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实数 单元同步培优检测卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各数中，是无理数的是（　　）
A．﹣2 B．﹣ C． D．
2．一个立方体的体积为64，则这个立方体的棱长为 (　　)
A．±4 B．4 C．±8 D．8
3．下列说法：①36的平方根是6；②；③0.1是0.01的平方根；④81的算术平方根是．其中正确的说法有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．若x>1，则x2，x，，这四个数中(　　)
A．最大，x2最小 B．x最大，最小
C．x2最大，最小 D．x最大，x2最小
5．估计的值（　　）
A．在2与3之间 B．在3与4之间 C．在4与5之间 D．在5与6之间
6．①0的相反数是0；②0的倒数是0；③一个数的绝对值不可能是负数；④﹣（﹣3.8）的相反数是3.8；⑤整数包括正整数和负整数；⑥0是最小的有理数．上述说法中，符合题意的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．下列说法中错误的是（　　）
A．0没有平方根 B．是无理数
C．任何实数都有立方根 D．9的平方根是±3
8．已知一个表面积为12dm2的正方体，则这个正方体的棱长为（　　）
A．1dm B．dm C．dm D．3dm
9．下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
10． 对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于，，进行“差绝对值运算”，得到：．
对，，，进行“差绝对值运算”的结果是；
，，的“差绝对值运算”的最小值是；
，，的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有种；
以上说法中正确的个数为（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． 的绝对值是　 　， 的平方根是　 　．
12．如图，用两个面积为3cm2的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形，则以数轴上表示1的点A为圆心，以大正方形的边长为半径画弧，与数轴的交点表示的实数是　 　．
13．若（a2+b2﹣1）2=16，则a2+b2值为　 　．
14．比较大小： 　 　 ； 　 　 ； 　 　2.35（填“＞”或“＜”）
15．若 、 为实数，且 ，则 a+b=　 　.
16．爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据：
… …
… 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 …
（1）你发现的规律是被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大　 　；
（2）已知（精确到0.001），并用上述规律直接写出各式的值　 　，　 　；
（3）已，，，则　 　，　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17． 求下列各式中的x的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
18．（1）已知：（x+1）2﹣9=0，求x的值；
（2）已知a﹣3的平方根为±3，求5a+4的立方根．
19．已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且，求的平方根．
20．把下列各数序号填入相应的集合中：①﹣3.14，②﹣2π，③，④0.618，⑤，⑥0，⑦﹣1，⑧6%，⑨+3，⑩．
负分数集合{ ……}；
正整数集合{ ……}；
无理数集合{ ……}．
21．如图1，教材有这样一个探究：把两个面积为的小正方形拼成一个面积为的大正方形，所得到的面积为的大正方形的边就是原先面积为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为．
（1）由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图2中A，B两点表示的数为______，______．
（2）某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图3所示的一个正方形．请同学们仿照上面的探究方法求出小长方形的对角线的长度为______．
（3）若的立方根是2，b为图3中小正方形边长x的整数部分，请计算的平方根．
22．根据下表回答下列问题：
x 17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 18
x2 289 292.41 295.84 299.29 302.76 306.25 309.76 313.29 316.84 320.41 324
（1）若 介于17.6与17.7之间，则满足条件的整数n有 　 　个；
（2）　 　；
（3）316.84的平方根是 　 　；
（4）若 这个数的整数部分为m，则 　 　；
23．观察下列算式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
…
请回答下列问题：
（1）按照以上规律， 则其中x=　 　， y=　 　；
（2） 写出第n个等式 an；
（3）求(
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实数 单元同步培优检测卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列各数中，是无理数的是（　　）
A．﹣2 B．﹣ C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、-2是负整数，为有理数，不符合题意；
B、 是负分数，为有理数，不符合题意；
C、 是循环小数，为有理数，不符合题意；
D、 为无理数，符合题意.
故答案为：D.
【分析】无限不循环小数，开方开不尽的数及含的数都是无理数，据此可判断求解.
2．一个立方体的体积为64，则这个立方体的棱长为 (　　)
A．±4 B．4 C．±8 D．8
【答案】B
【解析】【解答】解：∵43=64，
∴=4.
故正确答案选：B.
【分析】由立方体的体积=棱长×棱长×棱长，立方体体积为64 ，即可求出棱长.
3．下列说法：①36的平方根是6；②；③0.1是0.01的平方根；④81的算术平方根是．其中正确的说法有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】B
【解析】【解答】解：①36的平方根是±6，故①不符合题意；
②，故②不符合题意；
③0.1是0.01的平方根，故③符合题意；
④81的算术平方根是9，故④不符合题意．
故答案为：B．
【分析】根据平方根和算术平方根的计算方法逐项判断即可。
4．若x>1，则x2，x，，这四个数中(　　)
A．最大，x2最小 B．x最大，最小
C．x2最大，最小 D．x最大，x2最小
【答案】C
【解析】【解答】解：若x＞1，则.
∴最大，最小.
故答案为：C.
【分析】 利用实数的大小比较来计算即可.
5．估计的值（　　）
A．在2与3之间 B．在3与4之间 C．在4与5之间 D．在5与6之间
【答案】B
【解析】【解答】解：∵9<15<16，
∴3<<4．
∴在3与4之间，
故答案为：B．
【分析】根据9<15<16，可得3<<4，从而得解。
6．①0的相反数是0；②0的倒数是0；③一个数的绝对值不可能是负数；④﹣（﹣3.8）的相反数是3.8；⑤整数包括正整数和负整数；⑥0是最小的有理数．上述说法中，符合题意的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】①、0的相反数是0，符合题意；②、0没有倒数，不符合题意；③、一个数的绝对值不可能是负数，符合题意；④、﹣（﹣3.8）的相反数是－3.8，不符合题意；⑤、整数包括正整数、负整数和零，不符合题意；⑥、没有最小的有理数，不符合题意；则本题符合题意的有2个，
故答案为：B．
【分析】根据实数的相关分类以及相反数和倒数的概念进行判断即可。
7．下列说法中错误的是（　　）
A．0没有平方根 B．是无理数
C．任何实数都有立方根 D．9的平方根是±3
【答案】A
【解析】【解答】解：A、0的平方根是0，故错误；
B、 是无理数，正确；
C、任何实数都有立方根，正确；
D、9的平方根是±3，正确；
故选：A．
【分析】根据平方根，无理数，立方根的定义，即可解答．
8．已知一个表面积为12dm2的正方体，则这个正方体的棱长为（　　）
A．1dm B．dm C．dm D．3dm
【答案】B
【解析】【解答】解：因为正方体的表面积公式：s=6a2，
可得：6a2=12，
解得：a=．故选B．
【分析】根据正方体的表面积公式：s=6a2，解答即可．
9．下列各式计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A.=4，A错误；
B.=-3，B正确；
C.-22=-4，C错误；
D.62=36，D错误.
故答案为：B.
【分析】根据算术平方根及立方根的定义，平方的意义计算，即可解答.
10． 对于若干个数，先将每两个数作差，再将这些差的绝对值进行求和，这样的运算称为对这若干个数的“差绝对值运算”，例如，对于，，进行“差绝对值运算”，得到：．
对，，，进行“差绝对值运算”的结果是；
，，的“差绝对值运算”的最小值是；
，，的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有种；
以上说法中正确的个数为（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】B
【解析】【解答】解：对，，，进行“差绝对值运算”得：，
故正确；
对，，进行“差绝对值运算”得：，
表示的是数轴上点到和的距离之和，
的最小值为，
，，的“差绝对值运算”的最小值是：，故不正确；
对，，进行“差绝对值运算”得：，
当，，，；
当，，，；
当，，，；
当，，，；
当，，，；
当，. ，，；
当，，，；
当，，，；
，，的“差绝对值运算”化简结果可能存在的不同表达式一共有种，
故不正确，
综上，故只有个正确的．
故选：．
【分析】①根据已知给出的“差绝对值运算”的运算方法进行计算，即可判断；
②根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，再根据绝对值求最值的方法，即可判定；
③首先根据“差绝对值运算”的运算方法进行运算，再a、b、c的大小关系分类讨论，化简绝对值符号，即可判定.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11． 的绝对值是　 　， 的平方根是　 　．
【答案】；±2
【解析】【解答】解：|1﹣ |＝ ﹣1，
＝4，
4的平方根为±2，
故答案为 ﹣1，±2．
【分析】1- 是一个负数，负数的绝对值是它的相反数，先求得 的值，进而再求得这个值的平方根即可．
12．如图，用两个面积为3cm2的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形，则以数轴上表示1的点A为圆心，以大正方形的边长为半径画弧，与数轴的交点表示的实数是　 　．
【答案】 ，
【解析】【解答】解：∵两个面积为3cm2的小正方形纸片剪拼成一个大的正方形，
∴大的正方形的面积为6cm2，
边长为 cm，
表示1的点A为圆心，向左向右移 个单位，
∴数轴的交点表示的实数是 ， ，
故答案为： ， ．
【分析】先根据正方形的面积可得大正方形边长为，再利用表示1的点A为圆心，向左向右移 个单位，可得数轴的交点表示的实数是 ， ，即可得到答案。
13．若（a2+b2﹣1）2=16，则a2+b2值为　 　．
【答案】5
【解析】【解答】解：开方，得
a2+b2﹣1=4或a2+b2﹣1=﹣4，
a2+b2=5或a2+b2=﹣3（舍去），
故答案为：5．
【分析】根据开方运算，可得答案．
14．比较大小： 　 　 ； 　 　 ； 　 　2.35（填“＞”或“＜”）
【答案】＜；＜；＞
【解析】【解答】解： ＜ ，
∵（ ）3=10，（ ）3=5 ＞10，
∴ ＜ ，
∵（ ）2=6，2.352=5.5225，
∴ ＞2.35．
故答案为：＜，＜，＞．
【分析】分别利用实数的性质判断得出即可．
15．若 、 为实数，且 ，则 a+b=　 　.
【答案】3或5
【解析】【解答】解：∵a2-1≥0， 1-a2≥0，
a2-1=0，
∴a2=1，
a=±1，
b=4，
∴a+b=1+4=5， 或a+b=-1+4=3.
故答案为：3或5.
【分析】根据夹逼原理得出a2-1=0， 于是求出a的值，从而求出b的值，再分情况求出a+b的值即可.
16．爱学习爱思考的小明，在家利用计算器计算得到下列数据：
… …
… 0.18 0.569 1.8 5.69 18 56.9 180 …
（1）你发现的规律是被开方数扩大100倍，它的算术平方根扩大　 　；
（2）已知（精确到0.001），并用上述规律直接写出各式的值　 　，　 　；
（3）已，，，则　 　，　 　．
【答案】（1）倍
（2）；
（3）；
【解析】【解答】解、（1）被开方数扩大倍，它的算术平方根扩大倍.
故答案为：10倍；（2）∵（精确到），∴；.
故答案为：；17.32；
（3）∵∴；.
故答案为：；.
【分析】（1）根据所列数据发现，当0.0324扩大100倍变成3.24时，其算术平方根由0.18变成了1.8，即扩大了10倍，由此得出结论；
（2）与（3）根据（1）所得的规律，可以直接求值.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17． 求下列各式中的x的值：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
【答案】（1）解：移项得，9x2=25，
两边都除以9得，x2=，
由平方根的定义得，x=±；
（2）解：（x-1）2+8=72，
移项得，（x-1）2=72-8，
合并同类项得，（x-1）2=64，
由平方根的定义得，x-1=±8，
即x=9或x=-7；
（3）解：移项得，3（x+2）2=27，
两边都除以3得，（x+2）2=9，
由平方根的定义得，x+2=±3，
即x=1或x=-5；
（4）解：两边都乘以2得，（x-5）2=16，
由平方根的定义得，x-5=±4，
即x=9或x=1.
【解析】【分析】（1）首先移项，然后将x的系数化为1，再利用平方根的定义进行求解；
（2）移项、合并同类项可得(x-1)2=64，然后利用平方根的概念进行求解；
（3）首先移项，然后给两边同时除以3，再利用平方根的定义进行求解；
（4）给两边同时乘以2可得(x-5)2=16，再利用平方根的定义进行求解.
18．（1）已知：（x+1）2﹣9=0，求x的值；
（2）已知a﹣3的平方根为±3，求5a+4的立方根．
【答案】解：（1）方程变形得：（x+1）2=9，
开方得：x+1=3或x+1=﹣3，
解得：x1=2，x2=﹣4；
（2）由题意得：a﹣3=9，即a=12，
则5a+4=64，64的立方根为4．
【解析】【分析】（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出x的值；
（2）利用平方根定义求出a的值，代入原式求出立方根即可．
19．已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且，求的平方根．
【答案】解：∵，∴，即，
，可得，，
解得：，，则．
∴的平方根为．
【解析】【分析】先利用估算无理数大小的方法求出m、n的值，再利用待定系数法求出a、b的值，最后将a、b的值代入计算即可.
20．把下列各数序号填入相应的集合中：①﹣3.14，②﹣2π，③，④0.618，⑤，⑥0，⑦﹣1，⑧6%，⑨+3，⑩．
负分数集合{ ……}；
正整数集合{ ……}；
无理数集合{ ……}．
【答案】解：①﹣3.14是负分数，②﹣2π，是无理数，③是负分数，④0.618是正分数，⑤是正分数，⑥0是整数，⑦﹣1是负整数，⑧6%是正分数，⑨+3是正整数，⑩是无理数．
负分数集合{①③……}；
正整数集合{⑨……}；
无理数集合{②⑩……}．
【解析】【分析】（1）根据负分数的定义（所有小于0的分数）可知①③为负分数；
（2）根据正整数的定义（所有大于0的整数）可知⑨为正整数；
（3）根据无理数的定义（无限不循环小数）可知②⑩为无理数.
21．如图1，教材有这样一个探究：把两个面积为的小正方形拼成一个面积为的大正方形，所得到的面积为的大正方形的边就是原先面积为的小正方形的对角线长，因此，可得小正方形的对角线长为．
（1）由此，我们得到了一种方法，能在数轴上画出无理数所对应的点，则图2中A，B两点表示的数为______，______．
（2）某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图3所示的一个正方形．请同学们仿照上面的探究方法求出小长方形的对角线的长度为______．
（3）若的立方根是2，b为图3中小正方形边长x的整数部分，请计算的平方根．
【答案】（1），
（2）
（3）解：由（2）可知，小正方形的边长为，
∵，
∴，
∵ b为图3中小正方形边长x的整数部分，
∴b=2，
∵的立方根是2，
∴
∴，
∴
【解析】【解答】解：（1）根据题意可知，小正方形的面积为1，大正方形的面积为2，
小正方形的边长等于1，大正方形的边长为，
∴小正方形的对角线为．
．
点表示的数为，点表示的数为．
故答案为：，；
（2）根据题意可知，两个小长方形面积和为：，S大正方形=，
S小正方形=，
∴小正方形的边长为，即长方形对角线长度=，
故答案为；.
【分析】（1）根据题意可得该半圆的半径为，再结合数轴即可得出答案；
（2）先求出两个长方形的面积之和以及大正方形的面积，用大正方形的面积减去长方形的面积之和即可求得中心小正方形的面积，再根据平方根知识即可得出答案；
（3）由（2）求得b的值，再根据立方根的定义求得，再代入求值即可．
（1）解：由题意得，小正方形的面积为1，大正方形的面积为2，
大正方形的边长为，即小正方形的对角线为．
．
点表示的数为，点表示的数为．
故答案为：，；
（2）解：由题意得，
大正方形面积为：，两个小长方形面积和为：，
小正方形面积为：，
由算术平方根知识可得，长方形对角线长度为，
故答案为；；
（3）解：∵的立方根是2，
∴
，
∵b为图3中小正方形边长x的整数部分，
而，
∴，
∴，
∴．
22．根据下表回答下列问题：
x 17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6 17.7 17.8 17.9 18
x2 289 292.41 295.84 299.29 302.76 306.25 309.76 313.29 316.84 320.41 324
（1）若 介于17.6与17.7之间，则满足条件的整数n有 　 　个；
（2）　 　；
（3）316.84的平方根是 　 　；
（4）若 这个数的整数部分为m，则 　 　；
【答案】（1）4
（2）171
（3）±17.8
（4）-1
【解析】【解答】解：（1）由表格可知，，.
∵介于17.6与17.7之间，
∴.
在与之间的整数有310、311、312、313，共4个.
故答案为：4.
（2）.
故答案为：171.
（3）∵，∴.
故答案为：±17.8.
（4）∵，，且，
∴.
∴的整数部分.
∴.
故答案为：-1.
【分析】需结合表格中x与x2的对应关系，运用平方根定义、算术平方根性质及整数部分确定方法来解题.
23．观察下列算式：
第1个等式：
第2个等式：
第3个等式：
第4个等式：
…
请回答下列问题：
（1）按照以上规律， 则其中x=　 　， y=　 　；
（2） 写出第n个等式 an；
（3）求(
【答案】（1）7；13
（2）解：按照以上规律，；
（3）解：
．
【解析】【解答】解：（1）按照以上规律，，
∴，，
故答案为：7，13；
【分析】（1）根据所给的等式进行求解即可；
（2）分析所给的等式，得到规律解答即可；
（3）利用（2）中的规律解答即可．
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