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21.2　平行四边形
21.2.1　平行四边形及其性质
第1课时　平行四边形及其性质
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学习目标
课堂探究
学后反思
课后作业
学习目标
1.理解平行四边形、梯形的概念.
2.探索并证明平行四边形的性质定理:平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分.
3.经历“实验—猜想—验证—证明”的过程,发展学生的思维.
课堂探究
问题一　平行四边形的定义
观察图形,说出下列图形中对边的位置关系.
答:第一个图形的两组对边不平行，第二个图形的一组对边平行，第三个图形的两组对边分别平行.
探究1-1:你还记得我们从前学过的平行四边形的定义吗
答:两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
探究1-2:如图,DC∥GH∥AB,DA∥EF∥CB,图中的平行四边形共有多少个 将它们分别表示出来.
问题二　平行四边形边、角性质的探究
平行四边形的两组对边、两组对角分别有什么数量关系
答:平行四边形的两组对边分别相等，两组对角分别相等.
探究2-1:已知四边形ABCD是平行四边形.
求证:AD=BC,AB=CD,∠BAD=∠BCD,∠ABC=∠ADC.
探究2-2:不添加辅助线,你能否运用平行四边形的定义,证明其对角
相等
问题三　平行四边形对角线性质的探究
如图,在 ABCD中,连接AC,BD,并设它们相交于点O.猜一猜:OA与OC,OB与OD有什么数量关系
答:OA=OC，OB=OD.
探究3-1:如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O.求证:OA=OC,OB=OD.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠BAO=∠DCO，∠ABO=∠CDO．
∴△ABO≌△CDO(ASA)，
∴OA=OC，OB=OD.
结论:平行四边形对角线的性质是　 .
答案:平行四边形的对角线互相平分
探究3-2:如图,已知 ABCD的周长为60 cm,对角线AC,BD相交于点O,
△AOB的周长比△DOA的周长长5 cm,求这个平行四边形各边的长.
结论:一个平行四边形被两条对角线分成四个小三角形,相邻两个三角形的周长之差　　　　相邻两边之差.
答案:等于
问题四　与平行四边形对角线有关的线段、面积等问题
探究4-1:请判断下列图中OE=OF是否成立.
答案:成立.
结论:过平行四边形对角线的交点作直线,与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交,得到的对应线段的数量关系是　　　　.
答案:相等
探究4-2:如图,平行四边形ABCD的对角线把平行四边形ABCD分为四个三角形,这四个三角形的面积有怎样的关系
探究4-3:如图,在 ABCD中,AC,BD交于点O,EF过点O, ABCD被EF所分成的两个四边形的面积相等吗
答案:相等
归纳:过平行四边形对角线交点的任意一条直线都将平行四边形分成
　　　　的两部分.
答案:面积相等
问题五　平行四边形性质的应用
探究5-1:如图,四边形ABCD是平行四边形.
(1)若∠A=32°,求其余三个角的度数.
(2)连接AC,已知 ABCD的周长等于20 cm,AC=7 cm,求△ABC的周长.
学后反思
1.通过本节课的学习,你能理解平行四边形的定义吗 平行四边形的边、角和对角线有什么性质
2.学习本节课后,你还有什么疑问 提出一些还没有发现的平行四边形的性质或有待解决的问题.
课后作业
基础题
1.如图,在 ABCD中,M是BC延长线上的一点,∠A=135°,则∠MCD的度数是(　 　)
A.45° B.55° C.65° D.75°
A
2.判断题.(对的在括号内填“√”,错的填“×”)
(1)平行四边形的两组对边分别平行且相等.(　 　)
(2)平行四边形的四个内角都相等.(　 　)
(3)平行四边形的相邻两个内角的和等于180°.(　 　)
(4)若平行四边形相邻两边长分别是2 cm和3 cm,则该平行四边形的周长是10 cm.(　 　)
(5)在平行四边形ABCD中,如果∠A=42°,那么∠B=48°.(　 　)
(6)在平行四边形ABCD中,如果∠A=35°,那么∠C=145°.(　 　)
√
×
√
√
×
×
3.如图,点D,E,F分别在△ABC的边AB,BC,AC上,且DE∥AC,DF∥BC,
EF∥AB,则图中共有　 　个平行四边形.
3
4.有一块形状如图的玻璃,不小心把EDF部分打碎了,现在只测得AE=
60 cm,BC=80 cm,∠B=60°且AE∥BC,AB∥CF,你能根据测得的数据计算出DE的长度和∠D的度数吗
解:∵AE∥BC,AB∥CF,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴∠D=∠B=60°,AD=BC=80 cm.
∴DE=AD-AE=20 cm.
故DE的长度是20 cm,∠D的度数是60°.
5.如图,已知在平行四边形ABCD中,DE平分∠ADC,BF平分∠ABC.求证:
AE=CF.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AD=BC.
∴∠CDE=∠DEA,∠CFB=∠FBA.
∵DE,BF分别平分∠ADC,∠ABC,
∴∠CDE=∠ADE,∠CBF=∠FBA.∴∠DEA=∠ADE,∠CFB=∠CBF.
∴AE=AD,CF=BC.∴AE=CF.
拓展题
6.如图,在平行四边形ABCD中,CE平分∠BCD交AB于点E,若EA=3,EB=5,
ED=4,则CE=　 　.
7.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,点M,E,F分别是AB,AD,AC上的点,四边形BEFM是平行四边形.求证:AF=BM.
证明:∵四边形BEFM是平行四边形,
∴BM=EF,AB∥EF.
∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.
∵AB∥EF,∴∠BAD=∠AEF.
∴∠CAD=∠AEF.∴AF=EF.∴AF=BM.
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第2课时　平行四边形的性质的综合运用
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学习目标
课堂探究
学后反思
课后作业
学习目标
1.探索并证明平行四边形的性质定理.
2.理解两条平行线之间距离的概念,能度量两条平行线之间的距离.
课堂探究
问题一　平行四边形的性质
探究1-1:如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,EF过点O且与AB,CD分别相交于点E,F.求证:OE=OF.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，OB=OD．∴∠EBO=∠FDO.
又∵∠BOE=∠DOF，∴△BEO≌△DFO．
∴OE=OF.
探究1-2:若直线EF绕点O旋转至如图位置,OE=OF还成立吗
解:成立.理由同探究1-1.
问题二　平行线之间的距离
两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别 两条平行线之间的平行线段有什么关系
答:点与点之间的距离就是由该两点组成的线段的长度；点到直线的距离是该点到直线的垂线段的长度；两条平行线之间的距离是在其中一条线上任取一点，过该点作另一条线的垂线段的长度.前两者所得线段都只有一条，而第三个所得线段有无数条，但它们的长度均相等.
两条平行线之间的平行线段相等.
探究2-1:如图,在 ABCD中,DE⊥AB,BF⊥CD,垂足分别是E,F.
求证:AE=CF,DE=BF.
探究2-2:若m∥n,作AB∥CD∥EF,分别交m于点A,C,E,交n于点B,D,F.
求证:AB=CD=EF.
学后反思
1.通过本节课的学习,你能理解平行四边形的性质吗
2.如何求两条平行线之间的距离
3.学习本节课后,你还有什么疑问 提出一些还没有发现的平行四边形的性质或有待解决的问题.
课后作业
基础题
1.如图, ABCD的对角线AC,BD相交于点O,且AC+BD=16,CD=6,则△ABO的周长是(　 　)
A.10 B.14
C.20 D.22
2.如图,四边形ABCD是平行四边形,下列结论中错误的是(　 　)
A.∠ABO=∠CDO B.∠BAD=∠BCD
C.AO=CO D.AC⊥BD
B
D
3.如图,在 ABCD中,AC=24,BD=38,AB=m,则m的取值范围是(　 　)
A.24C.74.如图,已知平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线交边BC于点E,交DC的延长线于点F,如果AB=3,CF=2,那么AD=　 　.
C
5
5.如图,在 ABCD中,BD是对角线,作AE⊥BD于点E,CF⊥BD于点F,连接AF,CE.
(1)求证:AE=CF.
(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB∥CD且AB=CD.
∴∠ABE=∠CDF.
∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠AEB=∠CFD=90°.
∴△ABE≌△CDF(AAS).∴AE=CF.
(2)若BE=CE,AE=4,DE=8,求CD的长.
拓展题
6.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AB⊥AC,AB=3,AD=5,则BD的长是 　.
7.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AB=10,AD=8,AC⊥BC.
(1)求 ABCD的面积;
(2)求BD的长.
8.如图, ABCD的对角线相交于点O,且AB≠AD,过点O作OE⊥BD,交BC于点E.若△CDE的周长为10,则 ABCD的周长是多少
解:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB=CD,BC=AD,OB=OD.
∵OE⊥BD,∴BE=DE.
∵△CDE的周长为10,
∴DE+CE+CD=BE+CE+CD=BC+CD=10.
∴ ABCD的周长为2×(BC+CD)=20.
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