资源简介

广东省广州市第一一三中学2024~2025学年七年级下学期期中考试数学试卷
一、单项选择题（每题3分，共30分）
1．（2025七下·广州期中）下列各数中，16的算术平方根为（　　）
A． B．4 C． D．8
2．（2025七下·广州期中）下列各点中，在第三象限的点是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025七下·广州期中）下列实数、0、，中，无理数是（　　）
A． B．0 C． D．
4．（2025七下·广州期中）如图，下列条件中，能判断的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025七下·广州期中）下列命题中是假命题的是（　　）．
A．等角的补角相等
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．对顶角相等
D．同位角相等
6．（2025七下·广州期中）若是关于x，y的方程的一个解，则a的值为（　　）
A．1 B．5 C． D．
7．（2025七下·广州期中）如图，这是一所学校的部分平面示意图，教学楼、实验楼和图书馆的位置都在边长为1的小正方形网格线的交点处，若教学楼位置的坐标是，实验楼位置的坐标是，则图书馆位置的坐标是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025七下·广州期中）如图，在一块长14m、宽6m的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移3m就是它的右边线，则绿化区的面积是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025七下·广州期中）在平面直角坐标系中，点M坐标为，若轴，且线段，则点N坐标为（　　）
A． B．
C．或 D．或
10．（2025七下·广州期中）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为，第2次碰到正方形的边时的点为，…，第n次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2025七下·广州期中）比较大小：3　 　．（填“>”“ <”或“=”）
12．（2025七下·广州期中）如图，直线a、b相交，∠1=36度，则∠2=　 　度．
13．（2025七下·广州期中）如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口A、B和村庄M、N．小强从道口A到公路，他选择的路线为公路，其理由为　 　．
14．（2025七下·广州期中）如图，正方形的面积为7，顶点A与数轴上表示数1的点重合，点在数轴上，且在点A的左侧，，则点表示的数是　 　．
15．（2025七下·广州期中）小明制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为．小明　 　将贺卡不折叠就放入此信封．（填能或不能）
三、解答题（本大题有5小题，共35分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．）
16．（2025七下·广州期中）解方程（组）
（1）；
（2）．
17．（2025七下·广州期中）如图，两直线、相交于点，平分，如果，
（1）求；
（2）若，求．
18．（2025七下·广州期中）（1）计算：；
（2）已知的算术平方根是3，的立方根是2，求的平方根．
19．（2025七下·广州期中）在如图所示的直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，
（1）把向右平移2个单位长度得到，请在图中画出平移后的；
（2）内有一点经过以上平移后的对应点为，直接写出点的坐标______；
（3）若点，求的面积．
20．（2025七下·广州期中）问题情境：如图1，，点在直线上，点在直线上，点在直线，之间，连接，．勤奋小组的同学们对该图形进行了研究．
（1）观察猜想：小明猜想，他过点作，如图2，请帮他完成证明过程．
（2）深入探究：小华在帮助小明完善解题过程时，发现用同样的辅助线还可以得到，，之间的关系，请写出这三个角度间满足的关系并完成证明．
（3）问题解决：图3是天文爱好者小夏在观察北斗七星时所拍摄的画面，绘制北斗七星的位置图时将北斗七星摇光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为，，，，，，，并连接，，，，，．绘制过程中发现摇光、开阳所在的直线与天玑、天璇所在的直线几乎平行（如图4）（因为距离地球很远，所以近似看作）．结合上面的探究过程，若，，，则________°．
四、解答题（本大题有3小题，共40分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．）
21．（2025七下·广州期中）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为，例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题：
（1）的“青一区间”为______；的“青一区间”为______；
（2）实数，满足关系式：，求的“青一区间”．
（3）多选题：全部选对得满分，选对但不全的视正确答案数相应给分，有选错的得0分．
在（2）的条件下描述，正确的答案是（　　）
A．是有理数 B． C． D．
（4）若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值．
22．（2025七下·广州期中）如图，已知两条直线被直线所截，分别交于点E，点F，交于点M，，且．
（1）当时，__________°．
（2）判断是否平分，并说明理由．
（3）如图，点G是射线上一动点（不与点F重合），平分交于点H，过点H作于点N，设．探究当点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
23．（2025七下·广州期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接．
（1）若，求线段的长度；
（2）若且．
①当点在直线上时，求的值；
②当点不在直线上时，连接，，记的面积为，若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：16的算术平方根为4，
故选：B．
【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案.
2．【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵第三象限的点的坐标特点是横纵坐标均小于0，
∴结合四个选项中只有符合条件．
故选：C．
【分析】根据各象限内点的坐标特征即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：由、0、是有理数，
是无理数，
故选：D．
【分析】本题主要考查了无理数的定义，无理数也称无限不循环小数，不能写作两整数之比，若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环，据此作答，即可得到答案.
4．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：、不能判定，该选项不合题意；
、不能判定，该选项不合题意；
、∵，
∴，不能判定，该选项不合题意；
、∵，
∴，该选项符合题意；
故选：．
【分析】根据直线平行判定定理逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】A. 等角的补角相等，是真命题，不符合题意；
B. 平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题，不符合题意；
C. 对顶角相等，是真命题，不符合题意；
D. 两直线平行，同位角相等，原命题是假命题，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据判断假命题的方法举反例确定假命题。
6．【答案】C
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵是关于x，y的方程的一个解，
∴，
解得：，
故选：C．
【分析】将x，y值代入方程可得关于a的一次方程，解方程即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】点的坐标；用坐标表示地理位置；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：如图所示：图书馆位置的坐标是．
故选：D．
【分析】根据教学楼，实验楼的坐标建立直角坐标，再根据图书馆的位置求出坐标即可.
8．【答案】B
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由题意得：
（14-3）×6
=11×6
=66（m2），
∴绿化区的面积是66 m2，
故选：B．
【分析】根据平移的性质可得，绿化部分可看作是长为（14-3）m，宽为6m的矩形，结合矩形面积即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；线段上的两点间的距离
【解析】【解答】解：∵点M坐标为，轴，
∴N坐标为或
故答案为：C.
【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同可得点N的纵坐标为3，然后根据MN=2求出点N的横坐标，进而可得点N的坐标.
10．【答案】A
【知识点】有理数的除法法则；用代数式表示图形变化规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：根据反射角等于入射角画图如下，
由图中可知，，，，最后再反射到，由此可知，每6次循环一次，
，
.
故选：A.
【分析】根据反射角的性质求出，，，，总结规律，即可求出答案.
11．【答案】>
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵32=9，()2=7，9>7，
∴3>.
故答案为：>.
【分析】首先给两个数分别平方，然后进行比较即可.
12．【答案】144
【知识点】邻补角
【解析】【解答】解：∵直线a、b相交，
∴∠1+∠2=180°，
∵∠1=36°，
∴∠2=180°－36°=144°.
故答案为144.
【分析】根据邻补角即可求出答案.
13．【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：∵
∴他选择的路线为公路，其理由为垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
【分析】根据垂线段最短即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；求算术平方根
【解析】【解答】解：∵正方形的面积为7，
∴正方形的边长为，
∵，点A与数轴上表示数1的点重合，
∴点表示的数是，
故答案为：．
【分析】先根据正方形的面积公式及算术平方根定义可得正方形边长等于面积的算术平方根，即，然后线段和差得出点E到原点的距离为，进而根据数轴上原点左边的点表示负数可得点E所表示的数.
15．【答案】不能
【知识点】无理数的估值；矩形的性质；一元二次方程的应用-几何问题；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：面积为的正方形的边长为，
长、宽之比为，面积为的长方形，
设长为，宽为，
∴，则，
∵，
解得，（负值舍去），
∴长方形的长为，宽为，
∵，即，
∴，
∴，
∴贺卡不折叠就不能放入此信封，
故答案为：不能 ．
【分析】根据正方形性质可得边长为16，设长方形的长为，宽为，根据面积建立方程，解方程可得长方形的长为，宽为，再比较大小即可求出答案.
16．【答案】（1）解：
，
∵，
∴；
（2）解：，
①②得，，
整理得，，
解得，，
把代入②得，，
解得，，
∴原方程组的解为．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据直接开平方法解方程即可求出答案.
（2）根据加减消元法解方程组即可求出答案.
（1）解：
，
∵，
∴；
（2）解：，
①②得，，
整理得，，
解得，，
把代入②得，，
解得，，
∴原方程组的解为．
17．【答案】（1）解：∵，，
，．
．
∵平分，
，
．
（2）解：∵，，
，
．
【知识点】对顶角及其性质；邻补角；角平分线的概念；余角
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，，根据对顶角相等可得，再根据角平分线定义可得，再根据补角即可求出答案.
（2）根据余角可得，再根据补角即可求出答案.
18．【答案】解：（1）
；
（2）∵的算术平方根是3，
∴，
∵的立方根是2，
∴，
联立得，
解得：，
∴，
∴的平方根是．
【知识点】解二元一次方程组；实数的绝对值；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）根据绝对值、立方根和算术平方根的性质化简，再计算加减即可求出答案.
（2）根据立方根和算术平方根的性质，联立得到二元一次方程组，解方程组即可求出答案.
19．【答案】（1）解：如图，找出的对应点，然后连接各点即可；
∴即为所求；
（2）
（3）解：如图，
由网格可知，
∴的面积为．
【知识点】三角形的面积；平移的性质；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）根据平移性质作图即可.
（2）根据点的平移即可求出答案.
（3）根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：如图，找出的对应点，然后连接各点即可；
∴即为所求；
（2）解：内有一点经过以上平移后的对应点为，直接写出点的坐标为；
故答案为：；
（3）解：如图，
由网格可知，
∴的面积为．
20．【答案】（1）证明：如图2：过点作，
∵，
∴，
∴
∴．
（2）证明：如图2：过点作，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
（3）127
【知识点】平行线的性质；平行公理
【解析】【解答】（3）解：如图3：过点C作，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴由（1）的结论可知，
故答案为：127．
【分析】（1）过点作，根据直线平行性质可得再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）过点作，根据直线平行性质及角之间的关系即可求出答案.
（3）过点C作，根据直线平行性质可得∠BCM，再根据角之间的关系可得∠DCM，再根据直线平行性质即可求出答案.
（1）证明：如图2：过点作，
∵，
∴，
∴
∴．
（2）证明：如图2：过点作，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
（3）解：如图3：过点C作，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴由（1）的结论可知，
故答案为：127．
21．【答案】（1），
（2）解：∵，
∴，
即，
∴，，
∴，
∵，
∴的“青一区间”为；
（3）BC
（4）解：∵无理数（为正整数）的“青一区间”为，
∴，
∵的“青一区间”为，
∴，即，
∴，
∵为正整数，
∴或，
当时，，
当时，，
∴或．
【知识点】无理数的估值；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；开立方（求立方根）
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴的“青一区间”为；
∵，
∴的“青一区间”为；
故答案为：，；
（3）解：∵，
∴，是无理数，选项A说法错误；
∵，
∴，选项B说法正确；
∵，
∴，选项C说法正确；
∵，
∴，选项D说法错误；
故选：BC；
【分析】（1）根据“青一区间”的定义计算即可求出答案.
（2）根据二次根式，偶次方的非负性可得x，y值，代入代数式，结合“青一区间”的定义即可求出答案.
（3）根据无理数的定义，结合估算无理数的范围即可求出答案.
（4）根据“青一区间”的定义可得，再根据a为正整数可得或，再求立方根即可求出答案.
（1）解：∵，
∴的“青一区间”为；
∵，
∴的“青一区间”为；
故答案为：，；
（2）解：∵，
∴，
即，
∴，，
∴，
∵，
∴的“青一区间”为；
（3）解：∵，
∴，是无理数，选项A说法错误；
∵，
∴，选项B说法正确；
∵，
∴，选项C说法正确；
∵，
∴，选项D说法错误；
故选：BC；
（4）解：∵无理数（为正整数）的“青一区间”为，
∴，
∵的“青一区间”为，
∴，即，
∴，
∵为正整数，
∴或，
当时，，
当时，，
∴或．
22．【答案】（1）35
（2）解：由（1）可知，即平分；
（3）解：，证明如下，
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∵平分，平分，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，即，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
故答案为：35；
【分析】（1）根据直线平行性质及角之间的关系即可求出答案.
（2）根据角平分线判定定理即可求出答案.
（3）根据直线平行性质可得，根据角平分线定义可得，则，再根据角平分线定义可得，根据直角三角形两锐角互余可得∠EHN，再根据直线平行性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（1）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
故答案为：35；
（2）由（1）可知，即平分；
（3），证明如下，
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∵平分，平分，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，即，
∴，
∴．
23．【答案】（1）解：∵，
∴点A的坐标为，点B的坐标为，
∴；
（2）解：①如图所示，过点A作轴于C，过点B作轴于D，
∵A在直线上，
∴，
∵点A的坐标为，点B的坐标为，
∴，，，，
∴
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
②如图所示，当点A在上方时，过点A作轴于C，过点B作轴于D，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
如图，当点A在下方时，过点A作轴于C，过点B作轴于D，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；数轴上两点之间的距离
【解析】【分析】（1）根据点的坐标可得点A的坐标为，点B的坐标为，再根据两点间距离即可求出答案.
（2）①过点A作轴于C，过点B作轴于D，根据两点间距离可得，，，，根据，建立方程，解方程即可求出答案.
②分情况讨论：当点A在上方时，过点A作轴于C，过点B作轴于D，当点A在下方时，过点A作轴于C，过点B作轴于D，根据割补法，结合梯形，三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
1 / 1广东省广州市第一一三中学2024~2025学年七年级下学期期中考试数学试卷
一、单项选择题（每题3分，共30分）
1．（2025七下·广州期中）下列各数中，16的算术平方根为（　　）
A． B．4 C． D．8
【答案】B
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：16的算术平方根为4，
故选：B．
【分析】根据算术平方根的定义即可求出答案.
2．（2025七下·广州期中）下列各点中，在第三象限的点是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵第三象限的点的坐标特点是横纵坐标均小于0，
∴结合四个选项中只有符合条件．
故选：C．
【分析】根据各象限内点的坐标特征即可求出答案.
3．（2025七下·广州期中）下列实数、0、，中，无理数是（　　）
A． B．0 C． D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解：由、0、是有理数，
是无理数，
故选：D．
【分析】本题主要考查了无理数的定义，无理数也称无限不循环小数，不能写作两整数之比，若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环，据此作答，即可得到答案.
4．（2025七下·广州期中）如图，下列条件中，能判断的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：、不能判定，该选项不合题意；
、不能判定，该选项不合题意；
、∵，
∴，不能判定，该选项不合题意；
、∵，
∴，该选项符合题意；
故选：．
【分析】根据直线平行判定定理逐项进行判断即可求出答案.
5．（2025七下·广州期中）下列命题中是假命题的是（　　）．
A．等角的补角相等
B．平行于同一条直线的两条直线平行
C．对顶角相等
D．同位角相等
【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】A. 等角的补角相等，是真命题，不符合题意；
B. 平行于同一条直线的两条直线平行，是真命题，不符合题意；
C. 对顶角相等，是真命题，不符合题意；
D. 两直线平行，同位角相等，原命题是假命题，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据判断假命题的方法举反例确定假命题。
6．（2025七下·广州期中）若是关于x，y的方程的一个解，则a的值为（　　）
A．1 B．5 C． D．
【答案】C
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：∵是关于x，y的方程的一个解，
∴，
解得：，
故选：C．
【分析】将x，y值代入方程可得关于a的一次方程，解方程即可求出答案.
7．（2025七下·广州期中）如图，这是一所学校的部分平面示意图，教学楼、实验楼和图书馆的位置都在边长为1的小正方形网格线的交点处，若教学楼位置的坐标是，实验楼位置的坐标是，则图书馆位置的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点的坐标；用坐标表示地理位置；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：如图所示：图书馆位置的坐标是．
故选：D．
【分析】根据教学楼，实验楼的坐标建立直角坐标，再根据图书馆的位置求出坐标即可.
8．（2025七下·广州期中）如图，在一块长14m、宽6m的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移3m就是它的右边线，则绿化区的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由题意得：
（14-3）×6
=11×6
=66（m2），
∴绿化区的面积是66 m2，
故选：B．
【分析】根据平移的性质可得，绿化部分可看作是长为（14-3）m，宽为6m的矩形，结合矩形面积即可求出答案.
9．（2025七下·广州期中）在平面直角坐标系中，点M坐标为，若轴，且线段，则点N坐标为（　　）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；线段上的两点间的距离
【解析】【解答】解：∵点M坐标为，轴，
∴N坐标为或
故答案为：C.
【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同可得点N的纵坐标为3，然后根据MN=2求出点N的横坐标，进而可得点N的坐标.
10．（2025七下·广州期中）如图，弹性小球从点出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到正方形的边时的点为，第2次碰到正方形的边时的点为，…，第n次碰到正方形的边时的点为，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的除法法则；用代数式表示图形变化规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：根据反射角等于入射角画图如下，
由图中可知，，，，最后再反射到，由此可知，每6次循环一次，
，
.
故选：A.
【分析】根据反射角的性质求出，，，，总结规律，即可求出答案.
二、填空题（每题3分，共15分）
11．（2025七下·广州期中）比较大小：3　 　．（填“>”“ <”或“=”）
【答案】>
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵32=9，()2=7，9>7，
∴3>.
故答案为：>.
【分析】首先给两个数分别平方，然后进行比较即可.
12．（2025七下·广州期中）如图，直线a、b相交，∠1=36度，则∠2=　 　度．
【答案】144
【知识点】邻补角
【解析】【解答】解：∵直线a、b相交，
∴∠1+∠2=180°，
∵∠1=36°，
∴∠2=180°－36°=144°.
故答案为144.
【分析】根据邻补角即可求出答案.
13．（2025七下·广州期中）如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口A、B和村庄M、N．小强从道口A到公路，他选择的路线为公路，其理由为　 　．
【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：∵
∴他选择的路线为公路，其理由为垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
【分析】根据垂线段最短即可求出答案.
14．（2025七下·广州期中）如图，正方形的面积为7，顶点A与数轴上表示数1的点重合，点在数轴上，且在点A的左侧，，则点表示的数是　 　．
【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；求算术平方根
【解析】【解答】解：∵正方形的面积为7，
∴正方形的边长为，
∵，点A与数轴上表示数1的点重合，
∴点表示的数是，
故答案为：．
【分析】先根据正方形的面积公式及算术平方根定义可得正方形边长等于面积的算术平方根，即，然后线段和差得出点E到原点的距离为，进而根据数轴上原点左边的点表示负数可得点E所表示的数.
15．（2025七下·广州期中）小明制作了一张面积为的正方形贺卡想寄给朋友．现有一个长方形信封如图所示，长、宽之比为，面积为．小明　 　将贺卡不折叠就放入此信封．（填能或不能）
【答案】不能
【知识点】无理数的估值；矩形的性质；一元二次方程的应用-几何问题；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：面积为的正方形的边长为，
长、宽之比为，面积为的长方形，
设长为，宽为，
∴，则，
∵，
解得，（负值舍去），
∴长方形的长为，宽为，
∵，即，
∴，
∴，
∴贺卡不折叠就不能放入此信封，
故答案为：不能 ．
【分析】根据正方形性质可得边长为16，设长方形的长为，宽为，根据面积建立方程，解方程可得长方形的长为，宽为，再比较大小即可求出答案.
三、解答题（本大题有5小题，共35分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．）
16．（2025七下·广州期中）解方程（组）
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
，
∵，
∴；
（2）解：，
①②得，，
整理得，，
解得，，
把代入②得，，
解得，，
∴原方程组的解为．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）根据直接开平方法解方程即可求出答案.
（2）根据加减消元法解方程组即可求出答案.
（1）解：
，
∵，
∴；
（2）解：，
①②得，，
整理得，，
解得，，
把代入②得，，
解得，，
∴原方程组的解为．
17．（2025七下·广州期中）如图，两直线、相交于点，平分，如果，
（1）求；
（2）若，求．
【答案】（1）解：∵，，
，．
．
∵平分，
，
．
（2）解：∵，，
，
．
【知识点】对顶角及其性质；邻补角；角平分线的概念；余角
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，，根据对顶角相等可得，再根据角平分线定义可得，再根据补角即可求出答案.
（2）根据余角可得，再根据补角即可求出答案.
18．（2025七下·广州期中）（1）计算：；
（2）已知的算术平方根是3，的立方根是2，求的平方根．
【答案】解：（1）
；
（2）∵的算术平方根是3，
∴，
∵的立方根是2，
∴，
联立得，
解得：，
∴，
∴的平方根是．
【知识点】解二元一次方程组；实数的绝对值；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）根据绝对值、立方根和算术平方根的性质化简，再计算加减即可求出答案.
（2）根据立方根和算术平方根的性质，联立得到二元一次方程组，解方程组即可求出答案.
19．（2025七下·广州期中）在如图所示的直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，
（1）把向右平移2个单位长度得到，请在图中画出平移后的；
（2）内有一点经过以上平移后的对应点为，直接写出点的坐标______；
（3）若点，求的面积．
【答案】（1）解：如图，找出的对应点，然后连接各点即可；
∴即为所求；
（2）
（3）解：如图，
由网格可知，
∴的面积为．
【知识点】三角形的面积；平移的性质；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）根据平移性质作图即可.
（2）根据点的平移即可求出答案.
（3）根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：如图，找出的对应点，然后连接各点即可；
∴即为所求；
（2）解：内有一点经过以上平移后的对应点为，直接写出点的坐标为；
故答案为：；
（3）解：如图，
由网格可知，
∴的面积为．
20．（2025七下·广州期中）问题情境：如图1，，点在直线上，点在直线上，点在直线，之间，连接，．勤奋小组的同学们对该图形进行了研究．
（1）观察猜想：小明猜想，他过点作，如图2，请帮他完成证明过程．
（2）深入探究：小华在帮助小明完善解题过程时，发现用同样的辅助线还可以得到，，之间的关系，请写出这三个角度间满足的关系并完成证明．
（3）问题解决：图3是天文爱好者小夏在观察北斗七星时所拍摄的画面，绘制北斗七星的位置图时将北斗七星摇光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为，，，，，，，并连接，，，，，．绘制过程中发现摇光、开阳所在的直线与天玑、天璇所在的直线几乎平行（如图4）（因为距离地球很远，所以近似看作）．结合上面的探究过程，若，，，则________°．
【答案】（1）证明：如图2：过点作，
∵，
∴，
∴
∴．
（2）证明：如图2：过点作，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
（3）127
【知识点】平行线的性质；平行公理
【解析】【解答】（3）解：如图3：过点C作，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴由（1）的结论可知，
故答案为：127．
【分析】（1）过点作，根据直线平行性质可得再根据角之间的关系即可求出答案.
（2）过点作，根据直线平行性质及角之间的关系即可求出答案.
（3）过点C作，根据直线平行性质可得∠BCM，再根据角之间的关系可得∠DCM，再根据直线平行性质即可求出答案.
（1）证明：如图2：过点作，
∵，
∴，
∴
∴．
（2）证明：如图2：过点作，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴．
（3）解：如图3：过点C作，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴由（1）的结论可知，
故答案为：127．
四、解答题（本大题有3小题，共40分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．）
21．（2025七下·广州期中）新定义：若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“青一区间”为；同理规定无理数的“青一区间”为，例如：因为，所以的“青一区间”为，的“青一区间”为，请回答下列问题：
（1）的“青一区间”为______；的“青一区间”为______；
（2）实数，满足关系式：，求的“青一区间”．
（3）多选题：全部选对得满分，选对但不全的视正确答案数相应给分，有选错的得0分．
在（2）的条件下描述，正确的答案是（　　）
A．是有理数 B． C． D．
（4）若无理数（为正整数）的“青一区间”为，的“青一区间”为，求的值．
【答案】（1），
（2）解：∵，
∴，
即，
∴，，
∴，
∵，
∴的“青一区间”为；
（3）BC
（4）解：∵无理数（为正整数）的“青一区间”为，
∴，
∵的“青一区间”为，
∴，即，
∴，
∵为正整数，
∴或，
当时，，
当时，，
∴或．
【知识点】无理数的估值；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；开立方（求立方根）
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴的“青一区间”为；
∵，
∴的“青一区间”为；
故答案为：，；
（3）解：∵，
∴，是无理数，选项A说法错误；
∵，
∴，选项B说法正确；
∵，
∴，选项C说法正确；
∵，
∴，选项D说法错误；
故选：BC；
【分析】（1）根据“青一区间”的定义计算即可求出答案.
（2）根据二次根式，偶次方的非负性可得x，y值，代入代数式，结合“青一区间”的定义即可求出答案.
（3）根据无理数的定义，结合估算无理数的范围即可求出答案.
（4）根据“青一区间”的定义可得，再根据a为正整数可得或，再求立方根即可求出答案.
（1）解：∵，
∴的“青一区间”为；
∵，
∴的“青一区间”为；
故答案为：，；
（2）解：∵，
∴，
即，
∴，，
∴，
∵，
∴的“青一区间”为；
（3）解：∵，
∴，是无理数，选项A说法错误；
∵，
∴，选项B说法正确；
∵，
∴，选项C说法正确；
∵，
∴，选项D说法错误；
故选：BC；
（4）解：∵无理数（为正整数）的“青一区间”为，
∴，
∵的“青一区间”为，
∴，即，
∴，
∵为正整数，
∴或，
当时，，
当时，，
∴或．
22．（2025七下·广州期中）如图，已知两条直线被直线所截，分别交于点E，点F，交于点M，，且．
（1）当时，__________°．
（2）判断是否平分，并说明理由．
（3）如图，点G是射线上一动点（不与点F重合），平分交于点H，过点H作于点N，设．探究当点G在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．
【答案】（1）35
（2）解：由（1）可知，即平分；
（3）解：，证明如下，
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∵平分，平分，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，即，
∴，
∴．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
故答案为：35；
【分析】（1）根据直线平行性质及角之间的关系即可求出答案.
（2）根据角平分线判定定理即可求出答案.
（3）根据直线平行性质可得，根据角平分线定义可得，则，再根据角平分线定义可得，根据直角三角形两锐角互余可得∠EHN，再根据直线平行性质可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（1）解：∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
故答案为：35；
（2）由（1）可知，即平分；
（3），证明如下，
∵，
∴．
∵平分，
∴，
∴．
∵平分，平分，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，即，
∴，
∴．
23．（2025七下·广州期中）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，连接．
（1）若，求线段的长度；
（2）若且．
①当点在直线上时，求的值；
②当点不在直线上时，连接，，记的面积为，若，求的值．
【答案】（1）解：∵，
∴点A的坐标为，点B的坐标为，
∴；
（2）解：①如图所示，过点A作轴于C，过点B作轴于D，
∵A在直线上，
∴，
∵点A的坐标为，点B的坐标为，
∴，，，，
∴
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
②如图所示，当点A在上方时，过点A作轴于C，过点B作轴于D，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
如图，当点A在下方时，过点A作轴于C，过点B作轴于D，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
【知识点】坐标与图形性质；三角形的面积；数轴上两点之间的距离
【解析】【分析】（1）根据点的坐标可得点A的坐标为，点B的坐标为，再根据两点间距离即可求出答案.
（2）①过点A作轴于C，过点B作轴于D，根据两点间距离可得，，，，根据，建立方程，解方程即可求出答案.
②分情况讨论：当点A在上方时，过点A作轴于C，过点B作轴于D，当点A在下方时，过点A作轴于C，过点B作轴于D，根据割补法，结合梯形，三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
1 / 1

展开更多......

收起↑