资源简介

(共31张PPT)
八下数学 BSD
第四章 因式分解
1.因式分解
复习回顾
1. 单项式：若一个代数式是________________，这样的代数式叫作单项式，单独________或_________也是单项式。
2. 多项式：几个单项式的____叫作多项式。
3. 整式：单项式和多项式统称整式。
数与字母的乘积
一个数
一个字母
和
例如：2x2y3，5，x
例如：2x2y3+5，x+2y
手工课上，老师给同学发下一张如左图形状的纸张，要求他在恰好不浪费纸张的前提下剪拼成右图形状的长方形，作为一幅精美剪纸的衬底，请问你能帮助这位同学解决这个问题吗？
a
a
b
b
问题1：21能被哪些数整除？
1，3，7，21.
问题2：你是怎样想到的？
因为21=1×21=3×7.
思考：既然有些数能分解因数，那么类似地，有些多项式可以分解成几个整式的积吗？
知识回顾
新课探究
993-99能被100整除吗？你是怎样想的？
993-99
= 99×992-99×1
= 99×(992-1)
= 99×9800
= 98×99×100。
所以，993-99能被100整除。
小明
993-99还能被哪些正整数整除？
把一个数式化成了几个数乘积的形式
(99+1)(99-1)
如果将上面问题中的99换成a，你能把a3-a化成几个整式乘积的形式吗？
尝试·交流
993-99
= 99×992-99×1
= 99×(992-1)
= 99×9800
= 98×99×100
a3-a
= a·a2-a·1
= a·(a2-1)
= a·(a+1)(a-1)
= a(a+1)(a-1)
问题3：如图，一块菜地被分成三部分，你能用不同的方式表示这块草坪的面积吗？
方法二：m(a+b+c)
方法一：ma+mb+mc
m(a+b+c)=ma+mb+mc
m
a
m
b
m
c
观察下面拼图过程，写出相应的代数式。
观察·思考
（1）
m
m
m
c
b
a
m
a+b+c
_____________________ = ____________。
（2）
_____________________ = ____________。
x
x
1
x
x
1
1
1
x+1
x+1
ma+mb+mc
m(a+b+c)
x2+2x+1
(x+1)2
把一个多项式转化成_________________的形式，这种变形叫做因式分解.
因式分解也可以称为分解因式
几个整式的乘积
概念引入
其中，每个整式都叫作这个多项式的因式.
练一练
1.下列从左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？
单项式不能因式分解
不是整式
把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫作因式分解。
注意：
因式分解是一种恒等变形；
变形对象：是_________；
变形过程：由________ 变成____的形式；
变形结果：是几个_____的积；
因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止。
多项式
和、差
积
整式
手工课上，老师给同学发下一张如左图形状的纸张，要求他在恰好不浪费纸张的前提下剪拼成右图形状的长方形，作为一幅精美剪纸的衬底，请问你能帮助这位同学解决这个问题吗？
a
a
b
b
a -b =
(a+b)
(a-b)
操作·思考
1.计算下列各式：
（1）3x(x-1) =___________；
（2）m(a+b-1) =_____________；
（3）(m+4)(m-4) =_________；
（4）(y-3)2 =__________。
3x2-3x
ma+mb-m
m2-16
y2-6y+9
2.根据上面的算式进行因式分解：
（1）3x2-3x =___________；
（2）ma+mb-m =___________；
（3）m2-16 =____________；
（4）y2-6y+9 =__________。
3x(x-1)
m(a+b-1)
(m+4)(m-4)
(y-3)2
3x(x-1) =__________；
m(a+b-1) =__________；
(m+4)(m-4) =________；
(y-3)2 =__________。
3x2-3x
ma+mb-m
m2-16
y2-6y+9
3.因式分解与整式乘法有什么关系？请举例说明。
（1）3x(x-1) =_________；
（2）m(a+b-1) =___________；
（3）(m+4)(m-4) =_______；
（4）(y-3)2 =_________。
3x2-3x
ma+mb-m
m2-16
y2-6y+9
（1）3x2-3x =___________；
（2）ma+mb-m =__________；
（3）m2-16 =____________；
（4）y2-6y+9 =_______。
3x(x-1)
m(a+b-1)
(m+4)(m-4)
(y-3)2
整式乘法
因式分解
探究点二：因式分解与整式乘法的关系
思考2：因式分解与整式乘法有什么联系与区别
联系：因式分解与整式乘法是方向相反的变形.
(多项式)“和”
(整式乘积)“积”
整式乘法 因式分解
区别
化“积”为“和”
化“和”为“积”
x2 - 1 (x + 1)(x - 1)
因式分解
整式乘法
思考：整式乘法与因式分解有什么关系？
整式积的形式
多项式
整式乘法
因式分解
整式乘法
因式分解
互逆运算
可以利用整式乘法来检验因式分解的结果是否正确。
例1 判断下列各式哪些是整式乘法 哪些是因式分解
(1) x2－4y2＝(x＋2y)(x－2y)
(2) 2x(x－3y)＝2x2－6xy
(3) (5a－1)2＝25a2－10a＋1
(4) x2＋4x＋4＝(x＋2)2
(5) (a－3)(a＋3)＝a2－9
(6) m2－4＝(m＋2)(m－2)
(7) 2πR＋2πr＝2π(R＋r)
因式分解
整式乘法
整式乘法
因式分解
因式分解
整式乘法
因式分解
探究点二：因式分解与整式乘法的关系
例3 若多项式 x2 + ax + b 分解因式的结果为
a(x－2)(x + 3)，求 a，b 的值.
解：∵ x2 + ax + b = a(x - 2)(x + 3)
= ax2 + ax - 6a，
∴ a = 1，b = -6a = -6.
方法归纳：对于此类问题，掌握因式分解与整式乘法为互逆运算是解题关键，应先把分解因式后的结果展开，再与原多项式各项对应的系数比较，使其分别相等即可.
探究点二：因式分解与整式乘法的关系
【练一练】
2.下列多项式中，分解因式的结果为 -(x + y)(x - y) 的是
( )
A．x2-y2 B．-x2 + y2
C．x2 + y2 D．-x2 - y2
B
探究点二：因式分解与整式乘法的关系
解：∵x2＋Ax＋B ＝(x－3)(x＋5)＝x2＋2x－15，
∴A＝2，B＝－15.
∴3A－B＝3×2＋15＝21.
解：∵x2＋Ax＋B ＝(x－3)(x＋5)＝x2＋2x－15，
∴A＝2，B＝－15.
∴3A－B＝3×2＋15＝21.
4. 如果x2＋Ax＋B＝(x－3)(x＋5)，求3A－B的
值.
随堂演练
1.连一连：
x2-y2
9-25x2
x2+6x+9xy-y2
(x+3)2
y(x-y)
(3+5x)(3-5x)
(x+y)(x-y)
【教材P112 随堂练习 T1】
2.下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？为什么？
【教材P112 随堂练习 T2】
（1）(a+3)(a-3) = a2-9；
（2）m2-4 = (m+2)(m-2)；
（3）a2-b2+1 = (a+b)(a-b)+1；
（4）2mR+2mr = 2m(R+r)。
3.利用因式分解说明：257-512能被12整除。
解：因为 257-512
=257-(52)6
=257-256
=256×(25-1)
=256×24
=256×12×2
所以257-512能被12整除。
因式分解
定义：把一个多项式化成几个整式的_____的形式，叫做因式分解，也可称为___________.
其中，每个整式叫做这个多项式的_______.
与多项式乘法运算的关系
的变形过程.
因式分解是把一个多项式化为几个整式的_____，整式乘法是把几个整式的______化为一个_________.
乘积
分解因式
因式
互逆
多项式
乘积
乘积
课堂小结
整式乘法--积化和差
分解因式--和差化积
判断下列各式从左到右的变形中，是否为因式分解：
A. x(a﹣b)=ax﹣bx
B. x2﹣1+y2=(x﹣1)(x+1)+y2
C. y2﹣1=(y+1)(y﹣1)
D. ax+by+c=x(a+b)+c
E. 2a3b=a2 2ab
F. (x+3)(x﹣3)=x2﹣9
判定因式分解的条件：
(1)左边是多项式．
(2)右边是积的形式.
(3)右边的因式全是整式.
跟踪训练
下列变形从左边到右边的变形，哪些是因式分解？
整式乘法
因式分解
右边不是乘积形式
因式分解
随堂训练
练一练
2.下列从左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？
（1）4a2-b2=(2a+b)(2a-b)；
（2）x2-5x+6=(x-2)(x+3)。
(2a+b)(2a-b)= 4a2-b2
(x-2)(x+3) = x2+x-6 ≠ x2-5x+6
下课
Thanks!
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/fine

展开更多......

收起↑