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2025-2026学年浙江省衢州市高二（上）期末数学试卷
考试注意事项：
1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用 0.5 毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用 2B 铅笔画出，确定后必须用 0.5 毫米黑色墨水签字笔描黑．
一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）.
1．直线的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
2．已知数列为等差数列，，，则（　　）
A．3 B．6 C．9 D．12
3．函数在点处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
4．已知向量满足，，，则（　　）
A． B．2 C． D．4
5．在平面直角坐标系中，，为轴上关于原点对称的两点，且，动点满足，当轴时，，则动点的轨迹方程为（　　）
A． B． C． D．
6．已知奇函数的定义域为，当时，，则（　　）
A．（1）（2） B．（1）（2） C．（2） D．（1）
7．已知数列是首项为2，公比为2的等比数列，为数列的前项和，对，，则（　　）
A． B． C． D．
8．已知双曲线的左右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，当时，△的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（　　）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
（多选）9．（6分）过抛物线焦点的直线与交于，两点，在轴上方，则（　　）
A．抛物线的准线方程为
B．当的倾斜角为时，
C．当垂直于轴时，弦长最小
D．
（多选）10．（6分）若函数，则（　　）
A．只有一个零点 B．为的极大值点
C．当时， D．当时，
（多选）11．（6分）已知数列，满足，，，为数列的前项和，则（　　）
A． B．数列为等比数列
C． D．
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分。
12．已知数列满足，，，则　　 ．
13．已知椭圆的左右焦点分别为，，过的直线与该椭圆交于，两点，若，则　　 ．
14．已知关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为　　 ．
四、解答题：本题共5个小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（13分）已知直线，圆．
（1）求证：直线过定点；
（2）若直线与圆交于，两点，求弦长的取值范围，并求取到最值时对应的值．
16．（15分）如图，在三棱锥中，，，．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
17．（15分）已知数列的前项和为．
（1）若，
（ⅰ）求数列的通项公式；
（ⅱ）数列满足，，求数列的通项公式；
（2）若数列是首项为1，公差为的等差数列，且，，求证：．
18．（17分）设函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）已知的导函数为，若有两个零点，求实数的取值范围；
（3）若有解，求实数的取值范围．
19．（17分）已知抛物线，过点的直线交于，，，两点，点在线段上．
（1）求证：；
（2）若点不在直线上，斜率为的直线分别交直线，，于，，三点，
（ⅰ）求证：点为线段的中点；
（ⅱ）当直线经过点时，记△的面积为，△的面积为，求的最大值．
参考答案
1-8:CCDCA CDD
9:ABC
10:BC
11:ABD
12．0．
13．．
14．，．
四、解答题：本题共5个小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．（1）证明：将直线；可化为，
联立，解得，
所以直线过定点；
（2）解：将圆整理可得：，
可知圆心为，半径为．
直线的斜率为，
设定点为，，点在圆内，
当直线过圆心时，弦长最长，即弦长的最大值为，
此时直线的斜率，所以，
当直线时，此时圆心到直线的距离，
此时弦长最短，且最小值为，
此时直线的斜率，所以，
故弦长的取值范围为，
时弦长最大，时弦长最小．
16．（1）证明：取中点，连接，，
，，，
又，，平面
直线平面，平面，
；
（2）解：，，
，且，
又，，
又，，，
如图建立空间直角坐标系，
则，，，，
可得，，
设平面的法向量，
则，即，令，
解得平面的一个法向量，
可得，，，
直线与平面所成角的正弦值为，．
直线与平面所成角的正弦值为．
17．（1）（ⅰ）因为，所以令，，解得，
当，，所以，即，
所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以；
（ⅱ）因为，所以
，
所以；
（2）证明：因为，
所以数列是常数列，所以，，
所以，
则，
因为，故．
18．（1）当时，，其定义域为，求导得，
令，求导得，由，得；由，得，
函数在上单调递减，在上单调递增，则（1），
所以在上单调递增，无减区间．
（2）依题意，，
由（1）得在上单调递减，在上单调递增，（1），
当，时，，则当有两个零点时，（1），解得，
所以实数的取值范围是．
（3）不等式有解，
即有解，令，
求导得，
由，得；由，得
函数在上单调递增，在上单调递减，则（3），
因此，解得，
所以实数的取值范围是，．
19．（1）证明：设直线方程为，
联立，
则，
故；
（2）证明：设，，，，
由（1）可得：，
即．
（ⅰ）设直线，由，
则，，
则，由，则，
同理，
则，
所以点为线段的中点．
（ⅱ）解：联立直线与抛物线方程得：，
当与相切时，满足，
即，解得，
又因为直线与抛物线相交，所以交点介于临界状态切点之间，
所以，
又因为直线过点时，，
则，
因为，则．
，
令，则，
当时取等，故的最大值为．

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