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【50道填空题·专项集训】
北师大版数学七年级下册第二章 相交线与平行线
1．如图，直线相交于点O，于点O，　 　度．
2．如果一个角是，那么这个角的补角的度数是　 　．
3．如图，一条公路两次转弯后和原来的方向相同，第一次的拐角∠A是130°，则第二次的拐角∠B也是130°的依据是　 　.
4．如图，∠AOB=∠COD=90°，∠BOD=52°，则∠AOC的度数为　 　°.
5．直线a b与直线c相交，给出下列条件：
①∠1=∠2；②∠3=∠6；③∠4+∠7=180°；④∠3+∠5=180°，其中能判断a∥b的是（　 　）
6．在同一平面内，三条互不重合的直线 a 、 b 、 ，若 a ⊥ b ， a ⊥ ，则　 　.
7．已知，在同一平面内，，，的平分线交直线于点，那么度数为　 　 ．
8．若∠A=66°20′，则∠A的余角等于　 　
9．如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，OC，OF分别平分∠AOE和∠BOD，若∠AOC=20°，则∠BOF的度数为　 　．
10． 如图，直线AB∥CD，且AC⊥CB于点C，若∠BAC＝35°，则∠BCD的度数为 　 　．
11．如图，AB∥EF， ， ，已知∠FCD=60°，则∠P的度数为　 　．
12．一个正方体中有一条棱是a，与a平行棱长有　 　 条，与a垂直并相交的棱长有　 　 条．
13．如图，直线，平分，若，则　 　．
14．两个角的两边分别平行，且其中一个角比另一个角的2倍少15°，则这两个角为　 　．
15．如图所示，与∠C构成同旁内角的有　 　个．
16．若
与
互为补角，并且
的一半比
小
，则
的度数为　 　.
17．如图，，若，，则　 　．
18．如图，点在延长线上，，交于点，且，，比的余角大，为线段上一动点，为上一点，且满足，为的平分线．下列结论：①；②；③平分；④；⑤．其中结论正确的序号是　 　．
19．如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB于点O，若∠MOD=43°，则∠COB=　 　度．
20．完成下面的证明
如图，FG//CD，∠1=∠3，∠B=50°，求∠BDE的度数.
解：∵FG//CD (已知)
∴∠2=　 　（　 　）
又∵∠1=∠3，
∴∠3=∠2（等量代换）
∴BC//　 　（　 　）
∴∠B+　 　=180°（　 　）
又∵∠B=50°
∴∠BDE=　 　.
21．如图，直线AB、CD相交于点O，
若∠AOC+∠BOD =100°，则∠AOD =　 　° .
22．如图，直线、分别与、相交，已知，，，那么　 　．
23．如图，，若，则的大小为　 　．
24．如图表示钉在一起的木条a，b，c.若测得，要使木条，木条a至少要旋转　 　°.
25．如图，直线、相交于点，平分，，则的度数为　 　．
26．已知直线，点到直线的距离是，到直线的距离是，那么直线和直线之间的距离为　 　．
27．如图是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若∠1=30°，则∠2+∠3的度数为　 　度.
28．如果一个角与它的余角之比为1：2，那么这个角的补角度数是　 　．
29．如图，一块余料，，现进行如下操作：以点为圆心，适当长为半径作圆弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧在内部相交于点，画射线，交于点．连结、．若，则的度数为　 　度．
30．如图，两条直线AB，CD交于点O，射线OM是∠AOC的平分线，若∠BOD＝80°，则∠BOM的度数是　 　.
31．如图所示，已知FD∥BE，那么∠1+∠2﹣∠3=　 　．
32．已知一个角的补角比这个角的余角3倍大10°，则这个角的度数是　 　度．
33．如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，若∠1＝54°，则∠2＝　 　°.
34．如图，已知，直线分别与，相交于，两点，现把一块含角的直角三角尺按如图所示的位置摆放．若，则　 　．
35．一副直角三角尺按如图①所示的方式叠放，现将含45°角三角尺ADE固定不动，将含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行；如图②，当∠BAD=15°时，BC//DE，则∠BAD（0°<∠BAD<90°）其他所有可能符合条件的度数为　 　．
36．如图，点A，C，F，B在同一直线上，CD平分∠ECB，FG∥CD．若∠ECA为α度，则∠GFB为　 　 度（用关于α的代数式表示）．
37．将直尺与三角尺按如图所示的方式叠放在一起，在图中标记的角中，所有与互余的角一共有　 　个
38．如图， 点 在射线 上， 直线 ， 将直线 绕着点 逆时针方向旋转 后得到直线 ． 若 ， 则 　 　°
39．已知 ，则 的补角是　 　°　 　＇.
40．推理填空：
已知：如图AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，∠1=∠2，求证：BE∥CF．
证明：∵ AB⊥BC于B，CO⊥BC于C （ 已知 ）
∴∠1＋∠3=90°，∠2＋∠4=90°
∴∠1与∠3互余，∠2与∠4互余
又∵∠1=∠2（　 　） ，
∴　 　=　 　（　 　）
∴BE∥CF（　 　） .
41．如图，C为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：与互余；；与互补；．请写出正确结论的序号　 　．
42．已知如图，AB∥CD，∠A＝130°，∠D＝25°，那么∠AED＝　 　°.
43．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将的三角尺ADE固定不动，将含的三角尺绕顶点A顺时针转动（旋转角不超过180度），使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图：当时，，则（）其它所有可能符合条件的度数为　 　．
44．如图，已知AB∥CD，F为CD上一点，∠EFD=60°，∠AEC=2∠CEF，若6°＜∠BAE＜15°，∠C的度数为整数，则∠C的度数为　 　．
45．完成下列证明：
如图，已知DE⊥AC于点E，BC⊥AC于点C，FG⊥AB于点G，∠1=∠2，求证：CD⊥AB．
证明：∵DE⊥AC，BC⊥AC（已知），
∴DE∥　 　（　 　），
∴∠2=　 　（两直线平行，内错角相等），
∵∠1=∠2，（已知），
∴∠1=　 　（　 　），
∴GF∥CD（　 　），
∵FG⊥AB（已知），
∴CD⊥AB．
46．如图，已知 AD⊥BC，垂足为点 D，EF⊥BC，垂足为点 F，∠1+∠2=180°， 请填写∠CGD=∠CAB
的理由．
解：因为AD⊥BC，EF⊥BC（　 　）
所以∠ADC=90°，∠EFD=90°（　 　）
得∠ADC=∠EFD（　 　）
所以 AD//EF（　 　）
得∠2+∠3=180° （　 　）
又因为∠1+∠2=180°（已知）
所以∠1=∠3（　 　）
所以 DG//AB（　 　）
所以∠CGD=∠CAB（　 　）
47．如图，QP∥MN，A，B分别为直线MN，PQ上两点，且∠BAN＝60°，射线AE从AM开始绕点A按顺时针方向旋转至AN后立即回转，然后以不变的速度在AM和AN之间不停地来回旋转，射线BF从BQ绕点B按逆时针方向同时开始旋转，射线AE转动的速度是4°/s，射线BF转动的速度是1°/s，在射线BF到达BP之前，有　 　次射线AE与射线BF互相平行，时间分别是　 　s.
48．如图1是一盏可调节台灯，图2，图3为示意图．固定底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆．在调节过程中，灯体始终保持平行于，台灯最外侧光线组成的始终保持不变．如图2，调节台灯使光线，此时，且的延长线恰好是的角平分线，则　 　．
49．在同一平面中，两条直线相交有一个交点，三条直线两两相交最多有3个交点，四条直线两两相交最多有6个交点……由此猜想，当相交直线的条数为n时，最多可有的交点数m与直线条数n之间的关系式为：m=　 　.（用含n的代数式填空）
50．如图，直线12∥12，∠A=125°，∠B=85°，则∠1+∠2=　 　
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【50道填空题·专项集训】
北师大版数学七年级下册第二章 相交线与平行线
1．如图，直线相交于点O，于点O，　 　度．
【答案】
【解析】【解答】解：，
，
，
．
故答案为：．
【分析】本题主要考查了垂线的性质，由，求得的度数，结合，进行求解，解得得到答案.
2．如果一个角是，那么这个角的补角的度数是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵一个角是，
∴这个角的补角的度数是．
故答案为：．
【分析】本题考查补角的定义，解题的核心是利用补角的性质进行计算。根据补角的定义，若两个角互为补角，则它们的度数之和为180°；已知该角为55°，因此用180°减去这个角的度数，就能求出它的补角的度数。
3．如图，一条公路两次转弯后和原来的方向相同，第一次的拐角∠A是130°，则第二次的拐角∠B也是130°的依据是　 　.
【答案】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵一条公路两次转弯后，和原来的方向相同，
∴前后两条道路平行，
∴∠B＝∠A＝130°（两直线平行，内错角相等），
故答案为：两直线平行，内错角相等.
【分析】根据两直线平行，内错角相等即得结论.
4．如图，∠AOB=∠COD=90°，∠BOD=52°，则∠AOC的度数为　 　°.
【答案】52
【解析】【解答】解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOB ∠COB＝∠COD ∠COB，
∴∠AOC＝∠BOD＝52°，
故答案为：52．
【分析】利用等角的余角相等或者利用角的运算和等量代换求解即可.
5．直线a b与直线c相交，给出下列条件：
①∠1=∠2；②∠3=∠6；③∠4+∠7=180°；④∠3+∠5=180°，其中能判断a∥b的是（　 　）
【答案】①②③
【解析】【解答】解：当∠1=∠2时，根据同位角相等，两直线平行可得a∥b，故①符合题意；
当∠3=∠6时，根据内错角相等，两直线平行可得a∥b，故②符合题意；
∵∠6=∠4，当∠4+∠7=180°时
∴∠6＋∠7=180°，根据同旁内角互补，两直线平行可得a∥b，故③符合题意；
当∠3+∠5=180°时，不能判定a∥b，故④不符合题意.
故能判断a∥b的是①②③
故答案为：①②③.
【分析】根据平行线的各个判定定理逐一判断即可.
6．在同一平面内，三条互不重合的直线 a 、 b 、 ，若 a ⊥ b ， a ⊥ ，则　 　.
【答案】 ∥
【解析】【解答】解：∵a⊥b，a⊥c
∴b∥c
【分析】垂直于同一直线的两条直线平行，即可得到答案。
7．已知，在同一平面内，，，的平分线交直线于点，那么度数为　 　 ．
【答案】或
【解析】【解答】解：①如图：
∵AD//BC，∠ABC=110°，
∴∠BAD=180°-∠ABC=70°，∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAD=35°，
∴∠AEB=35°；
②如图：
∵AD//BC，∠ABC=110°，
∴∠BAD=∠ABC=110°，∠DAE=∠AEB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAD=55°，
∴∠AEB=55°，
综上，∠AEB的度数为35°或55°，
故答案为：35°或55°.
【分析】分类讨论，再利用平行线的性质及角平分线的定义求解即可.
8．若∠A=66°20′，则∠A的余角等于　 　
【答案】23°40′
【解析】【解答】解：∵∠A=66°20′，
∴∠A的余角=90°﹣66°20′=23°40′，
故答案为：23°40′．
【分析】根据互为余角的两个角的和等于90°列式计算即可得解．
9．如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，OC，OF分别平分∠AOE和∠BOD，若∠AOC=20°，则∠BOF的度数为　 　．
【答案】35°
【解析】【解答】由OC⊥OD，得∠COD=90°，由角的和差，得∠BOD=180°-∠AOC-∠COD=180°-20°-90°=70°，由OF分别平分∠BOD，得∠BOF= ∠BOD=35°，故答案为：35°．
【分析】根据图形和角的和差，得到∠BOD=180°-∠AOC-∠COD的度数，再由角平分线性质得到∠BOF的度数.
10． 如图，直线AB∥CD，且AC⊥CB于点C，若∠BAC＝35°，则∠BCD的度数为 　 　．
【答案】55°
【解析】【解答】
故填：55°
【分析】根据平行线的性质定理，把等量代换到直角三角形内，此时是已知角的余角，度数可求。
11．如图，AB∥EF， ， ，已知∠FCD=60°，则∠P的度数为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：过C作CM∥AB，如下图：
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴
∴
故答案为：.
【分析】过C作CM∥AB，根据"两直线平行，同旁内角互补"得结合已知条件即可知：进而求出则可得到∠P的度数.
12．一个正方体中有一条棱是a，与a平行棱长有　 　 条，与a垂直并相交的棱长有　 　 条．
【答案】3；4
【解析】【解答】解：由分析得：与a平行的棱有3条，与a相交并垂直的棱有4条．
故答案为：3，4．
【分析】根据长方体的特征，12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等且平行，由此可知：与a平行的棱有3条，与a相交并垂直的棱有4条．
13．如图，直线，平分，若，则　 　．
【答案】
【解析】【解答】，
，
平分，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”和角平分线的定义可得∠AEC=∠CAE，然后由平角的定义和三角形内角和定理计算即可求解；
14．两个角的两边分别平行，且其中一个角比另一个角的2倍少15°，则这两个角为　 　．
【答案】65°，115°或15°，15°
【解析】【解答】解：∵两个角的两边分别平行，∴这两个角相等或互补．
设其中一个角为x°，则另一个角为2x－15°．
①若这两个角相等，则2x- 15°=x，解得：x=15°，
∴这两个角的度数分别为15°，15°；
②若这两个角互补，则2x－15°+x=180°，
解得：x=65°，
∴这两个角的度数分别为65°，115°．
综上所述：这两个角的度数分别为65°，115°或15°，15°．
故答案为：65°，115°或15°，15°．
【分析】由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等或互补，据此分别求解即可.
15．如图所示，与∠C构成同旁内角的有　 　个．
【答案】3
【解析】【解答】解：AC与EB、DC相截，与∠C构成同旁内角的有∠EBC；
AC与BD、DC相截，与∠C构成同旁内角的有∠DBC；
DC与BD、BC相截，与∠C构成同旁内角的有∠BDC；共3个．故填3．
【分析】同旁内角是由两条直线被第三条直线所截形成的两个角，它们在前两条直线的同旁，在第三条直线的内部，是同旁内角。
16．若
与
互为补角，并且
的一半比
小
，则
的度数为　 　.
【答案】100°
【解析】【解答】解：根据题意得
，
①-②得，
，
解得
，
把
代入①得，
，
解得
.
∴，
故答案为：100°.
【分析】根据补角的性质得出∠A+∠B=180°，根据∠B和∠A的关系得∠A-
∠B=30°，再联立求解即可.
17．如图，，若，，则　 　．
【答案】
【解析】【解答】∵OP//QR，，
∴∠QRP=180°-∠2=180°-100°=80°，
∵QR//ST，，
∴∠3=∠QRS=120°，
∴∠1=∠QRS-∠QRP=120°-80°=40°，
故答案为：40°.
【分析】利用平行线的性质可得∠QRP=180°-∠2=180°-100°=80°，∠3=∠QRS=120°，再利用角的运算求出∠1=∠QRS-∠QRP=120°-80°=40°即可.
18．如图，点在延长线上，，交于点，且，，比的余角大，为线段上一动点，为上一点，且满足，为的平分线．下列结论：①；②；③平分；④；⑤．其中结论正确的序号是　 　．
【答案】①②③④⑤
【解析】【解答】解：①，
，结论①正确；
②，
．
，
，
，结论②正确；
③，
．
，
，
平分，结论③正确；
④，
．
比的余角大，
．
，，
，结论④正确；
⑤为的平分线，
．
，，
，结论⑤正确．
故答案为：①②③④⑤．
【分析】因为，根据平行线的判定定理，可知，结论①正确；因为，根据平行线的性质，可知，然后再根据，即可求出；再根据“同位角相等，两直线平行”的性质，可得出，结论②正确；再由，可求出，同时结合，可得出，即可得出平分，结论③正确；由可得出，结合比的余角大，可求出的度数，再由结合三角形内角和定理可求出，结论④正确；根据角平分线的定义，可得出，同时结合，将其代入即可求出的角度，结论⑤正确，据此即可判断
19．如图，直线AB、CD相交于点O，OM⊥AB于点O，若∠MOD=43°，则∠COB=　 　度．
【答案】133
【解析】【解答】解：∵OM⊥AB，
∴∠AOM=90°，
∵∠MOD=43°，
∴∠AOD=90°+43°=133°，
∴∠COB=133°，
故答案为：133．
【分析】根据垂直定义可得∠AOM的度数，然后再根据角的和差关系可得∠AOD，再利用对顶角相等可得答案．
20．完成下面的证明
如图，FG//CD，∠1=∠3，∠B=50°，求∠BDE的度数.
解：∵FG//CD (已知)
∴∠2=　 　（　 　）
又∵∠1=∠3，
∴∠3=∠2（等量代换）
∴BC//　 　（　 　）
∴∠B+　 　=180°（　 　）
又∵∠B=50°
∴∠BDE=　 　.
【答案】∠1；两直线平行，同位角相等；DE；内错角相等，两直线平行；∠BDE；两直线平行，同旁内角互补；130°
【解析】【解答】解：∵FG//CD (已知)
∴∠2=∠1（两直线平行，同位角相等）
又∵∠1=∠3，
∴∠3=∠2（等量代换）
∴BC//DE（内错角相等，两直线平行）
∴∠B+∠BDE=180°（两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠B=50°
∴∠BDE=130．
【分析】由两直线平行，同位角相等，得到∠2=∠1，再由等式的性质得到∠3=∠2，从而得到BC//DE，再由平行线的性质得到∠B+∠BDE=180°，从而得到结论．
21．如图，直线AB、CD相交于点O，
若∠AOC+∠BOD =100°，则∠AOD =　 　° .
【答案】130
【解析】【解答】解：因为∠AOC、∠BOD是对顶角，所以∠AOC=∠BOD，因为∠AOC+∠BOD =100°，得出∠AOC=50°，因为∠AOC+∠AOD =180°，所以∠AOD =180°-∠AOC=180°-50°=130°，故答案是130。
【分析】由对顶角的性质和∠AOC+∠BOD =100°，易求出∠AOC的度数，因为∠AOC、∠AOD 是邻补角，可求出∠AOD的度数。
22．如图，直线、分别与、相交，已知，，，那么　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，
，，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
如图，先由对顶角相等可得，根据同旁内角互补可得，再两直线平行内错角相等可得．
23．如图，，若，则的大小为　 　．
【答案】
【解析】【解答】∵AB//CD，，
∴∠C=∠B=72°，
∵CB//DE，
∴∠D=180°-∠C=180°-72°=108°，
故答案为：108°.
【分析】利用两直线平行，内错角相等可得∠C=∠B=72°，再利用两直线平行，同旁内角互补可得∠D=180°-∠C=180°-72°=108°.
24．如图表示钉在一起的木条a，b，c.若测得，要使木条，木条a至少要旋转　 　°.
【答案】25
【解析】【解答】解：如图，
∵时，，
∴要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是.
故答案为：25.
【分析】根据平行线的性质可得∠AOC=∠1=50°，据此不难求出旋转的度数.
25．如图，直线、相交于点，平分，，则的度数为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解： ∵直线AB、CD相交于点O，
∴∠AOC=∠BOD=42°（对顶角相等），
∵OD平分∠BOE，
∴∠BOE=2∠BOD=84°，
∵∠AOE+∠BOE=180°（平角的意义），
∴∠AOE=180°-84°=96°.
故答案为：96°.
【分析】由直线AB、CD相交，得出对顶角相等，求得∠BOD，再由角平分线意义，求得∠BOE，然后利用平角的意义求出∠AOC.
26．已知直线，点到直线的距离是，到直线的距离是，那么直线和直线之间的距离为　 　．
【答案】2cm或8cm
【解析】【解答】解：如图1，直线a和b之间的距离为：5-3=2（cm）；
如图2，直线a和b之间的距离为：5+3=8（cm）．
故答案为：2cm或8cm．
【分析】根据题意分为两种情况进行求解：点M在直线a和b之外；点M直线a和b之间。
27．如图是路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若∠1=30°，则∠2+∠3的度数为　 　度.
【答案】210
【解析】【解答】解：过∠2顶点做直线l//支撑平台，
∴l//支撑平台//工作篮底部
∴∠1=∠4=30°，∠5+∠3=180°
∴∠4+∠5+∠3=30°+180°=210°
∵∠4+∠5=∠2，
∴∠2+∠3=210°
故答案为：210.
【分析】过∠2顶点做直线l//支撑平台，直线l将∠2分成两个角，根据平行的性质即可求解.
28．如果一个角与它的余角之比为1：2，那么这个角的补角度数是　 　．
【答案】150°
【解析】【解答】设这个角为x，则这个角的余角为（90-x）°，
根据题意可得：2x=90-x，
解得：x=30，
∴这个角的补角为：180°-30°=150°，
故答案为：150°.
【分析】设这个角为x，则这个角的余角为（90-x）°，根据“ 一个角与它的余角之比为1：2 ”列出方程2x=90-x，求出x的值，再利用补角的定义求出答案即可.
29．如图，一块余料，，现进行如下操作：以点为圆心，适当长为半径作圆弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧在内部相交于点，画射线，交于点．连结、．若，则的度数为　 　度．
【答案】28
【解析】【解答】解：由作图可知：∠ABE＝∠CBE，
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠CBE，
∴∠ABE＝∠AEB，
∵∠A＝124°，
∴∠AEB＝（180° 124°）＝28°，
故答案为：28．
【分析】根据题意可得∠ABE＝∠CBE，再利用平行线的性质和角平分线的定义得到∠ABE＝∠AEB，最后利用三角形的内角和可得∠AEB＝（180° 124°）＝28°。
30．如图，两条直线AB，CD交于点O，射线OM是∠AOC的平分线，若∠BOD＝80°，则∠BOM的度数是　 　.
【答案】140°
【解析】【解答】解：∵∠BOD＝80°，
∴∠AOC＝80°，∠COB＝100°，
∵射线OM是∠AOC的平分线，
∴∠COM＝40°，
∴∠BOM＝40°+100°＝140°，
故答案为：140°.
【分析】先根据对顶角相等得出∠AOC＝80°，再根据角平分线的定义得出∠COM，最后解答即可.
31．如图所示，已知FD∥BE，那么∠1+∠2﹣∠3=　 　．
【答案】180°
【解析】【解答】解：∵DF∥BE，
∴∠2+∠FGB=180°，
∵∠AGC=∠FGB，
∴∠2+∠AGC=180°，
∴∠AGC=180°﹣∠2，
∵∠1=∠3+∠AGC，
∴∠1﹣∠3=∠AGC，
∴∠1+∠2﹣∠3=∠AGC+180°﹣∠AGC=180°，
故答案为：180°．
【分析】求出∠AGC=180°﹣∠2，求出∠1﹣∠3=∠AGC，代入求出即可．
32．已知一个角的补角比这个角的余角3倍大10°，则这个角的度数是　 　度．
【答案】50
【解析】【解答】解：设这个角的度数为x°，
根据题意，得：180-x=3（90-x）+10，
解得：x=50.
【分析】设这个角的度数为x°，根据这个角的补角比这个角的余角3倍大10°， 即可得出方程180-x=3（90-x）+10，解方程即可求得这个角的度数。
33．如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，若∠1＝54°，则∠2＝　 　°.
【答案】72
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠1＝54°，
∴∠ABC＝∠1＝54°，∠2＝∠BDC，
又∵BC平分∠ABD，
∴∠CBD＝∠ABC＝54°.
∴∠2＝180°－2∠CBD＝180°－108°＝72°.
故答案为：72.
【分析】设AB的延长线上一点E，根据平行线的性质可得∠ABC＝∠1＝54°，∠2＝∠BDE，由角平分线的概念可得∠CBD＝∠ABC＝54°，然后根据平角的概念进行计算.
34．如图，已知，直线分别与，相交于，两点，现把一块含角的直角三角尺按如图所示的位置摆放．若，则　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=130°，
∴∠3=50°，
又∵l1l2，
∴∠BDC=50°，
又∵∠ADB=30°，
∴∠2=∠BDC-∠ADB=50°-30°=20°，
故答案为：20°．
【分析】根据平行线的性质求出∠BDC=∠3=50°，再利用角的运算求出∠2=∠BDC-∠ADB=50°-30°=20°即可。
35．一副直角三角尺按如图①所示的方式叠放，现将含45°角三角尺ADE固定不动，将含30°角的三角尺ABC绕顶点A顺时针转动，使两块三角尺至少有一组边互相平行；如图②，当∠BAD=15°时，BC//DE，则∠BAD（0°<∠BAD<90°）其他所有可能符合条件的度数为　 　．
【答案】45°或60°
【解析】【解答】解：当AC∥DE时，∠BAD=∠DAE=45°；
当BC∥AD时，∠DAB=∠B=60°；
当BC∥AE时，∵∠EAB=∠B=60°，
∴∠BAD=∠DAE+∠EAB=45°+60°=105°（不符合题意，舍去）；
当AB∥DE时，∠BAD=∠ADE=45°．
综上，∠BAD（0°<∠BAD<90°）其他所有可能符合条件的度数为45°或60°．
故答案为：45°或60°．
【分析】分类讨论，结合图形，利用平行线的性质求解即可。
36．如图，点A，C，F，B在同一直线上，CD平分∠ECB，FG∥CD．若∠ECA为α度，则∠GFB为　 　 度（用关于α的代数式表示）．
【答案】90﹣
【解析】【解答】解：∵点A，C，F，B在同一直线上，∠ECA为α，
∴∠ECB=180°﹣α，
∵CD平分∠ECB，
∴∠DCB=（180°﹣α），
∵FG∥CD，
∴∠GFB=∠DCB=90﹣．
【分析】根据FG∥CD得出∠GFB=∠DCF，再由互补和角平分线得出∠DCF=（180°﹣α），解答即可．
37．将直尺与三角尺按如图所示的方式叠放在一起，在图中标记的角中，所有与互余的角一共有　 　个
【答案】3
【解析】【解答】解：由三角尺的特性可知：
又由平行得：
∵对顶角相等，
∴
∴与互余的角为：
故答案为：3.
【分析】根据平行线的性质及对顶角的性质，求解即可.
38．如图， 点 在射线 上， 直线 ， 将直线 绕着点 逆时针方向旋转 后得到直线 ． 若 ， 则 　 　°
【答案】75
【解析】【解答】解：∵OD⊥AB，
∴∠AOD=90°，
∵OD'//AC，
∴∠A+∠AOD+∠DOD'=180°，
∵∠DOD'=15°，
∴∠A=180°-∠DOD'-∠AOD=180°-15°-90°=75°，
故答案为：75.
【分析】先利用垂直的定义求出∠AOD=90°，再利用两直线平行，同旁内角互补的性质可得∠A+∠AOD+∠DOD'=180°，再结合∠DOD'=15°，利用角的运算求出∠A=180°-∠DOD'-∠AOD=180°-15°-90°=75°即可.
39．已知 ，则 的补角是　 　°　 　＇.
【答案】149；36
【解析】【解答】∵ ，
∴ 的补角=180°- =149°36′，
故答案是：149，36.
【分析】根据补角的概念可得：∠α的补角=180°- ，然后根据1°=60′进行计算即可.
40．推理填空：
已知：如图AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，∠1=∠2，求证：BE∥CF．
证明：∵ AB⊥BC于B，CO⊥BC于C （ 已知 ）
∴∠1＋∠3=90°，∠2＋∠4=90°
∴∠1与∠3互余，∠2与∠4互余
又∵∠1=∠2（　 　） ，
∴　 　=　 　（　 　）
∴BE∥CF（　 　） .
【答案】已知；；；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行
【解析】【解答】已知， ， ，等角的余角相等，内错角相等，两直线平行
【分析】根据垂直的定义和∠1=∠2，由等角的余角相等得到∠ 3=∠ 4，再由内错角相等，两直线平行，得到BE∥CF.
41．如图，C为直线上一点，为直角，平分，平分，平分，各学习小组经过讨论后得到以下结论：与互余；；与互补；．请写出正确结论的序号　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵ CF平分∠ACD，CH平分∠BCD，CG平分∠BCE，（已知）
∴ ∠ACF=∠FCD=∠ACD（角平分线定义），
同理 ∠DCH= ∠HCB=∠DCB，
∠BCG =∠ECG=∠BCE，
又∵ ∠ACB=180°，∠DCE=90°，
∴ ∠FCH =90°，∠HCG=45°，∠FCG=135°
∴ ∠ACF +∠DCH=90°，故①正确，②错误，
∵ ∠ECF= ∠DCE +∠FCD=90°+∠FCD，∠FCD+∠DCH=90°，
∴ ∠ECF +∠DCH=180°，
∵ ∠DCH=∠HCB，
∴ ∠ECF与∠BCH互补，故③正确，
∵∠ACD-∠BCE=180°-∠DCB-∠BCE=90°
∴ ∠ACF -∠BCG = 45°.故④正确.
故答案为：①③④.
【分析】根据角平分的定义，互为余角、补角的定义逐个进行分析判断，最后得出答案做出选择.
42．已知如图，AB∥CD，∠A＝130°，∠D＝25°，那么∠AED＝　 　°.
【答案】75
【解析】【解答】解：如图：过E作EF∥AB，则AB∥EF∥CD，
∵∠A＝130°，
∴∠1＝180°﹣130°＝50°，
∵∠D＝25°，
∴∠2＝∠D＝25°，
∴∠AED＝50°+25°＝75°，
故答案为：75.
【分析】 过拐点点E构造平行线，利用平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等，即可解决问题.
43．一副直角三角尺叠放如图1所示，现将的三角尺ADE固定不动，将含的三角尺绕顶点A顺时针转动（旋转角不超过180度），使两块三角尺至少有一组边互相平行，如图：当时，，则（）其它所有可能符合条件的度数为　 　．
【答案】或或或
【解析】【解答】解：解：当时，
；
当时，
；
当时，
则：，∴；
当时，
则，∴．
故答案为：或或或．
【分析】由平行线的判定与性质知，当从向逐渐增大时，存在、、、等四种情况，分别予以计算即可．
44．如图，已知AB∥CD，F为CD上一点，∠EFD=60°，∠AEC=2∠CEF，若6°＜∠BAE＜15°，∠C的度数为整数，则∠C的度数为　 　．
【答案】36°或37°
【解析】【解答】解：如图，过E作EG∥AB，
∵AB∥CD，
∴GE∥CD，
∴∠BAE=∠AEG，∠DFE=∠GEF，
∴∠AEF=∠BAE+∠DFE，
设∠CEF=x，则∠AEC=2x，
∴x+2x=∠BAE+60°，
∴∠BAE=3x﹣60°，
又∵6°＜∠BAE＜15°，
∴6°＜3x﹣60°＜15°，
解得22°＜x＜25°，
又∵∠DFE是△CEF的外角，∠C的度数为整数，
∴∠C=60°﹣23°=37°或∠C=60°﹣24°=36°，
故答案为：36°或37°．
【分析】先过E作EG∥AB，根据平行线的性质可得∠AEF=∠BAE+∠DFE，再设∠CEF=x，则∠AEC=2x，根据6°＜∠BAE＜15°，即可得到6°＜3x﹣60°＜15°，解得22°＜x＜25°，进而得到∠C的度数．
45．完成下列证明：
如图，已知DE⊥AC于点E，BC⊥AC于点C，FG⊥AB于点G，∠1=∠2，求证：CD⊥AB．
证明：∵DE⊥AC，BC⊥AC（已知），
∴DE∥　 　（　 　），
∴∠2=　 　（两直线平行，内错角相等），
∵∠1=∠2，（已知），
∴∠1=　 　（　 　），
∴GF∥CD（　 　），
∵FG⊥AB（已知），
∴CD⊥AB．
【答案】BC；在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行；∠BCD；∠BCD；等量代换；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】证明：∵DE⊥AC，BC⊥AC（已知），
∴DE∥BC（ 在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行），
∴∠2=∠BCD（两直线平行，内错角相等），
∵∠1=∠2，（已知），
∴∠1=∠BCD（等量代换），
∴GF∥CD（同位角相等，两直线平行），
∵FG⊥AB（已知），
∴CD⊥AB，
故答案为：1.BC；2在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行；3.∠BCD；4.∠BCD；5.等量代换；6.同位角相等，两直线平行．
【分析】由DE⊥AC，BC⊥AC，可得DE∥BC，要证垂直，可证GF∥CD，由已知FG⊥AB，可得CD⊥AB.
46．如图，已知 AD⊥BC，垂足为点 D，EF⊥BC，垂足为点 F，∠1+∠2=180°， 请填写∠CGD=∠CAB
的理由．
解：因为AD⊥BC，EF⊥BC（　 　）
所以∠ADC=90°，∠EFD=90°（　 　）
得∠ADC=∠EFD（　 　）
所以 AD//EF（　 　）
得∠2+∠3=180° （　 　）
又因为∠1+∠2=180°（已知）
所以∠1=∠3（　 　）
所以 DG//AB（　 　）
所以∠CGD=∠CAB（　 　）
【答案】已知；垂直定义；等量代换；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】先证得AD∥EF，根据平行线的性质得出∠2+∠3=180°，求出∠1=∠3，根据平行线的判定得出DG∥AB，根据平行线的性质得出∠CGD=∠CAB即可．
47．如图，QP∥MN，A，B分别为直线MN，PQ上两点，且∠BAN＝60°，射线AE从AM开始绕点A按顺时针方向旋转至AN后立即回转，然后以不变的速度在AM和AN之间不停地来回旋转，射线BF从BQ绕点B按逆时针方向同时开始旋转，射线AE转动的速度是4°/s，射线BF转动的速度是1°/s，在射线BF到达BP之前，有　 　次射线AE与射线BF互相平行，时间分别是　 　s.
【答案】2；36或108
【解析】【解答】解：设射线AE从AM开始绕点A按顺时针方向旋转ts时，射线AE与射线BF互相平行.
此时∠QBF运动所经过的角度为t°，∠MAE运动所经过的角度（4t）°
分三种情况：
①如图，当0≤t≤45时，此时AE为第一次从AM运动至AN过程中，
∵PQ∥MN，∠BAN＝60°，
∴∠ABQ＝∠BAN＝60°，
∴∠MAB＝180°﹣∠BAN＝120°，
∴∠ABF＝60°﹣t°，∠BAE＝∠MAE﹣∠MAB＝（4t）°﹣120°，
当∠ABF＝∠BAE时，AE∥BF，
此时，60﹣t＝4t﹣120，
解得t＝36；
②当45同理∠ABF＝60-t°，∠BAE＝60°﹣[（4t）°﹣180°]＝240°﹣（4t）°，
若AE∥BF，
此时240°﹣（4t）°=60-t°，解得t=60；
即此时ABEF在同一直线上，即AE与BF重合，不符合题意，舍去；
②当60＜t≤90时，此时AE为第一次从AB返回至AM，AF则从AB运动至BP，
由AE的速度>AF的速度，此时二者运动夹角必然不相等，即此时不存在AE∥BF；
③如图，当90＜t≤135时，此时AE为第二次从AM至AN运动过程，AF保持从AB至AP，
∴∠ABF＝t°﹣60°，∠BAE＝120°﹣（4t-360）°，=480°-（4t）°
若AE∥BF，
此时480°-（4t）°=t°﹣60°，解得t=108；
④当135＜t≤180时，此时AE为第二次从AN返回至AM运动过程，AF保持从AB至AP，
同理∠ABF＝t°﹣60°，∠BAE＝（4t-540）°-60°=（4t）°-600°
若AE∥BF，
此时（4t）°-600°=t°﹣60°，解得t=180；
即此时E与F同时到达，此时与题意不符，舍去；
综上所述，在射线BF到达BP之前，有2次射线AE与射线BF互相平行，时间分别是36或108s.
故答案为：2，36或60.
【分析】根据AE运动状态的往返情况及BF在BA左右端产生的角表示差异，可大致分为四类，从而表示出角列出方程得出答案.
48．如图1是一盏可调节台灯，图2，图3为示意图．固定底座于点O，与是分别可绕点A和B旋转的调节杆．在调节过程中，灯体始终保持平行于，台灯最外侧光线组成的始终保持不变．如图2，调节台灯使光线，此时，且的延长线恰好是的角平分线，则　 　．
【答案】80°
【解析】【解答】解：过点作，过点作交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
∴，
∵的延长线恰好是的角平分线，
∴；
故答案为：.
【分析】过点作，过点作交于点，由二直线平行，同旁内角互补及垂直定义得出∠OAF=90°，由角的构成求出∠BAF=40°，由二直线平行，内错角相等，得∠BAF=∠HBA=∠DHB=40°；由平行于同一直线的两条直线互相平行得BG∥CD，由二直线平行，内错角相等，得∠DHB=∠PDN，再根据角平分线的定义可得∠MDN=2∠PDN，从而得出答案.
49．在同一平面中，两条直线相交有一个交点，三条直线两两相交最多有3个交点，四条直线两两相交最多有6个交点……由此猜想，当相交直线的条数为n时，最多可有的交点数m与直线条数n之间的关系式为：m=　 　.（用含n的代数式填空）
【答案】
【解析】【解答】解：∵3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点．
而3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，
∴可猜想，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n-1）=
个交点．
即
故答案为： ．
【分析】根据题意，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有10个交点．而3=1+2，6=1+2+3，10=1+2+3+4，故可猜想，n条直线相交，最多有1+2+3+…+（n-1）= 个交点．
50．如图，直线12∥12，∠A=125°，∠B=85°，则∠1+∠2=　 　
【答案】30°
【解析】【解答】解：如图，延长AB和BA，
∠1+∠3=125°，
∠2+∠4=85°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=210°，
=85°，
∵12∥12 ，
∴∠3+∠4=180°，
∴∠1+∠2=210°-180°=30°；
故答案为：30°.
【分析】延长AB与BA，分别有外角的性质得∠1和∠3，∠2和∠4度数之和，则∠1、∠2、∠3和∠4度数之和可求，再由两直线平行同旁内角互补得∠3和∠4度数之和，则∠1+∠2可求。
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