF. ∴ 2CF2 ＝100.∴ CF＝5 （负值舍去）.∴ CF的长为5
第12题
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12(共14张PPT)
21.5　矩　形
第2课时　矩形的判定
第二十一章　四 边 形
一、 选择题（每小题6分，共24分）
1. 根据所标数据，下列四边形不一定是矩形的为（　A　）
A B C D
A
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2. （教材变式）小亮在家找到一块木板，他想检验这块木板的表面是
不是矩形，但仅有一根足够长的细绳，现提供了如图所示的两种检验方
法，下列说法正确的是（　A　）
A. 方法一可行，方法二不可行
B. 方法一不可行，方法二可行
C. 方法一、二都可行
D. 方法一、二都不可行
第2题
A
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3. 如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，连接AC，BD，
AC与BD交于点O，若OA＝OD＝5，AB＝6，则四边形ABCD的面积
为（　C　）
A. 24 B. 36 C. 48 D. 60
第3题
C
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4. 如图，四边形ABCD是平行四边形，延长AD到点E，使DE＝AD，
连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的
是（　B　）
A. AB＝BE B. BE⊥DC
C. ∠ADB＝90° D. CE⊥DE
第4题
B
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二、 填空题（每小题6分，共24分）
5. 新考法 条件开放题 如图，在 ABCD中，在不添加任何辅助线的情
况下，请添加一个条件： ，使 ABCD是矩形.
第5题
答案不唯一，如∠ABC＝90°
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6. 如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C顺时针旋转180°
得到△FEC，连接AE，BF. 当∠ACB＝ °时，四边形ABFE
是矩形.
第6题
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7. 如图，在矩形ABCD中，BC＝20 cm，点P在边BC上由点B向点C运动，点Q在边DA上由点D向点A运动，两点同时运动，其中一点到达则同时停止.若点P与点Q的速度分别为3 cm/s和1 cm/s，则经过 s，四边形ABPQ正好为矩形.
第7题
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8. ★如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，D是
斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于
点N，连接MN，则线段MN长的最小值为 .
第8题
　
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三、 解答题（共52分）
9. （16分）如图，在 ABCD中，DE⊥AB，点F在AB的延长线上，
且CF⊥AB. 求证：四边形DEFC是矩形.
第9题
解：∵ DE⊥AB，CF⊥AB，∴ ∠DEB＝∠CFB＝90°.∵ 四边形
ABCD是平行四边形，∴ DC∥AB. ∴ ∠EDC＝180°－∠DEB＝90°.
∴ 四边形DEFC是矩形
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10. ★（16分）如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O
（AC＞BD），E，F分别是OA，OC上的点，连接DE，DF，BE，
BF. 若OE＝OB，OF＝OD，求证：四边形EBFD是矩形.
第10题
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ OB＝OD. ∵ OE＝OB，OF
＝OD，∴ OE＝OF＝OB＝OD. ∴ 四边形EBFD是平行四边形.
又∵ BD＝OB＋OD＝OE＋OF＝EF，∴ 四边形EBFD是矩形
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11. ★（20分）我国古代数学家刘徽在《九章算术》中，给出了证明三
角形面积公式的“出入相补法”，原理如下：如图，在△ABC中，
D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，过点A作AF⊥DE，垂足为
F，延长FD至点G，使DG＝DF，连接GB，延长FE至点H，使EH
＝FE，连接CH，则易证四边形BCHG的面积等于△ABC的面积.
（1） 求证：四边形BCHG为矩形；
第11题
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解：（1） ∵ AF⊥DE，∴ ∠AFD＝∠AFE＝90°.∵ D是AB的中点，∴ AD＝BD. ∵ ∠ADF＝∠BDG，DF＝DG，∴ △ADF≌△BDG. ∴ AF＝BG，∠AFD＝∠G＝90°.同理可得，△AEF≌△CEH，∴ AF＝CH，∠AFE＝∠H＝90°.∴ ∠G＋∠H＝180°，BG＝CH. ∴ BG∥CH. ∴ 四边形BCHG为平行四边形.又∵ ∠G＝90°，∴ 四边形BCHG为矩形
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（2） 若DE＝5.5，AF＝4，利用上述结论求△ABC的面积.
解：（2） ∵ D，E分别是AB，AC的中点，∴ DE是△ABC的中位线.
∴ BC＝2DE＝11.由（1）可知，BG＝AF＝4，∴ S矩形BCHG＝BC BG＝11×4＝44.∴ S△ABC＝S矩形BCHG＝44
第11题
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