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凉山州2026届高中毕业班第二次诊断性考试
数学参考答案及评分标准
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）
1~4 BADA 5~8 CBBB
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，有错选得0分；若本题正确答案为2项，则选对1个得3分；若本题正确答案为3项，则选对1个得2分，选对2个得4分.）
9．ABC 10．ABD 11．BCD
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12． 13． 14．
四、解答题 （本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15．（13分）
【详解】（1）因为，
所以， ..................................................（2分）
因为在点处的切线方程为，
所以，， ..................................................（4分）
则，解得，所以； ..................................................（6分）
（2）由（1）得，
令，因为恒成立，即，解得， ......................................（8分）
令，解得，在上单调递减；
令，解得，在上单调递增； ..........................................（12分）
则当时，有极小值为，无极大值 . .....................................（13分）
（15分）
【详解】（1）由题意，第一次摸到白球的概率为，...............................................（2分）
即，解得，满足，所以， ..................................................（4分）
记第次摸到白球为事件,
则在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率
（另解：)． ......................................（7分）
即在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到白球的概率为； .........................................（8分）
将袋子中所有小球排成一排，至少有两个白球相邻的概率为，若
即所有白球均不相邻的概率， ...............................................（9分）
可以先排列黑球，通过插空法，让白球排列在黑球与黑球之间的空位上．
所以有种排法， .................................................（11分）
则 ，即有， ..........................................（12分）
解得，又，即， ...............................................（14分）
因为，所以的最大值为． ...............................................（15分）
（15分）
【详解】（1）解：设椭圆的半焦距为，由已知得：
，解得：， ..................................................（5分）
所以椭圆的方程为； ..................................................（6分）
（2）设，，
联立， ..................................................（7分）
整理得，
由题意得， ..................................................（9分）
，， ..................................................（10分）
所以， ..................................................（11分）
..................................................（12分）
令 ，
则
当且仅当，即时取“”号， ..................................................（14分）
所以的面积的最大值为． ..................................................（15分）
（17分）
【详解】（1）在中，因为，
所以由正弦定理得， ..................................................（2分）
即
所以 ..................................................（3分）
而，， ..................................................（4分）
得到，即成立； ..................................................（5分）
(2).①因为且由（1）题
所以，解得或（负根舍去）， ...................（7分）
又 ..................................................（8分）
且
................................................（11分）
所以； ...............................................（12分）
②证明：由①题可知，
即， ..................................................（13分）
记，则， .................................（14分）
，
当时，，所以在上单调递减，
又， .................................................（15分）
由零点存在定理及在上单调递减可知，
在区间内存在唯一实数满足，，
又，则， ..................................................（16分）
所以 成立． ..................................................（17分）
（17分）
【详解】（1）∵四边形是矩形，
∴，又, ..................................................（1分）
∴,,， ..................................................（2分）
∴,,
∴,又,
∴，又， ..................................................（4分）
∴为的角平分线， ..................................................（5分）
又，即， ..................................................（6分）
∴ ； ..................................................（7分）
（2）①如图，在平面上，过作的平行线，
则,记确定的平面为，
显然 平面平面，......................（8分）
若，则，
则平面和平面与平面所成的角均为， ..............................（9分）
如图，在平面上，过作的垂线交于，
因为平面，
所以直线与平面所成角为与, ...........................................（10分）
则, .................................................（11分）
当且仅当，即时取“=”号，
此时，最大，
所以直线与平面所成角的最大值为； ..................................................（12分）
②证明：记为线段的中点，
因为，
所以,
即,又，
所以，即， ..................................................（13分）
如图，以点为原点，，,的方向分别为轴、轴、轴
正方向，建立空间直角坐标系，因为，设，
设平面与轴交于，在平面上以点为原点，，的方向分别为轴、轴正方向，建立平面直角坐标系（长度单位与空间直角坐标系相同）
平面直角坐标系中设，
因为，
所以，消得，
所以的轨迹是离心率为的椭圆，则， ................................................（14分）
所以数列的前项和
则
当时，，不合题意； ..................................（15分）
当时，，
显然数列单调递增，
且时，，
， ..................................................（16分）
即，恒成立；
综上可知， 的最小值为2． ..................................................（17分）
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页凉山州 2026 届高中毕业班第二次诊断性考试
数 学
本试卷分选择题和非选择题两部分. 第玉卷（选择题），第域卷（非选择题），共 4页，满分 150
分，考试时间 120分钟.
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用 0.5 毫米的黑色签字笔填写在答题卡
上，并检查条形码粘贴是否正确.
2.选择题使用 2B 铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用 0.5 毫米黑色签字笔书
写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.
3.考试结束后，将答题卡收回.
第玉卷（选择题，共 58 分）
一、单项选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.）
1. 复数 m+（m-1）i 是实数，则实数 m=（ ）
A. 0 B. 1 C. -1 D. 0 或 1
2. 向量 a =（x，6）与 b =（-2,3）共线，则 x 的值为（ ）
A援 -4 B援 4 C援 9 D援 -9
3. 已知集合 A=｛x丨log2x约1｝，B=｛x丨1臆2x臆4｝，则 A胰B=（ ）
A.（-肄，2] B.（-肄，2） C.（0,2） D. [0,2]
4.（x-1）5 的二项展开式的第 3 项的系数是（ ）
A援 10 B援 -10 C援 5 D援 -5
5.如图，西昭高速施工队计划在一座大山中挖通一条直隧道，需要确定隧道 AB 的长度，工程测量
员测得隧道两端的 A,B 两点到 C 点的距离分别为 AC=12.5km，BC=7.5km，且 cos蚁ACB=0.6，
则隧道的长度为（ ）
A援 8.5km
B援 9.5km
C援 10km
D援 10.5km
6. 若正方形 ABCD 的四个顶点在曲线 x2+y2= x + y 上，则正方形 ABCD 的面积的最大值为（ ）
A. 3 B. 4 C. 3姨2 D. 5
数学试题卷 第 1 页（共 4 页）
7. 函数 y=（f x）的定义域为 R，将曲线 y=（f x）向左平移仔4 个单位得到函数 y=g（x）的图象，且 g（x）=
g（-x）=-g（x+仔2 ），则（f x）可以是（ ）
A. （f x）=-cos2x B. （f x）=sin2x C. （f x）=-sin4x D. （f x）=cos4x
8援 用测量工具测量某物体的长度，由于工具的精度以及测量技术的原因，测得 5 个数据 a1=4.8，a2=5，
5
a3=5.3，a4=5.3，a5=5.6，用 x表示这个物体的长度，当函数（f x）= 15 移（x-a）2i 取最小值时，x=（ ）i = 1
A援 4.8 B援 5.2 C援 5.3 D援 5.6
二、多项选择题（本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对得 6分，有错选得 0分；若本题正确答案为 2项，则选对 1个得 3分；若本题正确答
案为 3项，则选对 1个得 2分，选对 2个得 4分.）
9. 点 M（x0，y0）在抛物线 C颐y2=4x 上，F是 C 的焦点，以 Fx 为始边，FM 为终边的角蚁xFM=仔3 ，O 为
坐标原点，则（ ）
A援 F的坐标为（1,0） B援 MF =4 C援 x0= 32 D援 OM =姨21
10. 下列命题中，正确的命题是（ ）
A. 根据分类变量 X 与 Y 的成对样本数据，计算得到 字2=7.750.依据 琢=0.01 的独立性检验
（x0.01=6.635），可判断 X 与 Y 不独立
B援 已知 P（AB）=0.3，P（B）=0.6，则 P（A B）=0.3
C援 已知随机变量 X~B（n，p），若 E（X）=3，D（X）=2，则 p= 23
移nD援 设随机变量 X~N（0,1），若 Sn= [p（X约i）-p（X约i-1）（] n沂N*），则 lim S = 1
i = 1 n寅 n+肄 2
11. 已知圆台的上，下底半径分别为 a，b（a约b），母线长为 l，半径为 R 的球 O 与圆台的两个底面和
侧面都相切，则下列命题中正确的有（ ）
A援 a，l，b 成等差数列 B援 圆台的侧面积 S=仔（a+b）2
C援 a，R，b 成等比数列 D援圆台的体积 V = 2仔3R（l2-R2）
数学试题卷 第 2 页（共 4 页）
第域卷（非选择题，共 92 分）
三、填空题（本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分.）
12. 若PA =(1,0,0), PB =(0,2,0),PC =(0,0,3)，则点 P 到平面 ABC 的距离 d= 援
13. 若数列｛a 9 1 1n｝满足 a1= 5 , a -2 = a -2 +2，则｛an｝前 6 项的平均数 a= .n+1 n
14. 已知 x2-y2=1（x跃0，y跃0），则 x-y+ +2x y 的取值范围为 援
四、解答题（本题共 5小题，共 77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15. (13 分)设函数（f x）=（x+1）a（x a跃0，且 a屹1），曲线 y=（f x）在点（0，（f 0））处的切线方程为 y=2x+1.
（1）求 a的值；
（2）求（f x）的极值援
16.（15分）袋子中有若干个大小相同的小球，其中 3 个白球，x（x逸2）个黑球.
（1）每次从袋子中随机摸出 1 个球，摸出的球不再放回援若第 1 次摸到白球的概率为 21 ，求在
第 1 次摸到白球的条件下，第 2 次摸到白球的概率；
（2）将袋子中所有小球排成一排，记至少有两个白球相邻的概率为 p，若 p跃 23 ，求 x的最大值 援
17. 2 2（15 分）已知 F（1,0）为椭圆 C颐 x ya2 + b2 =1（a跃b跃0）的右焦点，M 为椭圆 C 的右顶点，P为椭圆 C 的
上顶点，坐标原点 O 到直线 MP的距离为 2姨721 .
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）若直线 x=my+3 交椭圆 C 于 A，B 两点援求吟ABM 的面积的最大值.
数学试题卷 第 3 页（共 4 页）
18.（17分）在吟ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 b cos A=a cos B+a.
（1）求证：2A=B；
（2）若 cos B= 97 .
淤求 sin C；
于证明：91 约sinA3 约 18 .
19.（17 分）如图，在三棱柱 ABC-A 1B1C1 中，AB=AC=2姨2 ，BC=4，二面角 B1-BC-A 的平面角为
兹（仔2 约兹约仔），点 A 1 在平面 ABC 上的射影为点 H.
（1）若四边形 BCC1B1 是矩形，求蚁BAH；
（2）若 cos 兹=- 21n（n沂N*），HB·HC =-3.
淤若 n=1，求直线 A 1A 与平面 ABC 所成角的最大值；
于当点 H 在其轨迹上运动时，点 A 1 的轨迹是离心率为 en 的圆锥曲线，记数列｛1-e2n｝的前 n
项和为 Sn，若 p沂N*，Sn+p-Sn约0.1，求 n 的最小值.
数学试题卷 第 4 页（共 4 页）

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