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(共21张PPT)
21.3　特殊的平行四边形
21.3.1　矩形
第1课时　矩形的性质
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学习目标
课堂探究
学后反思
课后作业
学习目标
1.理解矩形的概念,探索并证明矩形的性质定理.
2.会用矩形的性质解决简单的问题.
3.探索并掌握直角三角形的性质定理.
课堂探究
问题一　矩形概念的探究
长方形跟我们前面学行四边形有什么关系
答案:长方形是特殊的平行四边形.
探究1-1:利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察.当教具怎样变化时,平行四边形可以变成矩形
答案:当教具有一个角是直角时，平行四边形就变成了矩形.
结论:有一个角是　　　　的平行四边形叫作矩形,也就是长方形.
矩形与平行四边形的关系:矩形是　　　　的平行四边形;平行四边形
　　　　是矩形.
答案:直角 特殊 不一定
问题二　矩形的边、角、对角线性质的探究与应用
因为矩形是平行四边形,所以它具有平行四边形的所有性质.矩形有直角,它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢
答案:有.
探究2-1:
准备素材:直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等.
(1)请同学们以小组为单位,测量身边的矩形(如橡皮擦、课本、铅笔盒等物体的一面)的四条边的长度、四个角的度数、对角线的长度及对角线的夹角度数,并记录测量结果.
(2)根据测量的结果,你有什么猜想
答案:(1)根据实际情况记录结果.
(2)猜想:对边相等，四个角是直角，对角线相等(合理即可).
探究2-2:如图,四边形ABCD是矩形,∠B=90°,求证:∠B=∠C=∠D=
∠A=90°.
证明:∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D，∠A＝∠C，AB∥CD.
∴∠B+∠C＝180°.
∵∠B＝90°，∴∠C＝90°，
∴∠B＝∠C＝∠D=∠A=90°.
探究2-3:如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与BD相交于点O.
求证:AC=DB.
结论:
矩形的性质:　 .
几何语言描述:　 .
答案:矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等
∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠D=∠A=90°，AC＝DB
问题三　矩形的轴对称性
请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观察并思考.矩形是不是轴对称图形 如果是,那么对称轴有几条
矩形的性质:
矩形　　　　(填“是”或“不是”)轴对称图形,它有　　　　条对称轴.
答案:是 2
问题四　直角三角形斜边上的中线
如图,在一张矩形纸片中画两条对角线,沿着对角线AC剪去一半.
在Rt△ABC中,BO是一条怎样的线段 它的长度与斜边AC有什么关系
答案:BO是△ABC中AC边上的中线，它的长度等于斜边AC长度的
一半.
学后反思
1.通过本节课的学习,你能理解矩形的定义吗
2.矩形的性质有哪些
3.学习本节课后,你还有什么疑问
课后作业
基础题
1.矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是(　 　)
A.对角线相等 B.对边相等 C.对角相等 D.对角线互相平分
2.若直角三角形的两条直角边长分别为5和12,则斜边上的中线长为
(　 　)
A.13 B.6 C.6.5 D.不能确定
3.若矩形的一条对角线与一边的夹角为40°,则两条对角线相交的锐角是(　 　)
A.20° B.40° C.80° D.10°
A
C
C
4.如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别是AO,AD的中点,若AB=6 cm,BC=8 cm,则EF=　 　cm.
2.5
5.如图,在△ABC中,E在AC上,且BE⊥AC.D为AB的中点,若DE=5,AE=8,则BE的长为　 　.
6
拓展题
6.如图,四边形ABCD是矩形,对角线AC,BD相交于点O,BE∥AC交DC的延长线于点E.
(1)求证:BD=BE;
(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD,AB∥CD.
又∵BE∥AC,
∴四边形ABEC是平行四边形.
∴AC=BE.∴BD=BE.
(2)若∠DBC=30°,BO=4,求四边形ABED的面积.
7.如图,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8,P是AD上的动点,PE⊥AC,PF⊥BD,求PE+PF的值.
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第2课时　矩形的判定
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学习目标
课堂探究
学后反思
课后作业
学习目标
1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程,理解并掌握矩形的判定定理.
2.能应用矩形的判定定理解决简单的证明题和计算题.
课堂探究
问题一　矩形的判定定理“对角线相等的平行四边形是矩形”的探索与证明
矩形的定义是什么 矩形有哪些性质
答案:
定义:有一个角是直角的平行四边形是矩形.
性质:矩形具有平行四边形的所有性质，除此以外，矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.
探究1-1:类比平行四边形的定义也是判定平行四边形的一种方法,矩形的定义也是判定矩形的一种方法.除了定义以外,判定矩形的方法还有什么呢
答案:略.
探究1-2:上节课我们已经知道矩形的对角线相等,反过来,对角线相等的四边形是矩形,你觉得对吗
答案:对.
探究1-3:如图,已知在 ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,
AC=DB.
求证: ABCD是矩形.
结论:
矩形的判定定理1:　 .
几何语言描述:　 .
答案:对角线相等的平行四边形是矩形
∵四边形ABCD是平行四边形， AC＝DB，∴ ABCD是矩形
问题二　矩形的判定定理“有三个角是直角的四边形是矩形”的探索与证明
(1)我们研究了矩形的四个角,知道它们都是直角,它的逆命题是什么 是真命题吗
(2)至少有几个角是直角的四边形是矩形
答案:逆命题是四个角都是直角的四边形是矩形，是真命题.
答案:至少有三个角是直角的四边形是矩形.
探究2-1:如图,已知在 ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
求证:四边形ABCD是矩形.
结论:
矩形的判定定理2:　 .
几何语言描述:　 .
答案:有三个角是直角的四边形是矩形
∵∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴四边形ABCD是矩形
探究2-2:如图, ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E,F,G,H.
求证:四边形EFGH为矩形.
学后反思
1.通过本节课的学习,你知道矩形的判定定理有哪些吗 判定依据是
什么
2.学习本节课后,你还有什么疑问 提出一些有待解决的问题.
课后作业
基础题
1.判断题.
(1)对角线相等的四边形是矩形.(　 　)
(2)对角线互相平分且相等的四边形是矩形.(　 　)
(3)有一个角是直角的四边形是矩形.(　 　)
(4)有三个角相等的四边形是矩形.(　 　)
(5)有三个角是直角的四边形是矩形.(　 　)
(6)四个角都相等的四边形是矩形.(　 　)
(7)对角线相等,且有一个角是直角的四边形是矩形.(　 　)
(8)一组对角互补的平行四边形是矩形.(　 　)
×
√
×
×
√
√
×
√
2.如图,直线EF∥MN,PQ交EF,MN于A,C两点,AB,CB,CD,AD分别是∠EAC,
∠MCA,∠ACN,∠CAF的平分线,则四边形ABCD是(　 　)
A.梯形 B.平行四边形
C.矩形 D.不能确定
C
3.如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,∠BAD=90°,AB=5,BC=12,AC=13.
求证:四边形ABCD是矩形.
证明:∵在四边形ABCD中,AB∥CD,∠BAD=90°,∴∠ADC=90°.
∵在△ABC中,AB=5,BC=12,AC=13,132=52+122,
即AB2+BC2=AC2,∴△ABC是直角三角形,且∠B=90°.
∴四边形ABCD是矩形.
拓展题
4.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,延长OA到点N,使ON=OB,再延长OC至点M,使CM=AN.求证:四边形NDMB为矩形.
证明:∵四边形ABCD为平行四边形,∴AO=OC,OD=OB.
∵AN=CM,ON=OB,∴ON=OM=OD=OB.
∴四边形NDMB为平行四边形,MN=BD.
∴平行四边形NDMB为矩形.
5.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高,AE是△BAC的外角平分线, DE∥AB交AE于点E,求证:四边形ADCE是矩形.
证明:∵AB=AC,AD⊥BC,∴∠B=∠ACB,BD=DC.
∵AE是△BAC的外角平分线,∴∠FAE=∠EAC.
∵∠B+∠ACB=∠FAE+∠EAC,∴∠B=∠ACB=∠FAE=∠EAC,∴AE∥CD.
又∵DE∥AB,∴四边形AEDB是平行四边形.∴AE=BD.
又∵BD=DC,∴AE=DC.
又AE∥DC,∴四边形ADCE是平行四边形.
又∵∠ADC=90°,∴平行四边形ADCE是矩形.
6.如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=24 cm,BC=26 cm,动点P从点A出发沿AD方向向点D以1 cm/s的速度运动,动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3 cm/s的速度运动.点P,Q分别从点A和点C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点随之停止运动.
(1)经过多长时间,四边形PQCD是平行四边形
解:(1)设经过x s,四边形PQCD为平行四边形,
此时PD=CQ,∴24-x=3x.解得x=6.
即经过6 s,四边形PQCD是平行四边形.
(2)经过多长时间,四边形ABQP是矩形
解:(2)设经过y s,四边形ABQP为矩形,
此时AP=BQ,∴y=26-3y,解得y=6.5,
即经过6.5 s,四边形ABQP是矩形.
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