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(共21张PPT)
21.3.3　正方形
第1课时　正方形的性质
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学习目标
课堂探究
学后反思
课后作业
学习目标
1.理解正方形的概念.
2.探索并证明正方形的性质定理,理解矩形、菱形、正方形之间的包含关系.
3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.
课堂探究
问题一　正方形的概念及其性质的探究
矩形怎样变化后就成了正方形呢 你有什么发现
菱形怎样变化后就成了正方形呢 你有什么发现
正方形的定义:　　　　　　　　　的平行四边形叫正方形.
答案:矩形的长边和短边相等时就成了正方形.
菱形的一个角是直角时就成了正方形.
答案:有一组邻边相等，而且有一个角是直角
证明:∵四边形ABCD是正方形，
∴由正方形的定义知四边形ABCD既是矩形，又是菱形.
∴由矩形的性质知∠A＝∠B=∠C＝∠D=90°；
由菱形的性质知AB＝BC=CD＝DA.
探究1-1:如图,四边形ABCD是正方形.求证:正方形ABCD的四条边相等,四个角都是直角.
证明:∵正方形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO．
由正方形的定义知四边形ABCD既是矩形，又是菱形.
∴由矩形的性质知AC=BD，
∴AO＝BO=CO＝DO.
由菱形的性质知AC⊥BD.
探究1-2:如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC,BD相交于点O.求证:
AO=BO=CO=DO,AC⊥BD.
正方形的性质:1.正方形的四个角都是　　　,四条边都　　　.
2.正方形的对角线　　　　.
答案:1.直角 相等 2.相等且互相垂直
问题二　正方形的轴对称性及平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系
请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考:正方形是不是轴对称图形 如果是,那么对称轴有几条
正方形　　　　(填“是”或“不是”)轴对称图形,它有　　　　条对称轴.
答案:是 4
探究2-1:请你判断平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系.
答案:
结论:　 .
菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，正方形是特殊的矩形和菱形.平行四边形有一个角为直角时是矩形，矩形有一组邻边相等时是正方形；平行四边形有一组邻边相等时是菱形，菱形有一个角是直角时是正方形
学后反思
1.通过本节课的学习,你能理解正方形的定义吗 正方形的性质是什么
2.正方形与矩形和菱形有什么关系
3.学习本节课后,你还有什么疑问
课后作业
基础题
1.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是(　　)
A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直
C.对角线相等 D.对角线互相垂直且相等
A
2.一个正方形的对角线长为2 cm,则它的面积是(　 　)
A.2 cm2 B.4 cm2 C.6 cm2 D.8 cm2
A
3.如图,在正方形ABCD中,∠ADB=　 　,∠DAC=　 　,∠BOC=
　 　.
45°
45°
90°
4.如图,在正方形ABCD中,E是对角线AC上一点,且AE=AB,则∠EBC的度数是　 　.
22.5°
拓展题
5.如图,正方形ABCD的边长为1 cm,AC为对角线,AE平分∠BAC,
EF⊥AC,求BE的长.
6.如图,在正方形ABCD中,E为CD上一点,F为BC边延长线上一点,且CE=CF.BE与DF之间有怎样的关系 请说明理由.
解:BE=DF,且BE⊥DF.
理由如下:∵四边形ABCD是正方形,∴BC=DC,∠BCE=90°.
∴∠DCF=180°-∠BCE=90°.∴∠BCE=∠DCF.
又∵CE=CF,∴△BCE≌△DCF.∴BE=DF.
延长BE交DF于点M(图略).
∵△BCE≌△DCF,∴∠CBE=∠CDF.
∵∠DCF=90°,∴∠CDF+∠F=90°.∴∠CBE+∠F=90°.
∴∠BMF=90°.∴BE⊥DF.
7.如图,在正方形ABCD内有一点P满足AP=AB,PB=PC,连接AC,PD.
求证:(1)△APB≌△DPC;
证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴∠ABC=∠DCB=90°.
∵PB=PC,∴∠PBC=∠PCB.∴∠ABC-∠PBC=∠DCB-∠PCB.
即∠ABP=∠DCP.
又∵AB=DC,PB=PC,∴△APB≌△DPC.
(2)∠BAP=2∠PAC.
证明:(2)∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAC=∠DAC=45°.
∵△APB≌△DPC,∴AP=DP.
又∵AP=AB=AD,∴DP=AP=AD.
∴△APD是等边三角形.
∴∠DAP=60°.∴∠PAC=∠DAP-∠DAC=15°.
∴∠BAP=∠BAC-∠PAC=30°.∴∠BAP=2∠PAC.
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第2课时　正方形的判定
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学习目标
课堂探究
学后反思
课后作业
学习目标
1.探索并证明正方形的判定定理,理解平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的联系和区别.
2.会运用正方形的判定定理进行有关的论证和计算.
课堂探究
问题一　正方形的判定定理“邻边相等的矩形是正方形”的探究与证明
你是如何判定四边形是矩形或菱形的 类似地,怎样判定一个四边形是正方形呢
探究1-1:准备一张矩形纸片,按照下图折叠,然后展开,折叠部分得到一个正方形,可量一量验证.
猜想:满足什么条件的矩形是正方形
猜想:有一组邻边相等时是正方形.
探究1-2:如图,在矩形ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,AC⊥DB.
求证:四边形ABCD是正方形.
证明:∵四边形ABCD是矩形，
∴OD＝OB.
∵AC⊥BD，
∴∠AOD＝∠AOB＝90°，
∴△AOD≌△AOB，
∴AD＝AB，
∴矩形ABCD是正方形．
问题二　正方形的判定定理“有一个角是直角的菱形是正方形”的探究与证明
把可以活动的菱形框架的一个角变为直角,观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.
探究2-1:满足什么条件的菱形是正方形
有一个角是直角的菱形是正方形.
探究2-2:如图,在菱形ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,AC=DB.
求证:四边形ABCD是正方形.
证明:∵四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵AC＝BD，
∴四边形ABCD是矩形.
∵四边形ABCD是菱形，
∴四边形ABCD是正方形．
学后反思
1.通过本节课的学习,你能掌握判定正方形的几种方法 先判定四边形为平行四边形,则需要什么条件 先判定四边形为菱形,则需要什么条件 先判定四边形为矩形,则需要什么条件
2.学习本节课后,你还有什么疑问 你能提出一些还没有发现的正方形的判定方法或有待解决的问题吗
课后作业
基础题
1.下列命题正确的是(　　)
A.四个角都相等的四边形是正方形
B.四条边都相等的四边形是正方形
C.对角线相等的平行四边形是正方形
D.对角线互相垂直的矩形是正方形
D
2.如图,已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的是
(　 　)
A.当AB=BC时,四边形ABCD是菱形
B.当AC⊥BD时,四边形ABCD是菱形
C.当∠ABC=90°时,四边形ABCD是矩形
D.当AC=BD时,四边形ABCD是正方形
D
3.如图,在四边形ABCD中,∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°,若添加一个条件:　 　,则四边形ABCD是正方形.
AB=BC(答案不唯一)
4.已知四边形ABCD是平行四边形,从①AB=BC,②∠ABC=90°,③AC=BD,④AC⊥BD四个条件中,选两个作为补充条件后,使得四边形ABCD是正方形,其中错误的是　 　(只填写序号).
②③或①④
拓展题
5.如图,在△ABC中,D是BC上任意一点,DE∥AC,DF∥AB.
(1)试判断四边形AEDF的形状.
解:(1)∵DE∥AC,DF∥AB,
∴四边形AEDF为平行四边形.
(2)连接AD,当AD满足什么条件时,四边形AEDF为菱形 为什么
解: (2)当AD平分∠BAC时,四边形AEDF为菱形.理由如下:
由(1)得四边形AEDF为平行四边形.
∵DE∥AC,∴∠DAC=∠ADE.
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠DAC,
∴∠BAD=∠ADE,
∴AE=DE,∴平行四边形AEDF为菱形.
∴当AD平分∠BAC时,四边形AEDF为菱形.
(3)在(2)的条件下,当△ABC满足什么条件时,四边形AEDF为正方形 不用说明理由.
解:(3)当△ABC是以BC为斜边的直角三角形时.
6.如图,在正方形ABCD中,动点E在AC上,AF⊥AC,垂足为A,AF=AE.
(1)求证:BF=DE.
(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAD=90°.
∵AF⊥AC,∴∠EAF=90°.∴∠BAF=∠EAD.
在△ADE和△ABF中,AD=AB,∠DAE=∠BAF,AE=AF,
∴△ADE≌△ABF.∴BF=DE.
(2)当点E运动到AC的中点时(其他条件都保持不变),四边形AFBE是什么特殊四边形 说明理由.
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