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北京市房山区2026年3月高三一模数学试卷
本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，则集合
（A） （B）
（C） （D）
（2）若复数满足，则
（A） （B）
（C） （D）
（3）的二项展开式中的一项是
（A） （B）
（C） （D）
（4）若直线是圆的一条对称轴，则实数
（A） （B）
（C） （D）
（5）若是以为公差的等差数列，，则等差数列的公差为
（A） （B）
（C） （D）
（6）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则
（A） （B） （C） （D）
（7）设是两个不同的平面，是三条不同的直线，，
，，则“”是“或”的
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
（8）年我国新能源汽车产量突破万辆．某车企研发了一款新型电池，使用年后的容量为，其中为常数．已知该电池使用年后容量衰减为初始时容量的．若要保证电池容量不低于初始容量的，则该电池最长可使用约
（参考数据：，）
（A）年 （B）年
（C）年 （D）年
（9）设，函数则
是偶函数，且有最大值 （B）是偶函数，且没有最大值
（C）是奇函数，且有最大值 （D）是奇函数，且没有最大值
（10）已知平面直角坐标系中，，，，则的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）双曲线的离心率为 ．
（12）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边过点，则 ；将点绕着原点逆时针旋转得到点，则点的纵坐标为 ．
（13）人工智能在社会生活中的应用越来越广泛，某AI科技公司开发了一套人机交互软件，它会针对用户输入的问题从数据库中自动检索并生成答案．统计表明，当输入的问题无语法错误时，软件生成正确答案的概率为；当输入的问题存在语法错误时，软件生成正确答案的概率为，且每次生成答案相互独立．已知某用户每次输入的问题无语法错误的概率为，估计对于该用户此软件生成正确答案的概率为 ．
（14）设函数，若在区间上有且只有一条对称轴，
则的一个取值为 ．
（15）如图，在正方体中，，
点满足，
为的中点，给出下列四个结论：
①若，则点的轨迹的长度为；
②若，则点的轨迹的长度为；
③若，则的最小值为；
④若，则的最小值为 .
其中正确结论的序号是 ．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期和值域 ；
（Ⅱ）设中，，，求的面积 ．
（17）（本小题14分）
如图，在五面体中，为正方形，为矩形，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使五面体存在且唯一确定．求直线与平面所成角的正弦值．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求,第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
（本小题13分）
消费者信心指数是反映消费者信心强弱的指标．某市为了解消费者对于当前经济生活的评价以及对未来一段时期经济前景的预期，在全市范围内抽取2 000名城乡居民进行调查，并运用数学方法对调查数据进行量化处理，编制成消费者信心指数．该市2023-2025年各季度消费者信心指数数据如下：
第一季度 第二季度 第三季度 第四季度
2023年消费者信心指数 115.1 114.6 109.0 108.4
2024年消费者信心指数 108.4 105.9 95.5 94.7
2025年消费者信心指数 99.1 95.3 95.8 103.3
消费者信心指数越大，表明消费者信心越强．信心指数时，消费者信心处于弱信心区间，信心指数时，消费者信心处于强信心区间．
假设每个季度消费者信心指数相互独立．用频率估计概率．
（Ⅰ）从上述12个季度中随机抽取1个季度，估计该季度消费者信心处于强信心区间的概率；
（Ⅱ）从2024年和2025年各随机抽取1个季度，记这2个季度中消费者信心处于强信心区间的个数为，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ） 2025年3月国家发布《提振消费专项行动方案》．记2025年第季度消费者信心指数较上一季度的增长率为．据估计：2026年第一季度消费者信心指数较上一季度的增长率约等于中的最大值，写出2026年第一季度消费者信心指数的估计值．（结论不要求证明）
（19）（本小题15分）
已知函数．
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）设，分别讨论函数与在上的单调性；
（Ⅲ）证明：当时，．
（20）（本小题15分）
已知椭圆的离心率为，分别是的上、下顶点，分别是的左、右顶点，且．设为椭圆上的动点，过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）求证：直线与的夹角为定值．
（21）（本小题15分）
已知数列:，，若集合，则称数列为数列的一个置换．
（Ⅰ）求数列:的任意置换的前项和的最大值；
（Ⅱ）已知数列:．写出的一个置换，使得该置换的前项的和满足：存在，．对任意，，数列是否也存在一个置换，使得该置换的前项的和满足：存在，？说明理由；
（Ⅲ）在项数为的数列中，，证明：“数列为常数列”的充要条件为 “在数列的以任意项为末项的所有置换中，都存在置换，使得”．
参考答案
选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）A （2）C （3）D （4）B （5）D
（6）A （7）C （8）C （9）B （10）A
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11） （12）
（13） （14） (答案不唯一)
（15）① ② ③
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
解：（Ⅰ）因为，
所以的最小正周期．
因为，所以，．
所以的值域为． ………… 6分
（Ⅱ）因为在中，由，得，即．
因为，所以．
所以，解得．
由余弦定理，得，即．
解得 或（舍）．
所以的面积为. ………… 13分
（本小题14分）
解：（Ⅰ）因为四边形为正方形，所以，且．
因为四边形为矩形，所以，且．
所以，且．即四边形是平行四边形．
所以，又因为平面，平面，
所以平面． ………… 6分
（Ⅱ）选择条件①：．
因为四边形为矩形，所以．
又因为，，
所以平面．
故.
又因为为正方形，所以两两垂直．
如图建立空间直角坐标系，
则，．
设平面的法向量为，则 即
令，则，于是．
设直线与平面所成角为，则
．
所以直线与平面所成角的正弦值为． ………… 14分
选择条件②：．
因为，，，
所以．
因为四边形为矩形，所以．
所以，所以．
又因为为正方形，所以两两垂直．
接下来同选择条件①．
（18）（本小题13分）
解：（Ⅰ）记事件为：“从上述个季度中随机抽取个季度，该季度消费者信心处于强信心区间”，
上述个季度中，消费者信心处于强信心区间的有2023年个季度，2024年个季度，2025年个季度，共个季度；
估计． ………… 3分
（Ⅱ）的取值范围为．
从2024年4个季度中随机抽取个季度，消费者信心处于强信心区间的概率为；
从2025年4个季度中随机抽取个季度，消费者信心处于强信心区间的概率；
；
；
．
所以的分布列为：
数学期望. ………… 10分
（Ⅲ） ………… 13分
（19）（本小题15分）
解：（Ⅰ）因为，所以切点为．
因为，所以切线斜率．
所以在点处的切线方程为：，即． ………… 5分
（Ⅱ） 由得，在上单调递增；
由得，在上单调递减．
因为，
所以．
由得，在上单调递增；
由得，在上单调递减． ………… 10分
（Ⅲ）因为，所以．
①当时，，由（Ⅱ）知在上单调递增，
所以．
因为，所以．
所以．
②当时，令，则．．
由（Ⅱ）知在上单调递增，所以．
所以．
所以在上单调递减．在上单调递减．
所以，即当时，．
综上，当时，． ………… 15分
（20）（本小题15分）
解：（Ⅰ）由题设得 解得．
所以的方程为． ………… 5分
（Ⅱ）由在椭圆上，得．
依题意可得直线的斜率存在，设方程为．则．
由得，．
由得，．
由得．
解得，．
设，由得，．
直线，的方程分别为：，．
因为点不在直线上，所以．
由得，．
所以
所以．
因为，所以轴．
又直线的斜率为，所以直线与直线的夹角的大小为，为定值．…… 15分
（21）（本小题15分）
解：（Ⅰ）数列的每个置换的前项和． …………2分
当置换为时，．
所以的最大值为． …………4分
（Ⅱ）数列的一个置换：，存在，使得．…………6分
对任意，数列，存在一个置换为：
，
存在，使得． …………8分
（Ⅲ）必要性：
因为数列为常数列，每个置换是常数列，存在，．…………9分
充分性：“的以任意项为末项的所有置换中，都存在置换，使得．”称具有性质．
由，得．又因为为偶数，为定值，
所以数列的所有项的奇偶性相同．称具有性质． …………11分
对具有性质的数列施加变换：若的所有项均为偶数，令；
若的所有项均为奇数，令．得到数列．
（1）若的所有项均为偶数，，
则“具有性质”等价于“具有性质”．
又因为，所以．且数列具有性质． …………12分
（2）若的所有项均为奇数，，
则“具有性质”等价于“具有性质”．
又因为，所以，当且仅当时取等号．
且数列具有性质． …………13分
总之，对数列施加变换，数列保持性质和性质不变．
对数列施加次变换后，得到常数列． …………14分
常数列，经过次相反的变换：或者，每次得到的数列都是常数列，最终得到数列，且数列为常数列． …………15分

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