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相交线与平行线 单元过关检测卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，直线与∠1的一边相交得∠2，则∠1与∠2是（　　）
A．对顶角 B．同旁内角 C．内错角 D．同位角
2．如图，直线表示一段河道，点表示水池，现要从河向水池引水，设计了四条水渠开挖路线，，，，其中，要使挖渠的路线最短，可以选择的路线是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，已知∠1=∠2，其中能判定AB∥CD的是（　　）
A． B．
C． D．
4．将一副直角三角板按下图所示各位置摆放，其中∠α和∠β互余的是（　　）
A． B．
C． D．
5．2015 泰安）如图，AB∥CD，∠1=58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（　　）
A．122° B．151° C．116° D．97°
6．如图，能判定DE∥BC的条件是（　　）
A．∠ABC+∠BAE=180 B．∠C=∠BAC
C．∠C+∠BAD=180 D．∠C=∠BAD
7．如图，把教室中墙壁的棱看做直线的一部分，那么下列表示两条棱所在的直线的位置关系不正确的是（　　）
A．AB⊥BC B．AD∥BC C．CD∥BF D．AE∥BF
8．如图 ， 斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路． 小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理， 这一想法体现的数学依据是（　　）
A．垂线段最短
B．两点确定一条直线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
9．如图，C，D在线段BE上，下列四个说法：
①直线上以B，C，D，E为端点的线段共有6条；②图中有3对互为补角的角；③若，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为370°；④若BC=4，CD=3，DE=5，点F是线段BE上任意一点（包含端点），则点F到点B，C，D，E的距离之和的最小值为15，最大值为23．
其中正确说法的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10． 如图，已知∠AOB=90°，∠COD 在∠AOB内部且∠COD=45°。下列说法：①如果∠AOC=∠BOD，则图中有两对互余的角；②如果作 OE 平分∠BOC，则∠AOC=2∠DOE；③如果作 OM 平分∠AOC，ON 在∠AOB内部，且∠MON=45°，则OD平分∠BON；④如果 在 ∠AOB 外部分别作∠AOC，∠BOD 的余角∠AOP，∠BOQ，则∠AOP+∠BOQ=3∠COD。其中正确的个数是 （　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，，，则　 　 .
12．已知：如图，CD平分∠ACB，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠A，∠4＝35°，则∠CED＝　 　.
13．如图，将一副三角板叠在一起，使它们的直角顶点重合于O点，且∠AOB＝155°，则∠COD＝　 　°．
14．如图，AB∥CD，∠B=26°，∠D=39°，则∠BED的度数为　 　．
15．已知直线a∥b，一块直角三角板如图所示放置，若∠1=37°，则∠2=　 　．
16．如图，已知AB∥CD，F为CD上一点，∠EFD=60°，∠AEC=2∠CEF，若6°＜∠BAE＜15°，∠C的度数为整数，则∠C的度数为　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，∠AOB=∠COD=90°，∠1=23°，求∠2的度数．
18．如图， 平分 ． 若 ， 求 的大小．
19． 如图，∠AOC=∠BOD=90°．
（1）若∠AOB=62°，求∠COD的度数．
（2）若∠DOC=2∠COB，求∠AOD的度数．
20．如图，直线 l 分别与直线 AB，CD 相交于点 E、F，，点 P 是射线 EA 上的一个动点，点 P、E 不共点，连结 PF. 点 N 与点 E 关于直线 PF 对称. 当 时，试求出 的度数.
21．如图，∠1=∠2，∠3=∠C，∠4=∠5．请说明BF//DE的理由．（请在括号中填上推理依据）
解：∵∠1＝∠2（已知）
∴CF//BD（ ▲ ）
∴∠3+∠CAB＝180°（ ▲ ）
∵∠3＝∠C（已知）
∴∠C+∠CAB＝180°（等式的性质）
∴AB//CD（ ▲ ）
∴∠4＝∠EGA（两直线平行，同位角相等）
∵∠4＝∠5（已知）
∴∠5＝∠EGA（等量代换）
∴ED//FB（ ▲ ）
22．如图， 这是一个台灯的示意图， 其中灯头连结杆 始终和桌面 平行， 灯脚 始终和桌面 垂直．
（1） 当 时， 求 的度数．
（2） 连杆 可以绕着 和 进行旋转， 灯头 始终在 左侧， 设 ， 的度数分别为 ， 请写出 之间的数量关系．
23．如图，AC∥BD，BC平分∠ABD，设∠ACB为α，点E是射线BC上的一个动点。
（1）若α=30°时，且∠BAE=∠CAE，求∠CAE的度数。
（2）若点E运动到直线AC上方，且满足∠BAE=100°，∠BAE：∠CAE=5：1，求α的值。
（3）若∠BAE：∠CAE=n：1（n>1），求∠CAE的度数（用含n和α的代数式表示）。
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相交线与平行线 单元过关检测卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，直线与∠1的一边相交得∠2，则∠1与∠2是（　　）
A．对顶角 B．同旁内角 C．内错角 D．同位角
【答案】D
【解析】【解答】解：∵直线与∠1的一边相交得∠2，
∴∠1与∠2是同位角.
故答案为：D.
【分析】如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角；
两条直线被第三条直线c所截，在截线的同旁，且在被截两直线的同一侧的角，我们把这样的两个角称为同位角；
两条直线被第三条直线所截，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角；
两条直线被第三条直线所截，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角.
2．如图，直线表示一段河道，点表示水池，现要从河向水池引水，设计了四条水渠开挖路线，，，，其中，要使挖渠的路线最短，可以选择的路线是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：图中过点到直线的所有线段中，，
最短的一条是，
故选：B．
【分析】本题考查了点到直线的距离，点到直线距离是连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，结合图形，据此定义作答，即可得到答案.
3．如图，已知∠1=∠2，其中能判定AB∥CD的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵∠1=∠2，
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）；
B、∵∠1=∠2，∠1、∠2不是同位角和内错角，
∴不能得出两直线平行；
C、∠1=∠2，∠1、∠2不是同位角和内错角，
∴不能得出两直线平行；
D、∵∠1=∠2，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
故选D．
【分析】由∠1=∠2结合“内错角（同位角）相等，两直线平行”得出两平行的直线，由此即可得出结论．
4．将一副直角三角板按下图所示各位置摆放，其中∠α和∠β互余的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解： 故此选项符合题意；
故此选项不符合题意；
故此选项不符合题意；
故此选项不符合题意；
故答案为： A.
【分析】根据余角的定义逐项判断即可.
5．2015 泰安）如图，AB∥CD，∠1=58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于（　　）
A．122° B．151° C．116° D．97°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠1=58°，
∴∠EFD=∠1=58°，
∵FG平分∠EFD，
∴∠GFD=∠EFD= ×58°=29°，
∵AB∥CD，
∴∠FGB=180°﹣∠GFD=151°．
故选B．
【分析】根据两直线平行，同位角相等求出∠EFD，再根据角平分线的定义求出∠GFD，然后根据两直线平行，同旁内角互补解答．
6．如图，能判定DE∥BC的条件是（　　）
A．∠ABC+∠BAE=180 B．∠C=∠BAC
C．∠C+∠BAD=180 D．∠C=∠BAD
【答案】A
【解析】【解答】A、 ∠ABC+∠BAE=180°，根据同旁内角互补，两直线平行，可得到 DE∥BC ；
B、 ∠C=∠BAC，不能得到 DE∥BC ；
C、∠C+∠BAD=180°，不能得到 DE∥BC ；
D、∠C=∠BAD，不能得到 DE∥BC 。
故答案为：A。
【分析】根据平行线的判定定理（同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行），逐一判定即可。
7．如图，把教室中墙壁的棱看做直线的一部分，那么下列表示两条棱所在的直线的位置关系不正确的是（　　）
A．AB⊥BC B．AD∥BC C．CD∥BF D．AE∥BF
【答案】C
【解析】【解答】根据题意得：AB⊥BC，AD∥BC，AE∥BF，CD与BF不平行，∴选项A、B、D正确，C不正确；故选：C．
【分析】根据矩形的性质和平行线的判定得出选项A、B、D正确，C不正确；即可得出结论．
8．如图 ， 斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路． 小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理， 这一想法体现的数学依据是（　　）
A．垂线段最短
B．两点确定一条直线
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
【答案】A
【解析】【解答】解： 斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路． 小丽觉得行人沿垂直马路的方向走过斑马线更为合理， 这一想法体现的数学依据是垂线段最短.
故答案为：A.
【分析】根据题意可知垂线段最短，可得答案.
9．如图，C，D在线段BE上，下列四个说法：
①直线上以B，C，D，E为端点的线段共有6条；②图中有3对互为补角的角；③若，则以A为顶点的所有小于平角的角的度数和为370°；④若BC=4，CD=3，DE=5，点F是线段BE上任意一点（包含端点），则点F到点B，C，D，E的距离之和的最小值为15，最大值为23．
其中正确说法的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】解：①以B、C、D、E为端点的线段有BC、BD、BE、CD、CE、DE共6条，①正确；
②图中互补的角只有以C、D为顶点的两对邻补角，即∠ACB和∠ACD互补，∠ADB和∠ADE互补，只有2对，②错误；
③由∠BAE=110°，∠DAC=40°，根据图形可以求出∠BAC+∠BAD+∠BAE+∠DAC+∠CAE+∠DAE=∠BAE+(∠BAD +∠DAE)+(∠BAC+ ∠CAE)+∠DAC =110°+110°+110°+40°=370°，③正确；
④当F在线段CD上，则点F到点B，C，D，E的距离之和最小为FB+FE+FD+FC=15；当F和E重合，则点F到点B、C、D、E的距离之和最大为FB+FC+FD+FE=(4+3+5)+(5+3)+5+0=25，④错误.
故答案为：B.
【分析】①按照一定的顺序数出线段的条数即可；②图中互补的角就只有以C、D为顶点的两对邻补角；③根据角的和与差计算即可；④分两种情况探讨：当F在线段CD上最小；点F和E重合最大计算得出答案即可.
10． 如图，已知∠AOB=90°，∠COD 在∠AOB内部且∠COD=45°。下列说法：①如果∠AOC=∠BOD，则图中有两对互余的角；②如果作 OE 平分∠BOC，则∠AOC=2∠DOE；③如果作 OM 平分∠AOC，ON 在∠AOB内部，且∠MON=45°，则OD平分∠BON；④如果 在 ∠AOB 外部分别作∠AOC，∠BOD 的余角∠AOP，∠BOQ，则∠AOP+∠BOQ=3∠COD。其中正确的个数是 （　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】解：因为∠AOB=90°，∠COD=45°，
所以∠AOC+∠BOD=∠AOB-∠COD=45°。
①因为∠AOC=∠BOD，∠AOC+∠BOD=45°，
所以∠AOC=∠BOD=22.5°，
所以∠AOD=∠COB=67.5°，
所以∠AOD+∠DOB=90°，∠BOC+∠AOC=90°，∠AOC+∠AOD=90°，∠BOD+∠BOC=90°，
所以图中有4对互余的角，故①错误；
②设∠AOC=x，则∠BOD=45°-x，
所以∠BOC=∠BOD+∠COD=45°-x+45°=90°-x。
因为OE平分∠BOC，
所以 ，
所以
所以∠AOC=2∠DOE，故②正确；
③设∠AOC=x，则∠BOD=45°-x，
因为OM平分∠AOC，
所以
所以 ，
所以 =x，
所以∠BOD不一定等于∠DON，
即 OD 不一定是∠BON 的平分线，故③错误；
④设∠AOC=x，则∠BOD=45°-x，∠AOP=90°-x，
所以 因为∠COD=45°，所以∠AOP+∠BOQ=3∠COD，故④正确.
故答案为：B.
【分析】先求出∠AOC=∠BOD=22.5°，①根据题意可知∠AOD=∠COB=67.5°，再根据互余的定义即可判断①错误；
②∠AOC=x，根据角的和差关系和角平分线定义，则可以求出∠AOC=2∠DOE即可判断②正确；
③设∠AOC=x，则∠BOD=45°-x，根据角平分线的定义得到，求得=x，得到∠BOD不一定等于∠DON，即可③错误；
④设∠AOC=x，根据角的和差可得∠BOD=45°-x，∠AOP=90°-x，∠BOQ=45°，则可以得到等量关系∠AOP+∠BOQ=3∠COD，故④正确.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．某兴趣小组利用几何图形画出螳螂的简笔画，如图，已知，，，则　 　 .
【答案】20°
【解析】【解答】解：过点作，
，
，
，，
又，，
，，
.
故答案为：20°.
【分析】过点C作CF∥AB，则CF∥AB∥DE，根据平行线的性质得∠ACF=∠BAC，∠D+∠DCF=180°，结合∠D的度数可求出∠DCF的度数，然后根据∠ACD=∠ACF-∠DCF进行计算.
12．已知：如图，CD平分∠ACB，∠1+∠2＝180°，∠3＝∠A，∠4＝35°，则∠CED＝　 　.
【答案】110°
【解析】【解答】∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠BDC＝180°
∴∠2＝∠BDC
∴EF∥AB
∴∠3＝∠BDE
∵∠3＝∠A
∴∠A＝∠BDE
∴AC∥DE
∴∠ACB+∠CED＝180°
∵CD平分∠ACB，∠4＝35°
∴∠ACB＝2∠4＝2×35°＝70°
∴∠CED＝180°﹣∠ACB＝180°﹣70°＝110°
故答案为：110°.
【分析】先由同位角相等，证得EF∥AB，进而证得AC∥DE，再由平行线的性质∠CED与∠ACB的数量关系，然后由已知条件求得∠ACB，最后用180°减去∠ACB，即可求得答案.
13．如图，将一副三角板叠在一起，使它们的直角顶点重合于O点，且∠AOB＝155°，则∠COD＝　 　°．
【答案】25
【解析】【解答】∵△AOD与△BOC是一副直角三角板，∴∠AOD+∠COB＝180°，∴∠AOC+2∠COD+∠BOD=∠AOB+∠COD=180°．
∵∠AOB＝155°，∴∠COD＝180°﹣∠AOB＝180°﹣155°＝25°．
故答案为：25．
【分析】由角的构成可得∠AOC+2∠COD+∠BOD=∠AOB+∠COD，把∠AOD、∠BOC、∠AOB的度数代入计算即可求解。
14．如图，AB∥CD，∠B=26°，∠D=39°，则∠BED的度数为　 　．
【答案】65°．
【解析】【解答】如图，过点E作EF∥AB，
∴∠1=∠B=26°（两直线平行，内错角相等），
∵AB∥CD（已知），EF∥AB（所作），
∴EF∥CD（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行），
∴∠2=∠D=39°（两直线平行，内错角相等），
∴∠BED=∠1+∠2=65°．
故答案是：65°．
【分析】作EF∥AB，由于AB∥CD，则可判断AB∥EF∥CD，根据平行线的性质得∠1=∠B=26°，∠2=∠D=39°，于是得到∠BED的度数．
15．已知直线a∥b，一块直角三角板如图所示放置，若∠1=37°，则∠2=　 　．
【答案】53°
【解析】【解答】作直线AB∥a，
∵a∥b
∴AB∥a∥b，∵AB∥a，∴∠1=∠3，∵AB∥b，∴∠2=∠4，∵∠3+∠4=90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠1=37°，∴∠2=90°﹣37°=53°.
故答案为：53°．
【分析】过点A作一条平行于a或b的直线，可利用平行公理证得这三条直线平行，利用两直线平行，内错角相等，可证得∠1=∠3，∠2=∠4，从而求得∠3，利用余角性质求得∠4，从而求得∠2.
16．如图，已知AB∥CD，F为CD上一点，∠EFD=60°，∠AEC=2∠CEF，若6°＜∠BAE＜15°，∠C的度数为整数，则∠C的度数为　 　．
【答案】36°或37°
【解析】【解答】解：如图，过E作EG∥AB，
∵AB∥CD，
∴GE∥CD，
∴∠BAE=∠AEG，∠DFE=∠GEF，
∴∠AEF=∠BAE+∠DFE，
设∠CEF=x，则∠AEC=2x，
∴x+2x=∠BAE+60°，
∴∠BAE=3x﹣60°，
又∵6°＜∠BAE＜15°，
∴6°＜3x﹣60°＜15°，
解得22°＜x＜25°，
又∵∠DFE是△CEF的外角，∠C的度数为整数，
∴∠C=60°﹣23°=37°或∠C=60°﹣24°=36°，
故答案为：36°或37°．
【分析】先过E作EG∥AB，根据平行线的性质可得∠AEF=∠BAE+∠DFE，再设∠CEF=x，则∠AEC=2x，根据6°＜∠BAE＜15°，即可得到6°＜3x﹣60°＜15°，解得22°＜x＜25°，进而得到∠C的度数．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，∠AOB=∠COD=90°，∠1=23°，求∠2的度数．
【答案】解：∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠COB+∠1=∠COB+∠2=90°，
∴∠2=∠1，
∵∠1=23°，
∴∠2=23°
【解析】【分析】根据同角的余角相等，由已知条件即可求得∠2的度数．
18．如图， 平分 ． 若 ， 求 的大小．
【答案】解：∵AB∥EF，∠B=45°，
∴∠B=∠BEF=45°，
∵CD∥EF，∠DEF=30°，
∴∠D=∠DEF=30°，
∴∠BED=∠BEF+∠DEF=75°，
∵EG平分∠BED，
∴∠BEG=∠BED=37.5°，
∴∠GEF=∠BEF-∠BEG=7.5°.
【解析】【分析】由二直线平行，内错角相等得∠B=∠BEF=45°，∠D=∠DEF=30°，然后根据角的构成算出∠BED的度数，接着由角平分线的定义求出∠BEG的度数，最后根据∠GEF=∠BEF-∠BEG代入计算可得答案.
19． 如图，∠AOC=∠BOD=90°．
（1）若∠AOB=62°，求∠COD的度数．
（2）若∠DOC=2∠COB，求∠AOD的度数．
【答案】（1）解：∵∠AOC=∠BOD= 90°，
∴∠COD+∠BOC=90°=∠AOB+∠BOC，
∴∠COD=∠ AOB，
∵∠AOB= 62°，
∴∠COD= 62°；
（2）解：由（1）知∠COD=∠AOB，
∵∠BOD=90° ，∠DOC=2∠COB，
∴∠COD+∠BOC=2∠BOC+∠BOC=3∠BOC= 90°，
解得∠BOC=30° ，
∴∠COD= 60°，
∴∠AOB=60°，
∴∠AOD=∠BOD+∠AOB= 90°+60°= 150°．
【解析】【分析】（1）根据同角的余角相等得出∠COD=∠ AOB，即可得出答案；
（2）利用∠COD+∠BOC=3∠BOC= 90°及 ∠DOC=2∠COB ，得出∠BOC=30° ，∠COD= 60°，从而得出∠AOB=60°，再利用∠AOD=∠BOD+∠AOB，即可得出答案.
20．如图，直线 l 分别与直线 AB，CD 相交于点 E、F，，点 P 是射线 EA 上的一个动点，点 P、E 不共点，连结 PF. 点 N 与点 E 关于直线 PF 对称. 当 时，试求出 的度数.
【答案】解：设 ，分两种情况：
，
①当点 N 在平行线 AB，CD 之间时，
，，
，
，
由折叠可得，，
，
，
，
，
.
②当点 N 在 CD 的下方时，，
由折叠可得，，
，
，
，
，
；
综上所述， 的度数是 或 .
【解析】【分析】设∠CFN=x，分两种情况：∠CFP=β=3x.当点N在平行线AB，CD之间时；②当点N在CD的下方时，∠PFN=∠CFP+∠CFN=4x，构建方程求解.
21．如图，∠1=∠2，∠3=∠C，∠4=∠5．请说明BF//DE的理由．（请在括号中填上推理依据）
解：∵∠1＝∠2（已知）
∴CF//BD（ ▲ ）
∴∠3+∠CAB＝180°（ ▲ ）
∵∠3＝∠C（已知）
∴∠C+∠CAB＝180°（等式的性质）
∴AB//CD（ ▲ ）
∴∠4＝∠EGA（两直线平行，同位角相等）
∵∠4＝∠5（已知）
∴∠5＝∠EGA（等量代换）
∴ED//FB（ ▲ ）
【答案】解： （已知）
（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，同旁内角互补），
（已知），
（等式的性质），
（同旁内角互补，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等），
（已知），
（等量代换），
（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同旁内角互补，两直线平行；同位角相等，两直线平行．
【解析】【分析】利用平行线的判定方法和性质求解即可。
22．如图， 这是一个台灯的示意图， 其中灯头连结杆 始终和桌面 平行， 灯脚 始终和桌面 垂直．
（1） 当 时， 求 的度数．
（2） 连杆 可以绕着 和 进行旋转， 灯头 始终在 左侧， 设 ， 的度数分别为 ， 请写出 之间的数量关系．
【答案】（1）解：如图， 过点 作 ， 延长 交 于点 ．
．
（2）解：如图，过点B作MN∥DE，过点C作PQ∥DE，
∵DE∥FG，
∴MN∥DE∥PQ∥FG，
①若∠DCB在左侧，∠CBA在右侧，如图1，
由MN∥DE∥PQ∥FG，∠EDC=α，∠DCB=β，∠CBA=γ，
同（1）可得，∠DCP=180°-∠D=180°-α，
∴∠BCP=∠BCD-∠DCP=β-(180°-α)=α+β-180°，
同理，∠CBN=∠ABC-∠ABN=∠BCP，即，整理得.
②若∠DCB在右侧，∠CBA在右侧，如图2，
同理可得，∠DCQ=∠D=α，
∴∠BCQ=∠BCD-∠DCQ=β-α，
∠CBN=∠ABC-∠ABN=180°-∠BCQ，即，整理得.
③若∠DCB在左侧，∠CBA在左侧，如图3，
同理可得，∠DCP=180°-α，
∴∠BCP=∠BCD-∠DCP=α+β-180°，
∠CBM=∠ABC-∠ABM=180°-∠BCP，即，整理得.
④若∠DCB在右侧，∠CBA在左侧，如图4，
同理可得，∠DCQ=∠D=α，
∴∠BCQ=∠BCD-∠DCQ=β-α，
∠CBM=∠ABC-∠ABM=∠BCQ，即，整理得.
综上所述， 之间的数量关系可能为；；；
【解析】【分析】（1）为直接利用平行条件进行角度推理，通过过拐点作已知直线的平行线，结合平行线的性质即可推理分析目标角的度数；
（2）首先根据行成目标角的位置不同进行分类并画出大致草图，角度关系推理则同理，即通过过拐点作已知直线的平行线，在设元的基础上逐一进行表示，结合平行线的性质逐一推理分析角度关系即可.
23．如图，AC∥BD，BC平分∠ABD，设∠ACB为α，点E是射线BC上的一个动点。
（1）若α=30°时，且∠BAE=∠CAE，求∠CAE的度数。
（2）若点E运动到直线AC上方，且满足∠BAE=100°，∠BAE：∠CAE=5：1，求α的值。
（3）若∠BAE：∠CAE=n：1（n>1），求∠CAE的度数（用含n和α的代数式表示）。
【答案】（1）解：∵α=30°，AC∥BD，
∴∠CBD=30°，∠CAB+∠ABD=180°.
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD=2∠CBD=60°，
∴∠CAB=180°-∠ABD=180°-60°=120°，
又∵∠BAE=∠CAE，
（2）解：如图1所示.
∵∠BAE=100°，∠BAE：∠CAE=5：1，
∴∠CAE=20°，
∴∠BAC=∠BAE-∠CAE=100°-20°=80°
∵AC∥BD，
∴∠ABD=180°-∠BAC=100°.
又∵BC平分∠ABD，
=50°.
∵AC∥BD
∴α=∠CBD=50°；
（3）解：①如图2所示，当点E在直线AC 上方时，
∵AC∥BD，
∴∠CBD=∠ACB=α.
∵BC 平分∠ABD，
∴∠ABD=2∠CBD=2a，
∴∠BAC=180°-∠ABD=180°-2a.
又∵∠BAE：∠CAE=n：1，
∴(∠BAC+∠CAE)：∠CAE=n：1，即(180°-2a+∠CAE)：∠CAE=n：1，
解得
②如图3所示，当点E在直线AC下方时，
∵AC∥BD，
∴∠CBD=∠ACB=α∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD=2∠CBD=2a，
∴∠BAC=180°-∠ABD=180°-2a，
又∵∠BAE：∠CAE=n：1，
∴(∠BAC-∠CAE)：∠CAE=n：1，(180°-2α-∠CAE)：∠CAE=n：1，
解得
综上，∠CAE的度数为或
【解析】【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的定义、角的运算．
（1）根据平行线的性质： 两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补可推出：∠CBD=30°，∠CAB+∠ABD=180°，再利用角平分线的定义可推出∠ABD=2∠CBD=60°，进而可求出答案；
（2）根据已知条件，利用角的运算可求出，∠BAC，再根据平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补，以及角平分线的定义可求出，最后利用两直线平行，内错角相等可求出答案；
（3）分当点E在直线AC 上方时和当点E在直线AC下方时，两种情况，利用平行线的性质：两直线平行，内错角相等，以及角平分线的定义，再利用角的运算可求出两种情况的答案．
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