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广东省东莞市三校（东莞市大岭山中学、东莞市众美中学、东莞市松山湖莞美学校）2024-2025学年高二下学期期中联考检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中相应位置涂黑.
1．（2025高二下·东莞期中）若曲线在点(0，)处的切线方程为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：因为，切点为(0，)，
所以切线的斜率为，则切线方程为，即，
又切线方程为，即，
所以，.
故答案为：D
【分析】先求导，求导数在切点出导数的值得切线斜率，代入切线方程得切点，对应比较可得a，b值．
2．（2025高二下·东莞期中）无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演.它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的3D视觉效果.如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式，已知每架无人机均可以发出3种不同颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（　　）种灯光组合.
A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：先考虑6号，有3种颜色可选.则剩下的1至5号有2种颜色可选，
号也有2种颜色可选，所以一共有种灯光组合.
故选：B.
【分析】根据题意，结合分步乘法原理求解，即可求解.
3．（2025高二下·东莞期中）下列求导运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据基本初等函数的导数公式，结合导数的四则运算求解判断即可.
4．（2025高二下·东莞期中）已知f1（x）=x，f2（x）=，，从以上三个函数中任意取两个相乘得到新函数，则所得新函数为奇函数的概率为
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：易知函数是奇函数， 是奇函数，是偶函数，
从以上三个函数中任意取两个相乘得到新函数包含的基本事件总数，
所得新函数为奇函数包含的基本事件个数，
则所得新函数为奇函数的概率p＝.
故答案为C．
【分析】先判断三个函数的奇偶性，再计算从三个函数中任意取两个相乘得到新函数包含的基本事件总数，以及所得新函数为奇函数包含的基本事件个数，最后根据古典概型概率公式求解即可.
5．（2025高二下·东莞期中）盒中有10个灯泡，其中有三个是坏的，现从盒中随机抽取4个，那么概率是的事件为（　　）
A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的
C．恰有2个是坏的 D．至多有2个是坏的
【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；超几何分布；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：从10个灯泡中随机抽取4个包含的基本事件总数为；
A、恰好1个是坏的概率为，故A错误；
B、4个全是好的概率为，故B错误；
C、恰好2个是坏的概率为，故C正确；
D、至多2个是坏的概率为，故D错误.
故答案为：C.
【分析】先计算从10个灯泡中随机抽取4个包含的基本事件总数，再根据超几何分布的概率公式，结合组合数公式逐项求解判断即可.
6．（2025高二下·东莞期中）为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合与的关系，设与的数据如表格所示：得到与的线性回归方程，则（　　）
3 4 6 7
2 2.5 4.5 7
A．-2 B．-1 C． D．
【答案】C
【知识点】回归分析的初步应用；可线性化的回归分析
【解析】【解答】解：由已知可得，，，
所以，有，解得，
所以，，
由，得，
所以，，则.
故答案为：C.
【分析】回归方程恒过点，由题意先求，代入可得及回归方程，将代回即可得c.
7．（2025高二下·东莞期中）已知随机变量服从正态分布，且，则等于（　　）
A．0.14 B．0.62 C．0.72 D．0.86
【答案】D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：随机变量服从正态分布，且，则，
，故.
故答案为：D.
【分析】根据正态分布的性质计算即可.
8．（2025高二下·东莞期中）若函数与的图像存在公共切线，则实数的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数定义域为，定义域为，
求导可得，，
设公切线与的图像切于点，
与曲线切于点，
由题意可得，
故，，，
因为，故，
设，，令，解得，
当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，且，
故实数a的最大值为e.
故答案为：A.
【分析】分别求函数的定义域，再求导，设公切线与和的切点分别为，，根据导数的几何意义列式，化简可得，设，求导，利用导数判断函数的单调性，求最值，即可得实数的最大值.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高二下·东莞期中）已知，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：A、由，
可得的展开式中最高次项为次项，即，故A正确；
B、的展开式中，的系数为，的系数为，
则，故B错误；
C、令，得，故C正确；
D、令，得，
则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据二项展开式的性质可得即可判断A；由A选项，求展开式中和的系数，即可判断B；利用赋值法求解即可判断CD.
10．（2025高二下·东莞期中）设函数则下列说法正确的有（　　）
A．函数仅有1个零点
B．是的极小值点
C．函数的对称中心为
D．过可以作三条直线与的图象相切
【答案】A,C,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；导数的几何意义；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A、，，
当或时，，当时，，所以函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以，，又，
所以函数仅有1个零点，且该零点在区间上，该选项正确，符合题意；
B、由A得，该选项错误，不合题意；
C、由，得，
所以函数的图象关于对称，该选项正确，符合题意；
D、设切点为，则，故切线方程为，
又过点，所以，整理得，
即，解得或或，所以过可以作三条直线与的图象相切，该选项正确，符合题意．
故答案为：ACD．
【分析】求导，令导数大于0（小于0）得函数单调递增区间（递减区间），可得函数极大值（极小值）， 所以函数仅有1个零点，且该零点在区间上 ，可判断A，B；由对称中心性质求f(1+x)+f(1-x)的值，可判断C；求导，设出切点，根据导数的几何意义，求出各切线方程，可判断D.
11．（2025高二下·东莞期中）高尔顿钉板（或高尔顿板）是英国生物统计学家高尔顿设计的用来研究随机现象的模型．某游乐场根据“高尔顿钉板”模型，仿制了一款如图的游戏机：玩家投入一枚游戏币后，机器从上方放下一颗半径适当的小球，小球等可能的从第1层由2个钉子（图中圆点）隔出的3个空隙中落下，碰撞到下一层的钉子后等可能地从碰撞到的钉子左边或右边落下，如此继续下去，最后落入编号为①②…⑧的槽内，然后根据落下的结果发放奖品.设小球落入编号①②…⑧的槽内概率分别为则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C．的最大值为 D．的最小值为
【答案】A,B,C
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意可知：小球从最上层3个缝隙落下的概率都相等，
往后每一层左右两边落下的概率相同，
由对称性可知：
，，
，，故A，B正确；
，
，故C正确，D错误.
故答案为：ABC.
【分析】由题意可知：小球从最上层3个缝隙落下的概率都相等，往后每一层左右两边落下的概率相同，根据对称性，结合独立重复试验的概率公式求判断即可.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡相应位置上.
12．（2025高二下·东莞期中）对四组数据进行统计，依次获得如图所示的散点图．
关于其相关系数的大小比较，将0、、、、从小到大排列，应为　 　．
【答案】
【知识点】样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：由散点图可知，则.
故答案为：.
【分析】根据散点图判断相关性的强弱，求 0、、、、的大小关系即可.
13．（2025高二下·东莞期中）小李经常参加健身运动，他周一去健身的概率为，周二去健身的概率为，且小李周一不去健身的条件下周二去的概率是周一去健身的条件下周二去的概率的2倍，则小李周一、周二都去健身的概率为　 　．
【答案】
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：设“小李周一去健身”为事件A，设“小李周二去健身”为事件B，
则“小李周一、周二都去健身”为事件，
由题意可知：，，且，
由全概率公式可知：，
即，代入，解得，
则.
故答案为：.
【分析】先记事件，利用全概率公式，结合条件概率公式求解即可.
14．（2025高二下·东莞期中）已知随机变量，若最大，则　 　．
【答案】24
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】由题意知：，要使最大，有，
化简得，解得，故，又，
故。
故答案为：24。
【分析】利用已知条件结合随机变量X服从二项分布的概率求解方法，再利用函数的单调性求最值的方法，进而求出满足要求的实数k的值，再利用二项分布方差公式结合方差的性质，进而求出的值。
四、解答题：本题共5小题，共77分.第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.
15．（2025高二下·东莞期中）现有编号为，，的3个不同的红球和编号为，的2个不同的白球.
（1）若将这些小球排成一排，要求球排在正中间，且，不相邻，则有多少种不同的排法？
（2）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？（注：请列出解题过程，结果用数字表示）
【答案】（1）解：将这些小球排成一排，要求球排在正中间，且，不相邻，
则先把安在正中间位置，从的两侧各选一个位置插入、，其余小球任意排，
方法有种.
（2）解：将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，
则先把5个小球分成3组，再进入3个盒子中.
若按311分配，方法有种，
若按221分配，方法有种.
综上可得，方法共有种.
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【分析】（1）球作为特殊元素优先排，再排相邻的，两球，将两球捆绑成一个元素，从的两侧各选一个位置插入，其余小球任意安排；
（2）把5个小球分成3组，按311分配，或按221分配，再乘以全排列.
（1）将这些小球排成一排，要求球排在正中间，且，不相邻，
则先把安在正中间位置，从的两侧各选一个位置插入、，其余小球任意排，
方法有种.
（2）将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，
则先把5个小球分成3组，再进入3个盒子中.
若按311分配，方法有种，
若按221分配，方法有种.
综上可得，方法共有种.
16．（2025高二下·东莞期中）已知函数.
（1）若是的极值点，求的值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若恒成立，求a的取值范围；
【答案】（1）解：函数定义域为，，
因为是的极值点，所以，即，解得，经检验符合题意；
（2）解：，
当时，，函数在上单调递增；
当时，令，解得，
当时，；
当时，；
则在上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；
（3）解：函数的定义域为，若恒成立，则恒成立，即恒成立，
令，只需，，
令，解得，
当时，，则单调递增；
当时，，则单调递减；
则，解得，
故实数a的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，由题意可得，求的值，注意检验；
（2）由（1）得，分和两种情况讨论导数的正负，据此求函数的单调区间即可；
（3）问题转化为恒成立，构造函数，只需，求导，利用导数判断函数的单调性，求出其最大值，即可得a的取值范围.
（1）由，得，
因为是的极值点，
所以，即，所以，经检验符合题意.
（2）.
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，解得，
当时，；
当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；
（3）的定义域为，若恒成立，则恒成立，
即恒成立，
令，只需，又，
令得，
时，，则单调递增；
时，，则单调递减；
所以，解得：；
17．（2025高二下·东莞期中）某市从2015年起每年6月都举办一届民俗文化周，到2020年已举办了六届，据旅游部门统计在每届民俗文化周期间，吸引了不少外地游客，极大地推进了该市的旅游业发展，现将前五届民俗文化周期间外地游客的人数统计如下表：
年份 2015年 2016年 2017年 2018年 2019年
民俗文化周届数编号 1 2 3 4 5
外地游客人数（单位：十万） 0.6 0.8 0.9 1.2 1.5
（1）求关于的线性回归方程；
（2）据旅游部门统计在每届民俗文化周期间，每位外地游客可为本市增加100元左右的旅游收入，利用（1）中的线性回归方程，预测2023年第9届民俗文化周期间的外地游客可为本市增加的旅游收入为多少万元.
参考公式： ，.
【答案】（1）解：由所给数据计算得：，，
，
，
，，
则所求的线性回归方程为；
（2）解：由（1）知，当时，，
于是预测2023年第9届民俗文化周期间的外地游客可达23万2千人，
由232 000×100＝23 200 000（元），
所以预测2023年第9届民俗文化周期间的外地游客可为本市增加的旅游收入达2 320万元.
【知识点】线性回归方程；回归分析
【解析】【分析】（1）根据表格数据分别求和的平均值，再根据公式算出相关系数，即可得线性回归方程；
（2）结合（1）中的数据进行计算和分析即可.
（1）由所给数据计算得：
，
，
，
，
，
，
所以所求的线性回归方程为.
（2）由（1）知，当时，，
于是预测2023年第9届民俗文化周期间的外地游客可达23万2千人，
由232 000×100＝23 200 000（元），
所以预测2023年第9届民俗文化周期间的外地游客可为本市增加的旅游收入达2 320万元.
18．（2025高二下·东莞期中）质监部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别各随机抽取桶检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图：
（1）写出频率分布直方图（甲）中的值；记甲、乙两种食用油桶样本的质量指标的方差分别为，，试比较，的大小（只要求写出答案）；
（2）估计在甲、乙两种食用油中随机抽取桶，恰有一桶的质量指标大于的概率；
（3）由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值服从正态分布．其中近似为样本平均数，近似为样本方差，设表示从乙种食用油中随机抽取桶，其质量指标值位于的桶数，求的数学期望．
注：①同一组数据用该区问的中点值作代表，计算得
②若，则，．
【答案】（1）解：由频率分布直方图可得：，解得；
记甲、乙两种食用油桶样本的质量指标的方差分别为，，由频率分布直方图可得；
（2）解：设事件：在甲种食用油中随机抽取桶，其质量指标不大于，
事件：在乙种食用油中随机抽取桶，其质量指标不大于，
事件：在甲、乙两种食用油中随机抽取桶，恰有一个桶的质量指标不大于，且另一个不大于，
则，，
；
（3）解：计算得：，
因为，由条件得，从而，
所以从乙种食用油中随机抽取桶，其质量指标值位于的概率是，
根据题意得，则.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积之和为，列式计算的值；再根据图象判断乙的分布比较集中，方差小，甲波动大，方差大判断， 的大小即可；
（2）分别计算甲和乙两种食用油质量指标小于等于的频率，和大于的频率，再将所求事件分为两种情况求概率即可；
（3）先根据 乙 的频率分布直方图计算平均数，求得，所求事件的概率为 ， ，根据二项分布求期望即可.
（1）由频率分布直方图可得：，解得；
记甲、乙两种食用油桶样本的质量指标的方差分别为，，
由频率分布直方图可得.
（2）设事件：在甲种食用油中随机抽取桶，其质量指标不大于，
事件：在乙种食用油中随机抽取桶，其质量指标不大于，
事件：在甲、乙两种食用油中随机抽取桶，恰有一个桶的质量指标不大于，且另一个不大于，
则，，
∴
（3）计算得：，
，由条件得，
从而，
∴从乙种食用油中随机抽取桶，其质量指标值位于的概率是，
根据题意得，
∴.
19．（2025高二下·东莞期中）已知函数，，设曲线在点处的切线方程为. 如果对任意的，均有：
①当时，；
②当时，；
③当时，，
则称为函数的一个“ -点”.
（1）判断是否是下列函数的“ -点”：
①； ②.（只需写出结论）
（2）设函数.
（ⅰ）若，证明：是函数的一个“ -点”；
（ⅱ）若函数存在“ -点”，直接写出的取值范围.
【答案】解：（1） ①0是的“ -点”；②0不是的“ -点”；
（2）当时，，其定义域为，（），
（ⅰ）证明：因为，，
所以在点处的切线方程为，即，
令，
则，
因为，所以，
所以 函数是上的增函数.，且 ，
所以 当时，，即；
当时，，即；
当时，，即，
所以是函数的 “ -点”.
（ⅱ）若函数存在“ -点”，则的取值范围是.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）直接根据“ -点”的定义判断即可；
（2）（ⅰ）将代入，求函数的定义域，再求导，利用导数的几何意义，结合点斜式求得函数在处的切线的方程为，令，再求导，利用导数判断函数的单调性，根据其单调性判断函数在时，时，和时的符号即可；
（ⅱ）由（ⅰ）直接判断.
1 / 1广东省东莞市三校（东莞市大岭山中学、东莞市众美中学、东莞市松山湖莞美学校）2024-2025学年高二下学期期中联考检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中相应位置涂黑.
1．（2025高二下·东莞期中）若曲线在点(0，)处的切线方程为，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．（2025高二下·东莞期中）无人机集群智能灯光秀是一种集无人机技术和智能照明相结合的艺术表演.它利用大量无人机排列组合，加上灯光智能照明的“协作”，依据编程和算法，制造出惊人的3D视觉效果.如图，在某一次无人机灯光表演秀中，有8架无人机排布成如图形式，已知每架无人机均可以发出3种不同颜色的光，编号1至5号的无人机颜色必须相同，编号7、8号的无人机颜色必须相同，编号6号的无人机与其他无人机颜色均不相同，则这8架无人机同时发光时，一共可以有（　　）种灯光组合.
A．9 B．12 C．15 D．18
3．（2025高二下·东莞期中）下列求导运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025高二下·东莞期中）已知f1（x）=x，f2（x）=，，从以上三个函数中任意取两个相乘得到新函数，则所得新函数为奇函数的概率为
A． B． C． D．
5．（2025高二下·东莞期中）盒中有10个灯泡，其中有三个是坏的，现从盒中随机抽取4个，那么概率是的事件为（　　）
A．恰有1个是坏的 B．4个全是好的
C．恰有2个是坏的 D．至多有2个是坏的
6．（2025高二下·东莞期中）为研究某池塘中水生植物的覆盖水塘面积（单位：）与水生植物的株数（单位：株）之间的相关关系，收集了4组数据，用模型去拟合与的关系，设与的数据如表格所示：得到与的线性回归方程，则（　　）
3 4 6 7
2 2.5 4.5 7
A．-2 B．-1 C． D．
7．（2025高二下·东莞期中）已知随机变量服从正态分布，且，则等于（　　）
A．0.14 B．0.62 C．0.72 D．0.86
8．（2025高二下·东莞期中）若函数与的图像存在公共切线，则实数的最大值为（　　）
A． B． C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高二下·东莞期中）已知，，则（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025高二下·东莞期中）设函数则下列说法正确的有（　　）
A．函数仅有1个零点
B．是的极小值点
C．函数的对称中心为
D．过可以作三条直线与的图象相切
11．（2025高二下·东莞期中）高尔顿钉板（或高尔顿板）是英国生物统计学家高尔顿设计的用来研究随机现象的模型．某游乐场根据“高尔顿钉板”模型，仿制了一款如图的游戏机：玩家投入一枚游戏币后，机器从上方放下一颗半径适当的小球，小球等可能的从第1层由2个钉子（图中圆点）隔出的3个空隙中落下，碰撞到下一层的钉子后等可能地从碰撞到的钉子左边或右边落下，如此继续下去，最后落入编号为①②…⑧的槽内，然后根据落下的结果发放奖品.设小球落入编号①②…⑧的槽内概率分别为则下列结论正确的是（　　）
A． B．
C．的最大值为 D．的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡相应位置上.
12．（2025高二下·东莞期中）对四组数据进行统计，依次获得如图所示的散点图．
关于其相关系数的大小比较，将0、、、、从小到大排列，应为　 　．
13．（2025高二下·东莞期中）小李经常参加健身运动，他周一去健身的概率为，周二去健身的概率为，且小李周一不去健身的条件下周二去的概率是周一去健身的条件下周二去的概率的2倍，则小李周一、周二都去健身的概率为　 　．
14．（2025高二下·东莞期中）已知随机变量，若最大，则　 　．
四、解答题：本题共5小题，共77分.第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效.
15．（2025高二下·东莞期中）现有编号为，，的3个不同的红球和编号为，的2个不同的白球.
（1）若将这些小球排成一排，要求球排在正中间，且，不相邻，则有多少种不同的排法？
（2）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，则有多少种不同的放法？（注：请列出解题过程，结果用数字表示）
16．（2025高二下·东莞期中）已知函数.
（1）若是的极值点，求的值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若恒成立，求a的取值范围；
17．（2025高二下·东莞期中）某市从2015年起每年6月都举办一届民俗文化周，到2020年已举办了六届，据旅游部门统计在每届民俗文化周期间，吸引了不少外地游客，极大地推进了该市的旅游业发展，现将前五届民俗文化周期间外地游客的人数统计如下表：
年份 2015年 2016年 2017年 2018年 2019年
民俗文化周届数编号 1 2 3 4 5
外地游客人数（单位：十万） 0.6 0.8 0.9 1.2 1.5
（1）求关于的线性回归方程；
（2）据旅游部门统计在每届民俗文化周期间，每位外地游客可为本市增加100元左右的旅游收入，利用（1）中的线性回归方程，预测2023年第9届民俗文化周期间的外地游客可为本市增加的旅游收入为多少万元.
参考公式： ，.
18．（2025高二下·东莞期中）质监部门从某超市销售的甲、乙两种食用油中分别各随机抽取桶检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图：
（1）写出频率分布直方图（甲）中的值；记甲、乙两种食用油桶样本的质量指标的方差分别为，，试比较，的大小（只要求写出答案）；
（2）估计在甲、乙两种食用油中随机抽取桶，恰有一桶的质量指标大于的概率；
（3）由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值服从正态分布．其中近似为样本平均数，近似为样本方差，设表示从乙种食用油中随机抽取桶，其质量指标值位于的桶数，求的数学期望．
注：①同一组数据用该区问的中点值作代表，计算得
②若，则，．
19．（2025高二下·东莞期中）已知函数，，设曲线在点处的切线方程为. 如果对任意的，均有：
①当时，；
②当时，；
③当时，，
则称为函数的一个“ -点”.
（1）判断是否是下列函数的“ -点”：
①； ②.（只需写出结论）
（2）设函数.
（ⅰ）若，证明：是函数的一个“ -点”；
（ⅱ）若函数存在“ -点”，直接写出的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：因为，切点为(0，)，
所以切线的斜率为，则切线方程为，即，
又切线方程为，即，
所以，.
故答案为：D
【分析】先求导，求导数在切点出导数的值得切线斜率，代入切线方程得切点，对应比较可得a，b值．
2．【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：先考虑6号，有3种颜色可选.则剩下的1至5号有2种颜色可选，
号也有2种颜色可选，所以一共有种灯光组合.
故选：B.
【分析】根据题意，结合分步乘法原理求解，即可求解.
3．【答案】C
【知识点】导数的四则运算；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据基本初等函数的导数公式，结合导数的四则运算求解判断即可.
4．【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：易知函数是奇函数， 是奇函数，是偶函数，
从以上三个函数中任意取两个相乘得到新函数包含的基本事件总数，
所得新函数为奇函数包含的基本事件个数，
则所得新函数为奇函数的概率p＝.
故答案为C．
【分析】先判断三个函数的奇偶性，再计算从三个函数中任意取两个相乘得到新函数包含的基本事件总数，以及所得新函数为奇函数包含的基本事件个数，最后根据古典概型概率公式求解即可.
5．【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式；超几何分布；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：从10个灯泡中随机抽取4个包含的基本事件总数为；
A、恰好1个是坏的概率为，故A错误；
B、4个全是好的概率为，故B错误；
C、恰好2个是坏的概率为，故C正确；
D、至多2个是坏的概率为，故D错误.
故答案为：C.
【分析】先计算从10个灯泡中随机抽取4个包含的基本事件总数，再根据超几何分布的概率公式，结合组合数公式逐项求解判断即可.
6．【答案】C
【知识点】回归分析的初步应用；可线性化的回归分析
【解析】【解答】解：由已知可得，，，
所以，有，解得，
所以，，
由，得，
所以，，则.
故答案为：C.
【分析】回归方程恒过点，由题意先求，代入可得及回归方程，将代回即可得c.
7．【答案】D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：随机变量服从正态分布，且，则，
，故.
故答案为：D.
【分析】根据正态分布的性质计算即可.
8．【答案】A
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数定义域为，定义域为，
求导可得，，
设公切线与的图像切于点，
与曲线切于点，
由题意可得，
故，，，
因为，故，
设，，令，解得，
当时，，当时，，
则在上单调递增，在上单调递减，且，
故实数a的最大值为e.
故答案为：A.
【分析】分别求函数的定义域，再求导，设公切线与和的切点分别为，，根据导数的几何意义列式，化简可得，设，求导，利用导数判断函数的单调性，求最值，即可得实数的最大值.
9．【答案】A,C,D
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：A、由，
可得的展开式中最高次项为次项，即，故A正确；
B、的展开式中，的系数为，的系数为，
则，故B错误；
C、令，得，故C正确；
D、令，得，
则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据二项展开式的性质可得即可判断A；由A选项，求展开式中和的系数，即可判断B；利用赋值法求解即可判断CD.
10．【答案】A,C,D
【知识点】奇偶函数图象的对称性；导数的几何意义；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A、，，
当或时，，当时，，所以函数在，上单调递增，在上单调递减，
所以，，又，
所以函数仅有1个零点，且该零点在区间上，该选项正确，符合题意；
B、由A得，该选项错误，不合题意；
C、由，得，
所以函数的图象关于对称，该选项正确，符合题意；
D、设切点为，则，故切线方程为，
又过点，所以，整理得，
即，解得或或，所以过可以作三条直线与的图象相切，该选项正确，符合题意．
故答案为：ACD．
【分析】求导，令导数大于0（小于0）得函数单调递增区间（递减区间），可得函数极大值（极小值）， 所以函数仅有1个零点，且该零点在区间上 ，可判断A，B；由对称中心性质求f(1+x)+f(1-x)的值，可判断C；求导，设出切点，根据导数的几何意义，求出各切线方程，可判断D.
11．【答案】A,B,C
【知识点】相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意可知：小球从最上层3个缝隙落下的概率都相等，
往后每一层左右两边落下的概率相同，
由对称性可知：
，，
，，故A，B正确；
，
，故C正确，D错误.
故答案为：ABC.
【分析】由题意可知：小球从最上层3个缝隙落下的概率都相等，往后每一层左右两边落下的概率相同，根据对称性，结合独立重复试验的概率公式求判断即可.
12．【答案】
【知识点】样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：由散点图可知，则.
故答案为：.
【分析】根据散点图判断相关性的强弱，求 0、、、、的大小关系即可.
13．【答案】
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：设“小李周一去健身”为事件A，设“小李周二去健身”为事件B，
则“小李周一、周二都去健身”为事件，
由题意可知：，，且，
由全概率公式可知：，
即，代入，解得，
则.
故答案为：.
【分析】先记事件，利用全概率公式，结合条件概率公式求解即可.
14．【答案】24
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【解答】由题意知：，要使最大，有，
化简得，解得，故，又，
故。
故答案为：24。
【分析】利用已知条件结合随机变量X服从二项分布的概率求解方法，再利用函数的单调性求最值的方法，进而求出满足要求的实数k的值，再利用二项分布方差公式结合方差的性质，进而求出的值。
15．【答案】（1）解：将这些小球排成一排，要求球排在正中间，且，不相邻，
则先把安在正中间位置，从的两侧各选一个位置插入、，其余小球任意排，
方法有种.
（2）解：将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，
则先把5个小球分成3组，再进入3个盒子中.
若按311分配，方法有种，
若按221分配，方法有种.
综上可得，方法共有种.
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用；排列与组合的综合
【解析】【分析】（1）球作为特殊元素优先排，再排相邻的，两球，将两球捆绑成一个元素，从的两侧各选一个位置插入，其余小球任意安排；
（2）把5个小球分成3组，按311分配，或按221分配，再乘以全排列.
（1）将这些小球排成一排，要求球排在正中间，且，不相邻，
则先把安在正中间位置，从的两侧各选一个位置插入、，其余小球任意排，
方法有种.
（2）将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，
则先把5个小球分成3组，再进入3个盒子中.
若按311分配，方法有种，
若按221分配，方法有种.
综上可得，方法共有种.
16．【答案】（1）解：函数定义域为，，
因为是的极值点，所以，即，解得，经检验符合题意；
（2）解：，
当时，，函数在上单调递增；
当时，令，解得，
当时，；
当时，；
则在上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；
（3）解：函数的定义域为，若恒成立，则恒成立，即恒成立，
令，只需，，
令，解得，
当时，，则单调递增；
当时，，则单调递减；
则，解得，
故实数a的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，由题意可得，求的值，注意检验；
（2）由（1）得，分和两种情况讨论导数的正负，据此求函数的单调区间即可；
（3）问题转化为恒成立，构造函数，只需，求导，利用导数判断函数的单调性，求出其最大值，即可得a的取值范围.
（1）由，得，
因为是的极值点，
所以，即，所以，经检验符合题意.
（2）.
当时，，所以在上单调递增；
当时，令，解得，
当时，；
当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减；
（3）的定义域为，若恒成立，则恒成立，
即恒成立，
令，只需，又，
令得，
时，，则单调递增；
时，，则单调递减；
所以，解得：；
17．【答案】（1）解：由所给数据计算得：，，
，
，
，，
则所求的线性回归方程为；
（2）解：由（1）知，当时，，
于是预测2023年第9届民俗文化周期间的外地游客可达23万2千人，
由232 000×100＝23 200 000（元），
所以预测2023年第9届民俗文化周期间的外地游客可为本市增加的旅游收入达2 320万元.
【知识点】线性回归方程；回归分析
【解析】【分析】（1）根据表格数据分别求和的平均值，再根据公式算出相关系数，即可得线性回归方程；
（2）结合（1）中的数据进行计算和分析即可.
（1）由所给数据计算得：
，
，
，
，
，
，
所以所求的线性回归方程为.
（2）由（1）知，当时，，
于是预测2023年第9届民俗文化周期间的外地游客可达23万2千人，
由232 000×100＝23 200 000（元），
所以预测2023年第9届民俗文化周期间的外地游客可为本市增加的旅游收入达2 320万元.
18．【答案】（1）解：由频率分布直方图可得：，解得；
记甲、乙两种食用油桶样本的质量指标的方差分别为，，由频率分布直方图可得；
（2）解：设事件：在甲种食用油中随机抽取桶，其质量指标不大于，
事件：在乙种食用油中随机抽取桶，其质量指标不大于，
事件：在甲、乙两种食用油中随机抽取桶，恰有一个桶的质量指标不大于，且另一个不大于，
则，，
；
（3）解：计算得：，
因为，由条件得，从而，
所以从乙种食用油中随机抽取桶，其质量指标值位于的概率是，
根据题意得，则.
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图各矩形面积之和为，列式计算的值；再根据图象判断乙的分布比较集中，方差小，甲波动大，方差大判断， 的大小即可；
（2）分别计算甲和乙两种食用油质量指标小于等于的频率，和大于的频率，再将所求事件分为两种情况求概率即可；
（3）先根据 乙 的频率分布直方图计算平均数，求得，所求事件的概率为 ， ，根据二项分布求期望即可.
（1）由频率分布直方图可得：，解得；
记甲、乙两种食用油桶样本的质量指标的方差分别为，，
由频率分布直方图可得.
（2）设事件：在甲种食用油中随机抽取桶，其质量指标不大于，
事件：在乙种食用油中随机抽取桶，其质量指标不大于，
事件：在甲、乙两种食用油中随机抽取桶，恰有一个桶的质量指标不大于，且另一个不大于，
则，，
∴
（3）计算得：，
，由条件得，
从而，
∴从乙种食用油中随机抽取桶，其质量指标值位于的概率是，
根据题意得，
∴.
19．【答案】解：（1） ①0是的“ -点”；②0不是的“ -点”；
（2）当时，，其定义域为，（），
（ⅰ）证明：因为，，
所以在点处的切线方程为，即，
令，
则，
因为，所以，
所以 函数是上的增函数.，且 ，
所以 当时，，即；
当时，，即；
当时，，即，
所以是函数的 “ -点”.
（ⅱ）若函数存在“ -点”，则的取值范围是.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）直接根据“ -点”的定义判断即可；
（2）（ⅰ）将代入，求函数的定义域，再求导，利用导数的几何意义，结合点斜式求得函数在处的切线的方程为，令，再求导，利用导数判断函数的单调性，根据其单调性判断函数在时，时，和时的符号即可；
（ⅱ）由（ⅰ）直接判断.
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