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第2课时　平行四边形的判定(2)
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学习目标
课堂探究
学后反思
课后作业
学习目标
1.探索并证明平行四边形的判定定理:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
2.会进行平行四边形的性质与判定的综合运用.
课堂探究
问题一　“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的探究与证明
我们知道,两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形.如果只考虑四边形的一组对边,它们满足什么条件时,这个四边形能成为平行四边形呢
探究1-1:一组对边相等的四边形是平行四边形吗
答案:不一定.
探究1-2:一组对边平行的四边形是平行四边形吗
答案:不一定.
探究1-3:如图,将线段AB沿着BC的方向向右平移得到线段CD,连接AD, BC,由此你能猜想出四边形ABCD的形状吗
答案:平行四边形.
探究1-4:如图,在四边形ABCD中,AB=CD,且AB∥CD.
求证:四边形ABCD是平行四边形(提示:连接AC).
结论:
平行四边形的判定定理:　 .
定理的几何语言描述:　 .
问题二　平行四边形的判定
如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,DF∥BC,BF=CE,则四边形EFDC是平行四边形吗
问题三　平行四边形的性质与判定的综合应用
如图,将 ABCD沿过点A的直线l折叠,使点D落到AB边上的点D′处,直线l交CD边于点E.求证:四边形BCED′是平行四边形.
学后反思
1.通过本节课的学习,你能总结出平行四边形的判定定理的判定依
据吗
2.在运用平行四边形的性质定理与判定定理解决综合问题时,要注意什么
3.学习本节课后,你还有什么疑问
课后作业
基础题
1.如图,在 ABCD中,E,F分别在BC,AD上,若要使四边形AFCE为平行四边形,需添加一个条件,这个条件不可以是(　 　)
A.AF=CE B.AE=CF
C.∠BAE=∠FCD D.∠BEA=∠FCE
2.已知在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD,周长为40 cm,两邻边的比是3∶2,则较长边的长度是(　 　)
A.8 cm B.10 cm C.12 cm D.14 cm
B
C
3.如图,在平行四边形ABCD中,EF∥AD,HN∥AB,则图中的平行四边形共有　 　个.
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4.如图,点E,C在线段BF上,BE=CF,∠B=∠DEF,∠ACB=∠F.
求证:四边形ABED是平行四边形.
证明:∵BE=CF,∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF.
又∵∠B=∠DEF,∠ACB=∠F,∴△ABC≌△DEF.
∴AB=DE.∵∠B=∠DEF,∴AB∥DE.
∴四边形ABED是平行四边形.
拓展题
5.如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,给出下列四个条件:①AD∥BC;②AD=BC;③OA=OC;④OB=OD.从中任选两个条件,能使四边形ABCD为平行四边形的选法有( 　)
A.3种 B.4种
C.5种 D.6种
B
6.如图,在四边形ABCD中,AC,BD交于点O,AE⊥BD,CF⊥BD,E,F分别为垂足,BE=DF,AF∥CE.试判断四边形AECF,四边形ABCD的形状,并说明
理由.
解:四边形AECF,四边形ABCD都是平行四边形.理由如下:
∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴AE∥CF.
又∵AF∥CE,∴四边形AECF是平行四边形.∴OA=OC,OE=OF.
又∵BE=DF,∴OB=OD.∴四边形ABCD是平行四边形.
7.如图,在△ABC中,AB=AC=10,D是BC边上的任意一点,分别作DF∥AB交AC于点F,DE∥AC交AB于点E,求DE+DF的值.
解:∵DE∥AC,DF∥AB,
∴四边形AEDF是平行四边形.∴DE=AF.
又∵AB=AC=10,∴∠B=∠C.
∵DF∥AB,∴∠CDF=∠B.∴∠CDF=∠C.∴DF=CF.
∴DE+DF=AF+FC=AC=10.
8.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AD=12 cm,BC=15 cm,点P自点A向D以1 cm/s的速度运动,点Q自点C向B以2 cm/s的速度运动,点P,Q同时出
发,其中一点到达终点时,另一点也停止运动.设运动的时间为t s.
(1)用含t的代数式表示:
AP=　　　　　　;DP=　　　　　　;BQ=　　　　　　;
CQ=　　　　　　.
解:(1)t cm　(12-t)cm　(15-2t)cm　2t cm
(2)当t为何值时,四边形APQB是平行四边形
(3)当t为何值时,四边形PDCQ是平行四边形
解:(2)根据题意,有AP=t cm,BQ=(15-2t)cm.
∵AD∥BC,∴当AP=BQ时,四边形APQB是平行四边形.
∴t=15-2t,解得t=5.∴t=5时,四边形APQB是平行四边形.
(3)由题意,可知CQ=2t cm,DP=(12-t)cm.
∵AD∥BC,∴当DP=CQ时,四边形PDCQ是平行四边形.
即12-t=2t,解得t=4.
∴当t=4时,四边形PDCQ是平行四边形.
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21.2.2　平行四边形的判定
第1课时　平行四边形的判定(1)
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学习目标
课堂探究
学后反思
课后作业
学习目标
1.经历平行四边形判定定理的猜想与证明过程,体会类比思想及探究图形判定的一般思路.
2.掌握平行四边形的三个判定定理,能根据不同条件灵活选取适当的判定定理进行推理论证.
课堂探究
问题一　平行四边形性质定理的逆定理
(1)平行四边形的定义是什么 有什么作用
解:(1)两组对边分别平行的四边形是平行四边形.
有两个主要作用:一是作为平行四边形最基本的性质，即一个四边形是平行四边形，两组对边一定平行；二是可以作为平行四边形的一个判定依据.
(2)除了两组对边分别平行,平行四边形还有哪些性质
(3)平行四边形的性质定理的逆命题各是什么
解:(2)对边相等，对角相等，对角线互相平分.
(3)两组对边分别相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
探究1-1:我们得到的平行四边形的性质定理的逆命题是否都成立
答:成立.
问题二　“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”的探究与证明
探究2-1:已知在四边形ABCD中,AB=DC,AD=BC.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
结论:　 .
答案:两组对边分别相等的四边形是平行四边形
问题三　“两组对角分别相等的四边形是平行四边形”的探究与证明
探究3-1:已知在四边形ABCD中,∠A=∠C,∠B=∠D.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
结论:　 .
答案:两组对角分别相等的四边形是平行四边形
问题四　“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的探究与证明
如图,将两根细木条AC,BD的中点重叠,用小钉固定在一起,用橡皮筋连接木条的端点,做成一个四边形ABCD.转动两根木条,四边形ABCD一直是平行四边形吗
猜想:　 .
答案:一直是平行四边形
探究4-1:如图,已知在四边形ABCD中,OA=OC,OB=OD.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
结论:　 .
答案:对角线互相平分的四边形是平行四边形
学后反思
1.通过本节课的学习,你能理解平行四边形的定义吗
2.平行四边形有哪些判定定理
3.学习本节课后,你还有什么疑问 提出一些有待解决的问题.
课后作业
基础题
1.判断题.
(1)有一组对边平行的四边形是平行四边形.(　 　)
(2)有两条边相等,并且另外两条边也相等的四边形一定是平行四边
形.(　 　)
(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形.(　 　)
(4)一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形.(　 　)
(5)有一组对角相等且一组对边平行的四边形是平行四边形.(　 　)
×
×
√
×
√
2.如图,四边形ABCD的对角线交于点O,下列哪组条件不能判定四边形ABCD是平行四边形(　 　)
A.OA=OC,OB=OD B.AB=CD,AO=CO
C.AB=CD,AD=BC D.∠BAD=∠BCD,AB∥CD
B
3.如图,在四边形ABCD中:
(1)如果AB∥CD,AD∥BC,那么四边形ABCD是 　.
(2)如果∠A∶∠B∶∠C∶∠D=a∶b∶a∶b(a,b为正数),那么四边形ABCD是　 　.
(3)如果AD=6 cm,AB=4 cm,那么当BC=　 　cm且CD=　 　cm时,四边形ABCD为平行四边形.
平行四边形
平行四边形
6
4
4.如图,在 ABCD中,BD为对角线,E,F是BD上的点,且BE=DF.求证:四边形AECF是平行四边形.
证明:连接AC,交BD于点O,如图.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,OB=OD.
∵BE=DF,
∴OB-BE=OD-DF,即OE=OF.
又∵OA=OC,∴四边形AECF是平行四边形.
拓展题
5.根据下列条件,不能判定四边形为平行四边形的是(　 　)
A.两组对边分别相等 B.两条对角线互相平分
C.两条对角线相等 D.两组对边分别平行
6.如图,在四边形ABCD中,AC与BD交于点O.如果AC=8 cm,BD=10 cm,那么当AO=　 　cm且BO=　 　cm时,四边形ABCD是平行四边形.
C
4
5
7.如图,已知E,F,G,H分别是 ABCD的边AB,BC,CD,DA上的点,且AE=CG,
BF=DH.求证:四边形EFGH是平行四边形.
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠A=∠C,AD=BC.
又∵BF=DH,∴AH=CF.
又∵AE=CG,∴△AEH≌△CGF(SAS),∴EH=GF.
同理,得△BEF≌△DGH(SAS),∴GH=EF,
∴四边形EFGH是平行四边形.
8.如图,AB,CD相交于点O,AC∥DB,AO=BO,E,F分别是OC,OD的中点.
求证:
(1)△AOC≌△BOD;
(2)四边形AFBE是平行四边形.
证明:(1)∵AC∥DB,∴∠C=∠D.
又∵∠COA=∠DOB,AO=BO,∴△AOC≌△BOD(AAS).
(2)∵△AOC≌△BOD,∴CO=DO.
∵E,F分别是OC,OD的中点,∴EO=FO.
又∵AO=BO,∴四边形AFBE是平行四边形.
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