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实数 单元同步练习巩固卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各数中为无理数的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列结果错误的有（　　）
A． =2 B． 的算术平方根是4
C．12 的算术平方根是 D．（﹣π）2的算术平方根是π
4．设面积为18的正方形的边长为a，下列关于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示；③；④a是18的算术平方根；其中正确的是（　　）
A．①③ B．②③ C．①②④ D．①③④
5．下列实数中，最大的是（　　）
A．-2 B．3 C． D．
6．在3.14，（每两个8之间依次多1个0），这些数中，无理数的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如果a是 算术平方根，则 的算术平方根是（　　）
A． B． C． D．
8．下列各数：，，π，0.32，，0.101101110．．．每两个0之间依次多一个1)，其中是无理数的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．设681×2019﹣681×2018=a，2015×2016﹣2013×2018=b， ，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
10．若用[x]表示任意正实数的整数部分，例如： ，则式子 的值为(　　)(式子中的“+”，“-”依次相间)
A．- 23 B．-67 C．- 22 D．-68
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在实数范围内定义一种新运算“ ”，其运算规则为：a b=﹣2ab，如：1 5=﹣2×1×5=﹣10，则式子 =　 　．
12．已知的小数部分是的小数部分是，则　 　．
13．比较大小 　 　3 （填“＞”、“＜”或“＝”）；
14．| ︳的相反数是　 　（用代数式表示）．
15．已知 ，若 ，则 　 　.
16．若a与b互为相反数，m与n互为倒数，k的算术平方根为，则的值为　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：2 3 + ．
18．已知某正数的两个平方根分别是2m﹣3和5﹣m，n﹣1的算术平方根为2，求3+m+n﹣7的立方根．
19．已知a为的整数部分，是400的算术平方根，求.
20．已知是的算术平方根，是的立方根，求的值．
21．一块长方形空地面积为，其长、宽之比为.
（1）求这块长方形空地的周长；
（2）如图，在空地内修建“字型”走道（横向走道宽度不变）后将空地分割成两个花坛（花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长、宽之比为），花坛的总面积为，宽度为的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？
22．如图，在4×4的小正方形组成的网格中有一个正方形ABCD．每个小正方形的边长为1，点A表示的数为1．
（1）正方形ABCD的面积为多少？它的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？
（2）若正方形ABCD从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点B滚到数轴上的点P时，记为第一次翻滚，点C翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推．
①点P表示的数为多少？
②是否存在正整数n，使得该正方形n次翻滚后，其顶点A，B，C，D中的某个点与2024重合？
23．同学们学过数轴知道数轴上点与实数一一对应，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中，，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是P．
（1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算P的值；
（2）若原点为O且，求P的值．
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实数 单元同步练习巩固卷
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：点a在-2的右边，故a>-2，故A选项不符合题意；
点b在1的右边，故b>1，故B选项不符合题意；
b在a的右边，故b>a，故C选项不符合题意；
由数轴得：-2故答案为：D．
【分析】根据所给的数轴a和b的大小关系对每个选项一一判断即可。
2．下列各数中为无理数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：是无理数，
故答案为：A．
【分析】利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
3．下列结果错误的有（　　）
A． =2 B． 的算术平方根是4
C．12 的算术平方根是 D．（﹣π）2的算术平方根是π
【答案】B
【解析】【解答】解：A、原式= =2，故A正确，与要求不符；
B、 =4，4的算术平方根是2，故B错误，与要求相符；
C、12 = ，它的算术平方根是 ，故C正确，与要求不符；
D、（﹣π）2=π2，π2的算术平方根是π，故D正确，与要求不符．
故选：B．
【分析】依据算术平方根、有理数的乘方法则求解即可．
4．设面积为18的正方形的边长为a，下列关于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示；③；④a是18的算术平方根；其中正确的是（　　）
A．①③ B．②③ C．①②④ D．①③④
【答案】C
【解析】【解答】解：由正方形的面积公式可得：．
①，是无理数，故①正确；
②实数与数轴上的点一一对应，故可用数轴上的一个点来表示，②正确；
③，故③错误；
④是18的算术平方根，故④正确．
所有正确说法的序号是①②④．
故答案为：C．
【分析】由于正方形的面积为18，利用正方形的面积公式即可计算其边长；对于①结合无理数的定义即可判断其正误；对于②根据实数与数轴上点的关系即可判断其正误；对于③，估算这个数的取值范围即可判断其正误；对于④，结合算术平方根的概念进行判断，问题即可解答．
5．下列实数中，最大的是（　　）
A．-2 B．3 C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：正数大于负数，∴-2最小；
∵3=
∴最大的实数为3.
故答案为：B。
【分析】正数均大于负数，将3写成二次根式的形式比较被开方数即可。
6．在3.14，（每两个8之间依次多1个0），这些数中，无理数的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：
无理数为，共3个，
故答案为：C.
【分析】根据无理数是无限不循环小数解题即可.
7．如果a是 算术平方根，则 的算术平方根是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由a是 算术平方根，10是100的算术平方根，则有 的算术平方根为： ；故答案为：A.
【分析】根据算术平方根的定义“若一个正数x的平方等于a，即x2=a，则这个正数x为a的算术平方根”可求解.
8．下列各数：，，π，0.32，，0.101101110．．．每两个0之间依次多一个1)，其中是无理数的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】解：∵
∴无理数有，，0.101101110（每两个0之间依次多一个1），一共有3个.
故答案为：C
【分析】利用开方开不尽的数是无理数；含的数是无理数；有规律但不循环的小数是无理数；由此可得到无理数的个数.
9．设681×2019﹣681×2018=a，2015×2016﹣2013×2018=b， ，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．b＜c＜a B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
【答案】A
【解析】【解答】∵a=681×2019﹣681×2018=681×（2019﹣2018）=681×1=681，
b=2015×2016﹣2013×2018=2015×2016-（2015﹣2）×（2016+2）=2015×2016﹣2015×2016﹣2×2015+2×2016+2×2=﹣4030+4032+4=6，
c= = = = = ＜681，
∴b＜c＜a．
故答案为：A．
【分析】根据乘法分配律求出a，将b变形为2015×2016﹣（2015﹣2）×（2016+2），再注意整体思想进行计算，根据提取公因式、平方差和算术平方根可求c，再比较大小即可。
10．若用[x]表示任意正实数的整数部分，例如： ，则式子 的值为(　　)(式子中的“+”，“-”依次相间)
A．- 23 B．-67 C．- 22 D．-68
【答案】C
【解析】【解答】解：∵=4，=9，=16，……，=1936，=2025，
∴，，…，的得数都是2，且有8-4+1=5个；
，，…，的得数都是3，且有15-9+1=7个；
，，…，的得数都是4，且有24-16+1=9个；
……
，，…，的得数都是44，且有2024-1936+1=89个；
∴原式＝1﹣1+2﹣2+2﹣2+2﹣3+3﹣3+3﹣3+3﹣3+…+44﹣44+44﹣45
＝0+2﹣3+4﹣5+6﹣7+…+44﹣45
＝﹣22．
故选：C．
【分析】根据算术平方根的定义估算无理数、、、、…、、的大小，确定其整数部分，理清整数部分是相同的数，由“+”“-”依次相间，进行计算即可．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在实数范围内定义一种新运算“ ”，其运算规则为：a b=﹣2ab，如：1 5=﹣2×1×5=﹣10，则式子 =　 　．
【答案】﹣2
【解析】【解答】解：根据题中的新定义得：原式=﹣2× × =﹣2，
故答案为：﹣2
【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果．
12．已知的小数部分是的小数部分是，则　 　．
【答案】1
【解析】【解答】解：，
，
，，
已知的小数部分是，的小数部分是，
，，
.
故答案为：1．
【分析】利用估算无理数大小，进而利用不等式的性质得出，，代入，计算求解即可．
13．比较大小 　 　3 （填“＞”、“＜”或“＝”）；
【答案】＜
【解析】【解答】解：∵3 ＝ ， ＜ ，
∴ ＜3 ，
故答案为：＜．
【分析】根据3 ＝ ， ＜ ，即可得到结论．
14．| ︳的相反数是　 　（用代数式表示）．
【答案】﹣
【解析】【解答】解：| ︳的相反数是﹣| |
故答案是﹣| |．
【分析】根据相反数的性质可以进行判断，a的相反数是﹣a，据此即可作出判断．
15．已知 ，若 ，则 　 　.
【答案】9.8596
【解析】【解答】解：根据题意可知 ，
∵ ，
∴ .
故 .
故答案为：9.8596.
【分析】 由于幂的底数小数点向左（右）移动一位，结果小数点向左（右）移动两位，照此计算即可求出结果.
16．若a与b互为相反数，m与n互为倒数，k的算术平方根为，则的值为　 　．
【答案】2
【解析】【解答】解：由题意可知：，，
∴
=2．
故答案为：2．
【分析】根据互为相反数的两个数和为0可得a+b=0，由乘积为1的两个数互为倒数可得mn=1，由算术平方根的意义可得k2=2，代入所求代数式计算即可求解.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：2 3 + ．
【答案】解：原式=（2 -3 ）+4
=- +4
【解析】【分析】先利用立方根化简，再利用二次根式的加减计算即可。
18．已知某正数的两个平方根分别是2m﹣3和5﹣m，n﹣1的算术平方根为2，求3+m+n﹣7的立方根．
【答案】解：∵某正数的两个平方根分别是2m﹣3和5﹣m
∴（2m﹣3）+（5﹣m）=0
解得m=-2
∵n﹣1的算术平方根为2
∴n-1=22解得n=5
∵3+m+n﹣7=3+(-2)+5-7=-1
∴3+m+n﹣7的立方根为-1.
【解析】【分析】由于一个正数的平分根有两个，它们互为相反数，据此列式求出m值；再根据算术平方根的定义列式求出n值，最后把m和n值代入原式计算即可求出结果.
19．已知a为的整数部分，是400的算术平方根，求.
【答案】解：∵，∴，
∴的整数部分为13，∴，
又∵是400的算术平方根，400的算术平方根是20，
∴，解得，∴.
【解析】【分析】解题关键在于求出a与b的值. 先求出 的范围，求出a值，再根据算术平方根求出b值，最后代入求值即可.
20．已知是的算术平方根，是的立方根，求的值．
【答案】解：∵是的算术平方根，是的立方根，
，
解得：，
，，
．
【解析】【分析】根据算术平方根、立方根的概念结合题意可得3m+2n+1=2，2m+5=3，求出m、n的值，然后求出M、N的值，再根据有理数的减法法则以及乘方法则进行计算.
21．一块长方形空地面积为，其长、宽之比为.
（1）求这块长方形空地的周长；
（2）如图，在空地内修建“字型”走道（横向走道宽度不变）后将空地分割成两个花坛（花坛1为正方形，花坛2为长方形，其长、宽之比为），花坛的总面积为，宽度为的农药喷洒车能不能在走道上正常通行？
【答案】（1）解：设长方形空地的长为，则宽为，
由题意得，
（负值已舍去），.
这块长方形空地的周长为.
（2）解：设花坛2的宽为，则长为，花坛1的边长为，
由题意得，
解得（负值已舍去），
花坛1的边长为.
由（1）知长方形空地的宽为.
，
宽度为的农药喷洒车不能在走道上正常通行.
【解析】【分析】(1)设长方形空地的长为5x，则宽为3x，根据面积为1500平方米列式，利用平方根的性质求出x，得到长方形空地的长和宽，然后即可计算周长；
(2)设花坛2的宽为y，则长为2y，正方形花坛1的边长为2y，根据总面积为1176平方米列式，利用平方根的性质求出x，计算出“T字型”走道的宽，进行比较即可.
22．如图，在4×4的小正方形组成的网格中有一个正方形ABCD．每个小正方形的边长为1，点A表示的数为1．
（1）正方形ABCD的面积为多少？它的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？
（2）若正方形ABCD从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点B滚到数轴上的点P时，记为第一次翻滚，点C翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推．
①点P表示的数为多少？
②是否存在正整数n，使得该正方形n次翻滚后，其顶点A，B，C，D中的某个点与2024重合？
【答案】（1）解：则正方形ABCD的面积；它的边长为；在3和4之间.
（2）①点P表示的数为1+；
②由题意，n+1=2024，整理，得=-，∵n是正整数，∴左边是无理数，右边是有理数，∴不存在正整数n，使得该正方形n次翻滚后，其顶点A，B，C，D中的某个点与2024重合.
【解析】【分析】（1）、由图可以看出，正方形ABCD与非阴影区的4个相等的直角三角形共同构成了外围的大正方形，只需用大正方形的面积减去4个直角三角形的面积及可求出；求的算术平方根即可求出边长为；因为32＜10＜42，所以，即介乎3和4这两个整数之间；（2）、①由图可知，为，则P所表示的数为+1；②滚动1次后B落于数轴，从此时开始继续滚动，C、D、A、B、C……循环落于数轴，每滚动1次，新落于数轴的点所表示的数比上一次落于数轴的点所表示的数大，n次后即为n+1. 不难看出，n是正整数的前提下，n+1不可能等于一个正整数，也就不可能等于2024.
23．同学们学过数轴知道数轴上点与实数一一对应，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，C，其中，，如图所示，设点A，B，C所对应数的和是P．
（1）若以B为原点，写出点A，C所对应的数，并计算P的值；
（2）若原点为O且，求P的值．
【答案】（1）解：点A表示-，点C表示，点P的值为
（2）解：点P的值为或
【解析】【解答】（1）∵点B为原点，，，
∴点A表示的数为，点C表示的数为，
∴P=++0=，
故答案为：点A表示-，点C表示，点P的值为；
（2）①当点O在点C右边时，
点A对应的数为：0---=-，
点B对应的数为：0--=-，
点C对应的数为：0-=-，
∴P=---=-；
②当点O在点C的左边时，
点A对应的数为：，
点B对应的数为：，
点C对应的数为：，
∴P=++=，
综上，p的值为或 ，
故答案为：或.
【分析】（1）先利用两点之间的距离公式求出点A、C表示的数，再求出p的值即可；
（2）分类讨论：①当点O在点C右边时，②当点O在点C的左边时，再分别求出点A、B、C表示的数，再求出p的值即可.
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