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2025-2026学年广东省广州市越秀区执信中学九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列四个图形中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.若，是方程的两个实数根，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.关于抛物线，下列说法错误的是( )
A. 抛物线开口向下 B. 当时，y有最小值为3
C. 原点坐标是 D. 当时，y随x的增大而减小
4.如图，把绕着点A顺时针方向旋转，得到，点C刚好落在边上．则( )
A.
B.
C.
D.
5.如图，AB为直径，点C、D在上，如果，那么的度数为( )
A.
B.
C.
D.
6.已知点，，均在抛物线上，下列说法中正确的是( )
A. B. C. D.
7.在平面直角坐标系中，点P坐标，以P为圆心，4个单位长度为半径作圆，下列说法正确的是( )
A. 原点O在内 B. 原点O在上 C. 与x轴相切 D. 与y轴相切
8.已知线段，则经过A，B两点且半径为6cm的圆有( )
A. 0个 B. 2个 C. 1个 D. 无数个
9.如图，以AB为直径作半圆O，C是半圆的中点，P是弧BC上一点，若，，则PC长为( )
A. 6
B.
C. 8
D.
10.二次函数大致图象如图所示，其中顶点为，下列5个结论：①；②；③；④若方程有两根为和，且，则；⑤若方程有四个根，则这四个根的和为其中正确结论的个数是( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为，点B与点A关于原点对称，则点B的坐标为 .
12.如图，OA是的半径，弦于点D，连接OB，若的半径为5cm，BC的长为8cm，则AD的长是
13.抛物线的部分图象如图所示，当时，自变量x的取值范围为 .
14.如图，AB是的直径，CD是的切线，切点为D，直线CD与AB的延长线交于点C，若，，则BC的长度为 .
15.如图，平面直角坐标系xOy中，边长为1的小正方形组成的网格中，正方形ABCD的边AD在y轴正半轴上边，B、C在第一象限，且，，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转，若点B的对应点恰好落在坐标轴上，则点C的对应点的坐标为______.
16.如图，在中，，，，线段BC绕点B旋转到BD，连接AD，E为AD的中点，连接CE，则CE的最大值是 .
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题4分
解方程：
18.本小题4分
如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，B，C均为格点每个小正方形的顶点叫做格点
作点关于原点O的对称点A；
连接AC，AB得，将绕点A逆时针旋转得，画出旋转后的；
在的条件下，点的坐标是______.
19.本小题6分
如图，AD平分交于点D，AB为的直径，过点A作于点E，延长AB交直线l于点
求证：直线l为的切线；
若，，求的半径.
20.本小题6分
如图，将绕点C逆时针旋转至的位置，此时A、B、D三点共线.
求的大小；
若，，求AC的长.
21.本小题8分
如图，AC为的直径，AD为的弦，，
尺规作图：作的平分线交于点保留作图痕迹；
在的条件下，
①求______直接填空；
②求AB的长.
22.本小题10分
某超市销售一种商品，成本每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于68元，经市场调查，每天的销售量千克与每千克售价分数据如表：
售价元/千克 50 60 65
销售量千克 100 80 70
求y与x之间的函数表达式；
设商品每天的总利润为元，求w与x之间的函数表达式利润=收入-成本；并求出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少？
23.本小题10分
如图，抛物线与x轴交于A、B两点点A在点B的左侧，点A的坐标为，与y轴交于点，作直线BC，动点P在x轴上运动，过点P作轴，交抛物线于点M，交直线BC于点N，设点P的横坐标为
求抛物线的解析式和直线BC的解析式；
当点P在线段OB上运动时，求面积的最大值及取得最大值时点M的坐标；
当点P在线段OB上运动时，若是等腰三角形时，直接写出m的值为______.
24.本小题12分
如图1，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连接AM、AN、MN，，请你探究线段DM、BN与MN之间的数量关系直接写出答案：______
如图2，在正方形ABCD中，点E，F在对角线BD上，且，请你猜想线段BE，EF，FD之间的数量关系，并证明.
如图3，正方形ABCD的边长为，点P为边CD上一点，于E，Q为BP中点，连接CQ并延长交BD于点F，且，请求出PD的长.
25.本小题12分
已知二次函数，点
若点P在二次函数的图象上，求m的值；
当点P所在的直线与二次函数的图象恰有一个公共点时，求点P的坐标；
已知，Q为抛物线对称轴上一点，以PQ为边作矩形PQMN，使点E为矩形PQMN的对称中心，若抛物线与矩形PQMN的边恰有两个公共点时，求m的取值范围.
参考答案
一、选择题
1.C
2.A
3.B
4.D
5.A
6.B
7.C
8.B
9.D
10.C
二、填空题
11.
12.2
13.或
14.
15.或
16.
三、解答题
17.解：，
，
或，
则，
18.解：如图，点A即为所求．
如图，即为所求．
由图可得，点的坐标是
故答案为：
19.证明：连接OD，BD，如图所示：
平分交于点D，
，
为的直径，
，
，
，
直线l，
直线l，
又是的半径，
直线l为的切线；
解：设的半径为R，
为的直径，
，
，，
，
由可知：直线l为的切线，
由弦切角定理得：，
又，
∽，
，
，
解得：
的半径为
20.解：由旋转得，，
、B、D三点共线，
，
的度数是
由旋转得，
，
，
，，
，
，
的长为
21.解：如图，射线DB即为所求；
①平分，
，
，
，
是直径，
，
故答案为：45；
②是直径，
，
，
，
，
22.解：设，由题意，
得，
解得，
所求函数表达式为；
根据题意得：
，其中，
，
当时，W随x的增大而增大；
故当售价为68元时，获得最大利润，这时最大利润为1792元．
23.解：将点、代入抛物线，
得，
解得，
抛物线解析式为，
令，则，
解得，
故点，
设直线BC解析式为，
将代入得，
解得，
直线BC解析式为；
由题意，点，
则，，其中，
，
配方得，
当时，MN最大值为，
，
当MN最大时，最大，最大值为，
将代入，得，
故M的坐标为；
由知，点，点，点，
，
，
当时，，
解得舍；
当时，，
解得不合题意舍，
当，，
解得舍去，
综上或
24.解：将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，
≌，
，，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
故答案为：；
；
证明：如图2，将绕点A顺时针旋转得到，连接QE，
四边形ABCD是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，
，，
；
连接QE，CE，
四边形ABCD是正方形，
，，
，
，
为BP的中点，
，
，，
，
，
将绕点C逆时针旋转得到，连接FG，
则，，，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
，
≌，
，
正方形ABCD的边长为，
，
，
设，，则，
，
解得：，
，
25.将点P代入二次函数得：，
；
点P所在直线为：，
联立二次函数与一次函数得：
，
，
；
；
抛物线的顶点坐标为：，
是矩形PQMN的中心，
，
，，
当时，，
当时，
抛物线和矩形PQMN有两个交点，
，
解得：；
当时，
，
解得：，
综上所述，或

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