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【50道解答题·专项集训】
北师大版数学七年级下册第二章 相交线与平行线
1．如图，EF//AD，AD//BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，求∠FEC的度数．
2．如图，AF//DC，AD// BC，∠ABE=
100°，求∠CBF，∠A，∠C，∠D的度数.
3．如图，已知 ， .试说明 .
4．探索发现：（1）如图1，已知直线．若，，求的度数；
归纳总结：（2）根据（1）中的问题，写出图1中之间的数量关系为____________；
实践应用：（3）应用（2）中的结论解答下列问题：
①如图2，点A在B的北偏东的方向上，在C的北偏西的方向上，的度数为____________；
②如图3，已知直线，若，平分平分，求的度数．
5．如图，已知∠ADC=∠EFC，∠3=∠C，可推得∠1=∠2.理由如下：
解：因为∠ADC=∠EFC（已知）
所以AD∥EF（　　）.
所以∠1=∠4（　　），
因为∠3=∠C（已知），
所以AC∥DG（　　）.
所以∠2=∠4（　　）.
所以∠1=∠2（等量代换）.
6．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F，∠1=∠2．
（1）
试说明DG∥BC的理由；
（2）如果∠B=54°，且∠ACD=35°，求∠3的度数
7．如图：∠1＝∠2，∠D＝90°，EF⊥CD，试说明∠3＝∠B．
8．如图， 直线 被直线 所截， 且 ．
（1） 请说明 的理由；
（2） 若 ， 且 平分 ， 求 的度数；
（3） 若 ， 且 平分 ， 求 的度数．
9．如图，AB∥DE，∠1=25°，∠2=110°，求∠BCD的度数．
10． 设∠α，∠β的度数分别为和(65-n)°，且∠α，∠β都是∠γ的补角.
（1）求n的值；
（2）∠α与∠β是否互余 请说明理由.
11．如图，AD平分 交BC于点D，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，连接EF与AC相交于点G， ．
（Ⅰ）AD与EF平行吗？请说明理由；
（Ⅱ）若点H在FE的延长线上，且 ，试探究 与 的数量关系，请说明理由．
12．如图，，且，求的度数．
13．如图，已知∠A=∠F，∠C=∠D，试说明BD∥CE．
14． 2025年11月2日，人形机器人“夸父”成为全运会历史上首个人形机器人火炬手。下图是“夸父”在传递火炬时某瞬间的姿势及其平面示意图。其中，，，。
（1）求的度数；
（2）若，，，，求证：。
15．如图，A，B，C三点在同一直线上，且，．试说明：，
16．一个角的余角是它的补角的2/5，求这个角的补角的度数。
17．已知，如图所示，∠BAE+∠AED=180°，∠M=∠N.求证∠1=∠2.
18．如图，已知，．
（1）试问与相等吗？请说明理由；
（2）若，，求D的度数．
19．如图，已知，.
（1）求证：.
（2）若，求的度数.
20．如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE=∠AOD，OF平分∠BOE，如果∠BOC=35°，那么∠EOF是多少度？
21．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC=50°．过点O作OE⊥CD，求∠BOE的度数．
22．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD．
（1）若OC恰好是∠AOE的平分线，则OA是∠COF的平分线吗？请说明理由；
（2）若∠EOF=5∠BOD，求∠COE的度数．
23．如图，直线，直线与分别交于点．小安将一个含角的直角三角板按图1方式放置，使点分别在直线上，且在点的右侧，．
（1）填空：　 　填“”“<"或“=”)．
（2）若的平分线交直线于点，如图2．
①当时，求的度数．
②小安将三角板保持并向左平移，在平移的过程中求的度数(用含的式子表示)．
24．如图所示，∠1＝∠2，∠3＝75°，求∠4的度数．
25．如图，AB∥CD，点E是CD上一点，∠AEC=42°，EF平分∠AED交AB于点F，求∠AFE的度数．
26．如图所示，已知，平分，试说明．
27．如图，AB∥CD，AD⊥AC，垂足为点A，∠ADC=32°，求∠CAB的度数．
28．如图，点B、E分别在直线AC和DF上，若∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D，可以证明∠A＝∠F．请完成下面证明过程中的各项“填空”．
证明：∵∠AGB＝∠EHF（理由：　 　）
∠AGB＝　 　（对顶角相等）
∴∠EHF＝∠DGF，∴DB∥EC（理由：　 　）
∴∠　 　＝∠DBA（两直线平行，同位角相等）
又∵∠C＝∠D，∴∠DBA＝∠D，
∴DF∥　 　（内错角相等，两直线平行）
∴∠A＝∠F（理由：　 　）．
29．如图，已知AB∥CD，AD和BC交于点O，E为OC上一点，F为CD上一点，且∠CEF+∠BOD＝180°．说明∠EFC＝∠A的理由．
30． 如图，直线，点在直线上，且，，求的度数．
31． 如图，AB∥DF，BC∥DE，∠D=115°.求∠B 的度数.
32．如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，试说明AD∥BE．
解：∵AB∥CD（已知），
∴∠4＝∠ ▲ ．
∵∠3＝∠4（已知），
∴∠3＝∠ ▲ ．
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF（等式的性质），
即∠ ▲ ＝∠ ▲ ，
∴∠3＝∠ ▲ ．
∴AD∥BE（ ）．
33．如图，与互余，是的平分线．
（1）若，求的度数；
（2）若求的度数．
34．补全下面的解答过程．如图，ABCD，点E，F在直线CD下方，连接BE，DE，BF，DF．BF与CD交于点G．已知BE平分∠ABF，DE平分∠CDF，∠F＝∠BGD，探究∠E与∠CDF的数量关系．
解：∵ABCD，
∴∠ABF＝∠ ▲ （ ）．
∵BE平分∠ABF，
∴，（　　）．
∵，
∴∠EBF＝∠ ▲ （ ）．
∴BEDF（ ）．
∴∠ ▲ ＝∠EDF（ ）．
∵DE平分∠CDF，
∴∠CDF＝2∠EDF（ ）．
∴ ▲ ．
35．如图，BC//DE， ，AB和CD平行吗？填空并写出理由．
解：AB//CD．
理由： BC//DE（已知）
▲ （ ▲ ）
（已知）
▲ （ ▲ ）
AB//CD（ ▲ ）
36．将三角板的直角顶点放置在直线上．
（1）若按照图1的方式摆放，且，射线平分，则的大小为　 　；
（2）若按照图2的方式摆放，射线平分．设，
①若，求、度数；
②请判断与度数的等量关系，并说明理由．
37．如图，AB//CD，∠BCD＝70°，∠CBF＝20°，∠BFE＝130°．
（1）求证AB∥EF；
（2）若∠CEF＝70°，求∠ACB的度数．
38．如图，在四边形中，点E是上一点，连接，点F为上一点，连接，且，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
39．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC=74°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数．
40．如图，指出图中直线AC，BC被直线AB所截的同位角、内错角、同旁内角．
41．如图，直线，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，直线分别交、于点、，平分，与交于点已知，．
（1）若、与互相平行，求的值．
（2）若直线向左平移，且始终平行于求平移过程中点与重合时除外，的度数用含的式子表示解答建议：按下列两幅图所示情况分类求解
42．【问题情境】已知，，平分交于点．
【问题探究】（1）如图1，已知．
①若，则的度数为________．
②若，，求的度数：________．
【问题解决】（2）如图2，若，，当时，求的度数；
【问题拓展】（3）如图2，若，请直接写出、和三者之间的数量关系．
43．如图1，直线与直线，分别交于点，，与互为补角
（1）请判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，与的角平分线与交于点，延长与交于点，过点作垂足为，求证：；
（3）在（2）的条件下，连接，点是上一点，连接，使，作的平分线交于点，请画出图形．并直接写出的度数．
44．如图，AB∥CD，AB∥EF，EG平分∠BED， ∠B=45°， ∠D=30°．求 ∠GEF的大小．
45．如图1，已知AB∥CD，P是直线AB，CD间的一点，PF⊥CD于点F，点E 在AB 上，且位于 PF 右侧，∠EPF=120°.
（1）求∠AEP的度数.
（2）如图2，射线PN从PF 出发，以每秒40°的速度绕点 P 按逆时针方向旋转，当PN⊥AB时，立刻按原速返回至首次与 PF 垂直时停止运动.射线 EM 从EA 出发，以每秒15°的速度绕点 E 按逆时针方向旋转至EB 后停止运动（当其中一条射线停止运动时，另一射线也随之停止运动）.若射线 PN，EM同时开始运动，设运动时间为t秒，则当EM∥PN时，求t的值.
46．如图，，直线交于点，交于点，点是线段上一点，，分别在射线，上，连接，，平分，平分．
（1）如图1，若，，则________度，________度；
（2）如图2，求与之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，当时，若，，过点作交的延长线于点．将直线绕点顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，直线恰好平行于的一条边，请求出所有满足条件的的值．
47．如图，是一个3×3方格，试求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9的度数．
48．如图，一副三角板，其中．
（1）若这副三角板如图摆放，，求的度数．
（2）将一副三角板如图1所示摆放，直线，保持三角板不动，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为秒，且，若边与三角板的一条直角边（边）平行时，求所有满足条件的的值．
（3）将一副三角板如图3所示摆放，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转．设旋转时何为秒，如图4，，且，若边与三角板的一条直角边（边）平行时，请直接写出满足条件的的值．
49．如图，，点E，F分别在直线AB，CD上，点P是AB，CD之间的一个动点.
（1）如图①，当点P在线段EF左侧时，猜想，，之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，当点P在线段EF右侧时，猜想，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）若，的平分线交于点Q，且，则　 　.
50．如图1，已知AB//CD，E，F分别是AB，CD上的点，P为AB，CD之间的一点，且始终在直线EF的左侧，连结EP，PF.
（1）求证： ∠AEP+∠CFP=∠EPF.
（2）如图2，在AB，CD内部另作一条折线E—Q—F，且点Q在直线EF的右侧.
①若∠BEP = 2∠BEQ，∠DFP =2∠DFQ， ∠EQF=130°，求∠EPF的度数.
②若∠BEP=n∠BEQ， ∠DFP=n∠DFQ，请直接写出∠EPF与∠EQF之间的数量关系（用含n的代数式表示）.
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【50道解答题·专项集训】
北师大版数学七年级下册第二章 相交线与平行线
1．如图，EF//AD，AD//BC，CE平分∠BCF，∠DAC＝120°，∠ACF＝20°，求∠FEC的度数．
【答案】解：∵EF∥AD，AD∥BC，
∴EF∥BC，
∴∠ACB＋∠DAC＝180°，
∵∠DAC＝120°，
∴∠ACB＝60°，
又∵∠ACF＝20°，
∴∠FCB＝∠ACB ∠ACF＝40°，
∵CE平分∠BCF，
∴∠BCE＝20°，
∵EF∥BC，
∴∠FEC＝∠ECB，
∴∠FEC＝20°．
【解析】【分析】先推出EF//BC，根据平行线的性质可得∠ACB，求出∠FCB，根据角平分线求出∠ECB，根据平行线的性质推出∠FEC=∠ECB，代入即可。
2．如图，AF//DC，AD// BC，∠ABE=
100°，求∠CBF，∠A，∠C，∠D的度数.
【答案】解：∵∠ABE=100°，
∴∠CBF=∠ABE=100°；
∵AD// BC，
∴∠A=∠CBF= 100°；
∵AF//DC，
∴∠C=∠ABE= 100°，
∠A+∠D=180°；
∴∠D=180°-∠A=180°-100°=80°.
【解析】【分析】根据对顶角的性质得出∠CBF=∠ABE，根据平行线的性质得出∠A=∠CBF，∠C=∠ABE， ∠A+∠D=180°，即可求解.
3．如图，已知 ， .试说明 .
【答案】解：∵ ，
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ .
∵ ， .
∴ .
【解析】【分析】利用同位角相等，两直线平行，可得到AB∥DE，再利用平行线的性质可推出∠ABC=∠BCD；利用内错角相等，两直线平行，可证得PB∥CQ，由此可推出∠PBC=∠BCQ，由此可证得结论.
4．探索发现：（1）如图1，已知直线．若，，求的度数；
归纳总结：（2）根据（1）中的问题，写出图1中之间的数量关系为____________；
实践应用：（3）应用（2）中的结论解答下列问题：
①如图2，点A在B的北偏东的方向上，在C的北偏西的方向上，的度数为____________；
②如图3，已知直线，若，平分平分，求的度数．
【答案】解：（1）过点P作PQ//AC，如图所示：
∵AC//BD，
∴AC//QP//BD，
，，
．
（2）；
（3）①83°；
②∵AC//BD，∠CAP=30°，设∠PBD=α，
∴∠APB=∠CAP+∠PBD=30°＋α.
平分∠APB，
.
∵BF平分，
.
∴.
【解析】【解答】解：（2）由（1）可得：；
故答案为：；
（3）①由（2）知，∠DBA=40°，∠ACE=43°，
，
故答案为：83°；
【分析】（1）过拐点作平行线，由平行线的性质和平行公理可得∠ACP=∠CPQ，∠QPD=∠BDP，相加即可得到结论；
（2）由（1）的推理过程即可得出答案；
（3）①由（2）的结论即可求解；
（3）②设∠PBD=α，由（2）的结论和角平分线的定义得，由角平分线的定义和平行线的性质得，相减即可得到结论.
5．如图，已知∠ADC=∠EFC，∠3=∠C，可推得∠1=∠2.理由如下：
解：因为∠ADC=∠EFC（已知）
所以AD∥EF（　　）.
所以∠1=∠4（　　），
因为∠3=∠C（已知），
所以AC∥DG（　　）.
所以∠2=∠4（　　）.
所以∠1=∠2（等量代换）.
【答案】解：因为∠ADC＝∠EFC(已知)，
所以AD∥EF(同位角相等，两直线平行).
所以∠1＝∠4(两直线平行，同位角相等).
因为∠3＝∠C(已知)，
所以AC∥DG(同位角相等，两直线平行).
所以∠2＝∠4(两直线平行，内错角相等).
所以∠1＝∠2(等量代换).
【解析】【分析】根据同位角相等，两直线平行，可得AD∥EF，由两直线平行，同位角相等可得∠1＝∠4 .根据同位角相等，两直线平行可得AC∥DG，由两直线平行，内错角相等可得∠2＝∠4，根据等量代换可得∠1＝∠2.
6．如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F，∠1=∠2．
（1）
试说明DG∥BC的理由；
（2）如果∠B=54°，且∠ACD=35°，求∠3的度数
【答案】（1）证明：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF，
∴∠2=∠BCD．又∵∠1=∠2，∴∠1=∠BCD，
∴DG∥BC
（2）解：在Rt△BEF中，∠B=54°，
∴∠2=180°-90°-54°=36°，
∴∠BCD=∠2=36°
又∵BC∥DG，∴∠3=∠ACB=∠ACD+∠BCD=35°+36°=71°
【解析】【分析】（1）利用内错角和同位角相等，可判定两条直线平行。
（2）根据平行线的性质和直角三角形的度数，可计算得到∠3的度数。
7．如图：∠1＝∠2，∠D＝90°，EF⊥CD，试说明∠3＝∠B．
【答案】解：∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC，
∵∠D＝90°，
∴AD⊥CD，
∵EF⊥CD，
∴AD∥EF，
∴EF∥BC，
∴∠3＝∠B．
【解析】【分析】因为∠1＝∠2，由内错角相等证明AD//BC，又因为∠D＝90°，EF⊥CD，则有AD//EF，所以EF//BC，故可求证∠3＝∠B。
8．如图， 直线 被直线 所截， 且 ．
（1） 请说明 的理由；
（2） 若 ， 且 平分 ， 求 的度数；
（3） 若 ， 且 平分 ， 求 的度数．
【答案】（1）证明：∵∠1与∠AEF是对顶角，
∴∠1=∠AEF，
∵∠1+∠2=180°，
∴∠AEF+∠2=180°，
∴AB//CD.
（2）解：∵∠1=70°，
∴∠BEF=180°-∠1=180°-70°=110°，
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG=∠BEF=55°，
∵AB//CD，
∴∠3=∠BEG=55°.
（3）解：∵AB//CD，
∴∠3=∠BEG，
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEF=2∠BEG，
∴∠BEF=2∠3，
∵∠1+∠3=110°，∠1+∠BEG=∠1+2∠3=180°，
∴∠3=70°。
∴∠BEF=2∠BEG=2×70°=140°.
【解析】【分析】（1）利用对顶角的性质及等量代换可得∠AEF+∠2=180°，即可证出AB//CD；
（2）先利用邻补角求出∠BEF=180°-∠1=180°-70°=110°，再利用角平分线的定义求出∠BEG=∠BEF=55°，最后利用平行线的性质可得∠3=∠BEG=55°；
（3）先利用平行线的性质证出∠3=∠BEG，再利用角平分线的定义可得∠BEF=2∠BEG，再结合∠1+∠3=110°，∠1+∠BEG=∠1+2∠3=180°，求出∠3的度数，最后求出∠BEF=2∠BEG=2×70°=140°即可.
9．如图，AB∥DE，∠1=25°，∠2=110°，求∠BCD的度数．
【答案】解：过点C作CE∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥DE∥CE，
∵∠1=25°，∠2=110°，
∴∠3=∠1=25°，∠4=180°﹣∠2=180°﹣110°=70°，
∴∠BCD=∠3+∠4=25°+70°=95°．
【解析】【分析】过点C作CE∥AB，再由平行线的性质即可得出结论．
10． 设∠α，∠β的度数分别为和(65-n)°，且∠α，∠β都是∠γ的补角.
（1）求n的值；
（2）∠α与∠β是否互余 请说明理由.
【答案】（1）解：由∠α、∠β都是∠γ的补角，
得∠α＝∠β，即（2n＋5）°＝（65 n）°．
解得：n＝20.
（2）解：∠α与∠β互余，理由如下：
∠α＝（2n＋5）°＝45°，∠β＝（65 n）°＝45°，
∵∠α＋∠β＝90°，
∴∠α与∠β互为余角．
【解析】【分析】（1）利用等角的补角相等可得（2n＋5）°＝（65 n）°，再求出n的值即可；
（2）先分别求出∠α＝（2n＋5）°＝45°，∠β＝（65 n）°＝45°，再结合∠α＋∠β＝90°，即可得到∠α与∠β互为余角．
11．如图，AD平分 交BC于点D，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，连接EF与AC相交于点G， ．
（Ⅰ）AD与EF平行吗？请说明理由；
（Ⅱ）若点H在FE的延长线上，且 ，试探究 与 的数量关系，请说明理由．
【答案】（Ⅰ）AD与EF平行，理由如下：
∵ ， ，
∴（同角的补角相等）．
∴ （同位角相等，两直线平行）．
（Ⅱ） = ，理由如下：
∵ AD 平分 ，
∴ ．
∵ ，
∴ （两直线平行，内错角相等）， （两直线平行，同位角相等）．
∴ （等量代换）．
∵ ，
∴ HD∥AC （内错角相等，两直线平行）．
∴ （两直线平行，同位角相等）．
∴= （等量代换）．
【解析】【分析】（1）求出 ，根据平行线的判定推出即可；
（2）根据角平分线定义得出 ，推出HD//AC，根据平行线的性质得出 ，，即可得出。
12．如图，，且，求的度数．
【答案】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∴∠ABD＋∠DBC＝∠C，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠D，
∵AD∥BC，
∴∠DBC＝∠D，
∴∠C＝2∠D，
∵∠BAC＝20°，
∴∠ABC＝∠C＝80°，
∴∠D＝40°．
【解析】【分析】先求出 ∠ABC＝∠C， 再求出 ∠DBC＝∠D， 最后计算求解即可。
13．如图，已知∠A=∠F，∠C=∠D，试说明BD∥CE．
【答案】解：∵∠A=∠F（已知），
∴AC∥DF（内错角相等，两直线平行），
∴∠C=∠CEF（两直线平行，内错角相等），
∵∠C=∠D（已知），
∴∠D=∠CEF（等量代换），
∴BD∥CE（同位角相等，两直线平行）．
【解析】【分析】由∠A=∠F，根据内错角相等，得两条直线平行，即AC∥DF；根据平行线的性质，得∠C=∠CEF，借助等量代换可以证明∠D=∠CEF，从而根据同位角相等，证明BD∥CE．
14． 2025年11月2日，人形机器人“夸父”成为全运会历史上首个人形机器人火炬手。下图是“夸父”在传递火炬时某瞬间的姿势及其平面示意图。其中，，，。
（1）求的度数；
（2）若，，，，求证：。
【答案】（1）设，
则
，，
，解得 …
（2）如图，过点作直线
，，
…
，
， …
又、，
【解析】【分析】本题考查平行线的性质与判定的综合应用。
（1）先根据两直线平行同旁内角互补，得到与的关系，再结合已知的角度比和的度数，列出关于的方程，求解后根据邻补角的性质求出；
（2）先延长交于点，利用三角形外角的性质求出的度数，再根据平行线的性质求出的度数，结合周角的性质求出的度数，验证与为同旁内角且互补，证明，再结合，利用平行公理的推论证明。
15．如图，A，B，C三点在同一直线上，且，．试说明：，
【答案】证明：∵，
∴，
∴，
∵
∴，
∴．
【解析】【分析】根据题意先求出 ， 再求出 ， 最后求解即可。
16．一个角的余角是它的补角的2/5，求这个角的补角的度数。
【答案】解：设这个角的度数为x，根据题意得
90°-x=（180°-x）
解之：x=30°
∴这个角的补角为150 °.
【解析】【分析】此题的等量关系为： 一个角的余角=它的补角×，再设未知数，列方程，求解即可.
17．已知，如图所示，∠BAE+∠AED=180°，∠M=∠N.求证∠1=∠2.
【答案】证明：∵∠BAE+∠AED=180°（已知），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠BAE=∠CEA（两直线平行，内错角相等），
∵∠M=∠N （已知），
∴AN∥EM（内错角相等，两直线平行），
∴∠NAE=∠AEM（两直线平行，内错角相等），
∴∠BAE-∠NAE=∠CEA-∠ANE，
即∠1=∠2 （等式的性质）.
【解析】【分析】先由平行线的判定证明AB∥CD和AN//ME，由平行线的性质得到∠BAE=∠CEA和∠NAE=∠AEM，从而得到∠BAE-∠NAE=∠CEA-∠ANE，即为结论.
18．如图，已知，．
（1）试问与相等吗？请说明理由；
（2）若，，求D的度数．
【答案】（1）解：与相等，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，即，
∵，，
∴，
即．
【解析】【分析】（1）利用二直线平行，同旁内角互补可得∠1+∠CBE=180°，再结合已知，由同角的补角相等可得∠2=∠CBE，从而由内错角相等，两直线平行证出EF//BC，最后利用二直线平行，同位角相等可得结论；
（2）利用平行线的性质及等量代换可得，即，再结合，求出，最后求出即可．
19．如图，已知，.
（1）求证：.
（2）若，求的度数.
【答案】（1）因为，所以，
即，
又因为，且，
得，
所以.
（2）因为，所以
因为，所以
所以
因为，所以
所以.
【解析】【分析】(1)由垂直定义及角的和差关系易得∠3+∠4= 90°，再结合已知条件，根据等角的余角相等可得∠1=∠4，最后根据同位角相等，两直线平行即可证得结论；
(2)由三角形的内角和为180°可求得∠C=90°，则∠ABC+∠C=180°，根据同旁内角互补，两直线平行可证得AB//CD，根据两直线平行，同旁内角互补可得∠A+∠ADC =180°，进而可得出结论.
20．如图，直线AB、CD相交于点O，∠DOE=∠AOD，OF平分∠BOE，如果∠BOC=35°，那么∠EOF是多少度？
【答案】解：∵∠AOD=∠BOC=35°，
∴∠DOE=∠AOD=35°，
∴∠BOE=180°﹣∠AOD﹣∠DOE=110°，
∵OF平分∠BOE，
∴∠EOF=110°÷2=55°．
【解析】【分析】先根据对顶角相等得到∠AOD的度数，进一步得到∠DOE的度数，再根据平角的定义得到∠BOE的度数，再根据角平分线的定义可求∠EOF是多少度．
21．如图，直线AB，CD相交于点O，∠AOC=50°．过点O作OE⊥CD，求∠BOE的度数．
【答案】解：分两种情况：
如图①，OE在CD的上方，
∵OE⊥CD，
∴∠DOE=90°，
∵∠BOD=∠AOC=50°，
∴∠BOE=∠DOE-∠BOD=40°；
如图②，OE在CD的下方，
∵OE⊥CD，
∴∠DOE=90°，
∵∠BOD=∠AOC=50°，
∴∠BOE=∠DOE+∠BOD=140°，
∴∠BOE的度数为40°或140°.
【解析】【分析】根据垂直定义得出∠DOE=90°，根据对顶角相等得出∠BOD=∠AOC=50°，然后分两种情况讨论：①OE在CD的上方，利用∠BOE=∠DOE-∠BOD得出∠BOE=40°，②OE在CD的下方，利用∠BOE=∠DOE+∠BOD得出∠BOE=140°，即可得出答案.
22．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，OF⊥CD．
（1）若OC恰好是∠AOE的平分线，则OA是∠COF的平分线吗？请说明理由；
（2）若∠EOF=5∠BOD，求∠COE的度数．
【答案】解：（1）OA是∠COF的平分线．
∵OE⊥AB，
∴∠AOE=90°，
∵OC恰好是∠AOE的平分线，
∴∠AOC==45°，
∵OF⊥CD，
∴∠COF=90°，
∴∠AOF=∠COF﹣∠AOC=90°﹣45°=45°，
∴OA是∠COF的平分线；
（2）设∠AOC=x，
∴∠BOD=x，
∵∠AOE=90°，
∴∠COE=∠AOE﹣∠AOC=90°﹣x，
∴∠EOF=∠COE+∠COF=90°﹣x+90°=180°﹣x，
∵∠EOF=5∠BOD，
∴180°﹣x=5x，
解得x=30，
∴∠COE=90°﹣30°=60°．
【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质和垂直的定义易得∠AOC==45°，再由OF⊥CD，可得∠COF=90°，易得∠AOF，由垂直的定义可得结论；
（2）设∠AOC=x，易得∠BOD=x，可得∠COE=90°﹣x，∠EOF=180°﹣x，利用∠EOF=5∠BOD，解得x，可得∠COE．
23．如图，直线，直线与分别交于点．小安将一个含角的直角三角板按图1方式放置，使点分别在直线上，且在点的右侧，．
（1）填空：　 　填“”“<"或“=”)．
（2）若的平分线交直线于点，如图2．
①当时，求的度数．
②小安将三角板保持并向左平移，在平移的过程中求的度数(用含的式子表示)．
【答案】（1）=
（2）解：
②如图2，
综上所述，的度数为．
【解析】【解答】解：(1)过点作．
故答案为．
【分析】（1）过点作，根据平行线的性质可得，，进而可求解；
（2）①由平行线的性质可得，结合角平分线的定义可得，再利用平行线的性质可求解；
②可分两种情况：点在的右侧时，点在的左侧时，利用平行线的性质及角平分线的定义计算可求解．
24．如图所示，∠1＝∠2，∠3＝75°，求∠4的度数．
【答案】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【解析】【分析】先根据∠1＝∠2，得到AB//CD，再利用平行线的性质得到计算即可。
25．如图，AB∥CD，点E是CD上一点，∠AEC=42°，EF平分∠AED交AB于点F，求∠AFE的度数．
【答案】解：∵∠AEC=42°，
∴∠AED=180°﹣∠AEC=138°，
∵EF平分∠AED，
∴∠DEF= ∠AED=69°，
又∵AB∥CD，
∴∠AFE=∠DEF=69°．
【解析】【分析】由平角求出∠AED的度数，由角平分线得出∠DEF的度数，再由平行线的性质即可求出∠AFE的度数．
26．如图所示，已知，平分，试说明．
【答案】证明：∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】根据角平分线的定义得到，进而得到，最后根据内错角相等，两直线平行证出即可.
27．如图，AB∥CD，AD⊥AC，垂足为点A，∠ADC=32°，求∠CAB的度数．
【答案】解：∵AD⊥AC，
∴∠CAD=90°，
∵AB∥CD，
∴∠BAD=∠ADC=32°，
∴∠BAC=90°+32°=122°
【解析】【分析】首先根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，进而得到∠BAD=∠ADC=32°，再根据垂线定义可得∠CAD=90°，然后根据角的和差关系可得答案．
28．如图，点B、E分别在直线AC和DF上，若∠AGB＝∠EHF，∠C＝∠D，可以证明∠A＝∠F．请完成下面证明过程中的各项“填空”．
证明：∵∠AGB＝∠EHF（理由：　 　）
∠AGB＝　 　（对顶角相等）
∴∠EHF＝∠DGF，∴DB∥EC（理由：　 　）
∴∠　 　＝∠DBA（两直线平行，同位角相等）
又∵∠C＝∠D，∴∠DBA＝∠D，
∴DF∥　 　（内错角相等，两直线平行）
∴∠A＝∠F（理由：　 　）．
【答案】已知；∠DGF；同位角相等，两直线平行；C；AC；两直线平行，内错角相等．
【解析】【解答】解：∵∠AGB＝∠EHF（已知），∠AGB＝∠DGF（对顶角相等），
∴∠EHF＝∠DGF
∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行），
∴∠C＝∠DBA （ 两直线平行，同位角相等），
又∵∠C＝∠D（已知），
∴∠DBA＝∠D（等量代换），
∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行），
∴∠A＝∠F（两直线平行，内错角相等），
故答案是：已知；∠DGF；同位角相等，两直线平行；C；AC；两直线平行，内错角相等．
【分析】根据对顶角相等推知同位角∠EHF＝∠DGF，从而证得两直线DB∥EC；然后由平行线的性质知内错角∠DBA＝∠D，即可根据平行线的判定定理推知两直线DF∥AC；最后由平行线的性质（两直线平行，内错角相等）证得∠A＝∠F．
29．如图，已知AB∥CD，AD和BC交于点O，E为OC上一点，F为CD上一点，且∠CEF+∠BOD＝180°．说明∠EFC＝∠A的理由．
【答案】证明：∵AB∥CD，
∴∠A=∠D，
∵∠CEF+∠BOD=180°，∠BOD+∠DOC=180°，
∴∠CEF=∠DOC．
∴EF∥AD．
∴∠EFC=∠D，
∵∠A=∠D，
∴∠EFC=∠A．
【解析】【分析】由平行线的性质可得∠A=∠D，根据同角的补角相等可得∠CEF=∠DOC，利用平行线的判定可得EF∥AD，根据两直线平行，同位角相等可得∠EFC=∠D，利用等量代换即得∠EFC=∠A.
30． 如图，直线，点在直线上，且，，求的度数．
【答案】解： 标记如下图所示：
∵，
∴
又∵，
∴，
∵，
∴．
【解析】【分析】先根据补角的性质求出∠3的度数，再利用平行线的性质求解即可.
31． 如图，AB∥DF，BC∥DE，∠D=115°.求∠B 的度数.
【答案】解：∵AB∥DF，
∴∠BGE=∠D=115°，
∵BC∥DE，
∴∠B+∠BGE=180°，
∴∠B=65°.
【解析】【分析】先根据两直线平行，同位角相等得到∠BGE=∠D=115°，再根据两直线平行，同旁内角互补得到∠B=180°-∠BGE=65°.
32．如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，∠3＝∠4，试说明AD∥BE．
解：∵AB∥CD（已知），
∴∠4＝∠ ▲ ．
∵∠3＝∠4（已知），
∴∠3＝∠ ▲ ．
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF（等式的性质），
即∠ ▲ ＝∠ ▲ ，
∴∠3＝∠ ▲ ．
∴AD∥BE（ ）．
【答案】解：∵AB∥CD（已知），
∴∠4＝∠EAB（两直线平行，同位角相等），
∵∠3＝∠4（已知），
∴∠3＝∠EAB（等量代换），
∵∠1＝∠2（已知），
∴∠1+∠CAF＝∠2+∠CAF（等式的性质），
即∠BAE＝∠CAD（角的和差），
∴∠3＝∠CAD，
∴AD∥BE （内错角相等，两直线平行）．
故答案为：EAB，EAB，BAE，CAD，CAD，内错角相等，两直线平行．
【解析】【分析】根据两直线平行，同位角相等得∠4＝∠EAB，结合∠3＝∠4，根据等量代换得∠3＝∠EAB，根据等式的性质有∠1=∠2推出∠BAE＝∠CAD，则可得∠3＝∠CAD，最后根据内错角相等，两直线平行得出结论.
33．如图，与互余，是的平分线．
（1）若，求的度数；
（2）若求的度数．
【答案】（1）解：∵与互余，
∴
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵是的平分线，
∴
设，
∵，
∴，
∵与互余，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据和为90°的两个角互为余角可得∠BOD=90°-∠AOB=40°，然后根据角平分线的定义得出∠BOC=∠BOD，从而代值计算可得答案；
（2）根据角平分线的定义，若设，则，结合∠AOB与∠BOC之间的关系可得，再根据“和为90°的两个角互为余角”列出方程，求解得出x的值，进而根据角的和差即可求出∠AOC的度数.
（1）∵与互余，，
∴，
∵是的平分线，
∴．
（2）∵，是的平分线，
∴，
∵与互余，
∴，
∴．
34．补全下面的解答过程．如图，ABCD，点E，F在直线CD下方，连接BE，DE，BF，DF．BF与CD交于点G．已知BE平分∠ABF，DE平分∠CDF，∠F＝∠BGD，探究∠E与∠CDF的数量关系．
解：∵ABCD，
∴∠ABF＝∠ ▲ （ ）．
∵BE平分∠ABF，
∴，（　　）．
∵，
∴∠EBF＝∠ ▲ （ ）．
∴BEDF（ ）．
∴∠ ▲ ＝∠EDF（ ）．
∵DE平分∠CDF，
∴∠CDF＝2∠EDF（ ）．
∴ ▲ ．
【答案】解：∵，
∴∠ABF＝∠BGD（两直线平行，内错角相等），
∵BE平分∠ABF
∴，（角平分线的定义），
∵，
∴∠EBF＝∠F（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行），
∴∠E＝∠EDF（两直线平行，内错角相等），
∵DE平分∠CDF，
∴∠CDF＝2∠EDF（角平分线的定义），
∴∠CDF＝2∠E．
【解析】【分析】利用角平分线的定义，平行线的判定方法和性质求解即可。
35．如图，BC//DE， ，AB和CD平行吗？填空并写出理由．
解：AB//CD．
理由： BC//DE（已知）
▲ （ ▲ ）
（已知）
▲ （ ▲ ）
AB//CD（ ▲ ）
【答案】解：理由： BC//DE（已知）
C（两直线平行，内错角相等）
（已知）
C（两等量代换）
AB//CD（内错角相等，两直线平行）
【解析】【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠D=∠C，由∠B=∠D，利用等量代换可得∠B=∠C，根据内错角相等，两直线平行即证结论.
36．将三角板的直角顶点放置在直线上．
（1）若按照图1的方式摆放，且，射线平分，则的大小为　 　；
（2）若按照图2的方式摆放，射线平分．设，
①若，求、度数；
②请判断与度数的等量关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2）解：①∵平分，
，
，
又∵，
；
②
理由如下： 设，
∵，
，
又∵，
，
．
【解析】【解答】（1）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）先利用角的运算求出，再利用角平分线的定义可得，最后利用角的运算求出即可；
（2）①先利用角平分线的定义求出，再结合，利用角的运算求出；
②设，再利用角的运算求出，再结合，利用角的运算和等量代换求出即可．
（1）∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）①∵平分
又∵
；
②
理由如下： 设，
∵
又∵
．
37．如图，AB//CD，∠BCD＝70°，∠CBF＝20°，∠BFE＝130°．
（1）求证AB∥EF；
（2）若∠CEF＝70°，求∠ACB的度数．
【答案】（1）证明：∵，
∴∠ABC=∠BCD=70°，
∵∠CBF=20°，
∴∠ABF=∠ABC-∠CBF=50°，
∴∠ABF+∠BFE=180°，
∴；
（2）解：∵，
∴∠A=∠CEF=70°，
∵，
∴∠ACD=180°-∠A=110°，
∴∠ACB=∠ACD-∠BCD=40°．
【解析】【分析】（1）首先根据平行线的性质得出∠ABC=∠BCD=70°，进一步可得出∠ABF=70°-20°=50°，再根据∠ABF+∠BFE=180°，即可得出结论AB∥EF；
（2）首先根据平行线的性质可求得∠A=∠CEF=70°，再由平行线的性质可求得∠ACD=180°-70°=110°，进一步求∠ACB=110°-70°=40°。
38．如图，在四边形中，点E是上一点，连接，点F为上一点，连接，且，．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行，得到DE∥AC，根据二直线平行，同位角相等得到∠A=∠3，等量代换即∠3=∠DEB，根据内错角相等，两直线平行，即可证明AB∥CD；
（2）根据二直线平行，同旁内角互补得到∠BDC+∠B=180°，求出∠3=34°，根据二直线平行，同旁内角互补得∠3+∠DEA=180°，即可求出的度数．
39．如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOD，∠AOC=74°，∠DOF=90°，求∠EOF的度数．
【答案】解：∠BOD=∠AOC=74°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE= ∠BOD=37°，∠BOF=∠DOF﹣∠BOD=16°，∴∠EOF=∠BOE+∠BOF=53°．
【解析】【分析】根据对顶角相等得出∠BOD=∠AOC，根据角平分线的定义得出∠BOE= ∠BOD，然后由∠BOF=∠DOF﹣∠BOD及∠EOF=∠BOE+∠BOF得出答案。
40．如图，指出图中直线AC，BC被直线AB所截的同位角、内错角、同旁内角．
【答案】解：∵直线AC、BC被直线AB所截，
∴∠1与∠2，∠4与∠DBC是同位角；
∠1与∠3，∠4与∠5是内错角；
∠3与∠4是同旁内角，∠1与∠5是同旁内角.
【解析】【分析】 根据同位角、内错角、同旁内角的定义判断求解即可.
41．如图，直线，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，直线分别交、于点、，平分，与交于点已知，．
（1）若、与互相平行，求的值．
（2）若直线向左平移，且始终平行于求平移过程中点与重合时除外，的度数用含的式子表示解答建议：按下列两幅图所示情况分类求解
【答案】（1）解：，，
，，
平分，
，
，
，
；
（2）解：当点与点在两侧时，如图：
，
，
，
，
设，
，
，，
平分，
，
，
当点与点在点的同侧时，如图：
，
，
，
，
，
，，
，
平分，
，
．
综上所述：的度数为：或．
【解析】【分析】（1）利用平行线的性质可得，，再利用角平分线的定义求出，最后利用平行线的性质求出即可；
（2）①当点与点在两侧时，②当点与点在点的同侧时，再分别画出图象并利用平行线的性质及角的运算求解即可.
42．【问题情境】已知，，平分交于点．
【问题探究】（1）如图1，已知．
①若，则的度数为________．
②若，，求的度数：________．
【问题解决】（2）如图2，若，，当时，求的度数；
【问题拓展】（3）如图2，若，请直接写出、和三者之间的数量关系．
【答案】解：（1）①；②；
（2）∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴
，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
即．
【解析】【解答】解：（1）①∵，，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：①；②.
【分析】（1）①利用平行线的性质及角的运算求出即可；
②利用角平分线的定义可得，再利用角的运算求出，最后利用平行线的性质可得；
（2）先利用角平分线的定义求出，再利用平行线的性质可得，最后利用角的运算求出即可；
（3）先利用角平分线的定义可得，再利用角的运算和等量代换可得，再利用平行线的性质可得，再求出，即可得到．
43．如图1，直线与直线，分别交于点，，与互为补角
（1）请判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，与的角平分线与交于点，延长与交于点，过点作垂足为，求证：；
（3）在（2）的条件下，连接，点是上一点，连接，使，作的平分线交于点，请画出图形．并直接写出的度数．
【答案】（1）解：，理由如下：
∵，，，
，
（同旁内角互补，两直线平行）．
（2）解：由（1）得，，
∴∠BEF+∠EFD=180°，
∵与的角平分线交于点P，
∴∠FEP+∠EFP=（∠BEF+∠EFD）=90°，
∴∠EPF=90°，
又∵，
∴∠HGE=90°，
∴∠EPF=∠HGE，
∴．
（3）解：如图所示：
∵∠PHK=∠HPK，
∴∠PKG=2∠HPK，
又∵∠KPG=90°-∠PKG=90°-2∠HPK，
∴∠EPK=180°-∠KPG=90°+2∠HPK，
∵PQ平分∠EPK，
∴，
．
【解析】【分析】 (1)根据角的等量代换，得出，根据同旁内角互补，两直线平行，得出直线与的位置关系.
(2)由(1)得，根据平行线性质和三角形内角和定理可得，由得∠HGE=90°，根据同位角相等，两直线平行，可证明 .
(3)根据角的运算与角平分线的性质，代入计算可得.
44．如图，AB∥CD，AB∥EF，EG平分∠BED， ∠B=45°， ∠D=30°．求 ∠GEF的大小．
【答案】解：因为AB∥CD，AB∥EF，所以EF∥CD，所以内错角 FED= D=30°．又因为AB∥EF，所以内错角FEB=B=45°，从而， BED=FED+FEB=75°．因为EG平分BED，所以BEG= BED=37.5°．从而 GEF=BEF-BEG=45°-37.5°=7.5°．所以 GEF为7.5°．
【解析】【分析】根据平行线的性质得∠FED=∠D=30°，∠FEB=∠B=45°，从而得∠BED=75°；再由角平分线性质得∠BEG=37.5°，由∠GEF=∠BEF- ∠BEG即可求得答案.
45．如图1，已知AB∥CD，P是直线AB，CD间的一点，PF⊥CD于点F，点E 在AB 上，且位于 PF 右侧，∠EPF=120°.
（1）求∠AEP的度数.
（2）如图2，射线PN从PF 出发，以每秒40°的速度绕点 P 按逆时针方向旋转，当PN⊥AB时，立刻按原速返回至首次与 PF 垂直时停止运动.射线 EM 从EA 出发，以每秒15°的速度绕点 E 按逆时针方向旋转至EB 后停止运动（当其中一条射线停止运动时，另一射线也随之停止运动）.若射线 PN，EM同时开始运动，设运动时间为t秒，则当EM∥PN时，求t的值.
【答案】（1）解：过点P作PM∥CD，如图，
∵ PF⊥CD，PM∥CD，
∴ ∠FPM=90°，
∵ ∠EPF=120°，
∴ ∠EPM=∠EPF-∠FPM=120°-90°=30°，
∵ AB∥CD，PM∥CD，
∴ AB∥PM，
∴ ∠AEP=∠EPM=30°.
（2）解：当0＜t≤2时，如图，
∠AEM=15t°，∠EPN=40t°，
∴ ∠MEP=30°-15t°，∠EPN=120°-40t°，
当EM∥PN，则∠MEP=∠EPN，
即30°-15t°=120°-40t°，
解得，t=（舍去）；
当2＜t≤时，如图，
∠AEM=15t°，∠EPN=40t°，
∴ ∠MEP=15t°-30°，∠EPN=40t°-120°，
当EM∥PN，则∠MEP=∠EPN，
即15t°-30°=40t°-120°，
解得，t=；
当＜t≤时，如图，
∠AEM=15t°，∠EPN=60°-(40t°-180°)=240°-40t°，
∴ ∠MEP=15t°-30°，∠EPN=240°-40t°，
当EM∥PN，则∠MEP=∠EPN，
即15t°-30°=240°-40t°，
解得，t=；
∴ t的值为或.
【解析】【分析】（1）过点P作PM∥CD，根据平行线的性质得∠FPM=90°推出∠EPM，根据平行于同一直线的两条直线互相平行可得AB∥PM，再根据二直线平行，内错角相等，即可求得；
（2）分三种情况：当0＜t≤2时，即0＜EM旋转的角度≤30°时；当2＜t≤时，即PN旋转的角度不超过180°时；＜t≤时，即180°＜PN旋转的角度≤270°，均根据平行线的性质得∠MEP=∠EPN建立等量关系，即可求得.
46．如图，，直线交于点，交于点，点是线段上一点，，分别在射线，上，连接，，平分，平分．
（1）如图1，若，，则________度，________度；
（2）如图2，求与之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，当时，若，，过点作交的延长线于点．将直线绕点顺时针旋转，速度为每秒，直线旋转后的对应直线为，同时绕点逆时针旋转，速度为每秒，旋转后的对应三角形为，当直线首次落到上时，整个运动停止．在此运动过程中，经过秒后，直线恰好平行于的一条边，请求出所有满足条件的的值．
【答案】（1）；；
（2）解：，理由如下：
设，则则，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
∵，，
，
∴，
即：
∴.
（3）解：∵，∴，
∵平分，
∴，
由（2）得，
又，
∴，
∴，
∴，
由题意得，则，则
设与的交点为I，则
如图①：时，
即：
解得：；
如图②：时，
同理
即：
解得：；
如图③：时，
，则
同理
即：
解得：；
综上所述：或或.
【解析】【解答】（1）解：延长交于G，设交于点H，如图所示：
设，则，
∵
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
在和中，
∵，
∴，
即：，
∴，
故答案为：；.
【分析】（1）延长交于G，设交于点H，设，则，再利用平行线的性质及角平分线的定义及角的运算分析求解即可；
（2） 设，则则， 先利用角的运算和等量代换求解即可；
（3）分类讨论：①时，②时，③时，先分别画出图形并利用角的运算分析求解即可.
47．如图，是一个3×3方格，试求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9的度数．
【答案】解：由图可知：∠1+∠9=90°，
∠2+∠6=90°，
∠4+∠8=90°，
∠3=∠5=∠7=45°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9，
=（∠1+∠9）+（∠2+∠6）+（∠4+∠8）+∠3+∠5+∠7，
=90°+90°+90°+45°+45°+45°，
=405°.
【解析】【分析】结合3×3方格性质可知∠1+∠9=90°，∠2+∠6=90°，∠4+∠8=90°，∠3=∠5=∠7=45°，从而可得答案.
48．如图，一副三角板，其中．
（1）若这副三角板如图摆放，，求的度数．
（2）将一副三角板如图1所示摆放，直线，保持三角板不动，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，如图2，设旋转时间为秒，且，若边与三角板的一条直角边（边）平行时，求所有满足条件的的值．
（3）将一副三角板如图3所示摆放，直线，现将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转．设旋转时何为秒，如图4，，且，若边与三角板的一条直角边（边）平行时，请直接写出满足条件的的值．
【答案】（1）解：如图，由题意得，，，，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，当时，延长交于点，
，
当在上方时，
，
，
，
，
，
，即，
；
当在下方时，，
，
，
，
，
，
，即，
；
当时，
当在上方时，，如图，延长交于点，
，
根据题意得：，
，
，
，
，
，
即，
；
当在下方时，如图，延长交于点，
，
根据题意可知：，
，
，
，
，
，
，
即，
综上所述：所有满足条件的的值为15或60或105或150；
（3）30或120
【解析】【解答】解：（3）由题意得，，，
如图，当时，延长交于点
，
当在上方时，
，
，
，
，
，
，即，
，
当在下方时，，
，
，
，
，
，
，即，
（不符合题意，舍去）；
当时，延长交于点，
当在上方时，，如图，
，
根据题意得：，
，
，
，
即，
，
，此时应该在下方，不符合题意，舍去；
当在下方时，如图，
，
根据题意可知：，
，
，
，
即，
，
综上所述：所有满足条件的的值为30或120．
【分析】（1）根据题意，得到，，，再由，得到，结合，即可得到答案；
（2）当时，延长交于点，分两种情况：当在上方时或当在下方时，分别运用平行线的性质，进行计算，即可求解；当时，延长交于点，分两种情况：当在上方时或当在下方时，分别运用平行线的性质，进行计算，即可求解；
（3）当时，延长交于点，分两种情况讨论：当在上方时或当在下方时，分别运用平行线的性质求解即可；当时，延长交于点，分两种情况讨论：当在上方或在下方时，分别运用平行线的性质，列式求解，即可得到答案．
49．如图，，点E，F分别在直线AB，CD上，点P是AB，CD之间的一个动点.
（1）如图①，当点P在线段EF左侧时，猜想，，之间的数量关系，并说明理由；
（2）如图②，当点P在线段EF右侧时，猜想，，之间的数量关系，并说明理由；
（3）若，的平分线交于点Q，且，则　 　.
【答案】（1）解：.
理由如下：过点P作直线，如图①.
∴.
∵，
∴.
∴.
∵，
∴；
（2）解：.
理由如下：过点P作直线，如图②.
∴.
∵，
∴.
∴.
∵，
∴.
∴；
（3）35°或145°
【解析】【解答】解：（3）①当点P在线EF的左侧时，如图③所示：
∵∠EPF=∠AEP+∠PFC，∠EPF=70°，
∴∠PEB+∠PFD=360°-70°=290°，
∴∠EQF=∠EBQ+∠DFQ=（∠PED+∠PFD）=145°；
②当点P在线EF右侧时，如图④所示：
∵∠AEP+∠EPF+∠PFC=360°，∠EPF=70°，
∴∠AEP+∠PFC=360°-70°=290°，
∴∠PEB+∠PFD=360°-290°=70°，
∴∠EQF=∠EBQ+∠DFQ=（∠PED+∠PFD）=35°；
综上，∠EQF的度数为145°或35°，
故答案为：35°或145°.
【分析】（1）过点P作直线，利用平行线的性质可得，，再利用角的运算和等量代换可得；
（2）过点P作直线，利用平行线的性质可得，再结合可得，再求出即可；
（3）分类讨论：①当点P在线EF的左侧时，②当点P在线EF右侧时，再分别利用平行线的性质及角的运算求解即可.
50．如图1，已知AB//CD，E，F分别是AB，CD上的点，P为AB，CD之间的一点，且始终在直线EF的左侧，连结EP，PF.
（1）求证： ∠AEP+∠CFP=∠EPF.
（2）如图2，在AB，CD内部另作一条折线E—Q—F，且点Q在直线EF的右侧.
①若∠BEP = 2∠BEQ，∠DFP =2∠DFQ， ∠EQF=130°，求∠EPF的度数.
②若∠BEP=n∠BEQ， ∠DFP=n∠DFQ，请直接写出∠EPF与∠EQF之间的数量关系（用含n的代数式表示）.
【答案】（1）证明：如图1，
过点P作PG∥AB，
∵AB∥CD，
∴PG∥CD，
∴∠AEP＝∠1，∠CFP＝∠2，
又∵∠1+∠2＝∠EPF，
∴∠AEP+∠CFP＝∠EPF；
（2）解：①如图2，
由（1）可得∠EPF＝∠AEP+∠CFP，∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ，
∵∠BEP=2∠BEQ，∠DFQ=2∠DFP，
∴∠BEQ∠BEP，∠DFP∠DFQ，
∴∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ（∠BEP+∠DFP）[360°﹣（∠AEP+∠CFP）]（360°﹣∠EPF），
∴∠EPF+2∠EQF＝360°．
∴∠EPF=360°-2∠EQF=360°-2×130°=100°.
②由（1），可得∠EPF＝∠AEP+∠CFP，∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ，
∵∠BEQ=n∠BEP，∠DFQ=n∠DFP，
∴∠BEQ∠BEP，∠DFP∠DFQ，
∴∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ（∠BEP+∠DFP）[360°﹣（∠AEP+∠CFP）]（360°﹣∠EPF），
∴∠EPF+n∠EQF＝360°．
∴∠EPF=360°－n∠EQF.
【解析】【分析】（1）首先过点P作PG∥AB，又AB∥CD，因此可得PG∥CD，然后利用平行线的性质可得∠AEP＝∠1，∠CFP＝∠2，从而可得出∠AEP+∠CFP＝∠EPF即可解答；
（2）①由（1）的结论可得∠EPF＝∠AEP+∠CFP，∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ，然后由题意可得∠BEQ∠BEP，∠DFP∠DFQ，然后根据∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ（∠BEP+∠DFP）可得出∠EPF+2∠EQF＝360°，从而求得∠EPF的度数即可解答.
②同理由（1），可得∠EPF＝∠AEP+∠CFP，∠EQF＝∠BEQ+∠DFQ；然后由题意可得∴∠BEQ∠BEP，∠DFP∠DFQ，可推得∠EQF（360°﹣∠EPF），即可得出∠EQF=360°－n∠EQF．
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