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第3课时　勾股定理及其逆定理综合课
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学习目标
课堂探究
学后反思
课后作业
学习目标
1.灵活运用勾股定理的逆定理判断三角形的形状.
2.会用勾股定理及其逆定理进行计算和证明.
课堂探究
问题一　灵活运用勾股定理的逆定理判断三角形的形状
(2)试判断△ABC的形状,并说明理由.
(2)试问以a,b,c为长度的三条线段能否构成直角三角形 若能构成直角三角形,求出三角形的周长;若不能构成直角三角形,请说明理由.
探究1-2:
观察下列勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;…;a,b,c.你能发现什么规律 根据你发现的规律解答下列问题:
(1)当a=19时,b,c的值分别是多少
解:(1)当a＝19时，设b＝k，则c＝k+1，观察有如下规律:192+k2＝(k+1)2，解得k＝180，故b＝180，c＝181．
(2)当a=2n+1时,求b,c的值.你能证明所发现的规律吗
问题二　利用勾股定理及其逆定理进行计算
如图,D是BC上一点,若AB=10,AD=8,AC=17,BD=6,求BC的长.
探究2-1:如图,在△ABC中,AB=13 cm,AC=5 cm,BC边上的中线AD=6 cm,求BC的长.
问题三　勾股定理及其逆定理与其他知识的综合
如图,D为AB上一点,△ACE≌△BCD,AD2+DB2=DE2,试判断△ABC的形状,并说明理由.
探究3-1:如图,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,AC=12,AB=13,点D是Rt△ABC外一点,连接DC,DB,且CD=4,BD=3.
(1)求证:∠D=90°;
(2)求四边形ABDC的面积.
(2)求BD的长.
学后反思
1.你能灵活运用勾股定理及其逆定理进行计算和证明吗
2.学习本节课后,你还有什么疑问 提出一些还未解决的问题.
课后作业
基础题
D
2.有下列各组数:①1,2,3;②6,8,10;③0.3,0.4,0.5;④9,40,41.其中是勾股数的是　 　.(填序号)
3.如图,在△ABC中,AB=AC,点D为AB上一点,连接CD,若BD=5,DC=12,
BC=13,则AB=　 　.
②④
16.9
拓展题
6.已知:△ABC的三边长分别为a,b,c.
求证:a2+c2-b2<2ac.
证明:如图,过点C作CD⊥AB于点D.
在Rt△ACD中,b2=CD2+AD2,
在Rt△CDB中,CD2=a2-BD2,
∴b2=a2-BD2+(c-BD)2.
∴b2=a2+c2-2c·BD.∴a2+c2-b2=2c·BD.
∵BD7.如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,BD=1,AD=2,CD=4.
(1)求证:∠BAC=90°;
(1)证明:∵AD⊥BC,AD=2,BD=1,
∴AB2=AD2+BD2=5.
∵AD⊥BC,CD=4,AD=2,∴AC2=CD2+AD2=20.
∵BC=CD+BD=5,∴BC2=25.
∴AC2+AB2=25=BC2,∴△ABC是直角三角形,且∠BAC=90°.
(2)点P为线段BC上一点,连接AP,若△ABP为等腰三角形,求BP的长.
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20.2　勾股定理的逆定理及其应用
第1课时　勾股定理的逆定理
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学习目标
课堂探究
学后反思
课后作业
学习目标
1.掌握勾股定理的逆定理的概念,理解互逆命题、逆定理的概念.
2.理解勾股数的概念,并能判断勾股数.
3.能证明勾股定理的逆定理,能利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形.
课堂探究
问题一　直角三角形的判定(勾股定理的逆定理)
勾股定理的内容是什么
答:如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.
探究1-1:如果△ABC的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么△ABC是直角三角形吗
解:△ABC是直角三角形.
探究1-2:判断由线段a,b,c组成的三角形是不是直角三角形.
(1)a=15,b=8,c=17;(2)a=15,b=16,c=17.
探究1-3:古希腊的哲学家柏拉图曾指出,如果m表示大于1的整数,a= 2m,b=m2-1,c=m2+1,那么a,b,c为勾股数.你认为正确吗 如果正确,请说明理由,并利用这个结论得出一些勾股数.
问题二　勾股定理逆定理的应用
探究2-1:如图,在四边形ABCD中,AB=1,BC=2,CD=2,AD=3,且AB⊥BC.证明:AC⊥CD.
探究2-2:如图,在四边形ABCD中,AB=BC=2,CD=1,DA=3,∠ABC=90°.求四边形ABCD的面积.
学后反思
1.勾股定理的逆定理是什么
2.学习本节课后,你还有什么疑问 提出一些还未解决的问题.
课后作业
基础题
A
D
3.在△ABC中,已知∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则下列条件中,不能判定△ABC为直角三角形的是(　 　)
A.a=6,b=10,c=8
B.a∶b∶c=5∶12∶13
C.∠A+∠C=∠B
D.∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5
D
(1)若点C(-2,3),D(-1,1),则CD=　　　　;
(2)在(1)的条件下,已知点E(3,3),判断△CDE的形状,并说明理由.
拓展题
5.阅读下面内容.设a,b,c是一个三角形的三条边的长,且a是最长边,我们可以利用a,b,c的关系来判断这个三角形的形状:①若a2=b2+c2,则该三角形是直角三角形;②若a2>b2+c2,则该三角形是钝角三角形;③若a2例如:若一个三角形的三条边长分别是4,5,6,则最长边是6,由于62= 36<42+52,故由上面③可知该三角形是锐角三角形.请解答以下问题:
(1)若一个三角形的三条边长分别是6,7,8,则该三角形是　　　　三角形.
(2)若一个三角形的三条边长分别是5,12,x,且这个三角形是直角三角形,则x的值为　　　　.
(3)若一个三角形的三条边长分别是m2-n2,2mn,m2+n2,请判断这个三角形的形状,并写出判断过程.
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第2课时　勾股定理的逆定理的应用
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学习目标
课堂探究
学后反思
课后作业
学习目标
1.灵活应用勾股定理及其逆定理解决实际问题.
2.将实际问题转化成直角三角形问题,利用勾股定理的逆定理解决.
课堂探究
问题一　勾股定理逆定理的实际应用
如图,甲、乙两船同时从港口A出发,甲船以每小时30海里的速度沿北偏东35°方向航行,乙船以每小时40海里的速度沿另一方向航行,1小时后,甲船到达C岛,乙船到达B岛,若C,B两岛相距50海里,请求出乙船的航行方向.
探究1-1:如图,在某国沿海有一艘不明国籍的轮船进入该国海域,该国甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13海里的A,B两个基地前去拦截,6分钟后同时到达C处将其拦截.已知甲巡逻艇每小时航行120海里,乙巡逻艇每小时航行50海里,航向为北偏西23°.
(1)求甲巡逻艇的航行方向.
(2)成功拦截后,甲、乙两艘巡逻艇同时沿原方向返回且速度不变,3分钟后甲、乙两艘巡逻艇相距多少海里
问题二　勾股定理与其逆定理的综合
一个零件的形状如图,按规定∠ADC应为直角,工人师傅测得∠BAC=
90°,AD=3,CD=4,AB=12,BC=13.请帮他看一下,这个零件符合要求吗 为什么
探究2-1:如图,在四边形ABCD中,AB=20 cm,BC=15 cm,CD=7 cm,AD=
24 cm,∠ABC=90°.猜想∠A与∠C的数量关系并加以证明.
学后反思
1.勾股定理的逆定理有哪些应用
2.学习本节课后,你还有什么疑问 提出一些还未解决的问题.
课后作业
基础题
1.甲、乙两艘客轮同时离开港口,航行的速度都是每小时20海里,甲客轮用3小时到达点A,乙客轮用4小时到达点B,若A,B两点的距离为100海里,甲客轮沿着北偏东30°的方向航行,则乙客轮的航行方向可能是
(　 　)
A.北偏西30° B.南偏西30°
C.南偏东60° D.南偏西60°
C
2.某港口P位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口P,各自沿一固定方向航行,“远航”号沿北偏东30°方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.2小时后,两轮船相距40海里.
(1)2小时后,“远航”号与港口P的距离是　　　　海里,“海天”号与港口P的距离是　　　　海里.
解:(1)32　24
(2)“海天”号沿哪个方向航行
解:(2)∵PQ2+PR2=322+242=1 600,QR2=402=1 600,
∴PQ2+PR2=QR2.∴∠QPR=90°.
∵“远航”号沿北偏东30°方向航行,∴∠QPS=30°,
∴∠SPR=60°,即“海天”号沿北偏西60°方向航行.
3.推广新能源汽车、推动清洁能源的普及,对于实现“碳达峰”和“碳中和”目标具有重要意义.如图,某社区新建新能源汽车充电桩, CD为充电桩,BC和AC分别为两侧充电线伸出后的最长距离.
已知在△ABC中,CD⊥AB于点D,AC=20,BC=15,CD=12.
求证:△ABC是直角三角形.
4.如图,四边形ABCD是某校在校园一角开辟的一块四边形“试验田”,经过测量得∠B=90°,AB=24 m,BC=7 m,CD=15 m,AD=20 m.
(1)求AC的长度和∠D的度数;
(2)求四边形“试验田”的面积.
拓展题
5.定义:如图,点M,N把线段AB分割成AM,MN,NB三条线段,若以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点.
(1)已知M,N把线段AB分割成AM,MN,NB三条线段,若AM=1.5,MN=2.5,
NB=2,则点M,N是线段AB的勾股分割点吗 请说明理由.
解:(1)是.理由如下:
∵AM2+NB2=1.52+22=6.25,MN2=2.52=6.25,∴AM2+NB2=MN2,
∴以AM,MN,NB为边的三角形是一个直角三角形,
∴点M,N是线段AB的勾股分割点.
(2)已知点M,N是线段AB的勾股分割点,且AM为直角边,若AB=24,AM=6,求NB的长.
解:(2)设NB=x,则MN=24-AM-NB=18-x.
①当MN为最长边时,
依题意,得MN2=AM2+NB2,
即(18-x)2=36+x2,解得x=8;
②当NB为最长边时,
依题意,得NB2=AM2+MN2,即x2=36+(18-x)2,
解得x=10.综上所述,NB=8或NB=10.
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