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【50道填空题·专项集训】浙教版数学八年级下册第2章 一元二次方程
1．重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x，根据题意，可列方程为 　 　．
2．若关于x的一元二次方程有一个根是0，则k的值是　 　．
3．关于的方程的一个根是，则　 　．
4．如图所示，从一块矩形铁片中间截去一个小矩形，使剩下部分四周的宽度都等于x，且小矩形的面积是原来矩形面积的一半，则x的值为　 　.
5． “指尖上的非遗——细纹刻纸”，片纸可缩世界景，一刀能刻古今情．在一幅长，宽的细纹刻纸的四周镶嵌宽度相同的边框，制成的一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是，设边框的宽度为，则列出的方程为　 　．
6．当x=　 　时，代数式(x-1)(x-5)与(3x-1)(x-1)的值相等．
7．已知一元二次方程x2﹣6x﹣5=0两根为a、b，则
①a+b=　 　
②ab=　 　．
8．一个一元二次方程的二次项系数为1，其中一个根是﹣3，另一个根是2，则这个方程是　 　.
9．中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元.则该地区居民年人均收入平均增长率为　 　.(用百分数表示)
10．已知、是一元二次方程的两实数根，则代数式　 　．
11．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若，则每个直角三角形的面积为　 　．
12．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，设所围矩形猪舍平行于住房墙的一边长为，面积为，则可列方程为　 　.（要求：用原始数据列方程，不必化简.）
13．学校组织摄影比赛，小张上交的作品如图，七寸照片（长7英寸，宽5英寸）．将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同．矩形衬纸的面积为照片面积的3倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），则根据题意所列方程为　 　．
14．若 ，且 ， ，则（1） 的值为　 　；（2） 的值为　 　.
15．已知实数a，b满足a2-a-2022=0， b2-b-2022=0(a≠b)，则2022a+2022b=　 　
16．如果关于x的方程（m﹣3） ﹣x+3=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为　 　。
17．若m，n是方程x2+x﹣1=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为　 　 ．
18．方程x2-7x+10=0的两个根是等腰三角形的两边长，则该等腰三角形的周长是　 　
19．有一人患了流感，假如平均一个人传染了x个人，经过两轮感染后共有121人患了流感，依题意可列方程为　 　.
20．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握了36次手，设到会的人数为x人，则根据题意列方程为　 　．
21．已知关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+ m2+1＝0有两个相等的实数根，则m的值是　 　.
22．若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于　 　.
23．一元二次方程3x2﹣x=0的解是　 　．
24．已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是　 　．
25．如图，四边形ABCD中，CD=AD，∠CDA=∠ABD=90°，点E为CD边的中点，连接BE，AB=2，BC= ，则BD=　 　。
26．已知2是关于x的一元二次方程x2+4x-p=0的一个根，则该方程的另一个根是　 　．
27．若某等腰三角形的三条边长都是一元二次方程的根，则这个等腰三角形的周长是　 　．
28．关于x的方程（m+2）x +1=0为一元二次方程，则m=　 　．
29．当m=　 　时，关于x的方程（m﹣3） ﹣x=5是一元二次方程．
30．将一元二次方程4x2﹣8x﹣3=0用配方法化成（x﹣a）2=b的形式为　 　．
31．已知α、β是一元二次方程x2+x-1＝0的两根，则α2+2α+β-1＝　 　．
32．一个底面为30cm×30cm的长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm的铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是　 　厘米. （保留根号）
33．若 是关于 的一元二次方程，则 的取值范围是为　 　．
34．已知关于x的一元二次方程 有两个实数根 ， ，若 ， 满足 ，则m的值为　 　
35．如图，某小区规划在一个长为40 m、宽为26 m 的长方形场地 ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草.要使每一块草坪的面积都为144 m2，求通道的宽.若设通道的宽为 x m，请补全关于x的方程：(40-2x)(　 　)=144×6.
36．某校去年投资2万元购买实验器材，预计今明2年的投资总额为8万元．若该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x，则可列方程为　 　．
37．某楼盘2015年房价均价为每平方米8000元，经过两年连续涨价后，2017年房价均价为15000元.设该楼盘这两年房价平均增长率为x，根据题意可列方程为　 　．
38．电影《中国机长》首映当日票房已经达到1.92亿元，2天后当日票房达到2.61亿元，设平均每天票房的增长率为x，则可列方程为　 　.
39．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　 　.
40．一元二次方程（x﹣5）（2x﹣1）=3的根的判别式的值是　 　．
41．已知关于x的方程a（x+m）2+b=0（a，b，m均为常数，且a≠0）的两个解是x1=3，x2=7，则方程 的解是　 　.
42．设，是方程的两个根，那么的值为　 　.
43．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，则k的值是　 　．
44． 定义：若 (t为正整数，且045．若 是方程 的两个实数根，且 ，则 的值为　 　.
46．有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是p（万元）和q（万元），它们与投入资金x（万元）的关系有经验公式，。今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别为：甲是　 　万元，乙是　 　万元。能获得多大的利润为　 　万元。
47．整数 满足 ， 且关于 的一元二次方程 的两个根均是正整数，则 　 　.
48．关于x的一元二次方程 的两个实数根分别是x1、x2，且 ，则 的值是　 　．
49．已知关于的一元二次方程，设方程的两个实数根，，其中，则　 　，若，为常数，则的值为　 　．
50．某数学学习小组在综合实践《猜想、证明、拓广》中探究了矩形的“减半”问题，课后对其他问题进行探究，发现当已知矩形的相邻两边分别为和，和，和，和，和，和，和，和时，都不存在这样的矩形，它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的；当已知矩形的相邻两边分别为和时，他们发现存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的，请你帮助他们写出这个矩形较短边的长为　 　；当已知矩形的长和宽分别为和时，若存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的，则和应满足的关系式为　 　．
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【50道填空题·专项集训】浙教版数学八年级下册第2章 一元二次方程
1．重庆在低空经济领域实现了新的突破．今年第一季度低空飞行航线安全运行了200架次，预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次．设第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x，根据题意，可列方程为 　 　．
【答案】200（1+x）2＝401
【解析】【解答】解：∵ 第二、第三两个季度安全运行架次的平均增长率为x ，
∴第二季度低空飞航线运行了200（1+x），
第三季度低空飞航线运行了200（1+x）（1+x）.
∵ 预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次 ，
∴200（1+x）（1+x）=401，
∴200（1+x）2=401.
故答案为：200（1+x）2=401.
【分析】根据题意找出等量关系 预计第三季度低空飞行航线安全运行将达到401架次 ，即可列关于x的一元二次方程.
2．若关于x的一元二次方程有一个根是0，则k的值是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：把代入，得
，
解得，，
而即．
所以．
故答案为：
【分析】将代入得到：，解关于的方程得，，再根据一元二次方程的定义可确定的值．
3．关于的方程的一个根是，则　 　．
【答案】
【解析】【解答】将x=2代入，可得8+2m-2=0，
解得：m=-3，
故答案为：-3.
【分析】将x=2代入，可得8+2m-2=0，再求出m的值即可.
4．如图所示，从一块矩形铁片中间截去一个小矩形，使剩下部分四周的宽度都等于x，且小矩形的面积是原来矩形面积的一半，则x的值为　 　.
【答案】10
【解析】【解答】解：剩下部分四周的宽度都等于x，且小矩形的面积是原来矩形面积的一半 ，
可列方程为：（80-2x）（60-2x）=2400，
解得：x=10或x=60（舍去），
故答案为：10.
【分析】根据剩下部分四周的宽度都等于x，且小矩形的面积是原来矩形面积的一半，利用矩形面积公式列出方程解方程取符合条件的x的值即可求解.
5． “指尖上的非遗——细纹刻纸”，片纸可缩世界景，一刀能刻古今情．在一幅长，宽的细纹刻纸的四周镶嵌宽度相同的边框，制成的一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个挂图的面积是，设边框的宽度为，则列出的方程为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解： 设边框的宽度为，
依题意得：.
故答案为：.
【分析】根据整个挂图的面积=挂图的长×挂图的宽=（原挂图的长+2x）×（原挂图的宽+2x）列出方程即可.
6．当x=　 　时，代数式(x-1)(x-5)与(3x-1)(x-1)的值相等．
【答案】1或-2
【解析】【解答】解：(x-1)(x-5)=(3x-1)(x-1)，
整理得：x2+x-2=0，
(x-1)(x+2)=0，
解得：x=1或-2．
故答案为：1或-2．
【分析】根据题意列出方程(x-1)(x-5)=(3x-1)(x-1)，再化简利用因式分解法求解即可。
7．已知一元二次方程x2﹣6x﹣5=0两根为a、b，则
①a+b=　 　
②ab=　 　．
【答案】6；-5
【解析】【解答】解：①∵一元二次方程x2﹣6x﹣5=0两根为a、b，
∴a+b=6．
故答案为：6；②∵一元二次方程x2﹣6x﹣5=0两根为a、b，
∴ab=﹣5．
故答案为：﹣5．
【分析】①根据根与系数的关系a+b=﹣ ，结合方程的系数即可得出结论；②根据根与系数的关系ab= ，结合方程的系数即可得出结论；
8．一个一元二次方程的二次项系数为1，其中一个根是﹣3，另一个根是2，则这个方程是　 　.
【答案】x2+x﹣6＝0
【解析】【解答】解：设这个方程为ax2+bx+c＝0.
∵该方程的二次项系数为1，两根分别为﹣3和2，
∴a＝1，＝﹣3+2，＝﹣3×2，
∴b＝1，c＝﹣6，
∴这个方程为x2+x﹣6＝0.
故答案为：x2+x﹣6＝0.
【分析】设这个方程为ax2+bx+c＝0，由于该方程的二次项系数为1，两根分别为﹣3和2，可得a=1，再利用根与系数的关系可求b、c的值，从而得解.
9．中国“一带一路”给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2016年人均年收入20000元，到2018年人均年收入达到39200元.则该地区居民年人均收入平均增长率为　 　.(用百分数表示)
【答案】40%
【解析】【解答】解：设该地区居民年人均收入平均增长率为 ，
，
解得， ， (舍去)，
∴该地区居民年人均收入平均增长率为 。
故答案为： 。
【分析】此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，根据公式即可列出方程，求解并检验即可。
10．已知、是一元二次方程的两实数根，则代数式　 　．
【答案】14
【解析】【解答】解：∵x1、x2为方程x2-4x-1=0的两根，
∴x1+x2==4，x1x2==-1，
∴x12+x22-4=(x1+x2)2-2x1x2-4=16+2-4=14.
故答案为：14.
【分析】由根与系数关系得x1+x2==4，x1x2==-1，然后根据x12+x22-4=(x1+x2)2-2x1x2-4进行计算.
11．我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若，则每个直角三角形的面积为　 　．
【答案】96
【解析】【解答】解：根据题意知，，
∵，
∴，
解得：，（舍去），
∴，
∴每个直角三角形的面积为，
故答案为：96．
【分析】利用勾股定理可得，再结合，求出a的值，再求出b的值，最后求出每个直角三角形的面积为即可.
12．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为的住房墙，另外三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，设所围矩形猪舍平行于住房墙的一边长为，面积为，则可列方程为　 　.（要求：用原始数据列方程，不必化简.）
【答案】
【解析】【解答】解：设所围矩形猪舍平行于住房墙的一边长为xm，则垂直于住房墙的一边长为 ，根据题意得： .
故答案为：.
【分析】设所围矩形猪舍平行于住房墙的一边长为xm，则垂直于住房墙的一边长为，接下来根据矩形的面积=长×宽就可列出方程.
13．学校组织摄影比赛，小张上交的作品如图，七寸照片（长7英寸，宽5英寸）．将照片贴在一张矩形衬纸的正中央，照片四周外露衬纸的宽度相同．矩形衬纸的面积为照片面积的3倍．设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸（如图），则根据题意所列方程为　 　．
【答案】（7+2x）（5+2x）=3×7×5
【解析】【解答】设照片四周外露衬纸的宽度为x英寸，根据题意得：(7+2x)(5+2x)=3×7×5，
故答案为(7+2x)(5+2x)=3×7×5.
【分析】根据“矩形衬纸的面积为照片面积的3倍”列出方程求解即可．
14．若 ，且 ， ，则（1） 的值为　 　；（2） 的值为　 　.
【答案】4；1
【解析】【解答】解：（1）∵ ，且 ， ，
∴a，b是一元二次方程 的两个不相等的实数根，
∴a+b=4，
故答案为：4.
（2）∵ ， ，
∴ ， ，
∴ = ，
∵ ，且 ， ，
∴a，b是一元二次方程 的两个不相等的实数根，
∴a+b=4，ab=1，
∴ = =1，
故答案为：1.
【分析】（1）由题意可得a，b是一元二次方程x2-4x+1=0的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系可得a+b的值；
（2）由已知条件可得a2+1=4a，b2+1=4b，则待求式可变形为，根据根与系数的关系可得a+b=4，ab=1，据此计算.
15．已知实数a，b满足a2-a-2022=0， b2-b-2022=0(a≠b)，则2022a+2022b=　 　
【答案】2022
【解析】【解答】解：∵ 实数a，b满足a2-a-2022=0， b2-b-2022=0(a≠b)，
∴a，b是关于x的一元二次方程x2-x-2022=0的两个实数根，
∴a+b=1
∴2022a+2022b=2022（a+b）=2022×1=2022.
故答案为：2022
【分析】利用实数a，b满足a2-a-2022=0， b2-b-2022=0(a≠b)， 可知a，b是关于x的一元二次方程x2-x-2022=0的两个实数根，利用一元二次方程根与系数的关系，可求出a+b的值；将代数式转化为2022（a+b），然后整体代入求值.
16．如果关于x的方程（m﹣3） ﹣x+3=0是关于x的一元二次方程，那么m的值为　 　。
【答案】-3
【解析】【解答】由方程是一元二次方程可知，m2-7=2且m-3≠0，解得m=±3且m≠3，
所以m=-3。
故答案为：-3。
【分析】此题主要考查一元二次方程的定义，即未知数的最高次数为2，且二次项系数不能为零，同时满足这两个条件的m的值，即为所求。
17．若m，n是方程x2+x﹣1=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为　 　 ．
【答案】　0　
【解析】【解答】∵m，n是方程x2+x﹣1=0的两个实数根，∴m+n=﹣1，m2+m=1，则原式=（m2+m）+（m+n）=1﹣1=0，故答案为：0
【分析】由题意m为已知方程的解，把x=m代入方程求出m2+m的值，利用根与系数的关系求出m+n的值，原式变形后代入计算即可求出值．
18．方程x2-7x+10=0的两个根是等腰三角形的两边长，则该等腰三角形的周长是　 　
【答案】12
【解析】【解答】解：方程x2-7x+10=0，
分解因式得：（x-2）（x-5）=0，
可得x-2=0或x-5=0，
解得：x1=2，x2=5，
当2为等腰三角形的腰时，5为底边，此时三角形三边分别为2，2，5，不满足两边之差大于第三边，舍去；
当5为等腰三角形的腰时，2为底边，此时三角形三边分别为5，5，2，周长为5+5+2=12，
综上，这个三角形的周长为12.
故答案为：12.
【分析】利用因式分解法求出方程的解，根据等腰三角形的性质以及三角形三边关系确定出三角形的边长，进而求出周长.
19．有一人患了流感，假如平均一个人传染了x个人，经过两轮感染后共有121人患了流感，依题意可列方程为　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：依题意，得：1+x+x（1+x）=121，即
故答案为： .
【分析】由于每轮传染中平均一个人传染的人数是x人，那么经过第一轮后有（1+x）人患了流感，经过第二轮后有[（1+x）+x（1+x）]人患了流感，再根据经过两轮传染后共有121人患了流感，由此列出方程.
20．一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握了36次手，设到会的人数为x人，则根据题意列方程为　 　．
【答案】 x（x﹣1）=36
【解析】【解答】解：设到会的人数为x人，则每个人握手（x﹣1）次，
由题意得， x（x﹣1）=36，
故答案是： x（x﹣1）=36．
【分析】设到会的人数为x人，则每个人握手（x﹣1）次，根据总共握手36次，列方程即可．
21．已知关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+ m2+1＝0有两个相等的实数根，则m的值是　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：根据题意得△＝（m+1）2﹣4×（ m2+1）＝0，
解得m＝
故答案为 .
【分析】利用判别式的意义得到△=（m+1）2-4×（ m2+1）=0，然后解关于m的方程即可.
22．若x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，则代数式x12﹣2x1+2x2的值等于　 　.
【答案】2028
【解析】【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣4x﹣2020＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝4，x12﹣4x1﹣2020＝0，即x12﹣4x1＝2020，
则原式＝x12﹣4x1+2x1+2x2
＝x12﹣4x1+2（x1+x2）
＝2020+2×4
＝2020+8
＝2028，
故答案为：2028.
【分析】根据一元二次方程的解的概念和根与系数的关系得出x12-4x1=2020，x1+x2=4，将代数式变形为x12-4x1+2x1+2x2=x12-4x1+2（x1+x2），然后整体代入计算可得.
23．一元二次方程3x2﹣x=0的解是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：3x2﹣x=0，
x（3x﹣1）=0，
x=0，3x﹣1=0，
x1=0，x2=，
故答案为：x1=0，x2=．
【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
24．已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 的取值范围是　 　．
【答案】 且m≠2
【解析】【解答】根据题意得：
，
解得： ，
解得： ，
综上可知： 且 ，
故答案为： 且 ．
【分析】根据一元二次方程的定义，得到m-2≠0，解之，根据“一元二次方程（m-2）x2+x-1=0有两个不相等的实数根”，结合判别式公式，得到一个关于m的不等式，解之，取两个解集的公共部分即可．
25．如图，四边形ABCD中，CD=AD，∠CDA=∠ABD=90°，点E为CD边的中点，连接BE，AB=2，BC= ，则BD=　 　。
【答案】5
【解析】【解答】解：过点C作CF⊥BD于点F，
∴∠CFD=∠ABD=∠CDA=90°，
∴∠DCF+∠CDF=90°，∠ADB+∠CDF=90°，
∴∠DCF=∠ADB，
在△CDF和△DAB中
∴△CDF≌△DAB（AAS）
∴AB=DF=2，CF=BD
设BD=CF=x，则BF=x-2
在Rt△CBF中，
BF2+CF2=BC2
∴（x-2）2+x2=
整理得：x2-2x-15=0
解之：x1=5，x2=-3
∴BD=5.
故答案为：5.
【分析】由同角的余角相等可得∠DCF=∠ADB，利用AAS可证三角形全等，用全等三角形的性质可得AB=DF=2，CF=BD，由勾股定理 BF2+CF2=BC2可列方程，解方程即可求解BD。
26．已知2是关于x的一元二次方程x2+4x-p=0的一个根，则该方程的另一个根是　 　．
【答案】-6
【解析】【解答】∵2是关于x的一元二次方程x2+4x-p=0的一个根，
∴2+x1=-4，
∴x1=-6，
∴该方程的另一个根是-6．
【分析】根据韦达定理，可求出另一个根。
27．若某等腰三角形的三条边长都是一元二次方程的根，则这个等腰三角形的周长是　 　．
【答案】6或16或21
【解析】【解答】解：，
x2-9x+14=0，
（x-7）（x-2）=0，
x-7=0或x-2=0，
所以x1=7，x2=2，
∵等腰三角形的每条边长都是一元二次方程x2-7x+10=0的根，
∴等腰三角形的边长为7、7、7或7、7、2或2、2、2，
∴这个三角形的周长为6或16或21．
故答案为：6或16或21．
【分析】先求出方程的解，再利用等腰三角形的性质和三角形三边的关系求解即可。
28．关于x的方程（m+2）x +1=0为一元二次方程，则m=　 　．
【答案】2
【解析】【解答】解：由题意可知：m2﹣2=2，
∴m=±2，
又∵m+2≠0，
∴m≠﹣2，
即m=2．
故答案为：2
【分析】根据一元二次方程的定义可知，最高次数为2且二次项的系数不为0，即m2﹣2=2，且m+2≠0，解出m的值即可．
29．当m=　 　时，关于x的方程（m﹣3） ﹣x=5是一元二次方程．
【答案】﹣3
【解析】【解答】解：依题意得：m2﹣7=2，且m﹣3≠0，
解得m=﹣3，
故答案是：﹣3．
【分析】根据一元二次方程的定义进行解答．
30．将一元二次方程4x2﹣8x﹣3=0用配方法化成（x﹣a）2=b的形式为　 　．
【答案】（x﹣1）2=
【解析】【解答】解：x2﹣2x=，
x2﹣2x+1=+1，
（x﹣1）2=．
故答案为（x﹣1）2=．
【分析】先把方程变形为x2﹣2x=，再把方程两边加上1，然后把方程左边写成完全平方形式即可．
31．已知α、β是一元二次方程x2+x-1＝0的两根，则α2+2α+β-1＝　 　．
【答案】-1
【解析】【解答】解：∵α、β是一元二次方程x2+x-1＝0的两根，
∴，．
∴．
∴．
故答案为：-1．
【分析】根据α、β是一元二次方程x2+x-1＝0的两根和根与系数关系可得：，则。
32．一个底面为30cm×30cm的长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10cm的铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20cm，铁桶的底面边长是　 　厘米. （保留根号）
【答案】
【解析】【解答】解：设正方形铁桶的底面边长为x，则
10x2=30×30×20，
x2=1800，
解得x=30（厘米）．
即正方形铁桶的底面边长是30厘米．
故答案为30.
【分析】设正方形铁桶的底面边长为x，根据题意列出方程10x2=30×30×20，再求出x的值即可。
33．若 是关于 的一元二次方程，则 的取值范围是为　 　．
【答案】 且
【解析】【解答】∵方程 是关于x的一元二次方程，
∴ ，
∴ ，
∵ 有意义，
∴ ，
∴m的取值范围是 且
故填： 且 ．
【分析】根据一元二次方程的定义和二次根式的性质判断即可。
34．已知关于x的一元二次方程 有两个实数根 ， ，若 ， 满足 ，则m的值为　 　
【答案】4
【解析】【解答】解：由韦达定理可得x1+x2=6，x1·x2=m+4，
①当x2≥0时，3x1=x2+2，
，解得 ，
∴m=4；
②当x2＜0时，3x1=2﹣x2，
，解得 ，不合题意，舍去.
∴m=4.
故答案为：4.
【分析】利用一元二次方程根与系数可得到x1+x2和x1·x2的值；再分情况讨论：当x2≥0时，3x1=x2+2；当x2＜0时，3x1=2﹣x2；分别建立方程组，分别求出x1，x2的值，然后求出m的值.
35．如图，某小区规划在一个长为40 m、宽为26 m 的长方形场地 ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草.要使每一块草坪的面积都为144 m2，求通道的宽.若设通道的宽为 x m，请补全关于x的方程：(40-2x)(　 　)=144×6.
【答案】26-x
【解析】【解答】解：设通道的宽度为xm，那么草坪的总长度和总宽度应该为(40-2x)m，(26-x)m；
根据题意即可得出方程为：(40-2x)(26-x)=144×6.
故答案为：26-x.
【分析】如果设通道的宽度为xm，那么草坪的总长度和总宽度应该为(40-2x)m，(26-x)m；那么根据每一块草坪的面积都为144m2，可得出方程.
36．某校去年投资2万元购买实验器材，预计今明2年的投资总额为8万元．若该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x，则可列方程为　 　．
【答案】2（1+x）+2（1+x）2=8
【解析】【解答】解：设该校这两年购买的实验器材的投资年平均增长率为x，
今年的投资金额为：2（1+x）；
明年的投资金额为：2（1+x）2；
所以根据题意可得出的方程：2（1+x）+2（1+x）2=8．
故答案为：2（1+x）+2（1+x）2=8．
【分析】根据题意由去年投资2万元，得到今年的投资金额为2（1+x）；明年的投资金额为2（1+x）2；由投资总额为8万元，列出方程即可.
37．某楼盘2015年房价均价为每平方米8000元，经过两年连续涨价后，2017年房价均价为15000元.设该楼盘这两年房价平均增长率为x，根据题意可列方程为　 　．
【答案】
【解析】【解答】设该楼盘这两年房价平均降低率为x，列方程得：
8000（1+x）2=15000。
故答案是：8000（1+x）2=15000。
【分析】此题的等量关系是：2015年房价均价（1+这两年房价平均增长率）2＝2017年房价均价，设未知数，建立方程，求解即可。
38．电影《中国机长》首映当日票房已经达到1.92亿元，2天后当日票房达到2.61亿元，设平均每天票房的增长率为x，则可列方程为　 　.
【答案】1.92（1+x）2＝2.61
【解析】【解答】解：设平均每天票房的增长率为x，
根据题意得：1.92（1+x）2＝2.61.
故答案为：1.92（1+x）2＝2.61.
【分析】此题是一道平均增长率的问题， 根据公式a(1+x)n=p，其中a是平均增长开始的量，x是增长率，n是增长次数，P是增长结束达到的量，根据公式即可列出方程即可
39．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　 　.
【答案】k≥1
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+x﹣1=0有两个不相等的实数根，
∴，
解得k≥1，
∴k的取值范围是k≥1．
故答案为：k≥1．
【分析】根据二次根式有意义的条件和△的意义得到 ，然后解不等式组即可得到k的取值范围．
40．一元二次方程（x﹣5）（2x﹣1）=3的根的判别式的值是　 　．
【答案】105
【解析】【解答】解：原方程可变形为2x2﹣11x+2=0，
∴△=（﹣11）2﹣4×2×2=105．
故答案为：105．
【分析】将方程化为一般式，再根据根的判别式△=b2﹣4ac代入数据即可得出结论．
41．已知关于x的方程a（x+m）2+b=0（a，b，m均为常数，且a≠0）的两个解是x1=3，x2=7，则方程 的解是　 　.
【答案】 或
【解析】【解答】解：∵方程 的解为：x1=3，x2=7，
∴ ，
解得： ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或 ，
故答案为： 或 .
【分析】先把 x1=3，x2=7， 代入方程 ，得出两个等式，再联立求出m和的值，然后代入 中，再解关于x的方程即可.
42．设，是方程的两个根，那么的值为　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：
， 是方程 的根，
， ，，
，
．
故答案为： ．
【分析】利用一元二次方程根的概念和根与系数的关系，将高次项降次后代入求值即可.
43．已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，则k的值是　 　．
【答案】﹣2或﹣
【解析】【解答】解：∵（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，
∴x1﹣2=0或x1﹣x2=0．
①如果x1﹣2=0，那么x1=2，
将x=2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2=0，
得4+2（2k+1）+k2﹣2=0，
整理，得k2+4k+4=0，
解得k=﹣2；
②如果x1﹣x2=0，
那么（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=[﹣（2k+1）]2﹣4（k2﹣2）=4k+9=0，
解得k=﹣ ．
又∵△=（2k+1）2﹣4（k2﹣2）≥0．
解得：k≥﹣ ．
所以k的值为﹣2或﹣ ．
故答案为：﹣2或﹣ ．
【分析】先由（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，得出x1﹣2=0或x1﹣x2=0，再分两种情况进行讨论：①如果x1﹣2=0，将x=2代入x2+（2k+1）x+k2﹣2=0，得4+2（2k+1）+k2﹣2=0，解方程求出k=﹣2；②如果x1﹣x2=0，那么将x1+x2=﹣（2k+1），x1x2=k2﹣2代入可求出k的值，再根据判别式进行检验．
44． 定义：若 (t为正整数，且0【答案】5；485
【解析】【解答】解：设设两个连续正奇数为 m和 m+2， ，
其乘积为：
∴4t3 3t 2=m(m+2)=m2+2m
∴4t3 3t 2=m2+2m+1-1
即4t3 3t 1= (m+1)2
∴m=或m=-（舍去），
又 4t3 3t 1= 4t3 4t+t 1=4t(t+1)(t-1)+(t-1)=(t-1)[4t(t+1)+1]=(t-1)(2t+1)2，
∴m=(2t+1)-1，
∵m为正奇数，m是整数，
∴是偶数，也是整数，
令p=，是偶数，
则t=p2+1，
∴当p=2时，t=5，则4t3 3t 2=483=21×23；
当p=22时，t=485；
当p=24时，t=530；
∵ 0∴t的最小值为5，最大值为485，
即彗星数的最小值为 5 ，最大值为 485.
故答案为：5；485.
【分析】通过分析方程结构，设连续正奇数为 m 和 m+2，其乘积为m2+2m，对方程4t3 3t 2=m2+2m整理变形得m=(2t+1)-1，从而得是正偶数，再结合“ 045．若 是方程 的两个实数根，且 ，则 的值为　 　.
【答案】1
【解析】【解答】若 是方程 x 2 2 m x + m 2 m 1 的两个实数根；
∴x1+x2=2m；x1·x2= m 2 m 1
因为
∴2m=1-（m 2 m 1）
解得m1=-2；m2=1
又因为
∴得（2m）2-4(m 2 m 1)
解得m≥-1
因此m=1
故答案应为：1
【分析】易由韦达定理得到两个关系，借助可得m的值，又因为由两个实数根，所以得到判别式大于等于零，从而得到m取值范围，最终得到答案。
46．有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是p（万元）和q（万元），它们与投入资金x（万元）的关系有经验公式，。今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别为：甲是　 　万元，乙是　 　万元。能获得多大的利润为　 　万元。
【答案】0.75；2.25；1.05
【解析】【解答】解：设对甲、乙两种商品的资金投入分别分别为x，(3-x)万元，设获取利润为s，
则两边平方，整理得
解得
可知最大利润为s=1.05.此时x=0.75(万元)，3-x=2.25(万元)。
故答案为：0.75；2.25；1.05.
【分析】根据3万元资金投入经营甲、乙两种商品，设投入甲x万元，则投入乙(3-x)万元，根据总利润=甲的利润+乙的利润，列方程并平方整理为关于x的一元二次方程，由求s的最大值，并求出此时x的值.
47．整数 满足 ， 且关于 的一元二次方程 的两个根均是正整数，则 　 　.
【答案】-2278
【解析】【解答】解：∵
∴，
∴即
设解得，
∴p =-67×(2+32)=-2278.
故答案为：-2278.
【分析】方程有两个正整数根，故根的判别式△≥0，由根与系数的关系可知x1+x2＞0，x1x2＞0，再由已知条件整数p，q满足p+q=2010，最终可以确定p的取值.
48．关于x的一元二次方程 的两个实数根分别是x1、x2，且 ，则 的值是　 　．
【答案】13
【解析】【解答】解：∵x1、x2分别是该一元二次方程的根
△=b2-4ac=（-m）2-4×1×（2m-1）=m2-8m+4≥0
又∵x1+x2=m x1·x2=2m-1
又∵ x12+x22=7
∴（ x1+x2）2- 2x1·x2=7
∴m2-2（2m-1）=7
整理，得 m2-4m-5=0
解得 m1=-1 m2=5
当m=-1时，△=（-1）2-8×（-1）+4=13＞0
当m=5时，△=52-8×5+4=-11＜0，不符合题意；
∴m=-1
∴（ x1-x2）2= x12+x22-2x1·x2=7-2（2m-1）=7-2×（-2-1）=13.
【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系得x1+x2=m、x1·x2=2m-1，然后将x12+x22=7变形为（ x1+x2）2- 2x1·x2=7，从而求出m的值，然后利用△≥0的条件验证得m的值，从而可解。
49．已知关于的一元二次方程，设方程的两个实数根，，其中，则　 　，若，为常数，则的值为　 　．
【答案】-2；16
【解析】【解答】解：，
方程可变为，
∴或，
解得，，
∵，
∴，
∵，
∴，；
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
故答案为：；16．
【分析】先变化一元二次方程即可得到，故或，再解方程即可得到，，进而根据得到，；从而结合题意根据非负性得到，解二元一次方程组即可求解。
50．某数学学习小组在综合实践《猜想、证明、拓广》中探究了矩形的“减半”问题，课后对其他问题进行探究，发现当已知矩形的相邻两边分别为和，和，和，和，和，和，和，和时，都不存在这样的矩形，它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的；当已知矩形的相邻两边分别为和时，他们发现存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的，请你帮助他们写出这个矩形较短边的长为　 　；当已知矩形的长和宽分别为和时，若存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的，则和应满足的关系式为　 　．
【答案】；
【解析】【解答】解：设所求的矩形的两边分别是和，由题意得方程组
解得：或
这个矩形较短边的长为
当已知矩形的长和宽分别为和时，由题意得方程组
∴
即
∵存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的，
∴方程有实数根，
∴
即
∴
故答案为：．
【分析】第一空：根据题意得出设所求的矩形的两边分别是和，根据题意列出方程组，解方程组即可求解；第二空：当已知矩形的长和宽分别为和时，由题意得方程组，用代入法可得关于x的一元二次方程，根据“存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的”可知方程有实数根，根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可得b2-4ac≥0，整理即可求解．
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