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21.1.2　多边形及其内角和
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学习目标
课堂探究
学后反思
课后作业
学习目标
1.了解多边形的概念及多边形的顶点、边、内角、外角与对角线;探索并掌握多边形内角和与外角和公式.
2.学会运用多边形内角和与外角和公式解决简单问题.
课堂探究
问题一　多边形的相关概念
探究1-1:如图,类比三角形、四边形的定义,你能说出什么是多边
形吗
探究1-2:类比四边形,你能说出多边形的边、顶点、内角、外角、对角线的定义吗
答:组成多边形的各条线段叫作多边形的边，每相邻两条线段的公共端点叫作多边形的顶点，多边形相邻两边组成的角叫作多边形的内角，多边形的角的一边与另一边的延长线组成的角叫作多边形的外角，连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫作多边形的对角线.
探究1-3:如图,下列多边形是凸多边形吗 为什么
答:第一个多边形是凸多边形，第二个多边形不是凸多边形.因为画出多边形的任何一条边所在直线，第一个图中整个多边形都在这条直线的同一侧，第二个图中整个多边形不都在这条直线的同一侧.
问题二　多边形的内角和
探究2-1:画出下列多边形从某一顶点出发的对角线,这些对角线把多边形分为多少个三角形 根据这些三角形求出多边形的内角和.
答:从某一顶点出发的对角线如图:
从某一顶点出发的对角线把四边形分为2个三角形，把五边形分为3个三角形，把六边形分为4个三角形，把七边形分为5个三角形，把n边形分为(n-2)个三角形.多边形的内角和为(n-2)×180°.
探究2-2:把一个多边形分成几个三角形,还有其他分法吗 你能根据这些分法求出多边形的内角和吗
提示:还可以在多边形内任取一点，连接这点与多边形的各个顶点来求.
探究2-3:如图,在五边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和叫作五边形的外角和.五边形的外角和等于多少
答:五边形的外角和等于360°.
探究2-4:回想正多边形的性质,你知道正多边形的每个内角是多少度吗 每个外角呢 为什么
学后反思
1.通过本节课的学习,你能理解多边形的定义吗
2.多边形的内角和、外角和分别等于多少
3.学习本节课后,你还有什么疑问 提出一些还未解决的问题.
课后作业
基础题
1.一个八边形的内角和等于(　 　)
A.800° B.1 080°
C.1 260° D.1 440°
2.如果一个多边形的边数增加1,那么它的内角和将增加(　 　)
A.60° B.90°
C.180° D.360°
B
C
3.学校后勤处计划在校园中央修建一个造型美观的多边形景观花坛.要求这个花坛的内角和为900°,则这个花坛应设计成(　 　)
A.七边形 B.八边形
C.九边形 D.十边形
4.如果一个正多边形的每个外角都等于40°,那么它是(　 　)
A.七边形 B.八边形
C.九边形 D.十边形
A
C
5.如图,在五边形ABCDE中,∠1+∠5=120°,则∠2+∠3+∠4等于(　　)
A.145° B.180°
C.240° D.325°
6.若一个正多边形内角和的度数为1 260°,则这个正多边形的边数
是　 　.
C
9
7.如图,求出图中的x的值.
解:由题意,得x°+x°+80°+90°+(x-20)°=(5-2)×180°,
解得x=130.
8.已知一个多边形的内角和是外角和的三倍,则这个多边形是几边形
解:设这个多边形为n边形,
n边形的内角和为(n-2)×180°,
n边形的外角和为360°,
根据题意,得(n-2)×180°=3×360°,
解得n=8.
答:这个多边形是八边形.
拓展题
9.一个正多边形的每个外角的度数都是72°,则这个正多边形的内角和是　 　°.
10.如图,已知∠MON=60°,正五边形ABCDE的顶点A,B在射线OM上,顶点E在射线ON上,则∠AEO=　 °.
540
48
11.如图,小明从点A出发,前进10 m后向右转40°,再前进10 m后又向右转40°,…,如此反复下去,直到他第一次回到出发点A,他所走的路径恰好构成了一个正多边形.
(1)小明一共走了多少米
(2)求这个正多边形的内角和.
解:(1)由题意,得这个正多边形的每个外角都是40°,
∴该正多边形的边数为360°÷40°=9,∴10×9=90(m).
答:小明一共走了90 m.
(2)由(1),知这个正多边形的边数为9,
∴这个正多边形的内角和为(9-2)×180°=1 260°.
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21.1　四边形及多边形
21.1.1　四边形及其内角和
第二十一章 四边形
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学习目标
课堂探究
学后反思
课后作业
学习目标
1.了解四边形的有关概念,探索并证明四边形的内角和与外角和公式.
2.运用四边形的内角和与外角和公式解决简单问题.
课堂探究
问题一　四边形的相关概念
探究1-1:类比三角形的定义,你能说出四边形的定义吗
答:在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形.
探究1-2:如图,有两个四边形,分别画出四边形的任何一条边(例如CD)所在直线,这两个四边形与所画直线的关系有什么区别
答:图①中整个四边形都在这条直线的同一侧，图②中整个四边形不都在这条直线的同一侧.
探究1-3:如图,四边形的四个顶点之间除得到线段AB,BC,CD,DA外,还能得到哪些线段 这些线段与四边形的边有什么联系与区别
探究1-4:如图,你能指出四边形ABCD的内角与外角吗
答:内角:∠BAD，∠B，∠C，∠D；
外角:∠BAD的邻补角.
问题二　四边形的内角和
探究2-1:我们知道,三角形的内角和是180°,长方形的内角和是多少度 正方形的内角和是多少度 你能猜想出任意一个四边形的内角和是多少度吗
答:长方形的内角和是360°，正方形的内角和是360°，任意一个四边形的内角和是360°.
探究2-2:已知四边形ABCD(如图).
求证:∠A+∠B+∠C+∠D=360°.
探究2-3:如图,在四边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和叫作四边形的外角和.四边形的外角和等于多少
问题三　四边形的不稳定性
探究3-1:如图①,在每个角上钉一枚钉子,将四根木条钉成一个四边形木架,然后扭动它,它的形状会改变吗 如图②,在四边形木架上再钉一根木条,将它的一对不相邻的顶点连接起来,然后扭动它,这时木架的形状还会改变吗 为什么
答:会.
不会.理由:因为在四边形木架上再订一根木条后，四边形变成两个三角形，三角形具有稳定性.
探究3-2:在日常生活中,有时需要利用四边形的不稳定性,有时又需要克服四边形的不稳定性,你能举出几个例子吗
答:如衣帽架，伸缩门，折叠椅等是利用了四边形的不稳定性；建筑工地上，通过增加斜撑、使用三角形支撑等加固脚手架来保持稳定性和安全性.
学后反思
1.通过本节课的学习,你能理解四边形的定义吗
2.四边形的内角和、外角和分别等于多少
3.学习本节课后,你还有什么疑问 提出一些还未解决的问题.
课后作业
基础题
1.在四边形ABCD中,∠A与∠C互补,∠B=120°,则∠D=(　 　)
A.60° B.90° C.120° D.150°
2.如图,在四边形ABCD中,AB⊥BC,∠A=∠C=100°,则∠D的度数是
(　　)
A.60° B.70°
C.80° D.90°
A
B
3.如图,在四边形ABCD中,∠A=80°,∠D=110°,与∠α相邻的外角是70°,则∠β的度数是(　 　)
A.50° B.60°
C.70° D.80°
4.四边形具有不稳定性,从数学角度看不稳定性主要体现在(　 　)
A.内角可发生变化 B.边长发生变化
C.周长发生变化 D.内角和发生变化
B
A
5.“花影遮墙,峰峦叠窗”,苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素.图①中的窗棂是冰裂纹窗棂,图②是这种窗棂中的部分图案.若∠1=110°,∠2=65°,∠3=85°,则∠4=　 　°.
100
6.如图,在四边形ABCD中,∠B+∠D=200°,∠A∶∠C=5∶3,求∠A的
度数.
解:∵∠A∶∠C=5∶3,
∴设∠A=5x,∠C=3x.
∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°,
∴5x+3x+200°=360°,
解得x=20°,∴∠A=5x=100°.
拓展题
7.如图,将三角形纸片剪掉一角得到一个四边形,设△ABC内角和的度数与四边形BCDE外角和的度数分别为α,β,则下列说法正确的是
(　 　)
A.α-β=0
B.2α-β=0
C.α-2β=0
D.无法比较α与β的大小
B
8.如图,学校有一块四边形试验田,将其分割成A,B两块,由图可知,x-y=　 　°.
0
9.(1)如图①②,试探究∠1,∠2与∠3,∠4之间的数量关系.
解:(1)∠1+∠2=∠3+∠4.理由如下:
∵∠3,∠4,∠5,∠6是四边形的四个内角,
∴∠3+∠4+∠5+∠6=360°.
∴∠3+∠4=360°-(∠5+∠6).
∵∠1+∠5=180°,∠2+∠6=180°,
∴∠1+∠2=360°-(∠5+∠6).
∴∠1+∠2=∠3+∠4.
(2)请你用文字语言描述(1)中的关系.
解:(2)四边形的任意两个外角的和等于与它们不相邻的两个内角
的和.
(3)用你发现的结论解决下列问题:
如图③,AE,DE分别是四边形ABCD的外角∠NAD,∠MDA的平分线,∠B+
∠C=240°,求∠E的度数.
谢谢观赏！

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