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【50道解答题·专项集训】浙教版数学八年级下册第2章 一元二次方程
1． 利用完全平方公式和的特点可以解决很多数学问题下面给出两个例子：
例、分解因式：
例、求代数式的最小值：
又
当时，代数式有最小值，最小值是．
仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题：
（1）分解因式：；
（2）代数式有最　 　大、小值，当　 　 时，最值是　 　 ；
（3）当、为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值．
2．在丝绸博览会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条丝绸条带．若丝绸条带的面积为，求丝绸条带的宽度；
3．某超市销售一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售，一个月能销售出500千克；销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克。针对这种水产品的销售情况，要使得月销售利润达到8000元，又要“薄利多销”，销售单价应定为多少？
4．已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）已知方程的一个根为x=0，求代数式（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5的值（要求先化简再求值）．
5．某旅游景区今年9月份游客人数比8月份增加了 ，10月份游客人数比9月份增加了 ，求该旅游景区9，10两个月游客人数的平均增长率.
6．解方程：x2﹣12x﹣4=0．
7．为进一步促进义务教育均衡发展，某县加大了基础教育经费的投入，已知2015年该县投入基础教育经费5000万元，2017年投入基础教育经费7200万元．求该县这两年投入基础教育经费的年平均增长率．
8．学校要组织一次篮球赛，赛制为每两队之间都赛一场，计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛．
9．某商店经销一批小商品，每件商品的成本为8元．据市场分析，销售单价定为10元时，每天能售出200件；现采用提高商品售价，减少销售量的办法增加利润，若销售单价每涨1元，每天的销售量就减少20件．针对这种小商品的销售情况，该商店要保证每天盈利640元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？
10．某果农在网上销售苹果，每天可销售40件，每件盈利20元，一段时间的销售发现，若每件降价1元，则每天可多售出10件，如果要想顾客得到实惠，且每天盈利1400元，每件应降价多少钱？这时他每天售出苹果多少件．
11．每年某购物网站都会举办“双十一”购物活动，许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动．甲网店销售一件A商品成本为50元，网上标价80元．
（1）“双十一”购物活动当天，甲网店连续两次降价销售A商品吸引买主，问平均每次降价率为多少，才能使这件A商品的售价为51.2元？
（2）据媒体爆料，有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天，先提高商品的网上标价后再推出促销活动，存在欺诈行为．“双十一”活动之前，乙网店销售A商品的成本、网上标价与甲网店一致，一周可售出1000件A商品．在“双十一”购物活动这天，乙网店先将网上标价提高a%，再推出五折销售的促销活动，吸引了大量网购者，乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A商品数量也比原来一周卖出的A商品数量增加了2a%，这样“双十一”活动当天乙网店的利润达到了2万元，求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为多少？
12．关于x的方程 有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
13．（1）求解下列方程：
①x2+2x﹣2＝0；
②（2x+3）2＝4（2x+3）．
（2）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根，求k的取值范围．
14．定义：如果关于 x 的一元二次方程 (a， b， c 均为常数， ) 有两个实数根，且其中一个根比另一个大 1，那么称这样的方程为“邻根方程”.
（1） 下列方程中，属于“邻根方程”的是　 　(填序号).
①； ②； ③.
（2） 若 是“邻根方程”，求 n 的值.
（3） 若一元二次方程 (b， c 均为常数) 为“邻根方程”，请写出 b， c 满足的数量关系，并说明理由.
15．某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个．经过市场调查发现，这种商品最多只能卖500个，若每个售价提高1元，其销售量就会减少10个．商场为了保证经营该商品赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少？应进货多少个？
16．列方程解应用题：某商场将进价8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，若商场采取提高商品的售价，每件售价提高0.5元，销售量减少10件。每件商品应涨价多少元时，才能使商场每天利润为640元，同时还要使消费者损失降到最低。
17．中国队包揽了2025年世界无人机足球锦标赛F9A-A， F9A-B两个组别的冠、亚军。如图8，矩形ABCD是F9A-B级别的比赛场地(半场)平面图，由操作区、起飞区、比赛区组成。矩形EFGH 为起飞区，距场地左侧边界 1m，距右侧边界2m，距上侧和下侧边界均为0.75m， 且长EF 比宽EH 多0.5m。
（1） 设EH 的长度为 xm， 则EF 的长度为(x+0.5)m，AB=　 　m， BC=　 　m(用含x的代数式表示)；
（2） 若矩形ABCD的面积为12m2， 求EH 的长度。
18．有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃，设花圃的一边为米．
（1）如果要围成面积为平方米的花圃，那么的长是多少米？
（2）能围成面积为平方米的花圃吗？若能，求出的长，若不能，请说明理由．
19．如图是一张长12dm，宽6dm的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为xdm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖的长方体纸盒.
（1）无盖方盒盒底的长为　 　dm，宽为　 　dm(用含x的式子表示).
（2）若要制作一个底面积是的无盖的长方体纸盒，求剪去的正方形边长.
20．汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设，某汽车销售公司2012年盈利1500万元，到2014年盈利2160万元，且从2012年到2014年，每年盈利的年增长率相同．
（1）求该公司盈利的年增长率；
（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2016年盈利多少万元？
21．西瓜经营户以2元/千克的价格购入一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可以售出200千克，为了促销减少库存，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克，该经销户想每天盈利224元，应将每千克小型西瓜的售价降多少元？
22．已知两个连续奇数的平方和等于130，求这两个连续奇数．
23．关于的一元二次方程．
（1）试判断该方程根的情况；
（2）若，是该方程的两个实数根，且，求的值．
24．某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26米．
（1）为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门．若设垂直于墙的边为x米，请求出x的值．
（2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建两条纵向和一条横向的等宽小路，使得停放自行车区域的面积为54平方米，那么小路的宽度应设计成多少米？
25．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x1，x2，请用配方法探索有实数根的条件，并推导出求根公式，证明x1 x2= ．
26．解方程：
（1）；
（2）．
27．已知关于x的一元二次方程．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）当时，求的值．
28．对于代数式，若存在实数，当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的不变值．例如：对于代数式，当时，代数式等于0；当时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作．特别地，当代数式只有一个不变值时，则．
（1）代数式的不变值是______，______．
（2）说明：代数式没有不变值；
（3）已知代数式，若，求的值．
29．如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为x米．
（1）AB＝　 　米（用含x的代数式表示）；
（2）若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求栅栏BC的长；
（3）矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值；若不可能，则说明理由．
30． 已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个相等的实数根，求的值；
（2）若方程的两实数根之积等于，求的值．
31．强强为了激励自己学好数学，在白色宣纸上写了两幅书法作品，准备装裱后挂在书房其中一幅长方形书法作品长，宽，正方形书法作品边长为，现在给两幅作品四周装裱上宽度相等的彩纸如图，图，设彩纸的宽为粘贴连接处忽略不计
（1）装裱后长方形书法作品的长为　 　；正方形书法作品的面积为　 　用含的代数式表示
（2）若装裱长方形书法作品所用彩纸的面积为，求装裱正方形书法作品所用彩纸的面积．
32．近年来，宜宾市聚焦打造乡村振兴，某农户要建一个长方形养鸡场，鸡场的边靠墙（墙长度等于），另外三边用木栏围成，木栏总长，设鸡场边的长为，鸡场面积为．
（1）养鸡场面积　 　（用含x的代数式表示）；
（2）当鸡场面积为时，求边的长；
（3）若农户想围成的鸡场，可以实现吗？说明理由．
33．已知方程
（1）当k=1时，求该方程的根.
（2）若方程没有实数根，求 k 的取值范围.
34．一款服装每件的进价为80元，当销售价为120元时，每天可售出20件.市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件.
（1）设每件服装降价x元，则每天销售量增加　 　件，每件服装盈利　 　元(用含x的代数式表示).
（2）在尽量让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？
35．是否存在a的值，使方程x2+（a-2）x+a2+4=0的两根互为相反数？若有，求出a的值；若没有，说明原因.
36．解方程：．
解：设，则原方程变为：，解得，，．
当时，，解得，；
当时，，解得，；
∴原方程的解为：，，，．
上面解方程的方法简称换元法．
请利用上述方法，解方程：
（1）；
（2）．
37．花鸟市场一家店铺正销售一批兰花,每盆进价100元,售价为140元,平均每天可售出20盆.为扩大销量,增加利润,该店决定适当降价.据调查,每盆兰花每降价1元,每天可多售出2盆. 要使得每天利润达到1200元，则每盆兰花售价应定为多少元？
38．如图，矩形是某会展中心一楼展区的平面示意图，其中边的长为40米，边的长为25米，该展区内有三个全等的矩形展位，每个展位的面积都为200平方米，阴影部分为宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．
39．小颖用下面的方法求出方程 的解．
方程 换元法得新方程 解新方程 检验 求原方程的解
令 ，则 ，所以
请你仿照小颗的方法求出方程 的解．
40．已知x=2是关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣2=0的一个根．
（1）求m的值及方程的另一个根；
（2）若7﹣x≥1+m（x﹣3），求x的取值范围
41．已知关于x的一元二次方程x2-（m+1）x+2m-2=0（m为常数）.
（1）若方程的一个根为1，求m的值及方程的另一个根；
（2）求证：不论m为何值时，方程总有两个实数根.
42．若x1，x2是关于x的方程. 的两个实数根，且 （k是整数)，则称方程. 为“偶系二次方程”。如方程. 都是“偶系二次方程”。
（1）判断方程. 是否属于“偶系二次方程”，请说明理由。
（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程 是“偶系二次方程” 请说明理由。
43．规定：若（，m、n、p为有理数，为无理数）是一元二次方程（，a、b、c为有理数）的根，则也是该方程的根，称是该方程的一对“共轭无理根”．
（1）写出一元二次方程的一对“共轭无理根”___________；
（2）若是关于的一元二次方程的一个根，求有理数b、c的值___________；
（3）关于的一元二次方程（，a、b为有理数）的一对“共轭无理根”是．若（m、n为有理数），求代数式的值．
44．已知一元二次方程有两个连续的整数根，一元二次方程有整数根，求a，b的值.
45．“低碳生活，绿色出行”，2017年1月，某公司向深圳市场新投放共享单车640辆.
（1）若1月份到4月份新投放单车数量的月平均增长率相同，3月份新投放共享单车1000辆.请问该公司4月份在深圳市新投放共享单车多少辆？
（2）考虑到自行车市场需求不断增加，某商城准备用不超过70000元的资金再购进A，B两种规格的自行车100辆，已知A型的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆。假设所进车辆全部售完，为了使利润最大，该商城应如何进货？
46．已知关于的方程．
（1）若，求该方程的解；
（2）若该方程有增根，试求出该增根；
（3）若该方程无解，求的取值范围．
47．一个矩形的长为a，宽为b(a＞0，b＞0)，则矩形的面积为a b.代数式xy(x＞0，y＞0)可以看作是边长为x和y的矩形的面积.我们可以由此解一元二次方程：x2+x-6＝0(x＞0).具体过程如下：
①方程变形为x(x+1)＝6.
②画四个边长为x+1、x的矩形如图放置；
③由面积关系求解方程.
∵SABCD＝(x+x+1)2，又SABCD＝4x(x+1)+12.
∴(x+x+1)2＝4x(x+1)+1，又x(x+1)＝6，
∴(2x+1)2＝25，
∵x＞0，
∴x＝2.
参照上述方法求关于x的二次方程x2+mx-n＝0的解(x＞0，m＞0，n＞0).(要求：画出示意图，标注相关线段的长度，写出解题步骤)
48．一次围棋比赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各比赛1局），且参赛者少于15人．小珺和小哲对比赛的总局数进行的统计：
（1）若参赛者共5人，按赛制应该进行几局比赛？
（2）小哲说的有道理吗？请通过计算说明；
（3）他们经过查询，小珺的统计无误，是有一人中途退出比赛，请直接写出报名本次比赛的人数．
49．小明同学在寒假社会调查实践活动期间，对某罐头加工厂进行采访，获得了该厂去年的部分生产信息如下：
①该厂1月罐头加工量为a吨.
②该厂3月的加工量比1月增长了44%.
③该厂第一季度共加工罐头182吨.
④该厂从4月开始设备整修更新，加工量每月按相同的百分率开始下降.
⑤6月设备整修更新完毕，此月加工量为1月的2.1倍，与5月相比增长了46.68吨.
利用以上信息，求：
（1）该厂第一季度加工量的月平均增长率.
（2）a的值.
（3）该厂第二季度的总加工量
50．已知m，n分别是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝a与ax2+bx+c＝b的一个根，且m＝n+1．
(1)当m＝2，a＝﹣1时，求b与c的值；
(2)用只含字母a，n的代数式表示b；
(3)当a＜0时，函数y＝ax2+bx+c满足b2﹣4ac＝a，b+c≥2a，n≤﹣，求a的取值范围．
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【50道解答题·专项集训】浙教版数学八年级下册第2章 一元二次方程
1． 利用完全平方公式和的特点可以解决很多数学问题下面给出两个例子：
例、分解因式：
例、求代数式的最小值：
又
当时，代数式有最小值，最小值是．
仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题：
（1）分解因式：；
（2）代数式有最　 　大、小值，当　 　 时，最值是　 　 ；
（3）当、为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值．
【答案】（1）解：；
（2）大；；
（3）解：
，
当，时，这个多项式有最小值，最小值为．
【解析】【解答】解：（2） ，
∵，
∴，
∴当x=2时， 代数式有最大值，最大值是2，
故答案为：大；2；2.
【分析】（1）利用十字相乘法分解因式即可；
（2）利用配方法求出，再求出，最后求最值即可；
（3）根据题意先配方，再求出 ， ，最后求最值即可。
2．在丝绸博览会期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条丝绸条带．若丝绸条带的面积为，求丝绸条带的宽度；
【答案】解：设丝绸条带的宽度为，由题意得：
，
整理得：，
解得：， （不合题意，舍去），
答：丝绸条带的宽度为．
【解析】【分析】设丝绸条带的宽度为，由长方形的面积计算公式结合丝绸条带的面积为，列出关于的一元二次方程，解方程即可．
3．某超市销售一种成本为每千克40元的水产品，经市场分析，若按每千克50元销售，一个月能销售出500千克；销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克。针对这种水产品的销售情况，要使得月销售利润达到8000元，又要“薄利多销”，销售单价应定为多少？
【答案】设销售单价定为每千克x元，根据“销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克”，可知：月销售量=500-（销售单价-50）×10，然后根据利润=每千克的利润×销售的数量列出方程，求出x的值即可.
试题解析：设销售单价定为每千克x元时，则月销售量为：[500 (x 50)×10]=(1000 10x)千克，每千克的销售利润是：(x 40)元，
则(x 40)(1000 10x)=8000，
解得：x1=60，x2=80.
∵要“薄利多销”，
∴x=60
答：要使月销售利润达到8000元，销售单价应定为60元。
【解析】【分析】由题意可知等量关系为：每千克的利润×销售量=8000；再求出每千克的利润及销售量，列方程求出方程的解，然后根据“薄利多销”可得结果。
4．已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）已知方程的一个根为x=0，求代数式（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5的值（要求先化简再求值）．
【答案】（1）证明：∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．
∴△=（2m+1）2﹣4m（m+1）=1＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根
（2）解：∵x=0是此方程的一个根，
∴把x=0代入方程中得到m（m+1）=0，
∴m=0或m=﹣1，
把m=0或m=﹣1代入（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5=4m2﹣4m+1+9﹣m2+7m﹣5=3m2+3m+5，
可得：（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5=5，或（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5=3﹣3+5=5．
【解析】【分析】（1）找出a，b及c，表示出根的判别式，变形后得到其值大于0，即可得证．（2）把x=0代入方程即可求m的值，然后将其整体代入所求的代数式并求值即可．本题考查了根的判别式和一元二次方程的解．解题时，逆用一元二次方程解的定义易得出所求式子的值，在解题时要重视解题思路的逆向分析．
5．某旅游景区今年9月份游客人数比8月份增加了 ，10月份游客人数比9月份增加了 ，求该旅游景区9，10两个月游客人数的平均增长率.
【答案】解：设该旅游景区9，10两个月游客人数的平均增长率是 ，
根据题意，得 ，
解得 ， （不合实际，舍去）.
答：该旅游景区9，10两个月游客人数的平均增长率是 .
【解析】【分析】 设该旅游景区9，10两个月游客人数的平均增长率是 ，将8月份人数看作单位1，直接根据8月份人数×=10月份的人数，列出方程即可.
6．解方程：x2﹣12x﹣4=0．
【答案】解：∵a=1，b=﹣12，c=﹣4∴b2﹣4ac=（﹣12）2﹣4×1×（﹣4）=160＞0，∴x==，∴x1=，x2=
【解析】【分析】求出b2﹣4ac的值，代入公式x=进行计算即可．
7．为进一步促进义务教育均衡发展，某县加大了基础教育经费的投入，已知2015年该县投入基础教育经费5000万元，2017年投入基础教育经费7200万元．求该县这两年投入基础教育经费的年平均增长率．
【答案】解：设该县这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x，
根据题意得：，
解得：，（舍去）．
答：该县这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%．
【解析】【分析】设该县这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x，根据“ 2017年投入基础教育经费7200万元 ”列出方程，再求解即可.
8．学校要组织一次篮球赛，赛制为每两队之间都赛一场，计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛．
【答案】解：设要邀请x支球队参加比赛，由题意，得
x（x﹣1）=28，
解得：x1=8，x2=﹣7（舍去）．
答：应邀请8支球队参加比赛
【解析】【分析】设要邀请x支球队参加比赛，则比赛的总场数为 x（x﹣1）场，与总场数为28场建立方程求出其解即可．
9．某商店经销一批小商品，每件商品的成本为8元．据市场分析，销售单价定为10元时，每天能售出200件；现采用提高商品售价，减少销售量的办法增加利润，若销售单价每涨1元，每天的销售量就减少20件．针对这种小商品的销售情况，该商店要保证每天盈利640元，同时又要使顾客得到实惠，那么销售单价应定为多少元？
【答案】解：设销售单价应定为元，所以每件商品盈利元；
由题意可得，，
解得：，，
因为要让顾客得到实惠，所以取，
答：该商店要保证每天盈利640元，同时又要使顾客得到实惠，销售单价应定为12元．
【解析】【分析】设销售单价应定为x元，则每件商品盈利(x-8)元，销售量减少20(x-10)，实际的销售量为200-20(x-10)，然后根据每件的利润×销售量=总利润建立关于x的方程，求解即可.
10．某果农在网上销售苹果，每天可销售40件，每件盈利20元，一段时间的销售发现，若每件降价1元，则每天可多售出10件，如果要想顾客得到实惠，且每天盈利1400元，每件应降价多少钱？这时他每天售出苹果多少件．
【答案】解，设每件应降价x元，依题意可列方程：
即
解得：
为了让顾客得到实惠，取 ，
则 （件）
故每件应降价10元，这时他每天售出140件苹果．
【解析】【分析】根据题意先列方程 ，再解方程计算求解即可。
11．每年某购物网站都会举办“双十一”购物活动，许多商家都会利用这个契机进行打折让利的促销活动．甲网店销售一件A商品成本为50元，网上标价80元．
（1）“双十一”购物活动当天，甲网店连续两次降价销售A商品吸引买主，问平均每次降价率为多少，才能使这件A商品的售价为51.2元？
（2）据媒体爆料，有一些淘宝商家在“双十一”购物活动当天，先提高商品的网上标价后再推出促销活动，存在欺诈行为．“双十一”活动之前，乙网店销售A商品的成本、网上标价与甲网店一致，一周可售出1000件A商品．在“双十一”购物活动这天，乙网店先将网上标价提高a%，再推出五折销售的促销活动，吸引了大量网购者，乙网店在“双十一”购物活动当天卖出的A商品数量也比原来一周卖出的A商品数量增加了2a%，这样“双十一”活动当天乙网店的利润达到了2万元，求乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为多少？
【答案】（1）解：设平均每次降价率为x，才能使这件A商品的售价为51.2元，
根据题意得，
解得，（不合题意，舍去）．
故平均每次降价率为20％，才能使这件A商品的售价为51.2元
（2）解：根据题意，得，
整理，得，
解得，（不合题意，舍去）．
∴．
故乙网店在“双十一”购物活动这天的网上标价为120元．
【解析】【分析】（1）设平均每次降价率为x，根据增长率模型的基本关系建立方程求解，增长率模型的基本关系是：初量（1+x)2=末量；
（2）根据营销问题的基本关系式求解。营销问题的基本关系是：单件利润=售价-进价，总利润=单件利润乘以数量。
12．关于x的方程 有实数根，且m为正整数，求m的值及此时方程的根．
【答案】解：∵关于x的方程x2-2x+2m-1=0有实数根，
∴b2-4ac=4-4（2m-1）≥0，
解得：m≤1，
∵m为正整数，
∴m=1，
∴此时二次方程为：x2-2x+1=0，
则（x-1）2=0，
解得：x1=x2=1．
【解析】【分析】根据关于x的方程有实数根，根据求根公式即可得到m的范围，求出方程的根即可。
13．（1）求解下列方程：
①x2+2x﹣2＝0；
②（2x+3）2＝4（2x+3）．
（2）已知关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根，求k的取值范围．
【答案】（1）解：①x2+2x﹣2＝0，
x2+2x＝2，
x2+2x+1＝3，
（x+1）2＝3，
x+1＝±，
；
②（2x+3）2＝4（2x+3），
（2x+3）2﹣4（2x+3）＝0，
（2x+3）（2x+3﹣4）＝0，
（2x+3）（2x﹣1）＝0，
2x+3＝0，2x﹣1＝0，
；
（2）解：∵关于x的一元二次方程x2+3x+k﹣2＝0有实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac≥0，
32﹣4×1×（k﹣2）≥0，
9﹣4k+8≥0，
﹣4k≥﹣17
．
【解析】【分析】（1）①运用配方法解方程即可求解；
②先移项，再运用平方差公式分解，进而即可求解；
（2）根据题意运用一元二次方程根的判别式即可求解。
14．定义：如果关于 x 的一元二次方程 (a， b， c 均为常数， ) 有两个实数根，且其中一个根比另一个大 1，那么称这样的方程为“邻根方程”.
（1） 下列方程中，属于“邻根方程”的是　 　(填序号).
①； ②； ③.
（2） 若 是“邻根方程”，求 n 的值.
（3） 若一元二次方程 (b， c 均为常数) 为“邻根方程”，请写出 b， c 满足的数量关系，并说明理由.
【答案】（1）③
（2）解：解方程得，，
∵原方程为邻根方程，
∴
解得：或
（3）解：设的两个根为，，
由韦达定理得，，
为“邻根方程”.
，可得，
即，
代入得
【解析】【解答】解：（1）①的两个根为1和－1，不满足邻根方程定义；
②原方程根为3，不满足邻根方程定义；
③两个根为－2和－1，满足邻根方程定义；
故答案为：③．
【分析】（1）先解出每个方程的根，然后根据邻根方程的定义逐个分析判断即可；
（2）先解方程得到，，然后根据邻根方程的定义得到解此方程即可求解；
（3）设的两个根为，，由韦达定理得，，根据邻根方程的定义得到，则，进而代入计算即可．
15．某商场将进货单价为40元的商品按50元售出时能卖出500个．经过市场调查发现，这种商品最多只能卖500个，若每个售价提高1元，其销售量就会减少10个．商场为了保证经营该商品赚得8000元的利润而又尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少？应进货多少个？
【答案】解：设每个商品售价提高x元，根据题意，得
，
解得：x1=10，x2=30.
为尽量兼顾顾客的利益，取x=10，此时售价为50+10=60(元)，即售价应定为每个60元.这时应进货500-100=400(个)，
答： 售价应定为60元，应进货400个.
【解析】【分析】基本关系：销售量=500-10×提高的售价的数量，利润=售价-进价，据此列一元二次方程，求解即可.
16．列方程解应用题：某商场将进价8元的商品按每件10元售出，每天可销售200件，若商场采取提高商品的售价，每件售价提高0.5元，销售量减少10件。每件商品应涨价多少元时，才能使商场每天利润为640元，同时还要使消费者损失降到最低。
【答案】解： 设 每件商品应涨价 x元时， 才能使商场每天利润为640元，同时还要使消费者损失降到最低，由题意得
（2+x）(200-20x)=640 ，解得x1=2，x2=6(舍）， 答：每件商品应涨价2元时， 才能使商场每天利润为640元，同时还要使消费者损失降到最低.
【解析】【分析】设 每件商品应涨价 x元时， 才能使商场每天利润为640元，同时还要使消费者损失降到最低 ，则每件商品的利润为（2+x）元，每天的销售数量为 (200-) 件，根据单件的利润乘以销售数量等于总利润列出方程，求解并检验即可。
17．中国队包揽了2025年世界无人机足球锦标赛F9A-A， F9A-B两个组别的冠、亚军。如图8，矩形ABCD是F9A-B级别的比赛场地(半场)平面图，由操作区、起飞区、比赛区组成。矩形EFGH 为起飞区，距场地左侧边界 1m，距右侧边界2m，距上侧和下侧边界均为0.75m， 且长EF 比宽EH 多0.5m。
（1） 设EH 的长度为 xm， 则EF 的长度为(x+0.5)m，AB=　 　m， BC=　 　m(用含x的代数式表示)；
（2） 若矩形ABCD的面积为12m2， 求EH 的长度。
【答案】（1）x+2；x+3
（2）解：(x+2)(x+3)=12。
解得， (舍去)
所以，EH的长度为1m。
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
AB=EF+2×0.75=x+2
BC=EH+1+2=x+3
故答案为：x+2；x+3
【分析】（1）根据边之间的关系建立代数式即可求出答案.
（2）根据矩形面积建立方程，解方程即可求出答案.
18．有长为30米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10米），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃，设花圃的一边为米．
（1）如果要围成面积为平方米的花圃，那么的长是多少米？
（2）能围成面积为平方米的花圃吗？若能，求出的长，若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：米
米，
，
根据题意得：，
解得，(不符合题意，舍去)，
答：如果要围成面积为平方米的花圃，那么的长是7米；
（2）解：不能围成面积为平方米的花圃；
理由如下：
根据题意得：，
整理得：，
，
该方程没有实数根，
故不能围成面积为平方米的花圃．
【解析】【分析】本题考查一元二次方程的应用、一元二次方程根的判别式.(1)已知米，据此可得米，再根据各边长度间的关系为非负数，据此可列出不等式组，解不等式可求出x的取值范围，再利用矩形的面积计算公式及围成花圃的面积为平方米，可列出关于x的一元二次方程，解方程可求出x的值，据此可求出AB的值；
(2)先根据围成花圃的面积为平方米，可列出关于x的一元二次方程，再进行化简，求出一元二次方程根的判别式，进而可判断方程实数根的情况，进而可判定能否围成面积为平方米的花圃．
（1）解：米
米，
，
根据题意得：，
解得，(不符合题意，舍去)，
答：如果要围成面积为平方米的花圃，那么的长是7米；
（2）解：不能围成面积为平方米的花圃；
理由如下：
根据题意得：，
整理得：，
，
该方程没有实数根，
故不能围成面积为平方米的花圃．
19．如图是一张长12dm，宽6dm的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为xdm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖的长方体纸盒.
（1）无盖方盒盒底的长为　 　dm，宽为　 　dm(用含x的式子表示).
（2）若要制作一个底面积是的无盖的长方体纸盒，求剪去的正方形边长.
【答案】（1）；
（2）解：由题意得：，
整理得：，
解得：，(不符合题意，舍去)
∴剪去的正方形边长为1dm.
【解析】【解答】解：（1）由题意得：第一空，无盖方盒盒底的长为（12-2x）dm；
第一空，宽为（6-2x）dm；
故答案为：（12-2x）；（6-2x）.
【分析】（1）由题意，用长方形纸板的长和宽减去两个小正方形的边长即可求解；
（2）根据长方形的面积公式并结合盒底的面积为40可得关于x的方程，解方程即可求解.
20．汽车产业的发展，有效促进我国现代化建设，某汽车销售公司2012年盈利1500万元，到2014年盈利2160万元，且从2012年到2014年，每年盈利的年增长率相同．
（1）求该公司盈利的年增长率；
（2）若该公司盈利的年增长率继续保持不变，预计2016年盈利多少万元？
【答案】解：（1）设该公司每年盈利的年增长率是x．
根据题意得1500（1+x）2=2160，
解得x1=0.2，x2=﹣2.2（不合题意，舍去），
答：每年盈利的年增长率是20%．
（2）2160（1+0.2）2=3110.4（万元）
答：预计2016年盈利3110.4万元．
【解析】【分析】（1）设该公司每年盈利的年增长率是x，根据题意列出等量关系进行求解即可；
（2）相等关系是：2016年盈利=2014年盈利×（1+盈利年增长率）2．
21．西瓜经营户以2元/千克的价格购入一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可以售出200千克，为了促销减少库存，该经营户决定降价销售，经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克，该经销户想每天盈利224元，应将每千克小型西瓜的售价降多少元？
【答案】解：设应将每千克小型西瓜的售价降 x 元，则每天的销售量为（200+400x） 千克，
根据题意得：（3-2-x）（200+400x）=224，整理得：50x2-25x+3=0，
解得：x1=0.2，x2=0.3.
∵为了促销减少库存，
∴x=0.3.
答：应将每千克小型西瓜的售价降 0.3 元.
【解析】【分析】 设应将每千克小型西瓜的售价降x元，则每天的销售量为（200+400x） 千克 ，每千克小型西瓜的利润为（3-2-x）元，根据每千克小型西瓜的利润×每天销售小型西瓜的数量=每天获取的总利润，建立方程，求解并结合题意即可得出答案.
22．已知两个连续奇数的平方和等于130，求这两个连续奇数．
【答案】解：设两个连续奇数为x和x+2，根据题意，得
，
解得：，.
∴这两个连续奇数为7，9或
【解析】【分析】基本关系：连续奇数相差2，可设两个连续奇数为x和x+2，根据平方和等于130建立一元二次方程，求解即可.
23．关于的一元二次方程．
（1）试判断该方程根的情况；
（2）若，是该方程的两个实数根，且，求的值．
【答案】（1）解：，
当时，，方程有两个相等的实数根；
当时，，方程有两个不相等的实数根．
（2）解：∵，是该方程的两个实数根，且，
∴，
，
，
解得：．
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式判断即可；
（2）根据求出即可．
（1）解：，
当时，，方程有两个相等的实数根；
当时，，方程有两个不相等的实数根．
（2）解：由题意得，
，
，
解得：．
24．某学校计划利用一片空地建一个学生自行车车棚，其中一面靠墙，这堵墙的长度为12米．计划建造车棚的面积为80平方米，已知现有的木板材料可使新建板墙的总长为26米．
（1）为了方便学生出行，学校决定在与墙平行的一面开一个2米宽的门．若设垂直于墙的边为x米，请求出x的值．
（2）如图，为了方便学生取车，施工单位决定在车棚内修建两条纵向和一条横向的等宽小路，使得停放自行车区域的面积为54平方米，那么小路的宽度应设计成多少米？
【答案】（1）解：设与墙垂直的一面为x米，另一面则为米，
由题意可得：．解得或，
当时，（舍去）．
当时，，符合题意．
答：x的值为10．
（2）解：当时，车篷平行与墙的一面为8米
设车篷的宽为a米，由题意可得：，
解得：（舍去），．
答：小路的宽为1米．
【解析】【分析】（1）设与墙垂直的一面为x米，另一面则为米，根据“ 车棚的面积为80平方米 ”列出方程，再求解即可；
（2）设车篷的宽为a米，根据“ 停放自行车区域的面积为54平方米 ”列出方程，再求解即可.
（1）解：设与墙垂直的一面为x米，另一面则为米，
由题意可得：．解得或，
当时，（舍去）．
当时，，符合题意．
答：x的值为10．
（2）解：当时，车篷平行与墙的一面为8米
设车篷的宽为a米，由题意可得：，
解得：（舍去），．
答：小路的宽为1米．
25．已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根x1，x2，请用配方法探索有实数根的条件，并推导出求根公式，证明x1 x2= ．
【答案】解：∵ax2+bx+c=0（a≠0），∴x2+ x=﹣ ，∴x2+ x+（ ）2=﹣ +（ ）2，即（x+ ）2= ，∵4a2＞0，∴当b2﹣4ac≥0时，方程有实数根，∴x+ =± ，∴当b2﹣4ac＞0时，x1= ，x2= ；当b2﹣4ac=0时，x1=x2=﹣ ；∴x1 x2= = = = ，或x1 x2=（﹣ ）2= = = ，∴x1 x2= ．
【解析】【分析】将常数项c移到方程的右边，然后根据等式的性质，在方程的左右两边都除以二次项的系数a，然后再在方程的两边都加上一次项系数一半的平方，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项；根据4a2＞0，故当b2﹣4ac≥0时，方程有实数根；利用直接开平方法，即可求解，当b2﹣4ac＞0时，两根为：x1= ，x2=，当b2﹣4ac=0时，x1=x2=-，然后分别算出x1 x2，即可得出答案。
26．解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
，
；
（2）解：
，
或，
解得．
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程公式法求解即可；
（2）利用十字相乘法求解一元二次方程即可.
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
，
；
（2）解：
，
或，
解得．
27．已知关于x的一元二次方程．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；
（2）当时，求的值．
【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴（2m）-4×（m+2）×>0且m+2≠0，
∴且，
的取值范围为且
（2）解：当时，原方程为，
由根于系数的关系可得：，，
【解析】【分析】（1）由已知条件可得且m+2≠0，求解即可；
（2）将代入原方程，由根与系数的关系可得，，再将其代入中，即可得出答案．
（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
解得：且，
的取值范围为且；
（2）解：当时，原方程为，
，是关于x的方程的两个实数根，
，，
28．对于代数式，若存在实数，当时，代数式的值也等于，则称为这个代数式的不变值．例如：对于代数式，当时，代数式等于0；当时，代数式等于1，我们就称0和1都是这个代数式的不变值．在代数式存在不变值时，该代数式的最大不变值与最小不变值的差记作．特别地，当代数式只有一个不变值时，则．
（1）代数式的不变值是______，______．
（2）说明：代数式没有不变值；
（3）已知代数式，若，求的值．
【答案】（1）和4，7
（2）解：依题意，得：即，
，
没有实数根，
代数式没有不变值；
（3）解：依题意，得：即有两个相等的实数根，
，
整理得：，
解得．
【解析】【解答】（1）解：依题意，得：，即
解得：，，
，
故答案为：和4，7；
【分析】
（1）正确理解题干表述的新定义，根据不变值的定义可得出关于的一元二次方程，解之即可求出的值，再做差后可求出的值；
（2）结合不变值的定义，列出方程，计算一元二次方程的判别式，由判别式可得出方程没有实数根，进而可得出代数式没有不变值；
（3）根据题意，表示 代数式只有一个不变值 ，可得出方程有两个相等的实数根，进而可得出，解之即可得出结论．
（1）解：依题意，得：，即
解得：，，
，
故答案为：和4，7；
（2）解：依题意，得：即，
，
没有实数根，
代数式没有不变值；
（3）解：依题意，得：即有两个相等的实数根，
，
整理得：，
解得．
29．如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏ABCD，且中间共留两个1米的小门，设栅栏BC长为x米．
（1）AB＝　 　米（用含x的代数式表示）；
（2）若矩形围栏ABCD面积为210平方米，求栅栏BC的长；
（3）矩形围栏ABCD面积是否有可能达到240平方米？若有可能，求出相应x的值；若不可能，则说明理由．
【答案】（1）（51-3x）
（2）解：依题意，得：（51-3x）x＝210，
整理，得：x2-17x+70＝0，
解得：x1＝7，x2＝10．
当x＝7时，AB＝51-3x＝30＞25，不合题意，舍去，
当x＝10时，AB＝51-3x＝21，符合题意，
答：栅栏BC的长为10米；
（3）解：不可能，理由如下：
依题意，得：（51-3x）x＝240，
整理得：x2-17x+80＝0，
∵Δ＝（-17）2-4×1×80＝-31＜0，
∴方程没有实数根，
∴矩形围栏ABCD面积不可能达到240平方米．
【解析】【解答】（1）依题意，设栅栏BC为x米，
栅栏总长49米， 中间共留两个1米的小门，
可得
故填：51-3x
【分析】（1）根据周长公式含义找到AB的表达式；（2）典型的用一元二次方程解决几何问题，根据面积公式找到方程，求解即可；需要特别注意检验根是否符合题意；（3）在（2）的理解上，根据面积公式列出方程，根据判别式判断根的情况，有实数根则说明存在相应的x值使面积达到240平方米，否则不可能达到240平方米。
30． 已知关于的一元二次方程．
（1）若方程有两个相等的实数根，求的值；
（2）若方程的两实数根之积等于，求的值．
【答案】（1）解：由题意得：，
∴
解得：，
∴的值为或
（2）解：由题意得：
∴
即：
解得：，
当时，
∴舍去
当时，
∴的值为10.
【解析】【分析】（1）根据题意可知方程有两个相等的实数根，利用判别式可得关于m的一元二次方程，解方程即可得到答案；
（2）根据题意可知方程的两实数根之积等于 ，利用根与系数的关系得到，即可得到关于m的一元二次方程，解方程即可求出m的值，进而即可得到答案.
31．强强为了激励自己学好数学，在白色宣纸上写了两幅书法作品，准备装裱后挂在书房其中一幅长方形书法作品长，宽，正方形书法作品边长为，现在给两幅作品四周装裱上宽度相等的彩纸如图，图，设彩纸的宽为粘贴连接处忽略不计
（1）装裱后长方形书法作品的长为　 　；正方形书法作品的面积为　 　用含的代数式表示
（2）若装裱长方形书法作品所用彩纸的面积为，求装裱正方形书法作品所用彩纸的面积．
【答案】（1）；
（2）解：根据题意可知，装裱后长方形书法作品的长为：，宽为：，
装裱后长方形书法作品的面积为：，
装裱长方形书法作品所用彩纸的面积为，
即，
解得：或不符合题意，舍去，
根据题意可知，装裱后正方形书法作品的面积为：，
装裱正方形书法作品所用彩纸的面积装裱后正方形书法作品的面积未装裱正方形书法作品的面积，
即装裱正方形书法作品所用彩纸的面积，
答：装裱正方形书法作品所用彩纸的面积为．
【解析】【解答】解：（1）根据题意可知，装裱后长方形书法作品的长为：，
正方形书法作品的边长为：，面积为：，
故答案为：，；
【分析】（1）根据图片结合正方形的面积即可列出代数式；
（2）先根据题意得到装裱后长方形书法作品的长为：，宽为：，进而根据正方形的面积得到一元二次方程，从而解方程即可求解.
32．近年来，宜宾市聚焦打造乡村振兴，某农户要建一个长方形养鸡场，鸡场的边靠墙（墙长度等于），另外三边用木栏围成，木栏总长，设鸡场边的长为，鸡场面积为．
（1）养鸡场面积　 　（用含x的代数式表示）；
（2）当鸡场面积为时，求边的长；
（3）若农户想围成的鸡场，可以实现吗？说明理由．
【答案】（1）-2+28x
（2）解：由题可得：-2+28x=80
解的4或10
又∵墙AB=9
∴=4舍弃
∴CD=10米
（3）解：不能实现，理由如下：
当-2+28x=100
化简得：-14x+50=0
=-4ac=-4<0
∴该方程无实数解
∴不能实现
【解析】【解答】（1）解：，
，
；
故答案为：．
【分析】（1）先用含x的代数式表示DE的长，再根据长方形的面积求解即可；
（2）根据鸡场面积为80，结合（1）中所列的代数式，列一元二次方程并求解即可；
（3）根据鸡场面积为100，列一元二次方程，用根的判别式判定即可。
33．已知方程
（1）当k=1时，求该方程的根.
（2）若方程没有实数根，求 k 的取值范围.
【答案】（1）解：当时，方程为：因式分解可得：
即：
解得：
所以方程的根为：
（2）解：∵方程没有实数根，
∴k≠0且，
即
解得：且k≠0，
∴k的取值范围：．
【解析】【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程和一元二次方程的根的判别式.
(1)因式分解法：将代入原方程可得：，先将进行因式分解：，原方程可转化为：，计算可得方程的根．
(2)一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根.当时，方程有两个相等的实数根.当时，方程没有实数根.由题意可知方程无实数根 ，则k≠0且，得到不等式：，解此不等式可得出答案．
34．一款服装每件的进价为80元，当销售价为120元时，每天可售出20件.市场调查发现，如果每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件.
（1）设每件服装降价x元，则每天销售量增加　 　件，每件服装盈利　 　元(用含x的代数式表示).
（2）在尽量让利于顾客的情况下，每件服装降价多少元时，商家平均每天能盈利1200元？
【答案】（1）2x；40-x
（2）解：设每件服装降价x元，则每件的销售利润为（40 x）元，平均每天的销售量为（20＋2x）件，
根据题意得：（120 x 80）（20＋2x）＝1200，
整理得：x2 30x＋200＝0，
解得：x1＝10，x2＝20．
∵需要让利于顾客，
∴x＝20．
答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元．
故答案为：20元.
【解析】【解答】解：（1）设每件衣服降价x元，则每天销售量增加2x件，每件商品盈利（40 x）元．
故答案为：2x，（40 x）；
【分析】（1）根据每件服装降价1元，那么平均每天可多售出2件，可得结论；
（2）设每件服装降价x元，则每件的销售利润为（120 x 80）元，平均每天的销售量为（20＋2x）件，利用商家每天销售该款服装获得的利润＝每件的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合需要让利于顾客，即可得出每件服装应降价20元．
35．是否存在a的值，使方程x2+（a-2）x+a2+4=0的两根互为相反数？若有，求出a的值；若没有，说明原因.
【答案】解：由题意得： ，
若方程x2+（a-2）x+a2+4=0的两根互为相反数，则 ，
解得， ，
∵当 时，方程变为 ， ，方程无实数解，
∴不存在实数，使方程的两个根互为相反数.
【解析】【分析】利用方程的根与系数的关系，可得出 ，若两根互为相反数，则 ，即可得出a的值，再利用根的判别式判断即可.
36．解方程：．
解：设，则原方程变为：，解得，，．
当时，，解得，；
当时，，解得，；
∴原方程的解为：，，，．
上面解方程的方法简称换元法．
请利用上述方法，解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：设x+2=A，则原方程变为：A2-7A+12=0，解得A1=3，A2=4，所以x+2=3，x+2=4，解得，．
（2）解：设，则原方程变为：A2+6A+8=0，解得A1=-2，A2=-4，所以，，解得，.
【解析】（2）
【分析】（1）设x+2=A，得到新方程，解之求出A，再转化为关于x的两个一次方程求解；
（2），得到新方程，解之求出A，再转化为关于x的两个方程求解.
37．花鸟市场一家店铺正销售一批兰花,每盆进价100元,售价为140元,平均每天可售出20盆.为扩大销量,增加利润,该店决定适当降价.据调查,每盆兰花每降价1元,每天可多售出2盆. 要使得每天利润达到1200元，则每盆兰花售价应定为多少元？
【答案】解：设每盆兰花售价定为x元，可以达到1200元的利润，则据题意得， (x-100)[20+2(140-x)]=1200，解得x=120或x=130，因为为扩大销量,增加利润，所以x=130(舍去)答：要使刚刚利润达到1200元，每盆兰花售价为120元
【解析】【分析】利用兰花平均每天售出的数量×每盆盈利=每天销售这种兰花利润列出方程解答即可．
38．如图，矩形是某会展中心一楼展区的平面示意图，其中边的长为40米，边的长为25米，该展区内有三个全等的矩形展位，每个展位的面积都为200平方米，阴影部分为宽度相等的人行通道，求人行通道的宽度．
【答案】解：设人行通道的宽度为x米．
根据题意得．
解得，．
∵，
∴不符合题意，舍去．
答：人行通道的宽度为2.5米．
【解析】【分析】根据题意先求出 ，再解方程即可。
39．小颖用下面的方法求出方程 的解．
方程 换元法得新方程 解新方程 检验 求原方程的解
令 ，则 ，所以
请你仿照小颗的方法求出方程 的解．
【答案】解：令 ，则 ，
∴
∴t－1=0或t+3=0
∴t=1或t=－3，
检验：t=1>0，符合题意；t=－3<0，不符合题意，
∴ ，
∴x=1．
【解析】【分析】令 ，则 ，再利用十字相乘法求出t的值，最后求出x的值即可。
40．已知x=2是关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣2=0的一个根．
（1）求m的值及方程的另一个根；
（2）若7﹣x≥1+m（x﹣3），求x的取值范围
【答案】解：（1）设方程另一个根为t，
则2+t=﹣3，2t=m﹣2，
所以t=﹣5，m=﹣8，
即m的值为﹣8，方程的另一个根为﹣5；
（2）7﹣x≥1﹣8（x﹣3），
7﹣x≥1﹣8x+24，
8x﹣x≥1+24﹣7，
7x≥18，
所以x≥．
【解析】【分析】（1）设方程另一个根为t，根据根与系数的关系得到2+t=﹣3，2t=m﹣2，先求出t，然后计算m的值；
（2）把m=﹣8代入7﹣x≥1+m（x﹣3）得到7﹣x≥1﹣8（x﹣3），然后解一元一次不等式即可．
41．已知关于x的一元二次方程x2-（m+1）x+2m-2=0（m为常数）.
（1）若方程的一个根为1，求m的值及方程的另一个根；
（2）求证：不论m为何值时，方程总有两个实数根.
【答案】（1）解：把x=1代入方程可得1-(m+1)+2m-2=0，
解得m=2，
当m=2时，原方程为x2-3x+2=0，
∴(x-1)(x-2)=0，
解得x1=1，x2=2，
即方程的另一根为2
（2）证明：∵a=1， b=-(m+1)， c=2m-2，
∴△=[-(m+1)]2-4×1×(2m-2)
=m2-6m+9
=(m-3)2 ≥0，
∴不论m为何值时，方程总有两个实数根.
【解析】【分析】(1)根据方程解的意义，代入根后转化为关于m的方程求解，再代回方程解出得到的方程，求得另一个根；
（2）求出b2-4ac，根据符号判断根的情况，得出结论.
42．若x1，x2是关于x的方程. 的两个实数根，且 （k是整数)，则称方程. 为“偶系二次方程”。如方程. 都是“偶系二次方程”。
（1）判断方程. 是否属于“偶系二次方程”，请说明理由。
（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程 是“偶系二次方程” 请说明理由。
【答案】（1）解：不是。理由如下：
解方程. 得
，3.5不是整数，
不是“偶系二次方程”
（2）解：存在。理由如下：
和 是“偶系二次方程”，∴假设
当b=-6，c=-27时，-27=36m+n。
是“偶系二次方程”，
∴可设
对于任意一个整数b， 时，
∵b是整数，
∴对于任意一个整数b，当 时，关于x的方程 是“偶系二次方程”
【解析】【分析】(1)求出原方程的根，再代入 看结果是否为2的整数倍就可以得出结论；
(2)由条件 和 是偶系二次方程建模，设 就可以表示出c，然后根据公式法就可以求出其根，再代入 就可以得出结论.
43．规定：若（，m、n、p为有理数，为无理数）是一元二次方程（，a、b、c为有理数）的根，则也是该方程的根，称是该方程的一对“共轭无理根”．
（1）写出一元二次方程的一对“共轭无理根”___________；
（2）若是关于的一元二次方程的一个根，求有理数b、c的值___________；
（3）关于的一元二次方程（，a、b为有理数）的一对“共轭无理根”是．若（m、n为有理数），求代数式的值．
【答案】（1）与
（2），
（3）解：根据根与系数的关系得，
∵，，
∴，，
即，
∴，
∴
．
【解析】【解答】（1）解：，，，，；
故答案为：与；
（2）根据根与系数的关系得，，
∵b为有理数，
∴（p为有理数），
∵c为有理数，
∴t与为有理化因式，
∴，
∴，；
故答案为：，.
【分析】（1）根据“共轭无理根”的定义及配方法的定义及计算方法分析求解即可；
（2）先利用根与系数的关系求出，，再结合t与为有理化因式，求出，即可；
（3）先利用根与系数的关系求出，再求出，最后求解即可.
（1）解：，，，，；
故答案为：与；
（2）根据根与系数的关系得，，
∵b为有理数，
∴（p为有理数），
∵c为有理数，
∴t与为有理化因式，
∴，
∴，；
（3）根据根与系数的关系得，
∵，，
∴，，
即，
∴，
∴
．
44．已知一元二次方程有两个连续的整数根，一元二次方程有整数根，求a，b的值.
【答案】设为方程①，为方程②，且方程①的两个连续的整数根为n，n+1，则因此a=-(2n+1)，b=n(n+1)，代入方程②得③有整数根，视n为主元，④有整数根.
(p为正整数).则有x2(1-4x)=(p+2)(p-2).⑤
⑥或⑦或⑧或⑨
由⑥知解得
将x1=-5代入③，解得n=-3或(舍去).当n=-3时，a=5，b=6；将.代入③，解得1.当n=0时，a=-1，b=0；当n=1时，a=-3，b=2.对⑦⑧⑨继续讨论.综上所述，或或
【解析】【分析】可设 的两根为n，n+1(n是整数)，则：2n+1=-a，n(n+1)=b，则方程 bx+a=0可以改写为 (2n+1)=0①，分两种情况：(1)若n≥0，则方程①有一正一负两根；(2)若 则方程①有两个负整数根；进行讨论即可得到a，b的值.
45．“低碳生活，绿色出行”，2017年1月，某公司向深圳市场新投放共享单车640辆.
（1）若1月份到4月份新投放单车数量的月平均增长率相同，3月份新投放共享单车1000辆.请问该公司4月份在深圳市新投放共享单车多少辆？
（2）考虑到自行车市场需求不断增加，某商城准备用不超过70000元的资金再购进A，B两种规格的自行车100辆，已知A型的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆。假设所进车辆全部售完，为了使利润最大，该商城应如何进货？
【答案】（1）解：设平均增长率为x，根据题意得：
640=1000；
解得：x=0.25=25%或x=-2.25(舍去）；
∴四月份的销量为：1000（1+25%）=1250（辆）；
答：新投放的共享单车1250辆。
（2）解：设购进A型车y辆，则购进B型车100-y辆；根据题意可得：
500y+1000(100-y)≤70000；
解得：y≥60；
∴利润W=（700-500）y+(1300-1000)(100-y)
=200y+300(100-y)
=-100y+30000
∵-100＜0，
∴W随着x的增大而减小；
∴当y=60时，利润最大=-100×60+30000=2400（元）；
答：为使利润最大，该商城应购进60辆A型车和40辆B型车。
【解析】【分析】（1）根据1月和3月的销售量求得月平均增长率，然后求出4月份的销量即可。
（2）设购进A型车y辆，则购进B型车100-y辆；根据题意可得：500y+1000(100-y)≤70000；求出答案即可。
46．已知关于的方程．
（1）若，求该方程的解；
（2）若该方程有增根，试求出该增根；
（3）若该方程无解，求的取值范围．
【答案】（1）解：原方程去分母并整理得：；
当时，，因式分解得
从而
经检验，原方程的解为.
（2）显然，若该方程有增根，则增根只能从中产生.
原方程去分母得：
①若，则左边，右边，左边右边，故不会是原方程的根，进而不会成为增根；
②若，原方程可化为，从而，故存在这样的，使得原方程的根为，此时增根为
综上，若该方程有增根，则增根为．
（3）原方程去分母并整理得：，
要令原方程无解，则存在以下几种情况：
①去分母后整式方程无解，从而，
化简并因式分解得：，从而；
②去分母后整式方程解全为增根，此时又有以下可能：
（i）若，则或7
时，方程可化为，此时，全是增根，符合题意；
时，方程可化为，此时，不是增根，此时原方程有解，不合题意，舍去.
（ii）若，则需要两个不等实数根分别为1和-1，但由（2）知，-1不会成为该方程的根，故舍去.
综上，的取值范围为．
【解析】【分析】(1)对原方程进行化简，再代入a的值得到新方程，进而解得.
(2)由增根的定义可得若该方程有增根，则增根只能从中产生，分别代入x的值进行检验，可得增根为．
(3)对方程无解的情况进行分类讨论：一是去分母后整式方程无解，即，从而可得；而是去分母后整式方程解全为增根，进而求得当a=-1时，方程有增根，综上所述．
47．一个矩形的长为a，宽为b(a＞0，b＞0)，则矩形的面积为a b.代数式xy(x＞0，y＞0)可以看作是边长为x和y的矩形的面积.我们可以由此解一元二次方程：x2+x-6＝0(x＞0).具体过程如下：
①方程变形为x(x+1)＝6.
②画四个边长为x+1、x的矩形如图放置；
③由面积关系求解方程.
∵SABCD＝(x+x+1)2，又SABCD＝4x(x+1)+12.
∴(x+x+1)2＝4x(x+1)+1，又x(x+1)＝6，
∴(2x+1)2＝25，
∵x＞0，
∴x＝2.
参照上述方法求关于x的二次方程x2+mx-n＝0的解(x＞0，m＞0，n＞0).(要求：画出示意图，标注相关线段的长度，写出解题步骤)
【答案】解：①方程变形为x(x+m)＝n；
②画四个边长为x+m、x的矩形如图放置；
③由面积关系求解方程.
∵SABCD＝(x+x+m)2，又SABCD＝4x(x+m)+m2.
∴(x+x+m)2＝4x(x+m)+m2，又x(x+m)＝n，
∴(2x+m)2＝4n+m2，∵x＞0，∴x＝(-m)(m＞0，n＞0).
【解析】【分析】根据题目中解一元二次方程的具体过程即可求解。
48．一次围棋比赛采用单循环赛制（即每位选手与其他选手各比赛1局），且参赛者少于15人．小珺和小哲对比赛的总局数进行的统计：
（1）若参赛者共5人，按赛制应该进行几局比赛？
（2）小哲说的有道理吗？请通过计算说明；
（3）他们经过查询，小珺的统计无误，是有一人中途退出比赛，请直接写出报名本次比赛的人数．
【答案】（1）解：根据题意可得， 每位选手与其他选手各比赛1局 ，因此，5个人需比赛的局数为；
（2）解：小哲说的有道理，理由如下：
设有人报名参赛，
根据题意可列方程为：，
整理得：，
解得：，
x不是整数，
所以方程的解不符合实际，小哲说的有道理；
（3）解：设有人报名参赛，有一人参加了n场比赛后中途退出，此时，剩下（x-1）人，
根据题意，可列方程为：=70，
整理得：，
解得：，
因为x为正整数， 且参赛者少于15人 ，
所以，当x=4时，x=13，符合题意，
当x=15时，x=12，符合题意，
所以，报名本次比赛的参赛者有12或13名.
【解析】【分析】（1）根据题意可得：5个人需比赛的局数为；
（2）根据题意列方程求解即可得出结论；
（3）设有一人比赛了场后退出比赛，根据题意列出方程求解即可.
49．小明同学在寒假社会调查实践活动期间，对某罐头加工厂进行采访，获得了该厂去年的部分生产信息如下：
①该厂1月罐头加工量为a吨.
②该厂3月的加工量比1月增长了44%.
③该厂第一季度共加工罐头182吨.
④该厂从4月开始设备整修更新，加工量每月按相同的百分率开始下降.
⑤6月设备整修更新完毕，此月加工量为1月的2.1倍，与5月相比增长了46.68吨.
利用以上信息，求：
（1）该厂第一季度加工量的月平均增长率.
（2）a的值.
（3）该厂第二季度的总加工量
【答案】（1）解：设第一季度加工量的月平均增长率为x，
由题意得（1+x）2=1.44，
解得：x1=0.2，x2=-2.2（不合题意，舍去），
故第一季度加工量的月平均增长率为20%.
（2）解：由题意得a+1.2a+1.44a=182，
解得：a=50；
故该厂一月份的加工量a的值是50.
（3）解：六月份产量为50×2.1=105吨，
五月份产量为105-46.68=58.32吨，
设从三月到五月逐月下降的百分率为y，
由题意得50×1.44×（1-y）2=58.32，
解得：y1=0.1，y2=1.9（不合题意，舍去）；
∴从三月到五月逐月下降的百分率为10%，
∴四月产量为72×0.9=64.8（吨），
∴第二季度总产量为64.8+58.32+105=228.12（吨）；
故该厂第二季度的总加工量是228.12吨.
【解析】【分析】（1）设该厂第一季度加工量的月平均增长率为x，根据初始量乘以（1+x）2=一月份的（1+44%），列方程求解即可；
（2）根据一月、二月、三月份的加工量相加等于182，列出方程，即可求解；
（3）先求出三月、六月和五月的加工量；设四、五两个月的加工量下降的百分率为y，根据三月份的加工量乘以（1-y）2等于五月份的加工量，列出方程，求得y的值；即可求得四月份的加工量，将四、五、六月的加工量相加即可.
50．已知m，n分别是关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝a与ax2+bx+c＝b的一个根，且m＝n+1．
(1)当m＝2，a＝﹣1时，求b与c的值；
(2)用只含字母a，n的代数式表示b；
(3)当a＜0时，函数y＝ax2+bx+c满足b2﹣4ac＝a，b+c≥2a，n≤﹣，求a的取值范围．
【答案】解：(1)∵m，n分别是关于x的一元二次方程与的一个根，∴
由m=n+1，m=2得n = 1
∴ ，
解之：；
(2)∵
由①-②得
，
，由m=n+1，得m-n=1，
故a，
所以，
从而；
(3)∵an2+bn+c=b，b=-na，
∴，
由≥2a得
≥2a，
当a＜0时，n≥-1，
由n≤-得，-1≤n≤-，
由，且，得
，
整理得，，因为a＜0
所以，，
即，
由于在-1≤n≤-时随n的增大而增大，
所以当n= -1时，a= -，当n= -时，a= -
即-≤a≤-
【解析】【分析】（1）利用已知求出n的值，根据方程根的定义将m，n，a的值代入方程即，解方程求出b、c的值.
（2）根据方程根的定义将m，n的值代入方程消去c求解得到，再利用m+n=1，可以消去m，即可求出b只用字母a、n表示代数式.
（3）将(2)结论代入方程可得，由可得，继而可得，根据n的取值范围即可确定a的取值范围.
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