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贵州省六盘水市钟山区2024-2025学年九年级下学期3月模拟检测数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（2025·钟山模拟）2025的相反数是（　　）
A．2025 B． C． D．
【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：B．
【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数，据此解答即可.
2．（2025·钟山模拟）秦国法家代表人物商鞅发明了一种标准量器——商鞅铜方升．如图，升体近似看作长方体，手柄近似看作圆柱体，则它的俯视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看到的是
故选：D．
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
3．（2025·钟山模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；二次根式的加减法；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A.，计算正确，符合题意；
B.与不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
C.，故此选项计算错误，不符合题意；
D.，故此选项计算错误，不符合题意；
故选：A．
【分析】根据合并同类项，二次根式的加法，同底数幂的乘法以及完全平方公式逐项进行判断即可求出答案.
4．（2025·钟山模拟）如图，把一个含角的直角三角尺的一个顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：如图，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【分析】根据直线平行性质可得∠ACF，根据角之间的关系即可求出答案.
5．（2025·钟山模拟）某校5名同学在朗诵比赛中的成绩（单位：分）分别为86，90，95，90，88，这组数据的众数是（　　）
A．86 B．88 C．90 D．95
【答案】C
【知识点】众数
【解析】【解答】解：90出现了2次，出现的次数最多，则众数是90；
故选：C．
【分析】根据众数的定义即可求出答案.
6．（2025·钟山模拟）函数中自变量x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由二次根式定义，得：，
解得：．
故选：A．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
7．（2025·钟山模拟）如图，已知的半径为1，是的弦，若，则劣弧的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵的半径为1，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴劣弧的长．
故选：C．
【分析】根据勾股定理逆定理可得是等腰直角三角形，则，再根据弧长公式即可求出答案.
8．（2025·钟山模拟）关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　　）
A． B．且
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵，
解得，，
∵二次项系数，
∴且．
故选：B．
【分析】根据二次方程有实数根，则判别式，解不等式，结合二次方程的定义即可求出答案.
9．（2025·钟山模拟）如图，在正方形网格中，△ABC的位置如图，其中点A、B、C分别在格点上，则sinA的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；在网格中求锐角三角函数值
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵BC=2，
故选A．
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据三角形面积可得，根据勾股定理可得AB，AC，再根据正弦定义即可求出答案.
10．（2025·钟山模拟）创建文明城市，构建美好家园，为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶，已知购买4个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要540元；购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元，设A型垃圾桶的单价为x元，B型垃圾桶的单价为y元，小亮用二元一次方程组解决此问题，若已经列出一个方程，则符合题意的另一个方程是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵购买4个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要540元，
∴．
∵购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元，
∴．
故选：D．
【分析】根据“购买4个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要540元；购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元”列出二元一次方程组即可求出答案.
11．（2025·钟山模拟）如图，中，为对角线，，且，若的面积为，则的长为（　　）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，设交于点O，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
设，
∵，
∴
∵平行四边形的面积为，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
∴．
故选：B．
【分析】设交于点O，根据平行四边形性质可得，根据边之间的关系可得，设，根据勾股定理可得AB，再根据平行四边形面积建立方程，解方程即可求出答案.
12．（2025·钟山模拟）如图，抛物线的对称轴是，且过点，有下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论为（　　）
A．①② B．①④ C．②④ D．③④
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：由抛物线的开口向上可得：，根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以，
根据抛物线与y轴的交点在负半轴可得：，
∴，故①错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
∵抛物线的对称轴是，
∴，即
∴，故②正确；
∵抛物线的对称轴是直线．且过点，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
当时，，即，故③错误；
∵时，函数值最小，
∴，
∴，所以④正确；
故选：C．
【分析】根据二次函数图象吗，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请将答案填入答题卡的相应位置）
13．（2025·钟山模拟）影片《哪吒之魔童闹海》自2025年1月29日在中国大陆上映以来，吸引了大量观众，成为2025年春节档的票房冠军．截至2025年3月2日票房已经突破13800000000人民币.13800000000用科学记数法表示为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据13800000000科学记数法表示为．故答案为：．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
14．（2025·钟山模拟）如图，在⊙O中，弦BC=1，点A是圆上一点，且∠BAC=30°，则⊙O的半径是　 　．
【答案】1
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OB，OC，
∵∠BAC=30°，
∴∠BOC=2∠BAC=60°．
∵OB=OC，
∴△BOC是等边三角形．
∴OB=BC=1．
故答案为：1．
【分析】连接OB，OC，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠BOC，再根据等边三角形判定定理及性质即可求出答案.
15．（2025·钟山模拟）如图，反比例函数的图象经过的顶点B，在x轴上，若点，的面积为3，则k值为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图，延长交y轴于点D，
∵，，
∴
∴，
∵是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵点B在反比例函数图象上，
∴．
故答案为：．
【分析】延长交y轴于点D，根据平行四边形面积可得BD，根据点的坐标可得，再根据待定系数法将点B坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
16．（2025·钟山模拟）如图，在平行四边形纸片中，，，．E是线段的中点，点F在边所在的直线上，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】三角形三边关系；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作，交的延长线于点G，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴.
∵，点E是线段的中点，
∴，.
根据折叠的性质得.
根据三角形三边之间的关系，可得，
当点共线时，最小，
∵，
∴，
∴.
根据勾股定理，得，
解得，
∴.
根据勾股定理，得，
∴最小值是.
故答案为：.
【分析】交的延长线于点G，连接，根据平行四边形性质可得，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，根据折叠的性质得，根据三角形三边之间的关系，可得，当点共线时，最小，根据等腰直角三角形性质可得，根据勾股定理可得EG，AE，即可求出答案.
三、解答题（本大题共9个小题，共98分，请在答题卡上的相应位置作答）
17．（2025·钟山模拟）（1）计算：
（2）解方程：
【答案】解：（1）
（2）
或
，
【知识点】零指数幂；因式分解法解一元二次方程；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，绝对值性质，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
（2）根据因式分解法解方程即可求出答案.
18．（2025·钟山模拟）在中，点E，F分别在边上，连接，，，与相交于点O，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若的周长为22，，，求的长．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：由（1）知，
∴，
∴，
∴
又∵，四边形是菱形，
∴
∴是等边三角形，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得，，根据等边对等角可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）由（1）知，，根据边之间的关系可得EF，根据菱形性质可得，再根据等边三角形判定定理及性质即可求出答案.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：由（1）知，
∴，
∴，
∴
又∵，四边形是菱形，
∴
∴是等边三角形，
∴．
19．（2025·钟山模拟）贵州省2025年师生信息素养提升实践活动中，初中组部分比赛项目：A．数字绘画，B．微电影，C.3D创意设计，D．创意编程，E．算法设计，某校为了解学生的报名情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次调查一共抽取了______名学生；请补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中E所在扇形圆心角的度数；
（3）现从“创意编程”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加编程比赛，请用列表或画树状图的方法，求出恰好选中甲、乙两名同学的概率．
【答案】（1）50；
补全图形如下：
（2）解：
∴扇形统计图中E所在扇形圆心角的度数为；
（3）解：列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 —— （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） —— （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） —— （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） ——
由表可知，共有12种等可能的情况发生，其中恰好选中甲、乙两名同学的有2种结果．
∴.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：50，，
所以一共抽取50名学生，选择C项的人数为10名同学.
故答案为：50；
【分析】（1）根据A项目的人数与占比可得总人数，再求出C项目的人数，再补全图形即可.
（2）根据360°乘以E的占比即可求出答案.
（3）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出恰好选中甲、乙两名同学的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：50，，
所以一共抽取50名学生，选择C项的人数为10名同学.
补全图形如下：
故答案为：50；
（2）解：
∴扇形统计图中E所在扇形圆心角的度数为；
（3）解：列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 —— （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） —— （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） —— （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） ——
由表可知，共有12种等可能的情况发生，其中恰好选中甲、乙两名同学的有2种结果．
∴.
20．（2025·钟山模拟）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了乡村的风景，也使节能环保的举措得以落实，某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度，如图，在测点A处安置测倾器．测倾器的高度（）为1.2米，测得点M的仰角，在与点A相距米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角（点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度．
【答案】解：延长交于点F，
在中，①，
在中，②
联立①②解得，（米）
∴电池板离地面的高度为7.2米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长交于点F，解直角三角形可得MF，再根据边之间的关系即可求出答案.
21．（2025·钟山模拟）滨滨和妮妮是2025年亚洲冬季运动的吉祥物，寓意“哈尔滨欢迎您”．某商店以每件35元的价格购进吉祥物滨滨，以每件50元的价格出售，经统计，2025年1月份的销售量为200件．从2月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价为x元，请完成下列问题：
（1）降价x元后的月销售量为______件；（用含x的式子表示）
（2）当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）
（2）解：设总利润为w，则有：
，
∵，
∴当时，有最大值，为3125，
∴降价2.5元时，月销售利润最大，最大利润是3125元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：降价x元后的月销售量为件．
故答案为：；
【分析】（1）（1）利用月销售量该款吉祥物每件降低的钱数，建立代数式即可求出答案.
（2）根据总利润=每件的销售利润×月销售量，建立函数关系式，结合二次函数性质即可求出答案.
（1）解：根据题意得：降价x元后的月销售量为件．
故答案为：；
（2）解：设总利润为w，则有：
，
∵，
∴当时，有最大值，为3125，
∴降价2.5元时，月销售利润最大，最大利润是3125元
22．（2025·钟山模拟）长丰县某草莓种植基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚种植草莓．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度与时间之间的函数关系如图所示，其中段是恒温阶段，段是某反比例函数图象的一部分．
（1）求段所对应的反比例函数图象的关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）大棚里种植的草莓在温度为到的条件下最适合生长，若该天恒温系统开启前的温度是，则草莓一天内最适合生长的时间有多长？
【答案】（1）解：设段所对应的反比例函数关系式为．
把代入，得，
．
当时，，
解得，即，
段所对应的反比例函数关系式为，自变量的取值范围为．
（2）解：设直线的函数关系式为．
把代入，
得
解得，
直线的函数关系式为．
当时，，解得．
当时，，解得，
（小时）．
答：草莓一天内最适合生长的时间有15小时．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设段所对应的反比例函数关系式为，根据待定系数法将点D坐标代入解析式可得，再将y=20代入解析式即可求出答案.
（2）设直线的函数关系式为，根据待定系数法将点代入解析式可得直线的函数关系式为，分别将y=15代入直线，反比例函数解析式求出x值，再作差即可求出答案.
（1）解：设段所对应的反比例函数关系式为．
把代入，得，
．
当时，，
解得，即，
段所对应的反比例函数关系式为，自变量的取值范围为．
（2）解：设直线的函数关系式为．
把代入，
得
解得，
直线的函数关系式为．
当时，，解得．
当时，，解得，
（小时）．
答：草莓一天内最适合生长的时间有15小时．
23．（2025·钟山模拟）如图，为的直径，已知，点P在延长线上，．
（1）求证：是的切线；
（2）已知平分，，，求的长．
【答案】（1）证明：连接，则，
∵为的直径，，
∴，，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
∴，
即，
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的半径为5，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为，的长为．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，根据垂径定理可得，根据角之间的关系可得∠OAP=90°，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据正切定义可得根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：连接，则，
∵为的直径，，
∴，，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
∴，
即，
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的半径为5，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为，的长为．
24．（2025·钟山模拟）如图，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点，点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）若，是抛物线上的两点，且，求c的取值范围；
（3）将直线向上平移m个单位，使平移后的直线与抛物线只有一个交点，求m的值．
【答案】（1）解：将点代入中，
解得：，
∴，
整理得，
则顶点坐标为；
（2）解：将代入，
解得
∵，当时，
解得，，
∴或；
（3）解：设直线的函数表达式为
将，代入得
，
解得：
∴直线的函数表达式为
设向上平移m个单位长度后函数表达式为，由题意得
即
∵平移后的直线与抛物线只有一个交点，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标代入解析式可得，再将解析式转换为顶点式可得顶点坐标.
（2）将点N坐标代入解析式可得n，再将y=3代入解析式可得x值，即可求出答案.
（3）设直线的函数表达式为，根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式可得直线的函数表达式为，根据函数图象的平移可得设向上平移m个单位长度后函数表达式为，联立两函数解析式，根据平移后的直线与抛物线只有一个交点，则对应方程判别式，解方程即可求出答案.
（1）解：将点代入中，
解得：，
∴，
整理得，
则顶点坐标为；
（2）解：将代入，
解得
∵，当时，
解得，，
∴或；
（3）解：设直线的函数表达式为
将，代入得
，
解得：
∴直线的函数表达式为
设向上平移m个单位长度后函数表达式为，由题意得
即
∵平移后的直线与抛物线只有一个交点，
∴，
∴．
25．（2025·钟山模拟）【综合与实践】在中，，点D在射线上运动，在左侧作，过点A作线段，使，交于点E，连接．
（1）【操作发现】
若，如图（1）所示，线段的数量关系为______，直线的位置关系为______；
（2）【类比探究】
如图（2）所示，若，则（1）中直线的位置关系是否仍然成立？请说明理由；
（3）【拓展延伸】
如图（3），若，，当是以为腰的等腰三角形时，求线段的长．
【答案】（1），
（2）解：的数量关系不成立，位置关系成立．
理由：∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：∵在中，，
∴，
①当时，如图，
∵，
∴
又
∴
∴
∴，
∴，
∴；
②当时，如图，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上，的长为3或．
【知识点】含30°角的直角三角形；相似三角形的判定；解直角三角形；等腰直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据等腰直角三角形性质可得，，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）根据正切定义可得，，根据相似三角形判定定理可得，则，，再根据角之间的关系即可求出答案.
（3）根据含30°角的直角三角形性质可得，分情况讨论：①当时，根据角之间的关系可得再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案；②当时，根据角之间的关系可得，则，根据边之间的关系可得DC，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：的数量关系不成立，位置关系成立．
理由：∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：∵在中，，
∴，
①当时，如图，
∵，
∴
又
∴
∴
∴，
∴，
∴；
②当时，如图，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上，的长为3或．
1 / 1贵州省六盘水市钟山区2024-2025学年九年级下学期3月模拟检测数学试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．（2025·钟山模拟）2025的相反数是（　　）
A．2025 B． C． D．
2．（2025·钟山模拟）秦国法家代表人物商鞅发明了一种标准量器——商鞅铜方升．如图，升体近似看作长方体，手柄近似看作圆柱体，则它的俯视图为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·钟山模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·钟山模拟）如图，把一个含角的直角三角尺的一个顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·钟山模拟）某校5名同学在朗诵比赛中的成绩（单位：分）分别为86，90，95，90，88，这组数据的众数是（　　）
A．86 B．88 C．90 D．95
6．（2025·钟山模拟）函数中自变量x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·钟山模拟）如图，已知的半径为1，是的弦，若，则劣弧的长为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·钟山模拟）关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　　）
A． B．且
C． D．
9．（2025·钟山模拟）如图，在正方形网格中，△ABC的位置如图，其中点A、B、C分别在格点上，则sinA的值是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·钟山模拟）创建文明城市，构建美好家园，为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，B两种型号的新型垃圾桶，已知购买4个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要540元；购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元，设A型垃圾桶的单价为x元，B型垃圾桶的单价为y元，小亮用二元一次方程组解决此问题，若已经列出一个方程，则符合题意的另一个方程是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·钟山模拟）如图，中，为对角线，，且，若的面积为，则的长为（　　）
A．2 B． C．4 D．
12．（2025·钟山模拟）如图，抛物线的对称轴是，且过点，有下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论为（　　）
A．①② B．①④ C．②④ D．③④
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请将答案填入答题卡的相应位置）
13．（2025·钟山模拟）影片《哪吒之魔童闹海》自2025年1月29日在中国大陆上映以来，吸引了大量观众，成为2025年春节档的票房冠军．截至2025年3月2日票房已经突破13800000000人民币.13800000000用科学记数法表示为　 　．
14．（2025·钟山模拟）如图，在⊙O中，弦BC=1，点A是圆上一点，且∠BAC=30°，则⊙O的半径是　 　．
15．（2025·钟山模拟）如图，反比例函数的图象经过的顶点B，在x轴上，若点，的面积为3，则k值为　 　．
16．（2025·钟山模拟）如图，在平行四边形纸片中，，，．E是线段的中点，点F在边所在的直线上，将沿所在的直线翻折得到，连接，则长度的最小值是　 　．
三、解答题（本大题共9个小题，共98分，请在答题卡上的相应位置作答）
17．（2025·钟山模拟）（1）计算：
（2）解方程：
18．（2025·钟山模拟）在中，点E，F分别在边上，连接，，，与相交于点O，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若的周长为22，，，求的长．
19．（2025·钟山模拟）贵州省2025年师生信息素养提升实践活动中，初中组部分比赛项目：A．数字绘画，B．微电影，C.3D创意设计，D．创意编程，E．算法设计，某校为了解学生的报名情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）本次调查一共抽取了______名学生；请补全条形统计图；
（2）求扇形统计图中E所在扇形圆心角的度数；
（3）现从“创意编程”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加编程比赛，请用列表或画树状图的方法，求出恰好选中甲、乙两名同学的概率．
20．（2025·钟山模拟）越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了乡村的风景，也使节能环保的举措得以落实，某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度，如图，在测点A处安置测倾器．测倾器的高度（）为1.2米，测得点M的仰角，在与点A相距米的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角（点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度．
21．（2025·钟山模拟）滨滨和妮妮是2025年亚洲冬季运动的吉祥物，寓意“哈尔滨欢迎您”．某商店以每件35元的价格购进吉祥物滨滨，以每件50元的价格出售，经统计，2025年1月份的销售量为200件．从2月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经试验，发现该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，设降价为x元，请完成下列问题：
（1）降价x元后的月销售量为______件；（用含x的式子表示）
（2）当该款吉祥物降价多少元时，月销售利润最大，最大利润是多少？
22．（2025·钟山模拟）长丰县某草莓种植基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚种植草莓．某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度与时间之间的函数关系如图所示，其中段是恒温阶段，段是某反比例函数图象的一部分．
（1）求段所对应的反比例函数图象的关系式，并写出自变量的取值范围；
（2）大棚里种植的草莓在温度为到的条件下最适合生长，若该天恒温系统开启前的温度是，则草莓一天内最适合生长的时间有多长？
23．（2025·钟山模拟）如图，为的直径，已知，点P在延长线上，．
（1）求证：是的切线；
（2）已知平分，，，求的长．
24．（2025·钟山模拟）如图，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点，点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）若，是抛物线上的两点，且，求c的取值范围；
（3）将直线向上平移m个单位，使平移后的直线与抛物线只有一个交点，求m的值．
25．（2025·钟山模拟）【综合与实践】在中，，点D在射线上运动，在左侧作，过点A作线段，使，交于点E，连接．
（1）【操作发现】
若，如图（1）所示，线段的数量关系为______，直线的位置关系为______；
（2）【类比探究】
如图（2）所示，若，则（1）中直线的位置关系是否仍然成立？请说明理由；
（3）【拓展延伸】
如图（3），若，，当是以为腰的等腰三角形时，求线段的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是，
故答案为：B．
【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数，据此解答即可.
2．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看到的是
故选：D．
【分析】根据几何体的三视图即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；二次根式的加减法；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A.，计算正确，符合题意；
B.与不能合并，故此选项计算错误，不符合题意；
C.，故此选项计算错误，不符合题意；
D.，故此选项计算错误，不符合题意；
故选：A．
【分析】根据合并同类项，二次根式的加法，同底数幂的乘法以及完全平方公式逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】平行线的应用-三角尺问题
【解析】【解答】解：如图，，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
【分析】根据直线平行性质可得∠ACF，根据角之间的关系即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】众数
【解析】【解答】解：90出现了2次，出现的次数最多，则众数是90；
故选：C．
【分析】根据众数的定义即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由二次根式定义，得：，
解得：．
故选：A．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵的半径为1，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴劣弧的长．
故选：C．
【分析】根据勾股定理逆定理可得是等腰直角三角形，则，再根据弧长公式即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵，
解得，，
∵二次项系数，
∴且．
故选：B．
【分析】根据二次方程有实数根，则判别式，解不等式，结合二次方程的定义即可求出答案.
9．【答案】A
【知识点】三角形的面积；在网格中求锐角三角函数值
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，
∵BC=2，
故选A．
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，根据三角形面积可得，根据勾股定理可得AB，AC，再根据正弦定义即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵购买4个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要540元，
∴．
∵购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元，
∴．
故选：D．
【分析】根据“购买4个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要540元；购买6个A型垃圾桶和5个B型垃圾桶共需要860元”列出二元一次方程组即可求出答案.
11．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，设交于点O，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
设，
∵，
∴
∵平行四边形的面积为，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
∴．
故选：B．
【分析】设交于点O，根据平行四边形性质可得，根据边之间的关系可得，设，根据勾股定理可得AB，再根据平行四边形面积建立方程，解方程即可求出答案.
12．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：由抛物线的开口向上可得：，根据抛物线的对称轴在y轴左边可得：a，b同号，所以，
根据抛物线与y轴的交点在负半轴可得：，
∴，故①错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
∵抛物线的对称轴是，
∴，即
∴，故②正确；
∵抛物线的对称轴是直线．且过点，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
当时，，即，故③错误；
∵时，函数值最小，
∴，
∴，所以④正确；
故选：C．
【分析】根据二次函数图象吗，性质与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：数据13800000000科学记数法表示为．故答案为：．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
14．【答案】1
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接OB，OC，
∵∠BAC=30°，
∴∠BOC=2∠BAC=60°．
∵OB=OC，
∴△BOC是等边三角形．
∴OB=BC=1．
故答案为：1．
【分析】连接OB，OC，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠BOC，再根据等边三角形判定定理及性质即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图，延长交y轴于点D，
∵，，
∴
∴，
∵是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵点B在反比例函数图象上，
∴．
故答案为：．
【分析】延长交y轴于点D，根据平行四边形面积可得BD，根据点的坐标可得，再根据待定系数法将点B坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】三角形三边关系；翻折变换（折叠问题）；等腰直角三角形；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作，交的延长线于点G，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴.
∵，点E是线段的中点，
∴，.
根据折叠的性质得.
根据三角形三边之间的关系，可得，
当点共线时，最小，
∵，
∴，
∴.
根据勾股定理，得，
解得，
∴.
根据勾股定理，得，
∴最小值是.
故答案为：.
【分析】交的延长线于点G，连接，根据平行四边形性质可得，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，根据折叠的性质得，根据三角形三边之间的关系，可得，当点共线时，最小，根据等腰直角三角形性质可得，根据勾股定理可得EG，AE，即可求出答案.
17．【答案】解：（1）
（2）
或
，
【知识点】零指数幂；因式分解法解一元二次方程；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，绝对值性质，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
（2）根据因式分解法解方程即可求出答案.
18．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：由（1）知，
∴，
∴，
∴
又∵，四边形是菱形，
∴
∴是等边三角形，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质可得，，根据等边对等角可得，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（2）由（1）知，，根据边之间的关系可得EF，根据菱形性质可得，再根据等边三角形判定定理及性质即可求出答案.
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
又∵，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：由（1）知，
∴，
∴，
∴
又∵，四边形是菱形，
∴
∴是等边三角形，
∴．
19．【答案】（1）50；
补全图形如下：
（2）解：
∴扇形统计图中E所在扇形圆心角的度数为；
（3）解：列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 —— （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） —— （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） —— （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） ——
由表可知，共有12种等可能的情况发生，其中恰好选中甲、乙两名同学的有2种结果．
∴.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】（1）解：50，，
所以一共抽取50名学生，选择C项的人数为10名同学.
故答案为：50；
【分析】（1）根据A项目的人数与占比可得总人数，再求出C项目的人数，再补全图形即可.
（2）根据360°乘以E的占比即可求出答案.
（3）列出表格，求出所有等可能的结果，再求出恰好选中甲、乙两名同学的结果，再根据概率公式即可求出答案.
（1）解：50，，
所以一共抽取50名学生，选择C项的人数为10名同学.
补全图形如下：
故答案为：50；
（2）解：
∴扇形统计图中E所在扇形圆心角的度数为；
（3）解：列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 —— （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） —— （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） —— （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） ——
由表可知，共有12种等可能的情况发生，其中恰好选中甲、乙两名同学的有2种结果．
∴.
20．【答案】解：延长交于点F，
在中，①，
在中，②
联立①②解得，（米）
∴电池板离地面的高度为7.2米
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】延长交于点F，解直角三角形可得MF，再根据边之间的关系即可求出答案.
21．【答案】（1）
（2）解：设总利润为w，则有：
，
∵，
∴当时，有最大值，为3125，
∴降价2.5元时，月销售利润最大，最大利润是3125元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：降价x元后的月销售量为件．
故答案为：；
【分析】（1）（1）利用月销售量该款吉祥物每件降低的钱数，建立代数式即可求出答案.
（2）根据总利润=每件的销售利润×月销售量，建立函数关系式，结合二次函数性质即可求出答案.
（1）解：根据题意得：降价x元后的月销售量为件．
故答案为：；
（2）解：设总利润为w，则有：
，
∵，
∴当时，有最大值，为3125，
∴降价2.5元时，月销售利润最大，最大利润是3125元
22．【答案】（1）解：设段所对应的反比例函数关系式为．
把代入，得，
．
当时，，
解得，即，
段所对应的反比例函数关系式为，自变量的取值范围为．
（2）解：设直线的函数关系式为．
把代入，
得
解得，
直线的函数关系式为．
当时，，解得．
当时，，解得，
（小时）．
答：草莓一天内最适合生长的时间有15小时．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设段所对应的反比例函数关系式为，根据待定系数法将点D坐标代入解析式可得，再将y=20代入解析式即可求出答案.
（2）设直线的函数关系式为，根据待定系数法将点代入解析式可得直线的函数关系式为，分别将y=15代入直线，反比例函数解析式求出x值，再作差即可求出答案.
（1）解：设段所对应的反比例函数关系式为．
把代入，得，
．
当时，，
解得，即，
段所对应的反比例函数关系式为，自变量的取值范围为．
（2）解：设直线的函数关系式为．
把代入，
得
解得，
直线的函数关系式为．
当时，，解得．
当时，，解得，
（小时）．
答：草莓一天内最适合生长的时间有15小时．
23．【答案】（1）证明：连接，则，
∵为的直径，，
∴，，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
∴，
即，
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的半径为5，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为，的长为．
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得，根据垂径定理可得，根据角之间的关系可得∠OAP=90°，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据正切定义可得根据相似三角形判定定理可得，则，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：连接，则，
∵为的直径，，
∴，，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
∴，
即，
∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵的半径为5，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的长为，的长为．
24．【答案】（1）解：将点代入中，
解得：，
∴，
整理得，
则顶点坐标为；
（2）解：将代入，
解得
∵，当时，
解得，，
∴或；
（3）解：设直线的函数表达式为
将，代入得
，
解得：
∴直线的函数表达式为
设向上平移m个单位长度后函数表达式为，由题意得
即
∵平移后的直线与抛物线只有一个交点，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）根据待定系数法将点A坐标代入解析式可得，再将解析式转换为顶点式可得顶点坐标.
（2）将点N坐标代入解析式可得n，再将y=3代入解析式可得x值，即可求出答案.
（3）设直线的函数表达式为，根据待定系数法将点B，C坐标代入解析式可得直线的函数表达式为，根据函数图象的平移可得设向上平移m个单位长度后函数表达式为，联立两函数解析式，根据平移后的直线与抛物线只有一个交点，则对应方程判别式，解方程即可求出答案.
（1）解：将点代入中，
解得：，
∴，
整理得，
则顶点坐标为；
（2）解：将代入，
解得
∵，当时，
解得，，
∴或；
（3）解：设直线的函数表达式为
将，代入得
，
解得：
∴直线的函数表达式为
设向上平移m个单位长度后函数表达式为，由题意得
即
∵平移后的直线与抛物线只有一个交点，
∴，
∴．
25．【答案】（1），
（2）解：的数量关系不成立，位置关系成立．
理由：∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：∵在中，，
∴，
①当时，如图，
∵，
∴
又
∴
∴
∴，
∴，
∴；
②当时，如图，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上，的长为3或．
【知识点】含30°角的直角三角形；相似三角形的判定；解直角三角形；等腰直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据等腰直角三角形性质可得，，根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）根据正切定义可得，，根据相似三角形判定定理可得，则，，再根据角之间的关系即可求出答案.
（3）根据含30°角的直角三角形性质可得，分情况讨论：①当时，根据角之间的关系可得再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案；②当时，根据角之间的关系可得，则，根据边之间的关系可得DC，再根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：的数量关系不成立，位置关系成立．
理由：∵，
∴，，
∴，
∴，，
∴，
∴；
（3）解：∵在中，，
∴，
①当时，如图，
∵，
∴
又
∴
∴
∴，
∴，
∴；
②当时，如图，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上，的长为3或．
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