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(共38张PPT)
二次根式
二次根式的定义
知识点01
1.概念：一般地，我们把形如 (a≥0) 的式子叫作二次根式.
判定关键：带有二次根号 + 被开方数是非负数，二者缺一不可。
2. 双重非负性（高频考点）
被开方数非负：a≥0（二次根式有意义的前提）
根式结果非负： ≥0（算术平方根恒为非负数）
3. 有意义的条件（求取值范围必考）
单纯二次根式：被开方数≥0，例：有意义 x≥2
分式+二次根式：分母≠0 且 被开方数 ≥0，
1. 两条基础性质（易混点区分）
性质1：（）
适用场景：正向去根号计算、反向因式分解
性质2：
易错警示：切记加绝对值，不可直接写 ，结果恒为非负
二次根式的性质
知识点02
辨析 ()2与的相同点与不同点
二次根式的性质
知识点02
()2
不同点 表示的意义 表示非负数a的算术平方根的平方. 表示实数a的平方的算术平方根
包含的运算顺序 先开方再平方 先平方再开方
的取值范围 a≥0. a为任意实数.
结果的表达形式
相同点 结果都是非负数，且当a≥0时，()2=
二次根式的性质
知识点02
2. 积与商的算术平方根（化简公式）
积的性质：（）
商的性质： = (a0，b>0).
3. 非负性拓展模型（填空压轴）
若 （二次根式、绝对值、平方均为非负数），则 ，俗称“0+0=0”模型。
二次根式的乘法与除法
知识点03
乘方法则：= (a0，b0) 推广：
除法法则： = (a0，b>0).
分母有理化技巧：分子分母同乘分母的有理化因式，消去根号
最简二次根式
知识点04
1. 两大判定条件
两大判定条件：①被开方数不含分母；②被开方数无开得尽方的因数/因式
化简步骤：分解因数→开方移出整数→分母有理化→合并整理
2. 标准化简步骤
第一步：分解被开方数（拆出平方因数）
第二步：将开得尽方的因数移到根号外
第三步：分母有理化（消去分母根号）
第四步：整理成最简形式
示例：；
二次根式的加法与减法
知识点05
1.可以合并的二次根式：
将二次根式化成最简二次根式，若被开方数相同，则这样的二次根式（也叫同类二次根式）可以合并。
示例：、 是同类二次根式.
2. 加减运算法则
二次根式加减运算的一般步骤：
一化：将非最简二次根式化成最简二次根式
二找：找出被开方数相同的二次根式
三合：将被开方数相同的二次根式合并
核心步骤：一化简→二合并
合并法则：系数相加减，根号和被开方数保持不变，即
注意：非同类二次根式不能直接合并，例： 无法合并
示例：
二次根式的加法与减法
知识点05
二次根式的混合运算
知识点06
先算乘除，后算加减；有括号先算括号内；灵活运用乘法分配律、平方差公式简化计算，结果必须化为最简二次根式。
解｜题｜技｜巧
解题步骤：列不等式→解不等式→写解集（注意分母≠0、根号下整体≥0）
秒杀技巧：单个根式：被开方数≥0；根式+分式：根号内≥0 且 分母≠0；双重限制取交集。
避坑：等于号不能漏，分母为根式时，被开方数＞0（分母不能为0）。
二次根式有意义的条件
题型一
【例1-1】（24-25八年级下·云南红河·期中）若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ）
C
A． B． C． D．
解：∵二次根式有意义，∴，∴．故选：C．
【例1-2】 （24-25八年级下·广东东莞·期中）已知x，y都是实数，且，则的平方根是______．
解：由题意得，，解得，∴，
∴，∵6的平方根是，∴的平方根是．
故答案为：．
【变式1-1】（24-25八年级下·广东珠海·期中）下列式子中，是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
B
解：A．∵中的，∴二次根式无意义，∴不是二次根式，故A选项不符合题意；B．是二次根式，故B选项符合题意；C．不是二次根式，是三次根式，故C选项不符合题意；D．是分式不是二次根式，故D选项不符合题意．
【变式1-2】（24-25八年级下·广东东莞·期中）使式子在实数范围内有意义，则实数m的取值范围是（ ）
解： 在实数范围内有意义， ，解得且．
故选：C．
A． B． C．且 D．且
【变式1-3】（24-25八年级下·湖北十堰·期中）已知，则y的值是______．
解：∵， ∴，解得：，∴．
4
C
二次根式的性质
题型二
解｜题｜技｜巧
区分两大公式：：先开方再平方，必须非负，直接得；：先平方再开方，结果带，结合题干正负去绝对值。
非负模型技巧：看到“根式+绝对值+平方=0”，直接令每一项为0，列方程求解未知数。
【例2-1】（24-25八年级下·青海海西·期中）若，则的取值范围是（ ）
【例2-2】（24-25八年级下·广东惠州·期中）计算：______；______．
A． B． C． D．
解：，
C
解：；．
2
【变式2-1】 （24-25八年级下·山东日照·期中）已知，则_______
解：1，，，
，
1
【变式2-2】（25-26八年级·广西柳州·期中）已知，则___________．
解：∵，且， ∴，
∴．
3
【变式2-3】 （24-25八年级下·青海海西·期中）实数，在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是______．
解：观察数轴得：，，原式=-b
-b
最简二次根式化简
题型三
解｜题｜技｜巧
速算技巧：分解质因数→找完全平方数→移出根号（开方后写系数）；分母有根号，分子分母同乘分母根式，完成有理化。
口诀：根号里面无分母，分母里面无根号，根号里面无平方，化简完毕才合格
【例3-1】（24-25八年级下·福建厦门·期中）下列各式中，属于最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
D
解：A选项，不是最简二次根式，B选项，，不是最简二次根式，
C选项，，不是最简二次根式，D选项，是最简二次根式．
【例3-2】（23-24八年级下·贵州黔东南·期中）下列各式，哪些是最简二次根式？哪些不是？对不是最简二次根式的式子进行化简．
(1)； (2)； (3)； (4)．
（1）解：∵，5和7都是质数，∴是最简二次根式．
（2）解：不是最简二次根式，；
（3）解：不是最简二次根式，；
（4）解：∵是质数，分母为，∴是最简二次根式．
【变式3-1】（24-25八年级下·四川泸州·期中）下列是最简二次根式
的是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-2】（24-25八年级下·广东惠州·期中）若和都是最简二次根式，则_____，_____．
解：∵和都是最简二次根式，∴,解得m=1，n=2
D
【变式3-3】（24-25八年级下·河北邢台·期中）请写出一个正整数的值：__________________，使是最简二次根式．
解：∵是最简二次根式，∴或或等，∴或或等，
1 2
（答案不唯一）
二次根式加减运算
题型四
解｜题｜技｜巧
固定流程：化简→归类→合并，三步缺一不可
技巧：先把所有根式化为最简，圈出被开方数相同的根式，仅合并系数，根号部分照搬；非同类根式直接保留，不强行合并。
【例4】 （24-25八年级下·广东江门·期中）计算：
解：原式．
【变式4-1】（24-25八年级下·云南红河·期中）计算：．
解：．
【变式4-2】（24-25八年级下·陕西安康·期中）计算：．
解：原式．
【变式4-3】（24-25八年级下·青海西宁·期中）计算：
解：原式．
二次根式乘除与分母有理化
题型五
解｜题｜技｜巧
乘法技巧：系数乘系数，根号乘根号，最后化简结果；
除法技巧：变分数形式，再分母有理化，避免直接约分出错；
多项式有理化：找共轭根式（和变差、差变和），用平方差公式消根号，分子分母同步乘，不漏乘、不符号错。
【例5-1】 （24-25八年级下·浙江绍兴·期中）计算：
(1)； (2)．
（1）解：；（2）解：．
【例5-2】 （24-25八年级下·湖南湘西·期中）阅读下列材料，然后解答问题：在进行代数式化简时，我们有时会碰上．如这样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ；
这种化简的方法叫分母有理化．请将下列代数式分母有理化：
(1)； (2)．
解：(1)；
（2）解；．
【变式5-1】（24-25八年级下·安徽亳州·期中）计算：
解：
【变式5-2】（24-25八年级下·福建福州·期中）
计算：．
解：．
【变式5-3】（24-25八年级下·广东东莞·期中）计算：
解：原式．
解｜题｜技｜巧
运算顺序：乘除优先→加减收尾→括号先行，能简算则简算（分配律、平方差优先用）；
检查技巧：算完先看结果是否为最简二次根式，再核对符号、系数，杜绝计算失误。
二次根式混合运算
题型六
【例6-1】（24-25八年级下·浙江宁波·期中）计算：
(1)； (2)
（1）解：；
（2）解：．
【例6-2】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）计算：
(1)； (2)．
（1）解：原式；
（2）解：原式．
【变式6-1】（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）计算：
(1)； (2)．
（1）解：
；
（2）解：．
【变式6-2】（24-25八年级下·广东湛江·期中）计算：
解：
．
【变式6-3】（25-26八年级下·全国·期中）计算：
(1)；(2)；
(3)。
（1）解：原式
（2）解：原式
（3）解：原式
期中基础通关练（测试时间：10分钟）
1．（24-25八年级下·广东广州·期中）下列式子是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
解： A、被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；
B、，含能开方的因数，不是最简，不符合题意；
C、被开方数为质数，不含分母和能开方的因数，是最简二次根式，符合题意；
D、 ，含能开方的因数，不是最简，不符合题意；
C
2．（24-25八年级下·重庆·期中）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解：A选项：与不是同类二次根式，无法合并，A错误；
B选项：，B正确；
C选项：，C错误；
D选项：，D错误．
3．（24-25八年级下·云南红河·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则m的值为________．
解：由题意得：，解得 ．
B
4．（24-25八年级下·重庆·期中）代数式中x的取值范围是
．
解：∵代数式有意义，∴，解得：且．
∴代数式中x的取值范围是且．
且
5．（24-25八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）已知，，求的值．
解： ，，
原式．
6．（24-25八年级下·广东惠州·期中）计算：
(1)； (2)．
解： （1）原式；（2）原式．
7．（24-25八年级下·贵州遵义·期中）阅读材料并解决问题： 像上述解题过程中，与相乘的积不含二次根式，我们称这两个式子互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．
请仿照上面的方法，解决下列问题：
(1)的有理化因式是 ， ；
(2)计算：
（1）解：所以的有理化因式是
；
故答案为：，．
（2）解：原式．
8.（24-25八年级下·福建福州·期中）（1）填空：（只填写符号：，，）
①当时，_________；
②当时，_________；
③当时，_________；
（2）观察以上式子，猜想与的数量关系，并证明；（提示：）
（3）实践应用：现在要用篱笆围一个面积为16的矩形花坛，在尽量节省篱笆长度的前提下，此时花坛的周长是多少？
解：（）．证明：∵，∴，
∴；
（）设矩形花坛的长为，宽是，则，
∵，∴，∴，
即在尽量节省篱笆长度的前提下，此时花坛的周长是．
期末重难突破练（测试时间：10分钟）
1．（24-25八年级下·重庆·期中）估算的值在（ ）
A．和之间 B．和之间C．和0之间 D．0和1之间
解：，∵，∴，即，∴，即，∴估计的值在和0之间．
2．（24-25八年级下·广西百色·期中）已知，当分别取时，所对应值的总和是（　　）
A．2022 B．2024 C．2026 D．2028
解：当x取1时，，当x取2时，，当x取时，，
，所以对应值的总和是：，
C
D
3．（24-25八年级下·河南信阳·期中）计算：______．
解：
；
4.（24-25八年级下·甘肃天水·期中）对于任意两个正数m，n，定义运算※为：m※n＝，计算的结果为_____．
解：由定义，，
． 则．
5.（24-25八年级下·北京·期中）观察所给等式寻求规律：
第1个等式：；第2个等式：；第3个等式：；
…
直接写出第4个等式：______；
根据上述规律，化简：______（直接写出化简后的结果）．
解：由题知，因为；；；…，
所以第n个等式可表示为当时，第4个等式为由上述规律可知，原式
6.（24-25八年级下·陕西安康·期末）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简：解：隐含条件，解得，，
原式
【启发应用】（1）按照上面的解法，试化简：；
【类比迁移】（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简
解：（1）隐含条件，
解得，，；
（2）由数轴得，，，，，．
7.（24-25八年级下·山东德州·期中）已知，．
(1)求和ab的值；
(2)求的值；
(3)若a的整数部分是x，b的小数部分是y，求的值
（1）解：∵，，∴，；
（2）解：由（1）得：，，∴；
（3）解：∵，，∴，，
∵a的整数部分是x，∴，∵b的小数部分是y，
∴，∴．

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