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第2课时　菱形的判定
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学习目标
课堂探究
学后反思
课后作业
学习目标
1.经历菱形判定定理的探究证明过程,掌握菱形的判定定理.
2.会用菱形的判定定理进行有关的证明和计算.
课堂探究
问题一　菱形判定定理“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的探究与证明
菱形的定义是什么 有哪些性质
根据定义,我们可以得到菱形的第一个判定方法:　 .
答案:(从上到下依次填空)对边平行 四条边相等 对角相等 邻角互补 互相垂直 每一条对角线平分一组对角 有一组邻边相等的平行四边形是菱形
数学语言表达:　 .
答案:∵四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形
探究1-1:还有其他判定方法吗
如图,我们用一长一短两根细木条,在它们的中点处固定一个小钉,做成一个可以转动的“十字”,四周围上一根橡皮筋,做成一个平行四边形.转动木条,这个平行四边形什么时候变成菱形 对此你有什么猜想
猜想:　 .
猜想:对角线互相垂直的平行四边形是菱形
探究1-2:如图,四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O,
AC⊥BD.求证: ABCD是菱形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)．
又∵AC⊥BD，
∴BD是线段AC的垂直平分线，
∴BA＝BC．
∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义)．
问题二　菱形判定定理“四条边相等的四边形是菱形”的探究与证明
已知线段AC,你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD,使AC为菱形的一条对角线吗
探究2-1:对于小刚的作法,你有什么猜想 你能判断小刚的作法是否正确吗
猜想:　 .
猜想:四条边相等的四边形是菱形.
探究2-2:如图,在四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA.
求证:四边形ABCD是菱形.
证明:∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
又∵AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形．
问题三
如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC的中点,BE=2DE,延长DE到点F,使得EF=BE,连接CF.
(1)求证:四边形BCFE是菱形;
(2)若CE=4,∠BCF=120°,求菱形BCFE的面积.
学后反思
判定一个四边形是菱形时,要结合条件灵活选择判定方法.如果可以证明四条边相等,那么可直接证出该四边形是菱形;如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直,那么可以先尝试证出这个四边形是平行四边形.
课后作业
基础题
1.判断题.
(1)对角线互相垂直的四边形是菱形.(　 　)
(2)对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.(　 　)
(3)对角线互相垂直,且有一组邻边相等的四边形是菱形.(　 　)
(4)两条邻边相等,且一条对角线平分一组对角的四边形是菱形.(　 )
×
√
×
×
2.如图,将△ABC沿BC方向平移得到△DCE,连接AD,下列条件能够判定四边形ACED为菱形的是(　 　)
A.AB=BC B.AC=BC
C.∠B=60° D.∠ACB=60°
B
3.如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,DE∥AC,CE∥BD.求证:四边形OCED是菱形.
证明:∵DE∥AC,CE∥BD,∴四边形OCED是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形,∴OC=OD.
∴平行四边形OCED是菱形.
拓展题
4.如图,在△ABC中,AC的垂直平分线MN交AB于点D,交AC于点O,CE∥AB交MN于点E,连接AE,CD.求证:四边形ADCE是菱形.
证明:∵MN是AC的垂直平分线,
∴AE=CE,AD=CD,OA=OC,∠AOD=∠EOC=90°.
∵CE∥AB,∴∠DAO=∠ECO.
∴△ADO≌△CEO(ASA).
∴AD=CE,∴AD=CD=CE=AE,
∴四边形ADCE是菱形.
5.如图,在 ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线交BC于点E,连接EF.
(1)求证:四边形ABEF为菱形;
(1)证明:由尺规作∠BAF的平分线的过程,可得AB=AF,∠BAE=∠FAE.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∴∠FAE=∠AEB.∴∠BAE=∠AEB,∴AB=BE,
∴BE=FA.∴四边形ABEF为平行四边形.
∵AB=AF,∴平行四边形ABEF为菱形.
(2)AE,BF相交于点O,若BF=6,AB=5,求AE的长.
谢谢观赏！(共19张PPT)
21.3.2　菱形
第1课时　菱形的性质
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学习目标
课堂探究
学后反思
课后作业
学习目标
1.理解菱形的概念及其与平行四边形的关系.
2.探索并证明菱形的性质定理.
3.应用菱形的性质定理解决相关计算或证明问题.
课堂探究
问题一　菱形的概念及其与平行四边形的关系
如果保持内角大小不变,从边的角度,将平行四边形特殊化,即改变边的长度,让它有一组邻边相等,那么这个特殊的平行四边形叫什么呢
答案:菱形.
菱形定义:有　　　　　　　　的平行四边形叫作菱形.
菱形与平行四边形的关系:　　　　是特殊的平行四边形;平行四边形
　　　　菱形.
答案:一组邻边相等 菱形 不一定是
问题二　菱形的轴对称性
菱形是轴对称图形吗 如果是,指出它的对称轴.
答案:是.它的每条对角线所在的直线是它的对称轴.
问题三　菱形的边、对角线性质的探究与证明
菱形的四边有什么数量关系 菱形的对角线呢
答案:菱形的四条边都相等，两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
探究3-1:如图,已知在 ABCD中,AB=AD,对角线AC与BD相交于点O.
求证:(1)AB=BC=CD=AD;
证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC．
又∵AB＝AD，
∴AB＝BC＝CD＝AD．
(2)AC⊥BD,∠DAC=∠BAC,∠DCA=∠BCA,∠ADB=∠CDB,∠ABD=∠CBD.
证明:(2)∵AB＝AD，
∴△ABD是等腰三角形．
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，∴AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理∠DCA=∠BCA，∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
探究3-2:菱形是特殊的平行四边形,它除了具有平行四边形的所有性质外,还具有平行四边形所没有的特殊性质.
平行四边形的性质 菱形的特殊性质
角: 对称性:
边: 边:
对角线: 对角线:
对角相等
轴对称图形
对边平行且相等
四条边都相等
互相平分
对角线互相垂直，并且
每一条对角线平分一组对角
问题四　菱形的面积公式的探究
菱形是特殊的平行四边形,那么能利用平行四边形的面积公式计算菱形的面积吗
答案:能.
探究4-1:如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD交于点O,试用AC和BD表示出菱形ABCD的面积.
结论:
菱形的面积公式:　 .
答案:结论:菱形的面积等于两条对角线乘积的一半.
(横线上填写)S=底×高=对角线乘积的一半
学后反思
1.通过本节课的学习,你能理解菱形的定义吗 菱形的边和角有什么
性质
2.菱形的周长与面积有什么结论
3.学习本节课后,你还有什么疑问
课后作业
基础题
1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是(　 　)
A.对角相等 B.对边相等
C.对角线互相垂直 D.对角线相等
2.如图,在菱形ABCD中,AC=8,BD=6,则△ABD的周长等于(　 　)
A.18 B.16
C.15 D.14
C
B
3.如图,根据图形填一填.
(1)如果菱形ABCD的周长是12 cm,那么它的边长是　 　.
(2)如果在菱形ABCD中,∠ABC=120°,那么∠BAC=　 　.
(3)如果菱形ABCD的两条对角线长分别为6 cm和8 cm,那么菱形的边长是　 　.
(4)如果菱形ABCD的一个内角为120°,平分这个内角的对角线长为
11 cm,那么这个菱形的周长为　 　 .
(5)如果菱形ABCD的面积为64 cm2,两条对角线的长度比为1∶2,那么该菱形中短的那条对角线长为　 .
3 cm
30°
5 cm
44 cm
8 cm
4.如图,四边形ABCD是边长为13 cm的菱形,其中对角线BD长10 cm.求:
(1)对角线AC的长度;
(2)菱形ABCD的面积.
解:(1)AC为24 cm
(2)菱形ABCD的面积为120 cm2
拓展题
5.如图,四边形ABCD是菱形,F是AB上一点,DF交AC于点E,连接BE.
求证:∠AFD=∠CBE.
证明:∵四边形ABCD是菱形,
∴CB=CD,CA平分∠BCD,∴∠BCE=∠DCE.
又CE=CE,∴△BCE≌△DCE(SAS).∴∠CBE=∠CDE.
∵在菱形ABCD中,AB∥CD,
∴∠AFD=∠EDC.∴∠AFD=∠CBE.
6.如图,O是菱形ABCD的对角线AC与BD的交点,CD=5 cm,OD=3 cm.过点C作CE∥DB,过点B作BE∥AC,CE与BE相交于点E.
(1)求OC的长;
(2)求四边形OBEC的面积.
解:(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AC⊥BD.
在Rt△OCD中,由勾股定理,得OC=4 cm.
(2)∵CE∥DB,BE∥AC,∴四边形OBEC为平行四边形.
又∵AC⊥BD,∴∠COB=90°.∴平行四边形OBEC为矩形.
∵OB=OD=3 cm,∴S矩形OBEC=OB·OC=3×4=12(cm2).
谢谢观赏！

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