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2026年湖南长沙市岳麓区湖南师大附中教育集团九年级 中考一模数学练习
一、单选题
1．湘江是长沙的“母亲河”．以湘江警戒水位为基准（记为米），汛期水位上升米记作米，则枯水期水位下降米，应记作（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
2．某模型在进行一次小型数据处理任务时，共处理了条数据记录．将用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，可见“鼓舞”一词起源之早．如图所示，该鼓（鼓身上的金属忽略不计）从正面看到的图形是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列计算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，直线，相交于点，，则（ ）
A．130° B．100° C．60° D．50°
6．已知方程组的解为，则直线与直线的交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．某校机器人编程团队参加广东省创意机器人大赛，7位评委给出的分数为95，92，96，94，95，88，95．这组数据的中位数、众数分别是（ ）
A．92，94 B．95，95 C．94，95 D．95，96
8．在综合实践课上，小华先画了一个，然后利用尺规作出了，且．如图是他的作图过程，则可判定的依据是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，四边形是的内接四边形，连接对角线，交于点，且，为的直径，若，，则的长为（ ）
A． B．9 C． D．
10．有一组数字不重复的三位数密码，老师给出5组数：875，273，109，965，403，其中每一组数与真正的密码恰好在同一个数位有一个相同的数字，则这个密码是（ ）
A．803 B．205 C．469 D．869
二、填空题
11．若 有意义，则x的取值范围是___________．
12．如图，矩形中，对角线，相交于点O，且，则的长为______．
13．分式方程的解为_______．
14．若扇形的弧长为，半径为4，则该扇形的面积为_____________．
15．如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于________度时，AC才能成为⊙O的切线．
16．从这四个数中任取一个数作为的值，则关于的一元二次方程 有实数根的概率为______．
三、解答题
17．计算： ．
18．先化简，再求值： ，其中满足．
19．我国生产的无人机畅销世界，在航拍、测绘等领域广受好评．摄影爱好者小王使用无人机进行城市航拍时，发现一栋特色建筑物．如图所示，从无人机所在位置A 观测建筑物顶部B 的仰角为 ，观测底部C的俯角为，且无人机A 到该建筑物的水平距离为10米，请你帮小王计算该建筑物的高度．（结果保留根号）
20．为传承湖湘文化，弘扬非遗魅力，长沙某学校举办“指尖非遗·青春传韵”校园文化竞赛，设置湘绣创意、长沙童谣传唱、岳麓山传说讲述、长沙糖画制作四大特色项目，评选出一、二、三等奖和优秀奖．赛后统计获奖情况，部分数据绘制成如图所示的统计表和扇形统计图．
等级 频数 频率
一等奖
二等奖
三等奖
优秀奖
请你根据以图表提供的信息，解答下列问题：
(1)频数分布表中的 ， ；
(2)扇形统计图中“三等奖”所对应扇形的圆心角度数 ；
(3)为扩大非遗文化宣传，学校计划从获得一等奖的选手中，随机抽取人担任校园“非遗文化推广员”，其中王梦（湘绣创意项目）、李雪（长沙糖画制作项目）都获得一等奖，请用画树状图或列表的方法，求恰好选中王梦、李雪二人的概率．
21．如图，，，，垂足分别为，．
(1)求证：；
(2)若，，求的度数．
22．2026年是红军长征胜利90周年，某校初三年级开展红色研学，筹备甲、乙两种研学包，其中甲包含1张长征路线图和3枚纪念章，乙包含2张长征路线图和2枚纪念章．
(1)若学校有100张长征路线图，200枚纪念章，恰好能搭配甲、乙两种研学包各多少个？
(2)若计划共搭配90个研学包，且乙包数量不低于甲包的一半，至少需要准备多少张长征路线图？
23．如图，在四边形中，是的中点，，交于点，，.

(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，，求的长.
24．中央广播电视总台马年春晚的主题是“骐骥驰骋，势不可挡”，寓意着骏马奔腾、昂扬奋进的时代气象．受此启发，我们定义如下概念：对于一平面图形，若存在一个固定的方向，使得两端点都在这个图形上且与该方向平行的所有截线段的中点都在同一直线上，则称这个图形为“骐骥图形”，直线为这个图形的“驰骋轴”（“驰骋轴”的存在性无需证明）．
例如：如图，在正方形中，取固定方向为平行于对角线的方向，两端点都在正方形上且平行于的所有截线段（如，，等）的中点均在对角线所在的直线上．因此，正方形是“骐骥图形”，直线是它的一条“驰骋轴”．
(1)请你判断下列图形是否为“骐骥图形”（在题后相应的括号中，是“骐骥图形”的打“”，不是“骐骥图形”的打“”）：
①梯形；（ ）
②六边形；（ ）
③双曲线（ ）
(2)由定义可知三角形和抛物线都是“骐骥图形”．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点为，（点在点的左侧），其“驰骋轴”与轴交于点，点是抛物线的“驰骋轴”l上一动点．
①若的“驰骋轴”为直线，求点的坐标；
②在点的运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图1，在中，，，点 D 为边 上一点，且，经过D，B，C三点的圆交边AC 于点E，连接，交于点F，连接．
(1)当 时，求证：是等腰直角三角形；
(2)如图2，当时，求的值；
(3)如图3，当时，求的长．
参考答案
1．A
2．C
3．A
4．C
5．A
6．A
7．B
8．B
9．C
10．B
11．
12．2
13．
14．
15．60
16．
17．
解：原式
．
18．，
解：原式
，
∵，
∴，
∴原式．
19．米．
由题意可知，，，，
∴
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴米，
在中，，
∴，
∴（米），
∴米．
20．
（1）观察统计表知，二等奖的有人，频率为，故参赛的总人数为人，
故（人），
．
（2）由（1）可得三等奖的频率为，
故．
（3）获得一等奖的有人，其余三人用、、表示，列表得：
王梦 李雪
、 、 、王梦 、李雪
、 、 、王梦 、李雪
、 、 、王梦 、李雪
王梦 王梦、 王梦、 王梦、 王梦、李雪
李雪 李雪、 李雪、 李雪、 李雪、王梦
∵共有种等可能的情况，恰好是王梦、李雪的有种情况，
∴恰好选中王梦和李雪两位同学的概率．
21．
（1）证明：，，
．
，
，即．
在和中，
．
．
（2）解：，
．
∴在中，
．
，
．
，
．
．
22．
（1）解：设搭配甲种研学包x个，乙种研学包y个，
根据题意，得，
解得，
答：恰好能搭配甲种研学包50个，乙种研学包25个；
（2）解：设搭配甲种研学包m个，则乙种研学包个，
由题意得，
解得，
设需要准备的长征路线图总数为w张，
∴，
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当m取最大值60时，w有最小值，最小值为．
答：至少需要准备120张长征路线图．
23．
（1）证明：∵是的中点，，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵，
∴，
在中，，，
∴，
∵是的中点，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴在中，由勾股定理得．
24．
（1）①在梯形中，延长、交于点，取的中点，连接；作平行于边的线段，分别交边于点、，交边于点、，与、分别交于点、，如图：
即，，，是的中线．
∵，，
∴，，，，
∴，，，，
故，，
∴点是的中点，点是的中点，
故点、在的中线上，
同理，取固定方向为平行于边的方向，两端点都在边，上，且平行于的所有截线段（如，等）的中点，均在的中线所在的直线上．即的中线为这个图形的“驰骋轴”．
故梯形是“骐骥图形”．
②在六边形中，取的中点；作平行于边的线段，分别交边于点，交边于点；交边于点，交边于点，取的中点，取的中点，连接，，如图：
点是的中点，点是的中点，点是的中点，
但、、三点不共线，
故六边形不是“骐骥图形”．
③∵双曲线的函数图象是轴对称图形，
故其对称轴为这个图形的“驰骋轴”，
故双曲线的函数图象是“骐骥图形”．
（2）①对于抛物线，，
当时，，
解得，，；
即抛物线与x轴的交点为，．
抛物线的对称轴为直线，
∵抛物线的函数图象是轴对称图形，
故其抛物线的对称轴为这个图形的“驰骋轴”，
∴“驰骋轴”与轴交于点．
设点的坐标为，由（1）①可得，的“驰骋轴”为的中线，
故分别取、、的中点、、，连接、、，如图：
则是的中位线，，
故点在轴上，点的横坐标是．
当的“驰骋轴”经过点时，即点、在直线上，
将代入直线，得，
解得，
故所在直线的解析式为，
将代入，得，即点的坐标为；
∵点是的中点，
故，
∴，
∴点的坐标为．
当的“驰骋轴”经过点时，即点、在直线上，
将代入直线，得，
解得，
故所在直线的解析式为，
将代入，得，即点的坐标为；
∵点是的中点，
故，
∴，
∴点的坐标为．
当的“驰骋轴”经过点时，即点、在直线上，
将代入直线，得，
解得，
故所在直线的解析式为，
将代入，得，即点的坐标为．
综上，点的坐标为或或．
②过点作交于点，如图：
设点的坐标为，
当时，、、三点共线，故该情况不存在；
当时，在中，，
在中，，
即，
∵，，
∴，
∴，
即，
故，
∴．
在中，，
即当取最小值时，的值最大；
∵，且，
当时，，
即时，的值最小，最小值为，
此时的值最大，的最大值为．
所以的最大值为，点的坐标为或．
25．
（1）解：证明：∵，
∴，
∴是直径，
∴，
又∵，
∴，
∴，是等腰直角三角形；
（2）过点B作于点G，过点D作于点O，连接CO，过点C作于点H，
∵，，
∴圆心在直线上，，
∵，，
∴，是等腰直角三角形，
又∵，
∴，
∴，是等腰直角三角形，且圆心在的垂直平分线上，
∴圆心是的垂直平分线和直线的交点，
∴点O即为这个圆的圆心，
∵是等腰直角三角形，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得：是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）过点C作于G，过点E作交于点，
设，
∵，，
∴，
∵，
∴，即，
∵，，，
∴和是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴

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