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第2课时　勾股定理在实际生活中的应用
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学习目标
课堂探究
学后反思
课后作业
学习目标
1.能从实际问题中抽象出直角三角形模型,运用勾股定理解决简单的实际问题.
2.利用勾股定理列方程(方程组),求出未知数,进而解决实际问题.
课堂探究
问题一　利用勾股定理直接求线段长
如图,数学兴趣小组要测量学校旗杆的高度,同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段(如图①),同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1 m,再将绳子拉直(如图②),测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5 m,则旗杆的高度AB是多少米
① ②
探究1-1:如图,CE表示风筝高度.已知:①测得BD的长度为8 m(BD⊥CE);②根据人手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为17 m;③人的身高AB为1.6 m.若想使风筝沿CD方向下降9 m,则应该往回收线多少米
探究1-2:如图,在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船,河岸上一男孩拽着绳子的另一端向右走,绳端从点C移动到点E处,同时小船从点A移动到点B处,且绳长始终保持不变.A,B,F三点在同一条直线上,且CF⊥AF.已知AC=17 m,CE=7 m,CF=8 m,求小船移动的距离AB的长.
问题二　利用勾股定理列方程求线段长
如图,有一把10 m长的梯子AB斜靠在竖直的墙AO上,已知AO为8 m.
探究2-1:如果梯子的底端B外移2 m到了B′处,则梯子的顶端下滑的距离AA′是多少米
探究2-2:如果梯子的顶端A沿墙下滑的距离AA′为1 m,那么梯子的底端B外移的距离BB′是多少米
探究2-3:如图,梯子AB斜靠在一竖直的墙上,这时BO为7 m.如果梯子的顶端A沿墙下滑4 m,那么梯子的底端B也外移8 m,求梯子AB的长.
问题三　利用勾股定理求立体图形上两点间的最短距离
如图,在圆柱的下底面圆周点A处有一只蚂蚁,它想从圆柱的侧面绕一圈爬到点A的正上方上底面圆周上的点B处,你能帮它找到一条最短的路线吗
解:如图，线段AB的长即为最短路线．
探究3-1:如图,一个无盖长方体盒子的长、宽、高分别是8 cm,8 cm,
12 cm.一只蚂蚁想从盒底的A点沿长方体的表面爬到盒顶的B点,有很多种爬法.你能帮助蚂蚁设计一条最短路线吗 请计算最短路程.
探究3-2:小强家因装修准备用电梯搬运一些木条上楼,若将电梯看作一个长方体,已知电梯的长、宽、高分别是1 m,1 m,2 m,则电梯内能放入这些木条的最大长度(保留1位小数)约是(　　)
A.2.6 m B.2.4 m
C.2.2 m D.2.1 m
B
学后反思
1.请列举一些勾股定理的简单应用.
2.学习本节课后,你还有什么疑问 提出一些还未解决的问题.
课后作业
基础题
1.如图是一段楼梯,高BC是3 m,斜边AB长是5 m,现打算在楼梯上铺地毯,地毯的长度至少为(　 　)
A.5 m B.6 m C.7 m D.8 m
2.如图,一根电线杆在离地面6 m处的A点断裂,此时电线杆顶部C点落在离电线杆底部B点8 m远的地方,则此电线杆原来长度为(　 　)
A.10 m B.12 m
C.14 m D.16 m
C
D
3.如图,一只小鸟从树尖C点飞向塔尖A处.已知树高6 m,塔高12 m,树与塔的水平距离为8 m,则小鸟飞行的最短路程为(　 　)
A.8 m B.10 m
C.11 m D.12 m
B
4.我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个有趣的问题,这个问题的意思是:有一个水池,截面是一个边长为12尺的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面2尺,如图,如果把这根芦苇拉向池边,它的顶端恰好到达池边的水面.那么水深多少 芦苇长多少
5.如图,要建一个苗圃,它的宽a=4.8 m,高b=3.6 m.苗圃总长d=10 m.
(1)求苗圃的占地面积.
(2)覆盖在顶上的塑料薄膜需要多少平方米
解:(1)苗圃的占地面积为ad=4.8×10=48(m2).
6.如图,一根长2.5 m的木棍(AB)斜靠在与地面(OM)垂直的墙(ON)上,此时点O与点B的距离为0.7 m,若木棍的A端沿墙下滑,则B端沿地面向右滑行.如果木棍的A端沿墙下滑0.4 m,那么木棍的B端向右移动多
少米
拓展题
7.有一个圆柱形茶杯,在茶杯的外侧A处有一只小蚂蚁,它到杯子口C点的距离为6 cm,在茶杯的内侧B处有一块糖果,它到杯子口D点的距离为2 cm,C,D两点间的弧线长为6 cm,请你帮小蚂蚁算一算,至少要走
　 　cm才能吃到糖果.
10
8.如图是一个木箱,它的长为3 m,宽为2.5 m,高为0.75 m,箱子的中央点B处有一块糖,在箱底A处有一只小蚂蚁,小蚂蚁要找到这块糖,则它行走的最短路程是多少
①
②
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第4课时　勾股定理综合课
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学习目标
课堂探究
学后反思
课后作业
学习目标
1.通过构造直角三角形利用勾股定理进行长度和面积计算.
2.运用勾股定理列方程或方程组解决实际问题.
课堂探究
问题一　简单地构造直角三角形解决问题
已知在△ABC中,AB=5,AC=6,BC=7,求边BC上的高和△ABC的面积.
探究1-1:已知在△ABC中,∠B=45°,∠C=60°,AB=10,求AC和BC的长.
探究1-2:已知在△ABC中,∠B=45°,∠C=60°,BC=10,求AB和AC的长.
问题二　较复杂地构造直角三角形解决问题
如图,在四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,AB=2,CD=1.求AD,BC的长.
探究2-1:如图,在四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,AD=8,AB=7.试求BC和CD的长.
[数学应用]
如图,在△ABC中,已知AB=9,AC=8,BC=7.
(1)请运用此公式求△ABC的面积;
(2)设边AC上的高为h1,边BC上的高为h2,求h1+h2的值.
问题三　勾股定理与其他几何知识的综合
如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥AB,∠C=30°,AD=4 cm.求DC,BC,AC的长.
探究3-1:如图,在△ABC中,CD⊥AB于点D,BC=15,CD=12,AD=16.
(1)求BD的长;(2)求△ABC的面积.
探究3-2:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,点E在AC上,且DE=BD.
(1)求证:∠B=∠CED;
(2)若AB=16,AE=6,求CE的长.
学后反思
1.勾股定理有哪些应用
2.学习本节课后,你还有什么疑问 提出一些还未解决的问题.
课后作业
基础题
1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=2,则BC=(　 　)
A
C
3.如图,在△ABC中,已知CD⊥AB,AC=20,BC=13,CD=12,求AB的长.
5.小慧想在一个矩形材料中剪出如图的阴影图形,作为要制作的航模飞机的一个翅膀,请你根据图中数据帮她计算出BE,CD的长度(结果保留根号).
拓展题
①
解:(1)如图①.(答案不唯一)
①
(2)在图②中画一个三边长均为无理数,且各边都不相等的直角三角形DEF.
②
解:(2)如图②.(答案不唯一)
②
7.在△ABC中,AB=13 cm,AC=20 cm,边BC上的高为12 cm,求△ABC的
面积.
①
②
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第3课时　利用勾股定理作图和计算
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学习目标
课堂探究
学后反思
课后作业
学习目标
1.会运用勾股定理确定数轴上表示实数的点及解决网格作图问题.
2.能灵活运用勾股定理列方程进行计算,并会运用勾股定理解决折叠问题.
课堂探究
问题一　确定数轴上表示实数的点
我们知道数轴上的点与实数一一对应,有的表示有理数,有的表示无理数.你能在数轴上作出表示无理数的点吗
解:(1)
(2)
解:如图所示.
问题二　利用勾股定理求图形边长及面积
探究2-1:如图,方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度,点A,B,C都在格点上(两条网格线的交点叫格点).
(1)求AB的长度;(2)求△ABC的面积.
探究2-2:如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,点A,B,C都在网格线的交点上.
(1)求△ABC的面积;(2)求边AB上的高.
问题三　利用勾股定理解决折叠问题
探究3-1:如图,折叠长方形的一边AD,使点D落在边BC的点E处,已知AB=6 cm,BC=10 cm,求CF的长度.
探究3-2:如图,将矩形ABCD折叠,折痕为EF,BC的对应边B′C′与CD交于点M,若∠B′MD=50°,则∠BEF的度数为(　　)
A.50°
B.60°
C.70°
D.80°
C
探究3-3:如图,点E是矩形ABCD的边BC的中点,将△ABE折叠得到△AFE,点F在矩形内部,AF的延长线交CD于点G,若AD=12,CG=4,则AB的长为
(　　)
A.7
B.8
C.9
D.10
C
学后反思
1.如何利用勾股定理作出长度为无理数的线段
2.如何利用勾股定理解决网格计算和几何折叠问题
3.学习本节课后,你还有什么疑问 提出一些还未解决的问题.
课后作业
基础题
B
2.如图,在平面直角坐标系中,点P的坐标为(-4,1),以点O为圆心,以OP的长为半径画弧,交x轴的负半轴于点A,则点A的横坐标介于(　 　)
A.-4和-3之间 B.-5和-4之间
C.3和4之间 D.4和5之间
3.如图,正方形OABC的边长为1,OA在x轴上,以原点O为圆心,对角线OB的长为半径画弧,交x轴的正半轴于点D,则点D表示的实数是　　 .
B
4.如图,将矩形纸片ABCD沿AE折叠,使点D落在边BC的点F处.已知AB=
8 cm,BC=10 cm,则△ADE的周长是　 　.
①④
拓展题
6.如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中,线段AB的两个端点都在正方形网格的格点上,则AB的长度可能是(　 　)
B
(2)求证:CF=CE.
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20.1　勾股定理及其应用
第1课时　勾股定理
第二十章　勾股定理
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学习目标
课堂探究
学后反思
课后作业
学习目标
1.经历勾股定理的探究过程,了解关于勾股定理的一些文化历史背景,会用面积法来证明勾股定理,体会数形结合的思想.
2.会用勾股定理进行简单的计算和证明.
课堂探究
问题一　探索勾股定理
探究1-1:如图,请问正方形A,B,C的面积之间满足什么数量关系 正方形A′,B′,C′的面积之间满足什么数量关系 并说明理由.
探究1-2:如图,对任意直角三角形ABC,分别以三边为边作正方形,正方形的面积之间是否满足上面的关系
探究1-3:什么是勾股定理
答:如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
问题二　勾股定理的证明
勾股定理的证明方法有许多,其中大部分是通过图形的拼接来证明.下面介绍几种常见的证明方法.
探究2-1:阅读材料,解决问题.
我国古代数学家赵爽创建了一幅“弦图”,利用面积法给出了勾股定理的证明.实际上,该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系.如图,这是由8个全等的直角边长分别为a,b,斜边长为c的
三角形拼成的“弦图”.
(1)在图中,正方形ABCD的面积可表示为　　　　　　,正方形PQMN的面积可表示为　　　　.(用含a,b的式子表示)
(2)请结合图,用面积法说明(a+b)2,ab,(a-b)2三者之间的等量关系.
(3)由(2)你能得出直角三角形的三边关系吗
探究2-2:请你根据下面图形,完成勾股定理的证明.
如图,两个全等的直角三角形(阴影部分)的直角边长分别为a,b,斜边长为c.求证:a2+b2=c2.
探究2-3:你还能想出其他证明勾股定理的方法吗
略
问题三　利用勾股定理计算边长
探究3-1:已知直角三角形的两边长分别为5和12,求第三边的长.
探究3-2:在△ABC中,∠C=90°.
(1)若AC=1,BC=2,求AB;
(2)若∠A=30°,BC=2,求AC和AB;
(3)若AB=34,BC∶AC=8∶15,求AC和BC.
学后反思
1.什么是勾股定理 你有哪些方法证明勾股定理
2.学习本节课后,你还有什么疑问 提出一些还未解决的问题.
课后作业
基础题
1.若等腰三角形的底边长为12 cm,腰长为10 cm,则底边上的高为(　)
A.12 cm B.10 cm C.8 cm D.6 cm
2.如图,字母A所代表的正方形的面积为(　 　)
A.4 B.16
C.36 D.64
C
C
3.如图,分别以直角三角形的三边为直径向三角形外作三个半圆,三个半圆的面积分别为S1,S2,S3,其中S2=6π,S3=10π,则S1的值为(　 　)
A.4π B.8π
C.12π D.16π
4.如图是一棵美丽的“勾股树”,其中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形.若正方形A,B,C,D的边长分别是2,3,3,6,则最大正方形E的面积是(　 　)
A.14 B.34 C.58 D.72
A
C
5.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,BC=3 cm,AB=5 cm.
(1)求△ABC的面积;
(2)求线段CD的长.
拓展题
6.直角三角形三条边长的比是3∶4∶5,则这个三角形三条边上的高的比是(　 　)
A.15∶12∶8 B.15∶20∶12 C.12∶15∶20 D.20∶15∶12
7.如图,在平面直角坐标系中,将△ABO沿x轴向右滚动到△AB1C1的位
置,再到△A1B1C2的位置……依次进行下去.若已知点A(4,0),B(0,3),
AB=5,则点C100的坐标为　 　.
D
(600,0)
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