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图形的平移与旋转 单元知识梳理卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，将三角形沿方向平移得到对应的三角形．若，则的长是（　　）
A． B． C． D．
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．平行四边形
3．下列六边形都是由6个相同的小等边三角形拼成的，将其部分涂黑，则下列图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图所示的中心对称图形中，对称中心是（　　）
A． B． C． D．
5．观察图形 …并判断照此规律从左到右第四个图形是（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转（）得到，点在边上，则旋转角为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，4），把线段AB绕点A旋转后得到线段AB′，使点B的对应点B′落在x轴的正半轴上，则点B′的坐标是（　　）
A．（5，0） B．（8，0） C．（0，5） D．（0，8）
8．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°到AB′C′D′的位置，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C．1﹣ D．1﹣
9．平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．
例：“和点”P（2，1）按上述规则连续平移3次后，到达点P3（2，2），其平移过程如下：．
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q16（﹣1，9），则点Q的坐标为（　　）
A．（6，1）或（7，1） B．（15，﹣7）或（8，0）
C．（6，0）或（8，0） D．（5，1）或（7，1）
10．如图，点P是在正ABC内一点，，，，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段，连接，.下列结论中正确的是（　　）
①可以由绕点A逆时针旋转60°得到；②线段；③四边形的面积为；④.
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图所示，在 纸片中， ，将 纸片绕点A按逆时针方向旋转50°，得到 ，此时 边经过点C，连接 ，若 的度数为40°，则 的度数为　 　．
12．如图，中，，，．将绕点A逆时针旋转60°，得到，连接，则　 　．
13．如图，已知面积为1的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O任作一条直线分别交AD，BC于E，F，则阴影部分的面积是　 　
14．如图，在△ABC中，∠C=35°，将△ABC绕着点A旋转α（0°<α<180°），旋转后的点B落在BC上，点B的对应点为D，连结AD，AD是∠BAC的角平分线，则α=　 　.
15．如图，在平面直角坐标系中，，线段是由线段绕点逆时针旋转而得到的，则点的坐标是　 　．
16．已知两个完全相同的直角三角形纸片△ABC、△DEF，如图1放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G．∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°，现将图1中的△ABC绕点F按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转180°，在旋转的过程中，△ABC恰有一边与DE平行的时间为　 　s
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）纸上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B，C，D处的其他甲虫．规定：向上向右走为正，向下向左走为负．例如从A到B记为，从D到C记为，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．
（1）图中（______，______），（______，______），；
（2）若这只甲虫从A处去P处的行走路线依次为，，，，请在图中标出P处的位置；
（3）若这只甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的路程．
18．如图所示，已知射线 ，点 在 上，且满足 平分 ．
（1） 求 的度数；
（2） 若平行移动 ，那么 的值是否随之变化？ 若变化，请找出规律； 若不变，求出这个比值；
（3） 在平行移动 的过程中，是否存在某种情况，使 ？ 若存在，求出 的度数； 若不存在，请说明理由．
19．如图，在△ABC中， ，将 绕点A按逆时针方向旋转 得到 ，连结BD，CE交于点F。
（1）求证：BD=CE。
（2）求∠ABD的度数。
20．如图甲所示，在中，是AC边上的两点，且满足.以点为旋转中心，将按逆时针方向旋转得到，连结DF.
（1）求证：DF=DE.
（2）如图乙所示，若，其他条件不变.求证：.
21．图1、图2分别是7×7的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上．
（1）在图1中确定点C、D（点C、D在小正方形的顶点上），并画出以A、B、C、D为顶点的四边形，使其是中心对称图形，但不是轴对称图形，且面积为15；
（2）在图2中确定点E、F（点E、F在小正方形的顶点上），并画出以A、B、E、F为顶点的四边形，使其既是轴对称图形，又是中心对称图形，且面积为15．
22．如图1，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转，得到矩形BEFG．
（1）当点E落在BD上时，则线段DE的长度等于　 　；
（2）如图2，当点E落在AC上时，求△BCE的面积；
（3）如图3，连接AE、CE、AG、CG，判断线段AE与CG的位置关系且说明理由；
（4）在旋转过程中，请直接写出S△BCE+S△ABG的最大值．
23．已知两条平行线，和一块含角的直角三角尺，且点E，F不可能同时落在直线和之间．
（1）如图①，把三角尺的角的顶点E，G分别放在，上，若，则的度数为　 　；
（2）如图②，把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，若点E恰好落在和之间，且与所夹锐角为，求的度数；
（3）把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，旋转三角尺，若存在，求出射线与所夹锐角的度数．
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图形的平移与旋转 单元知识梳理卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，将三角形沿方向平移得到对应的三角形．若，则的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】由平移的性质可知BB'=CC'=1cm.
∵B'C=2cm，
∴BC'=BB'+B'C+CC'=1+2+1=4(cm).
故答案为：C
【分析】根据平移的性质得出对应点所连线段的长度，再通过线段的和差关系计算出BC'的长度。
2．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A．等边三角形 B．正方形 C．正五边形 D．平行四边形
【答案】B
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；
即不满足中心对称图形的定义，故此选项错误；
B、是轴对称图形，又是中心对称图形．故此选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故此选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．
故选：B．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
3．下列六边形都是由6个相同的小等边三角形拼成的，将其部分涂黑，则下列图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A中图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，A不符合；
B中图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，B不符合；
C中图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，C符合；
D中图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，A不符合；
故答案为：C.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断即可。 一个图形沿着一条直线对折，两边能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴 . 在平面内一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫它的对称中心.
4．如图所示的中心对称图形中，对称中心是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示的中心对称图形中，对称中心是O2．
故答案为：B．
【分析】根据中心对称图形的特征找对称中心即可。
5．观察图形 …并判断照此规律从左到右第四个图形是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】观察图形可知：单独涂黑的角顺时针旋转，只有D符合．
故选D．
【分析】根据题意分析图形涂黑规律，求得结果，采用排除法判定正确选项．
6．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转（）得到，点在边上，则旋转角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】∵将绕点按逆时针方向旋转（）得到，点在边上，
∴AB=AB'，
∴∠AB'B=∠B=50°，
在△ABB'中，
∠BAB'=180°-∠B-∠AB'B=180°-50°-50°=80°，
即旋转角为80°，
故答案为：B.
【分析】利用旋转的性质及等边对等角的性质可得∠AB'B=∠B=50°，再利用三角形的内角和求出∠BAB'的度数即可.
7．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是A（3，0），B（0，4），把线段AB绕点A旋转后得到线段AB′，使点B的对应点B′落在x轴的正半轴上，则点B′的坐标是（　　）
A．（5，0） B．（8，0） C．（0，5） D．（0，8）
【答案】B
【解析】【解答】∴AO=3，BO=4，
∴AB=AB′=5，故OB′=8，
∴点B′的坐标是(8，0).
故答案为：B.
【分析】根据旋转的性质得出AB=AB′，再根据勾股定理求出AB的长，再根据点A的坐标及AB′的长求出OB′的长，就可求出点B′的坐标。
8．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30°到AB′C′D′的位置，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C．1﹣ D．1﹣
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
D′C′与BC的交点为E，连接AE，
在Rt△AD′E和Rt△ABE中，
∵ ，
∴Rt△AD′E≌Rt△ABE（HL），
∴∠BAE=∠D′AE，
∵旋转角为30°，
∴∠BAD′=60°，
∴∠BAE= ×60°=30°，
∴BE=1× = ，
∴阴影部分的面积=1×1﹣2×（ ×1× ）=1﹣ ．
故选C．
【分析】设D′C′与BC的交点为E，连接AE，利用“HL”证明Rt△AD′E和Rt△ABE全等，根据全等三角形对应角相等∠BAE=∠D′AE，再根据旋转角求出∠BAD′=60°，然后求出∠BAE=30°，再解直角三角形求出BE，然后根据阴影部分的面积=正方形ABCD的面积﹣四边形ABED′的面积，列式计算即可得解．
9．平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度．
例：“和点”P（2，1）按上述规则连续平移3次后，到达点P3（2，2），其平移过程如下：．
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点Q16（﹣1，9），则点Q的坐标为（　　）
A．（6，1）或（7，1） B．（15，﹣7）或（8，0）
C．（6，0）或（8，0） D．（5，1）或（7，1）
【答案】D
【解析】【解答】解：发现规律：若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，
若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则按照“和点”反向运动16次即可求出点Q，
①先向下1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，应向上平移1个单位得到，符合题意，点先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，即，故最后一次若向右平移则为，若向左平移则为，运动符合题意；
②先向右1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是向右平移1个单位得到，与原点矛盾，不符合题意；
故答案为：D
【分析】先根据例子结合题意即可发现规律：若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，进而根据题意分两种情况讨论，从而逐一分析点运动的情况即可求解。
10．如图，点P是在正ABC内一点，，，，将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段，连接，.下列结论中正确的是（　　）
①可以由绕点A逆时针旋转60°得到；②线段；③四边形的面积为；④.
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【解析】【解答】解：由题意知，，，
为等边三角形，，②正确，
又 ，，
，
①正确，，
又，
在中三边长为3、4、5，这是一组勾股数，所以 为直角三角形
= ，③错误.
将△BPC绕点B逆时针旋转60°得到△BDA，则有△BPC≌△BDA，连接PD，如图所示：
同理可得△BPD是边长为4的等边三角形，△APD是直角三角形，且直角边长为3和4，斜边长为5，
∴，故④正确；
故答案为：B.
【分析】易得AP=AP'，∠PAP'=60°，故△APP'是等边三角形，得PP'=PA=3，据此可判断②；易得∠BAP=∠CAP'=60°，用SAS证△ABP≌△AP'C，根据旋转的性质可判断①；由全等三角形性质得P'C=PB=4，利用勾股定理的逆定理判断出△PP'C是直角三角形，根据结合三角形面积计算公式计算可判断③；将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BDA，则有△BPC≌△BDA，连接PD，同理可得△BPD是边长为4的等边三角形，△APD是直角三角形，且直角边长为3和4，斜边长为5，进而根据结合三角形面积计算公式进行计算可判断④.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图所示，在 纸片中， ，将 纸片绕点A按逆时针方向旋转50°，得到 ，此时 边经过点C，连接 ，若 的度数为40°，则 的度数为　 　．
【答案】105°
【解析】【解答】解：∵△ABC纸片绕点A按逆时针方向旋转50°，得到△ADE，
∴AB=AD，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】先根据旋转的性质得AB=AD，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出 ，然后利用三角形外角性质计算∠ACB的度数．
12．如图，中，，，．将绕点A逆时针旋转60°，得到，连接，则　 　．
【答案】3
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，， ，
∴ AC=AE=2，
∵∠BAC=30°，
∴∠BAE=30°+60°=90°，
在Rt△BAE中，
由勾股定理得：
故答案为：3.
【分析】根据旋转的性质可得∠CAE=60°，AC=AE=2，易得∠BAE=∠BAC+∠CAE=90°，然后根据勾股定理计算即可.
13．如图，已知面积为1的正方形ABCD的对角线相交于点O，过点O任作一条直线分别交AD，BC于E，F，则阴影部分的面积是　 　
【答案】
【解析】【解答】∵正方形ABCD，∴OB=OD，易得△BOF≌△DOE，
∴S△BOF=S△DOE，
∴S阴影=S△DOE+S△BOF=S△BOC==。
故答案为：。
【分析】由正方形的性质易得BO=DO，易证△BOF≌△DOE，故阴影部分面积可看成是△BOC的面积，即为正方形面积的。
14．如图，在△ABC中，∠C=35°，将△ABC绕着点A旋转α（0°<α<180°），旋转后的点B落在BC上，点B的对应点为D，连结AD，AD是∠BAC的角平分线，则α=　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：如图，
∵AB＝AD，∠BAD＝α，AD是∠BAC 的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAD＝α，
∵∠ADB＝∠C+∠CAD＝35°+α，AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB＝35°+α，
在△ABC 中，∠C+∠CAB+∠B＝180°，
∴35°+2α+35°+α＝180°，
解得：；
故答案为：．
【分析】先由AB＝AD，∠BAD＝α及角平分线的定义可求得∠CAD＝∠BAD＝α，然后根据三角形外角性质得∠ADB＝∠C+∠CAD＝35°+α，从而得出∠B＝∠ADB＝35°+α，再由三角形的内角和定理列方程求解即可解答．
15．如图，在平面直角坐标系中，，线段是由线段绕点逆时针旋转而得到的，则点的坐标是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：过点C作CM⊥x轴于M，则∠CMB=90°，
解：∵
∴OB=2，OA=4；
∵线段是由线段绕点逆时针旋转而得到
∴∠CMB=∠ABC=∠AOB=90°，BC=BA
∴∠ABO+∠OAB=90°，∠ABO+∠CBM=90°
∴∠OAB=∠CBM
∴△BCM≌△ABO，
∴BM=AO=4，CM=OB=2
∴OM=BM+OB=6
∵点C在第二象限，
∴C（-6，2）
故答案是：（-6，2）
【分析】过点C作CM⊥x轴于M，则∠CMB=90°，根据两点间距离可得OB=2，OA=4，再根据旋转性质可得∠CMB=∠ABC=∠AOB=90°，BC=BA，根据角之间的关系可得∠OAB=∠CBM，再根据全等三角形判定定理可得△BCM≌△ABO，则BM=AO=4，CM=OB=2，根据边之间的关系可得OM，再根据第二象限内点的坐标特征即可求出答案.
16．已知两个完全相同的直角三角形纸片△ABC、△DEF，如图1放置，点B、D重合，点F在BC上，AB与EF交于点G．∠C=∠EFB=90°，∠E=∠ABC=30°，现将图1中的△ABC绕点F按每秒10°的速度沿逆时针方向旋转180°，在旋转的过程中，△ABC恰有一边与DE平行的时间为　 　s
【答案】3秒或12秒或15秒
【解析】【解答】①如图（2），当AC∥DE时，
∵AC∥DE，∴∠ACB=∠CHD=90°．
∵∠E=30°，∴∠D=60°，
∴∠HFD=90°-60°=30°，∴t=30°÷10°=3．
②如图3，当BC∥DE时，
∵BC∥ED，∴∠BFE=∠E=30°，
∴∠BFD=30°+90°=120°，
∴t=120°÷10=12．
③如图4，当BA∥ED时，延长DF交DA于G．
∵∠E=30°，∴∠D=60°，
∵BA∥ED，∴∠BGD=180°-∠D=120°
∴∠BFD=∠B+∠BGF=30°+120°=150°，
∴t=150°÷10°=15．
故答案为3秒或12秒或15秒
【分析】本题主要考查了平行线与旋转的性质.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为1）纸上沿着网格线运动，它从A处出发去看望B，C，D处的其他甲虫．规定：向上向右走为正，向下向左走为负．例如从A到B记为，从D到C记为，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向．
（1）图中（______，______），（______，______），；
（2）若这只甲虫从A处去P处的行走路线依次为，，，，请在图中标出P处的位置；
（3）若这只甲虫的行走路线为，请计算该甲虫走过的路程．
【答案】（1），
（2）解：如图，点P即为所求；
（3）解：，
答：该甲虫走过的路程是10．
【解析】【解答】（1）解：，，
故答案为：，；
【分析】（1）根据平移规律（ 向上向右走为正，向下向左走为负）求解即可；
（2）根据要求作出点P即可；
（3）根据行走路线列出算式，根据有理数的加法运算法则求解即可．
（1）解：，，
故答案为：，；
（2）解：如图，点P即为所求；
（3）解：，
答：该甲虫走过的路程是10．
18．如图所示，已知射线 ，点 在 上，且满足 平分 ．
（1） 求 的度数；
（2） 若平行移动 ，那么 的值是否随之变化？ 若变化，请找出规律； 若不变，求出这个比值；
（3） 在平行移动 的过程中，是否存在某种情况，使 ？ 若存在，求出 的度数； 若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵CB∥OA，
∴∠AOC＝180° ∠C＝180° 120°＝60°，
∵∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF，
∴∠EOB＝∠AOC＝×60°＝30°.
（2）解：∠OBC：∠OFC的值不会发生变化，为1：2．
∵CB∥OA，
∴∠OBC＝∠BOA，
∵∠FOB＝∠AOB，
∴∠OBC＝∠FOB，
∴∠OFC＝∠OBC＋∠FOB＝2∠OBC，
∴∠OBC：∠OFC＝1：2.
（3）解：设∠AOB＝x，
∵CB∥AO，
∴∠CBO＝∠AOB＝x，
∵CM∥ON，AB∥OC，
∴四边形OABC是平行四边形，
∴∠OAB＝∠C＝120°．
∵∠OEC＝∠CBO＋∠EOB＝x＋30°，
∠OBA＝180° ∠OAB ∠AOB＝180° 120° x＝60° x，
∴x＋30°＝60° x＋10°，
∴x＝20°，
∴∠BOA＝20°．
【解析】【分析】（1）先根据两直线平行，同旁内角互补求出∠AOC，再根据角平分线的定义求出∠EOB＝∠AOC，最后代入求解即可；
（2）先根据两直线平行，内错角相等可得∠OBC＝∠BOA，利用等量代换得到∠OBC＝∠FOB，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠OFC＝2∠OBC即可；
（3）设∠AOB＝x，根据两直线平行，内错角相等表示出∠CBO＝∠AOB＝x，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠OEC，最后利用三角形的内角和等于180°列式表示出∠OBA，然后列出方程求解即可．
19．如图，在△ABC中， ，将 绕点A按逆时针方向旋转 得到 ，连结BD，CE交于点F。
（1）求证：BD=CE。
（2）求∠ABD的度数。
【答案】（1）证明：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°得到△ADE，
∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=100°
∵AB=AC，
∴AB=AD=AC=AE
∴△ABD≌△ACE(SAS)
∴BD=CE
（2）解：由(1)知，AB=AD，∠BAD=100°，
∴△ABD是等腰三角形
2=40°，
即∠ABD的度数为40°
【解析】【分析】(1)根据旋转性质得到对应边和对应角相等，再利用全等三角形判定证明两个三角形全等，从而得出对应边相等；
(2)根据旋转得到等腰三角形，利用等腰三角形两底角相等以及三角形内角和定理求出∠ABD的度数.
20．如图甲所示，在中，是AC边上的两点，且满足.以点为旋转中心，将按逆时针方向旋转得到，连结DF.
（1）求证：DF=DE.
（2）如图乙所示，若，其他条件不变.求证：.
【答案】（1）证明：，
.
由旋转的性质，得，
.
在与中，
，
（2）解：由旋转的性质，得，
.
又，
在中，
又同（1）可得
【解析】【分析】（1）利用已知易证∠ABD+∠CBE=∠DBE，利用旋转的性质可证得BE=BF，∠ABF=∠CBE，可推出∠DBF=∠DBE；再利用SAS证明△DBE≌△DBF，利用全等三角形的性质可证得结论.
（2）利用旋转的性质可知BA=BC，AF=CE，∠ABF=∠CBE，∠BAF=∠BCE；再证明∠DAF=90°，利用勾股定理可证得结论.
21．图1、图2分别是7×7的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B在小正方形的顶点上．
（1）在图1中确定点C、D（点C、D在小正方形的顶点上），并画出以A、B、C、D为顶点的四边形，使其是中心对称图形，但不是轴对称图形，且面积为15；
（2）在图2中确定点E、F（点E、F在小正方形的顶点上），并画出以A、B、E、F为顶点的四边形，使其既是轴对称图形，又是中心对称图形，且面积为15．
【答案】解：（1）如图1所示：平行四边形ADBC即为所求；
（2）如图2所示：菱形AFBE即为所求．
【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质以及其面积求法得出即可；
（2）利用菱形的性质以及勾股定理得出符合题意的图形即可．
22．如图1，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转，得到矩形BEFG．
（1）当点E落在BD上时，则线段DE的长度等于　 　；
（2）如图2，当点E落在AC上时，求△BCE的面积；
（3）如图3，连接AE、CE、AG、CG，判断线段AE与CG的位置关系且说明理由；
（4）在旋转过程中，请直接写出S△BCE+S△ABG的最大值．
【答案】（1）2
（2）解：如图2，在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AC＝5，
由旋转得，BE＝AB，
过点BM⊥AC于M，
∴AE＝2AM，
∵S△ABC＝AB BC＝AC BM，
∴BM＝＝，
在Rt△ABM中，根据勾股定理得，AM＝＝，
∴AE＝，
∴S△BCE＝S△ABC-S△ABE＝AB BC-AE BM＝×3×4-××＝；
（3）解：AE⊥CG，理由：如图3，
AE与BC的交点记作点P，AE与CG的交点记作Q，
由旋转知，∠ABE＝∠CBG，由旋转知，AB＝BE，
∴∠BAE＝（180°-∠ABE）＝（180°-∠CBG），
由旋转知，BC＝BG，
∴∠BCG＝（180°-∠CBG），
∴∠BAE＝∠BCG，
∵∠APB＝∠CPE，
∴∠CQP＝∠ABC＝90°，
∴AE⊥CG；
（4）解：如图4，
延长AB至E'，使BE'＝BE，连接GE'，过点G作GH⊥AB于H，
∴AE'＝AB+BE'＝6，
∵∠EBG＝∠CBE'＝90°，
∴∠CBE＝∠GBE'，
由旋转知，BC＝BG，
∴△BCE≌△BGE'（SAS），
∴S△BCE＝S△BGE'，
∴S△BCE+S△ABG＝S△BGE'+S△ABG＝S△AE'G＝AE' GH＝3GH，
要使S△BCE+S△ABG的最大，则GH最大，而GH最大＝BG＝4，
即S△BCE+S△ABG的最大为12．
【解析】【解答】解：（1）当落在上时，如图所示：
∵四边形是矩形，
∴每个内角都等于，
∵，由勾股定理得：
，
由旋转的性质可知：，
∴，
故答案为：2；
【分析】本题考查矩形的性质，旋转的性质，勾股定理以及面积的计算.
（1）先利用勾股定理求出的长度，利用旋转的性质：旋转前后对应线段长度不变可得出，据此可求出的长度；
（2）过点B作于点M，利用等面积法求出的长度，再利用勾股定理求出、的长度，进而求出的长度，从而求出的面积；
（3）连接、，设与相交于点N，与相交于点P，利用和是等腰三角形，且从而得出，然后利用得出，从而得出；
（4）过点C作直线于点H，过点G作直线于点Q，，，利用得出：当最大时，最大，从而得出当A、B、E三点共线时，最大，从而得出的最大值．
23．已知两条平行线，和一块含角的直角三角尺，且点E，F不可能同时落在直线和之间．
（1）如图①，把三角尺的角的顶点E，G分别放在，上，若，则的度数为　 　；
（2）如图②，把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，若点E恰好落在和之间，且与所夹锐角为，求的度数；
（3）把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，旋转三角尺，若存在，求出射线与所夹锐角的度数．
【答案】（1）
（2）解：如图1，设交于点，则，过点作，
∵，
．
．
．
又，
，
．
（3）解：或．
如图2，交于点，当点在上方时，
设，则，
∴，
解得．
∴；
如图3，延长交于点，当点在下方时，
设，则，
∴，
解得，
∴．
综上所述，的度数为或．
【解析】【解答】（1），
，
故答案为：.
【分析】(1)根据平行线的性质以及三角板的特点求得再根据平角的定义即可求解；
（2）设交于点，则，过点作 ，利用平行线的传递性得到，进而求得，由角的和差求得，再利用平行线的性质以及平角的定义即可求解；
（3）分两种情况进行讨论求解：交于点，当点在上方时，设，则， 利用平角的定义列出关于x的一元一次方程，解方程得到x的值，从而求解；延长交于点，当点在下方时，设，则， 利用平角的定义列出关于y的一元一次方程，解方程得到y的值，从而求解.
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