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(共11张PPT)
第4章　因式分解
4.3　用乘法公式分解因式
第1课时　用平方差公式分解因式
一、 选择题(每小题4分,共20分)
1. 下列各式中,能用平方差公式分解因式的是 (　　)
A. x2+4y2 B. -x2+4y2 C. x2-2y+1 D. -x2-4y2
2. 分解因式a3-9a的结果是 (　　)
A. a(a-3)(a+3) B. a(a2+9)
C. (a-3)(a+3) D. a2(a-9)
3. 下列因式分解正确的是 (　　)
A. x2+(-16y)2=(x+4y)(x-4y) B. 9a2-49=(3a+7)(7-3a)
C. -9+100x2=(3+10x)(10x-3) D. a2-2b2=(a-2b)(a+2b)
B
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C
4. 若2m+n=25,m-2n=2,则(m+3n)2-(3m-n)2的值为 (　　)
A. 200 B. -200 C. 100 D. -100
5. ★已知2a+b=6,则代数式4a2-b2+12b的值为 (　　)
A. 30 B. 36 C. 42 D. 48
B
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二、 填空题(每小题6分,共24分)
6. 分解因式:m2-9=　　　　　　　.
7. 分解因式:x2y-y3=　　　　　　　.
8. 若整式x2+ky2(k为不等于0的常数)能在有理数范围内分解因式,则k的值可以是　　　 　(写出一个即可).
9. ★将m3(x-2)+m(2-x)分解因式的结果是　 　　　　　　　.
(m+3)(m-3)
y(x+y)(x-y)
答案不唯一,如-4
m(x-2)(m+1)(m-1)
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三、 解答题(共56分)
10. (25分)把下列各式分解因式:
(1) 5-20x2; (2) 3a3-3a;
(3) 4(p-3q)2-9; (4) a2(x-y)+b2(y-x);
(1) 原式=-5(4x2-1)=-5(2x+1)(2x-1)　
(2) 原式=3a(a2-1)=3a(a+1)(a-1)　
(3) 原式=(2p-6q+3)(2p-6q-3)　
(4) 原式=a2(x-y)-b2(x-y)=(x-y)(a2-b2)=(x-y)(a+b)(a-b)　
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(5) 45(a-b)(x-5y)2+20(b-a)(4x+y)2.
(5) 原式=45(a-b)(x-5y)2-20(a-b)(4x+y)2=5(a-b)[9(x-5y)2-4(4x+y)2]=5(a-b)[(3x-15y+8x+2y)·(3x-15y-8x-2y)]=5(a-b)(11x-13y)·(-5x-17y)=-5(a-b)(11x-13y)(5x+17y)
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11. (10分)利用分解因式的方法进行简便计算.
(1) 21042-1042;
(2) 1.42×9-2.32×36.
(1) 原式=(2104+104)×(2104-104)=4416000
(2) 原式=1.42×32-2.32×62=4.22-13.82=(4.2+13.8)×(4.2-13.8)=-172.8
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12. (9分)如图,在一个边长为3acm的正方形木板上,挖掉四个边长为bcm的小正方形.利用因式分解计算当a=15.5,b=12.25时剩余部分的面积.
由题可知,剩余部分的面积为(3a)2-4b2=(3a+2b)(3a-2b)cm2.
当a=15.5,b=12.25时,(3a+2b)(3a-2b)=(3×15.5+2×12.25)×
(3×15.5-2×12.25)=71×22=1562,所以剩余部分的面积为
1 562cm2
第12题
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13. ★★(12分)当n为整数时,(n+7)2-(n-3)2能被20整除吗 请说明理由.
能　理由:因为(n+7)2-(n-3)2=(n+7+n-3)·(n+7-n+3)=20(n+2),n为整数,所以(n+7)2-(n-3)2能被20整除.
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13(共9张PPT)
第4章　因式分解
4.2　提取公因式法
一、 选择题(每小题4分,共20分)
1. 多项式-5mx3+25mx2-10mx中各项的公因式为 (　　)
A. 5mx2 B. -5mx3 C. -5mx2 D. -5mx
2. 下列各式中,运用提取公因式法分解因式正确的为 (　　)
A. 12abc-9a2b2=3abc(4-3ab) B. 3x2y-3xy=3y(x2-x)
C. -a2+ab-ac=-a(a-b+c) D. x2y+5xy-y=y(x2+5x)
3. 下列各式添括号错误的是 (　　)
A. 2a-b-x-3y=2a-(b+x+3y) B. 2a-b-x-3y=(2a-b)-(x+3y)
C. 2a-b-x-3y=-(x+3y)-(b-2a) D. 2a-b-x-3y=(2a-3y)-(b-x)
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4. 下列因式分解正确的是 (　　)
A. ab(a-b)-a(b-a)=-a(b-a)(b+1)
B. 6(m+n)2-2(m+n)=(2m+n)(3m+n+1)
C. 3(y-x)2+2(x-y)=(y-x)(3y-3x+2)
D. 3x(x+y)2-(x+y)=(x+y)2(2x+y)
5. ★如图,长为a、宽为b的长方形的周长为10,面积为6,则a3b+ab3的值为 (　　)
A. 15 B. 30
C. 60 D. 78
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二、 填空题(每小题6分,共24分)
6. 分解因式:m2-3m=　　　　.
7. 添括号:
(1) 3x2-2y=+(　　　　);
(2) -2b-3c=-(　　　　).
8. 分解因式:x(x-3)-x+3=　　　　　　.
9. ★若a+b=4,ab=1,则a2b+ab2=　　　　.
m(m-3)
3x2-2y
2b+3c
(x-1)(x-3)
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三、 解答题(共56分)
10. (20分)把下列各式分解因式:
(1) a3-2a2; (2) 4xyz-4x2yz-12xy2z;
(3) mn(n-m)-n(m-n); (4) 2(a+b)2-a-b.
(1) 原式=a2(a-2)　
(2) 原式=4xyz(1-x-3y)
(3) 原式=n(n-m)(m+1)　
(4) 原式=2(a+b)2-(a+b)=(a+b)[2(a+b)-1]=(a+b)(2a+2b-1)
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11. (12分)先分解因式,再求值:
(1) 5x(m-2)-4x(m-2),其中x=0.4,m=5.5;
(2) 8x3(x-3)+12x2(3-x),其中x=.
(1) 原式=x(m-2)(5-4)=x(m-2).当x=0.4,m=5.5时,原式=0.4×(5.5-2)=0.4×
3.5=1.4　
(2) 原式=8x3(x-3)-12x2(x-3)=4x2(x-3)(2x-3).当x=时,原式=4×=0
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12. ★(10分)如图,操场的两端为半圆形,中间是一个长方形.已知半圆的半径为rm,直跑道的长为lm,请用关于r,l的多项式表示这个操场的面积.这个多项式能因式分解吗 若能,请把它分解因式,并计算当r=40,l=30π时,操场的面积(结果保留π);若不能,请说明理由.
由题意,得操场的面积为(πr2+2rl)m2　这个多项式
能因式分解　πr2+2rl=r(πr+2l).当r=40,l=30π时,操
场的面积为40×(40π+60π)=4000π(m2)
第12题
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13. ★★(14分)阅读下面分解因式的过程,并回答问题:
1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]=(1+x)(1+x)2=(1+x)3
(1) 上述分解因式的方法是　　　　 　　,共运用了　　　　次;
(2) 若将1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)2023分解因式,则需运用上述方法
　　　　次,分解因式的结果是　　 　　;
(3) 请你直接写出将1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+x(x+1)n(n为正整数)分解因式的结果.
提取公因式法
2
2023
(x+1)2024
(3) (x+1)n+1
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第4章　因式分解
4.3　用乘法公式分解因式
第2课时　用完全平方公式分解因式
一、 选择题(每小题4分,共20分)
1. 下列各多项式中,能用完全平方公式分解因式的为 (　　)
A. a2-b2+2ab B. a2+b2+ab
C. 25n2+15n+9 D. 4a2+12a+9
2. 若x2-2mx+9是关于x的完全平方式,则m的值为 (　　)
A. 6 B. ±6 C. ±3 D. 3
3. 把8a3-8a2+2a分解因式,结果正确的是 (　　)
A. 2a(4a2-4a+1) B. 8a2(a-1)
C. 2a(2a-1)2 D. 2a(2a+1)2
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C
4. 下列因式分解正确的是 (　　)
A. (x-y)2+10(y-x)+25=(x-y+5)2 B. (x-y)2-10(y-x)+25=(x-y+5)2
C. (x-y)2+10(y-x)+25=(y-x-5)2 D. (x-y)2-10(y-x)+25=(x-y-5)2
5. ★已知正方形的面积是(16-8x+x2)cm2(x>4),则正方形的周长是 (　　)
A. (4-x)cm B. (x-4)cm
C. (16-4x)cm D. (4x-16)cm
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二、 填空题(每小题6分,共24分)
6. 分解因式:(1) (扬州中考)2x2-4x+2=　　　　　　　　　;
(2) (通辽中考)3ax2-6axy+3ay2=　　　　　　　　　.
7. 分解因式:(1) 4+12(x-y)+9(x-y)2=　　　　　　　　　;
(2) (威海中考)(x+2)(x+4)+1=　　　　　　　　　.
8. ★(广元中考)分解因式:(1) (a+1)2-4a=　　　　　　　　　;
(2) (a-b)(a-4b)+ab=　　　　　　　　　　　.
9. ★★若682-68×10+52=k+622-1,则k的值是　　　　.
2(x-1)2
3a(x-y)2
(3x-3y+2)2
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(x+3)2
(a-1)2
(a-2b)2
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三、 解答题(共56分)
10. (24分)把下列各式分解因式:
(1) 2xy2-8xy+8x; (2) 16(a-b)2+24(a-b)c+9c2;
(3) 4ab-2a2b-2b; (4) -16mx2+80mxy-100my2;
(5) (x2+2x)2+2(x2+2x)+1; (6) (x2y2+1)2-4x2y2.
(1) 原式=2x(y2-4y+4)=2x(y-2)2　
(2) 原式=[4(a-b)+3c]2=(4a-4b+3c)2　
(3) 原式=-2b(-2a+a2+1)=-2b(a-1)2　
(4) 原式=-4m(4x2-20xy+25y2)=-4m·(2x-5y)2　
(5) 原式=(x2+2x+1)2=(x+1)4　
(6) 原式=(x2y2+1+2xy)(x2y2+1-2xy)=(xy+1)2(xy-1)2
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11. (12分)先分解因式,再求值:
(1) a4-2a3b+a2b2,其中a=4,b=-1;　
(2) -x3y+2x2y2-xy3,其中x-y=1,xy=2.
(1) 原式=a2(a2-2ab+b2)=a2(a-b)2.当a=4,b=-1时,原式=42×(4+1)2=16×25=
400　
(2) 原式=-xy(x2-2xy+y2)=-xy(x-y)2.当x-y=1,xy=2时,原式=-2
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12. ★★(8分)老师给学生一个多项式,甲、乙、丙、丁四名同学分别给了一个关于此多项式的描述.
甲:这是一个三次三项式;
乙:三次项的系数为1;
丙:这个多项式的各项有公因式;
丁:这个多项式分解因式时要用到公式法.
若这四名同学的描述都正确,则请你构造一个同时满足这些描述的多项式.
答案不唯一,如x3-2x2+x
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13. ★★(12分)数学老师在课上布置了一道思考题:分解因式(x+y)2+4(x-y)2-4(x2-y2).王明想了半天,也没有得出答案,就打电话给好朋友宋辉,宋辉只是在电话里说了一句话,王明就恍然大悟了.你知道宋辉说了什么吗 这个多项式又该如何分解因式呢
将x2-y2分解因式　原式=(x+y)2+4(x-y)2-4(x+y)·(x-y)=[(x+y)-2(x-y)]2=(x+y-2x+2y)2=(x-3y)2
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第4章　因式分解
第4章小测
一、 选择题(每小题4分,共20分)
1. 下列分解因式正确的是 (　　)
A. 2mn2-2m=2m(n2-1) B. 4x2-4x+1=(2x-1)2
C. 4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2 D. a2+ab+a=a(a+b)
2. 分解因式a2-2ab+b2的结果是 (　　)
A. (a-b)2 B. (a+b)2 C. (2a-b)2 D. (a-2b)2
3. 若则代数式x2-y2的值是 (　　)
A. 8 B. 7 C. 6 D. 5
B
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4. 如图,两条线段把正方形ABCD分割出边长分别为a,b的两个小正方形,则利用该图形可以验证分解因式成立的是 (　　)
A. b2-a2=(b-a)(b+a)
B. a2+2ab+b2=(a+b)2
C. a2-2ab+b2=(a-b)2
D. a2+b2=ab(a+b)
5. ★★(河北中考)若k为任意整数,则(2k+3)2-4k2的值总能 (　　)
A. 被2整除 B. 被3整除
C. 被5整除 D. 被7整除
B
B
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二、 填空题(每小题6分,共24分)
6. 分解因式:2a2-a=　　　　.
7. 若多项式x2-mx+9是一个完全平方式,则m的值为　　　　.
8. 从m2,2mn,n2这3个单项式中先选择两个或三个组成一个多项式,再进行因式分解,写出一个这样的等式:　　　 　　　　　.
a(2a-1)
±6
答案不唯一,如m2-2mn+n2=(m-n)2
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9. ★★对于二次三项式x2+mx+n,如果能将常数项n分解成两个因数a,b,使a,b的和恰好等于一次项系数m,即ab=n,a+b=m,那么能将x2+mx+n分解因式,这种分解因式的方法叫作“十字相乘法”.为使分解过程直观,常常采用图示的方法,将二次项系数与常数项的因数分列两边(如图),再交叉相乘并求和,检验是否等于一次项系数,进而进行分解.据此,代数式x2-2x-15分解因式的结果为　　　　　　.
(x+3)(x-5)
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三、 解答题(共56分)
10. (24分)将下列各式分解因式:
(1) 4a2-1; (2) x3-2x2+x;
(3) (a-1)(a+5)+9; (4) 16x4-8x2y2+y4.
(1) 原式=(2a+1)(2a-1)　
(2) 原式=x(x2-2x+1)=x(x-1)2　
(3) 原式=a2+4a-5+9=a2+4a+4=(a+2)2
(4) 原式=(4x2-y2)2=[(2x+y)(2x-y)]2=(2x+y)2(2x-y)2
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11. (14分)已知a-b=-5,ab=8.求:
(1) a2b-ab2的值;
(2) a2-3ab+b2的值.
(1) 因为a-b=-5,ab=8,所以a2b-ab2=ab(a-b)=8×(-5)=-40　
(2) 因为a-b=-5,ab=8,所以a2-3ab+b2=a2-2ab+b2-ab=(a-b)2-ab=(-5)2-8=25-8
=17
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12. ★★(18分)小林和小王碰到了一个难题:将a4+4分解因式.
小林:“这题既不能提取公因式,又不能用乘法公式,不能分解因式吧.”
小王:“我们可以尝试先将它配上中间项,如a4+4b4=a4+4b4+4a2b2-4a2b2,使其前面三项变成一个完全平方式,得到(a2+2b2)2-4a2b2,再尝试用平方差公式分解因式.”
(1) 根据小王说的方法将a4+4分解因式;
(2) 依照上述方法将m4-m2n2+16n4分解因式.
(1) a4+4=a4+4a2+4-4a2=(a2+2)2-4a2=(a2+2+2a)(a2+2-2a)　
(2) m4-m2n2+16n4=m4+8m2n2+16n4-9m2n2=(m2+4n2)2-9m2n2=(m2+
4n2+3mn)(m2+4n2-3mn)
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第4章　因式分解
小专题(五)　分解因式的常用方法
类型一　直接用提取公因式法或公式法分解因式
1. 分解因式-4x2y+2xy2-2xy的结果是 (　　)
A. -2xy(2x-y+1) B. 2xy(-2x+y)
C. 2xy(-2xy+y-1) D. -2xy(2x+y-1)
2. 分解因式:
(1) (广西中考)a2+5a=　　　　　　;
(2) -9m2+4n2=　　　　　　　　;
(3) 4x2+12xy+9y2=　　　　　　　;
(4) (2a-b)2-36a2=　　 　　　　.
A
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a(a+5)
(2n+3m)(2n-3m)
(2x+3y)2
-(8a-b)(4a+b)
类型二　综合用提取公因式法和公式法分解因式
3. 把多项式4x-4x3分解因式正确的是 (　　)
A. -x(x+2)(x-2) B. -x(x+2)(2-x)
C. -4x(x+1)(1-x) D. 4x(x+1)(1-x)
4. 用因式分解可以知道174-154能够被某个数整除,这个数是 (　　)
A. 18 B. 28 C. 36 D. 64
D
D
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5. 分解因式:
(1) x2y-4y=　　　　　　　　　;
(2) 2b3-4b2+2b=　　　　　　　　　;
(3) x4-81y4=　　　 　　　　　　;
(4) 3m4-48=　　　　　　　　　　　.
y(x+2)(x-2)
2b(b-1)2
(x2+9y2)(x+3y)·(x-3y)
3(m2+4)(m+2)(m-2)
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类型三　用“配完全平方式”分解因式
6. 已知实数a,b满足b-a=1,则代数式a2+2b-6a+7的最小值等于 (　　)
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
A
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7. ★阅读下面的解题过程.
分解因式:x2-120x+3456.
提示:由于常数项数值较大,故采用将x2-120x变为差的平方的形式后再进行分解,这样简便易行.
解:x2-120x+3456=x2-2×60x+3600-3600+3456=(x-60)2-144=(x-60+12)·(x-60-12)=(x-48)(x-72).
参考上面的方法分解因式:x2+42x+440.
x2+42x+440=x2+2×21x+441-441+440=(x+21)2-1=(x+22)(x+20)
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类型四　用“十字相乘法”分解因式
8. ★若多项式x2-ax+12可分解为(x-3)(x+b)的形式,则a+b的值为 (　　)
A. -11 B. -3 C. 3 D. 7
C
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9. 对多项式4x2-4x-15进行因式分解可以这样思考:将二次项4x2分解为如图所示的两个2x的乘积,再将常数项-15分解成-5与3的乘积,图中对角线上的乘积的和为-4x,就是4x2-4x-15的一次项,所以有4x2-4x-15=(2x-5)(2x+3).上述这种分解因式的方法叫作十字相乘法.
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请用十字相乘法进行因式分解:
(1) 3x2-19x-14; (2) 6a2-13ab+6b2.
(1) 原式=(3x+2)(x-7)
(2) 原式=(2a-3b)(3a-2b)
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类型五　用“分组分解法”分解因式
10. ★★阅读材料:
数学研究发现常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法,但还有很多的多项式只用上述方法无法分解,如:m2-mn+2m-2n,细心观察这个式子就会发现,前两项可以提取公因式,后两项也可提取公因式,前后两部分分别分解因式后产生了新的公因式,再提取公因式就可以完成整个式子的因式分解了,过程为m2-mn+2m-2n=(m2-mn)+(2m-2n)=m(m-n)+2(m-n)=
(m-n)(m+2).
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此种分解因式的方法叫作分组分解法,请在这种方法的启发下,解决下列问题:
(1) 分解因式:a3-3a2+6a-18;
(2) 已知m+n=5,m-n=1,求m2-n2+2m-2n的值;
(1) 原式=a2(a-3)+6(a-3)=(a-3)(a2+6)
(2) 因为m+n=5,m-n=1,所以m2-n2+2m-2n=(m+n)·(m-n)+2(m-n)=(m-n)(m+
n+2)=1×(5+2)=7
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(3) 已知三角形ABC的三边长a,b,c满足a2+2b2+c2=2ab+2bc,判断三角形ABC的形状并说明理由.
(3) 三角形ABC是等边三角形　理由:因为a2+2b2+c2=2ab+2bc,即a2+2b2+
c2-2ab-2bc=0,所以a2-2ab+b2+b2-2bc+c2=(a-b)2+(b-c)2=0.所以a-b=0,b-c=0.所以a=b=c.所以三角形ABC是等边三角形.
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10(共12张PPT)
第4章　因式分解
4.1　因式分解的意义
一、 选择题(每小题4分,共20分)
1. 下列由左到右的变形,属于因式分解的是 (　　)
A. (x+2)(x-2)=x2-4 B. x2-4=(x+2)(x-2)
C. x2-4+3x=(x+2)(x-2)+3x D. x2+4x-2=x(x+4)-2
2. 下列变形是因式分解的为 (　　)
A. x(x+12)=x2+2x B. x2+4x+4=(x+2)2
C. 2x2+4xy-3=2x(x+2y)-3 D. x2+6x+4=(x+3)2-5
B
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B
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3. 下列因式分解正确的是 (　　)
A. -ax-ay=-a(x-y)
B. a2-4b2=(a+4b)(a-4b)
C. a2-3ab-4b2=(a+b)(a-4b)
D. a2-6ab-9b2=(a-3b)2
4. 把多项式x+ax+b分解因式,得到(x+1)(x-3),则a,b的值分别为 (　　)
A. 2,3 B. -2,-3
C. -2,3 D. 2,-3
C
B
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5. ★下列关于851×92+851×8的运算中,最简便的方法是 (　　)
A. 851×92+851×8=851×(92+8)=851×100=85100
B. 851×92+851×8=851×4×(23+2)=851×4×25=85100
C. 851×92+851×8=4×(851×23+851×2)=4×(19573+1702)=85100
D. 851×92+851×8=78292+6808=85100
A
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二、 填空题(每小题6分,共24分)
6. 有下列四个式子:① x2+1=x;② x2-4-3x=(x+2)(x-2)-3x;③ ab2-2ab
=ab(b-2);④ -a2+4=(2-a)(2+a).其中,从左到右的变形不属于因式分解的有
　　　　个.
7. 已知乘法运算(x-2)(x2+2x+4)=x3-8,则分解因式x3-8=　　　　　　　　.
8. 已知多项式3x2-mx-12分解因式的结果为(3x+2)(x-n),则m=　　　　,n=
　　　　.
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(x-2)(x2+2x+4)
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9. ★如图所示为一个边长为m的正方形和两个长、宽分别为m,n的小长方形拼成的一个大长方形.根据图形可得一个关于因式分解的等式为
　　　　　　　　　.
m2+2mn=m(m+2n)
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三、 解答题(共56分)
10. (12分)连一连.
6mn-8m2　　　　　　　　　　　 (m-7n)2
9m2-n2 2m(3n-4m)
m2+2mn-3n2 (m+3n)(m-n)
m2-14mn+49n2 (3m+n)(3m-n)
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11. (15分)检验下列因式分解是否正确:
(1) 3x3y-3xy3=3xy(x+y)(x-y);
(2) 2a2-1=(2a+1)(2a-1);
(3) x2-3x+2=(x-1)(x-2).
(1) 因为3xy(x+y)(x-y)=3xy(x2-y2)=3x3y-3xy3,所以因式分解3x3y-3xy3=3xy(x
+y)(x-y)正确
(2) 因为(2a+1)(2a-1)=4a2-1≠2a2-1,所以因式分解2a2-1=(2a+1)(2a-1)不正确　
(3) 因为(x-1)(x-2)=x2-2x-x+2=x2-3x+2,所以因式分解x2-3x+2=(x-
1)(x-2)正确
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12. (15分)用简便方法计算下列各题:
(1) 32×20.23+68×20.23; 　　　　　　
(2) 1022-102×97; 　　　　　　　　
(3) 20232-20222.
(1) 原式=(32+68)×20.23=100×20.23=2023
(2) 原式=102×(102-97)=102×5=510
(3) 原式=(2023+2022)×(2023-2022)=4045×1=4045
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13. ★★(14分)阅读下面的例题:
例题:已知二次三项式x2-4x+m有一个因式为x+3,求另一个因式以及m的值.
解:设另一个因式为x+n,可得x2-4x+m=(x+3)(x+n),则x2-4x+m=x2+(n+3)x+
3n.所以解得n=-7,m=-21. 所以另一个因式为x-7,m的值为-21.
仿照以上方法解答下面的问题:
已知二次三项式2x2+3x-k有一个因式为2x-5,求另一个因式以及k的值.
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设另一个因式为x+a,得2x2+3x-k=(2x-5)·(x+a),则2x2+3x-k=2x2+(2a-5)x-5a.所以解得a=4,k=20.所以另一个因式为x+4,k的值为20
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