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与圆相关的计算——初中数学中考一轮分层训练（含答案解析）
一、基础题
1．已知扇形的半径为3，圆心角为120°，则这个扇形的面积为（　　）
A．9π B．6π C．3π D．2π
2．如图，正六边形内接于，正六边形的周长是12，则的半径是（　　）
A．1 B． C．2 D．
3．若一个正多边形的每一个内角的度数都是150°，则这个正多边形是(　　)
A．正九边形 B．正十边形 C．正十一边形 D．正十二边形
4．如图，在矩形中，点E在对角线上，分别以点B和点D为圆心，线段、的长为半径画圆弧，若，，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在矩形中，边绕点B顺时针旋转到的位置，点A的对应点E落在边的中点，若，则点A旋转到点E的路径长为（　　）
A． B． C． D．
6．如图所示，在中，，，，将绕顶点B逆时针旋转后得到，点C经过的路径为，则图中阴影部分的面积为　 　．
7．正六边形的每一个外角都是　 　°．
8． 一个多边形的每个内角都是108°，那么这个多边形是　 　．
9．如图，已知AB是⊙O直径，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠BAC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠D=30°，BD=2，求图中阴影部分的面积．
二、能力题
10．如图，在直径BC为 的圆内有一个圆心角为90°的扇形ABC.随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，的内接正六边形的边长为，则的长为（　　）
A． B． C． D．
12．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，分别以点B，C为圆心、BC的长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E.若BC=4，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．2π-4 B．4π-4 C．8π-8 D．4π-8
13．如图，在 Rt中，是边上的中线，其中，以为圆心，为半径画弧交于点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
14．如图，在菱形中，，点O是对角线的中点，以点O为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，点D在扇形内，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．无法确定
15．如图，在正六边形ABCDEF中，AB=2，连接AC，AE，以点D为圆心、CD的长为半径作圆弧CE，则图中阴影部分的面积是　 　.
16． 已知一个扇形的圆心角为，其弧长为，则该扇形的面积为　 　．
17．如图，在扇形中，，，点在上，且．延长到，使．以，为邻边作平行四边形，则图中阴影部分的面积为　 　（结果保留）．
18．我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形ABCD为矩形，边CD与相切于点，连接，连接OE交AB于点．若，则图中阴影部分的面积为　 　．
19．如图，正六边形的边长为4，中心为点，以点为圆心，以长为半径作圆心角为120°的扇形，则图中阴影部分的面积为　 　.
20．如图，C是圆O被直径AB分成的半圆上一点，过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P，连接CA，CO，CB．
（1）求证：∠ACO＝∠BCP；
（2）若∠ABC＝2∠BCP，求∠P的度数；
（3）在（2）的条件下，若AB＝4，求图中阴影部分的面积（结果保留π和根号）．
21．如图，四边形是平行四边形，以边为直径作，与边相切于点D．点E是上一点，连接，．
（1）试判断与的数量关系，并说明理由．
（2）若，，求的长．
22．如图，⊙O为正三角形ABC的外接圆，直线CD经过点C，CD∥AB．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若圆的半径为2，求图中阴影部分的面积．
23．如图，PA与⊙O相切于点A，AC为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接PB，PC，且PA＝PB．
（1）连接OB，求证：OB⊥PB；
（2）若∠APB＝60°，PA＝2，求图中阴影部分的面积．
三、拓展题
24．绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②．
（1）写出两点的坐标；
（2）求叶瓣①的周长；（结果保留）
（3）请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到．
25．综合与实践
【主题】滤纸与漏斗
【素材】如1图所示：
①一张直径为10cm的圆形滤纸；
②一只漏斗口直径与母线均为7cm的圆锥形过滤漏斗.
【实践操作】
步骤1：取一张滤纸：
步骤2：按如2图所示步骤折叠好滤纸；
步骤3：将其中一层撑开，围成圆锥形；
步骤4：将围成圆锥形的滤纸放入如1图所示漏斗中.
【实践探索】
（1）滤纸是否能紧贴此漏斗内壁(忽略漏斗管口处) 用你所学的数学知识说明.
（2）当滤纸紧贴漏斗内壁时，求滤纸围成圆锥形的体积.（结果保留)
答案解析部分
1．【答案】C
【解析】【解答】解：根据扇形面积公式得：
，
故答案为：C．
【分析】根据扇形面积公式求解即可.
2．【答案】C
【解析】【解答】解：连接，，
∵多边形是正六边形，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵正六边形的周长是12，
∴，
∴的半径是2
故答案为：C。
【分析】连接，，根据ABCDEF是正六边形，可得，进而可得是等边三角形，然后再根据等边三角形的性质，即可求出的半径。
3．【答案】D
【解析】【解答】解：360°÷(180°-150°)
=360°÷30°
=12.
故答案为：D.
【分析】先求出正多边形的一个外角的度数，再根据正多边形外角和的性质即可得出答案.
4．【答案】A
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴阴影部分的面为：，
故答案为：A．
【分析】先求出的值，根据矩形的性质得，然后利用勾股定理求出的值，最后再根据阴影部分的面积为矩形面积减去两个扇形面积求解即可.
5．【答案】B
【解析】【解答】】解：在矩形中，，
∵边绕点B顺时针旋转到的位置，点A的对应点E落在边的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴点A旋转到点E的路径长为，
故选：B．
【分析】本题主要对旋转的性质、弧长公式、锐角三角函数，正方形的性质进行考查．根据旋转的性质与正方形的性质可得到，再根据弧长公式有=．
6．【答案】
【解析】【解答】解：根据旋转的性质得△ABC≌△DBE，∠EBC=40°，BE=BC，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】 根据旋转的性质得△ABC≌△DBE，∠EBC=40°，BE=BC， 由全等三角形的面积相等得出S△DBE=S△ABC，利用割补法可得，从而根据扇形面积计算公式“”列式计算即可得出答案.
7．【答案】60
【解析】【解答】
解： ∵正六边形的每一个外角都相等且和为360
∴ 每一个外角
故答案为：60
【分析】根据正六边形得性质，和外角和为360，计算即可解答.
8．【答案】五边形
【解析】【解答】解： ∵ 一个多边形的每个内角都是108°，
∴这个多边形的每个外角都是180-108=72°，
∴ 这个多边形 的边数是：.
故答案为：五边形。
【分析】首先根据邻补关系求出这个多边形的外角，进而根据多边形的外角和，即可求得多边形的边数。
9．【答案】（1）证明：如图，连接OC，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠OCA，
∵∠BCD=∠BAC，
∴∠BCD=∠OCA，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠OCA+OCB=∠BCD+∠OCB=90°
∴∠OCD=90°
∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线
（2）解：设⊙O的半径为r，
∴AB=2r，
∵∠D=30°，∠OCD=90°，
∴OD=2r，∠COB=60°
∴r+2=2r，
∴r=2，∠AOC=120°
∴BC=2，
∴由勾股定理可知：AC=，
易求S△AOC=×2×1=
S扇形OAC=，
∴阴影部分面积为.
【解析】【分析】（1）连接OC，先证明∠BCD=∠OCA，再由直径所对的圆周角是90°，即可导出∠OCD=90°，进而证明出结论；
（2）先求出圆的半径和∠AOC的度数，再由弓形面积等于扇形OAC面积减去△AOC面积，即可解答.
10．【答案】D
【解析】【解答】解：已知圆的直径BC＝2，根据半径是直径的一半，可得圆的半径R=。
∴该圆形的面积S=R2=2
∵∠BAC=90°
∴BC为小圆的直径
∴AB=AC
∴三角形BAC为等腰直角三角形
由三角函数可得r=AB=AC=2
∴扇形S==
由几何概率得P===
故答案为：D.
【分析】 先分别求出圆的面积和扇形的面积，再用扇形面积除以圆的面积得到米粒落在扇形内的概率。
11．【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
连接、、，则：，，
∴为等边三角形，，
∴，
∴.
故答案为：C．
【分析】连接、、，则，再根据圆内接正六边形的性质求出中心角，则，进一步得为等边三角形即得，然后利用弧长公式即可得．
12．【答案】D
【解析】【解答】解：
∵∠BAC=90，AB= AC，
∴∠ABC=∠ACB =45°，
∵ BC=4，
∴AB= AC= BC=2，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB =45°，即可由勾股定理算出AB= AC=2，再根据，计算即可解答.
13．【答案】B
【解析】【解答】解：是斜边AB上的中线、
故选：B.
【分析】先由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得DC=DA=1，再由等边对等角得，再由三角形的外角性质可得，又由尺规作图得CD=CE，则，再由三角形内角和得，最后再应用弧长公式直接计算即可.
14．【答案】A
【解析】【解答】解：如图，连接，将绕点O顺时针旋转得到．
，
，
在菱形中，点O是对角线的中点，，
，，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
．
故选：A．
【分析】
连接，则由菱形的性质知，、，则，取CD中点D`，则是等边三角形，则，又已知，则，则可证，即推出，则，下来分别求出扇形EOF和等边的面积即可．
15．【答案】
【解析】【解答】解：连接AD，
∵正六边形ABCDEF，
∴DC=DE=AB=BC=2，∠B=∠CDE=∠BCD=120°，∠ADC=∠ADE=∠CDE=60°，
∴∠BAC=∠ACB=（180°-∠B）=（180°-120°）=30°，
∴∠ACD=∠BCD-∠ACB=120°-30°=90°，
∴，
在△ACD和△AED中
∴△ACD≌△AED（SAS）
∴S△ACD=S△AED，
∴S阴影部分=2S△ACD-S扇形CDE，
∴S阴影部分=
故答案为：.
【分析】连接AD，利用正六边形的性质可证得DC=DE=AB=BC=2，∠B=∠CDE=∠BCD=120°，同时可证得∠ADC=∠ADE=60°，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出∠ACB的度数，即可证得∠ACD=90°，利用解直角三角形求出AC的长，再利用SAS可证得△ACD≌△AED，利用全等三角形的性质可推出S△ACD=S△AED，然后根据S阴影部分=2S△ACD-S扇形CDE，利用三角形和扇形的面积公式进行计算.
16．【答案】
【解析】【解答】解：设该扇形的半径为r，
∵一个扇形的圆心角为60°，其弧长为，
∴
∴r=1
∴该扇形的面积为
故答案为： .
【分析】设该扇形的半径为r，由弧长公式求出r=1，再由扇形面积公式计算即可得解.
17．【答案】
【解析】【解答】
解：如图，过点A作AH⊥OD于点H，
∵∠AOB=30°， 0A=2
∴AH=OA=，
∵OC=AC， .
∴∠OAC=∠AOB=30°，
∴∠ACB=30°+30°=60° ，
∴∠CAH=30° ，
∴AC=2CH，
设CH=x，则AC=2x，
在△ACH中，由勾股定理得，
x2+ ()2= (2x)2，
解得x=1 (取正值) ，
即CH=1，AC=2，
∴CD=CA=OC=2，
∴S阴影部分=，
，
故答案为：.
【分析】过点A作AH⊥OD于点H，先根据30 直角三角形的性质得到AH的值，推导出AC=2CH，设CH=x，则AC=2x，利用勾股定理计算出x的值，再根据S阴影部分=， 计算即可解答.
18．【答案】
【解析】【解答】解：与相切
四边形ABCD是矩形
是等边三角形
故答案为：.
【分析】先由切线的性质知OE垂直CD，由于矩形的对边平行，则OE垂直AB，由垂径定理得OE垂直平分AB，即AF=2，弧AE等于弧BE，再由圆周角定理可得等于的4倍即，由于半径都相等，可判定是等边三角形，即AO=AB=4，，再解求出OF，则扇形AOB和的面积均可求得，则阴影部分面积是弓形AEB面积的一半，利用割补法求解即可.
19．【答案】
【解析】【解答】解：如图所示，过点O作AB的垂线段OG，连接OA、OB、OE.
六边形ABCDEF是正六边形
是等边三角形
故答案为：.
【分析】由于正六边形的中心角是，因此是等边三角形，过点O作AB的垂线段OG，则解可得，则正六边形ABCD的面积为；观察图形得阴影部分面积等于扇形面积减去五边形ANOMF的面积，此时连接OA、OE，可利用ASA证明，则五边形ANOMF的面积可转化为四边形AOEF的面积，显然四边形AOEF的面积等于正六边形ABCDEF的面积的，即阴影部分面积可得.
20．【答案】（1）证明：∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CP是半圆O的切线，
∴∠OCP＝90°，
∴∠ACB＝∠OCP，
∴∠ACO＝∠BCP；
（2）解：由（1）知∠ACO＝∠BCP，
∵∠ABC＝2∠BCP，
∴∠ABC＝2∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A，
∴∠ABC＝2∠A，
∵∠ABC+∠A＝90°，
∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，
∴∠ACO＝∠BCP＝30°，
∴∠P＝∠ABC﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°，
答：∠P的度数是30°；
（3）解：由（2）知∠A＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，
∴S△ABC＝BC AC＝×2×2＝2，
∴阴影部分的面积是﹣2＝2π﹣2，
答：阴影部分的面积是2π﹣2．
【解析】【分析】（1）根据切线的性质和直径所对的直角相等得到∠ACB＝∠OCP，根据等交的余角相等即可得到结论；
（2）根据∠ABC＝2∠BCP，可以得到∠ABC＝2∠A，即可得到∠A＝30°，∠ABC＝60°，解题即可；
（3）根据30°的直角三角形的性质得到BC＝AB＝2，AC＝BC，然后求出S△ABC，再利用阴影部分的面积等于半圆面积减去S△ABC解题即可．
（1）∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CP是半圆O的切线，
∴∠OCP＝90°，
∴∠ACB＝∠OCP，
∴∠ACO＝∠BCP；
（2）由（1）知∠ACO＝∠BCP，
∵∠ABC＝2∠BCP，
∴∠ABC＝2∠ACO，
∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A，
∴∠ABC＝2∠A，
∵∠ABC+∠A＝90°，
∴∠A＝30°，∠ABC＝60°，
∴∠ACO＝∠BCP＝30°，
∴∠P＝∠ABC﹣∠BCP＝60°﹣30°＝30°，
答：∠P的度数是30°；
（3）由（2）知∠A＝30°，
∵∠ACB＝90°，
∴BC＝AB＝2，AC＝BC＝2，
∴S△ABC＝BC AC＝×2×2＝2，
∴阴影部分的面积是﹣2＝2π﹣2，
答：阴影部分的面积是2π﹣2．
21．【答案】（1）解：，理由：
连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵与边相切于点D，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）解：连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．

【解析】【分析】（1）连接，根据平行四边形性质可得，再根据切线性质可得，再根据等腰直角三角形性质即可求出答案.
（2）连接，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，根据垂径定理可得，再根据弧长公式即可求出答案.
（1），理由：
连接，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵与边相切于点D，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
22．【答案】（1）直线CD与⊙O的位置关系是相切，
理由：连接OC，OB，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠A=60°，
∵
∴∠BOC=2∠A=120°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB=（180°-120°）=30°，
∵AB∥CD，
∴∠BCD=∠ABC=60°，
∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=30°+60°=90°，
∴OC⊥CD，
∵OC是半径，
∴ 直线CD与⊙O的位置关系是相切
（2）解：过点O作OE⊥BC于点E，
∴∠OEB=90°，BC=2BE，
在Rt△OBE中，OE=OB=1，BE=OBcos∠OBE=2×cos30°=，
∴，
∴S阴影部分=S扇形BOC-S△BOC=
【解析】【分析】（1）连接OC，OB，利用等边三角形的性质可求出∠ABC、∠A的度数，利用圆周角定理可求出∠BOC的度数，再利用等边对等角及三角形内角和定理可求出∠OBC和∠OCB的度数，由此可求出∠OCD的度数，然后利用切线的判定定理可证得结论.
（2）过点O作OE⊥BC于点E，利用垂径定理可证得BC=2BE，在Rt△OBE中，利用解直角三角形分别求出OE、BE的值，可得到BC的长，然后根据S阴影部分=S扇形BOC-S△BOC，利用扇形和三角形的面积公式进行计算即可.
23．【答案】（1）证明：如图，连接，
∵与相切，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴
（2）解：如图，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
由（1）得，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
【解析】【分析】（1）连接，根据切线的性质得，然后证明，得，即可得证结论；
（2）连接，先求出，从而得，进而证明为等边三角形，于是得，然后由（1）中的全等三角形得到，则，即可证明，得到，接下来解直角三角形求出，利用扇形面积公式得到的值.
24．【答案】（1）解：以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点
是正方形
（2）解：原点，为圆心、以为半径作圆
两个圆是等圆
叶瓣①的周长为：；
（3）解：叶瓣②还可以由叶瓣①逆时针旋转得到．
【解析】【分析】（1）由题意可得，根据正方形判定定理可得是正方形，则，即，即可求出答案.
（2）由题意可得两个圆是等圆，再根据弧长公式即可求出答案.
（3）根据旋转性质即可求出答案.
25．【答案】（1）解：漏斗形成的圆锥形展开侧面图为扇形，
其圆心角度数==180°，
滤纸折叠后圆心角度数为360°÷2=180°，
此时，滤纸所对展开图圆心角与漏斗展开图圆心角相等，故滤纸能紧贴此漏斗内壁.
（2）解：∵滤纸折叠后所对圆心角为180°，此时形成的底面圆形周长为：
，
即圆锥底面半径r=，
又∵滤纸母线长为5 cm，
此时由勾股定理得，圆锥高h=，
∴圆锥体积.
答：滤纸围成的圆锥形体积为.
【解析】【分析】（1）将圆锥是否能贴紧内壁问题转化为求圆锥侧面展开图圆心角是否相等，代入公式计算并比较得出结果；
（2）为求圆锥体积，进一步转换利用勾股定理求出圆锥的高，代入公式即可.
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