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甘肃省兰州市某校2024-2025学年七年级下学期期中数学试卷
一、选择题（共11小题，满分33分，每小题3分）
1．（2025七下·兰州期中）北宋词人晏殊笔下《破阵子·春景》中“燕子来时新社，梨花落后清明．池上碧苔三四点，叶底黄鹂一两声，日长飞絮轻”以清新自然的笔触展现春社至清明时节的生机盎然．若苔花的花粉直径约为，则数据用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故选：．
【分析】，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解.
2．（2025七下·兰州期中）下列计算正确的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，故该选项不正确，不符合题意；
B.，故该选项正确，符合题意；
C.和不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
D.，故该选项不正确，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相加；积的乘方进行判断．
3．（2025七下·兰州期中）下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A．，只能利用多项式乘多项式的计算方法进行计算，不能利用平方差公式，因此选项A不符合题意；
B．，能利用平方差公式，故选项B符合题意；
C．，能利用完全平方公式，不能利用平方差公式，因此选项C不符合题意；
D．，能利用完全平方公式，不能利用平方差公式，因此选项D不符合题意；
故选：B．
【分析】根据平方差公式即可求出答案.
4．（2025七下·兰州期中）如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；补角；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图：
，，
，
，，
，
．
故选：A．
【分析】根据直线平行性质可得，根据补角可得∠4，再根据三角形外角性质即可求出答案.
5．（2025七下·兰州期中）数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（　　）
A．测量跳远成绩
B．木板上弹墨线
C．弯曲河道改直
D．两钉子固定木条
【答案】A
【知识点】两点确定一条直线；两点之间线段最短；垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：A、测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故该选项符合题意；
B、木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意；
C、弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意；
D、两钉子固定木条，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】在测量跳远成绩时，是从运动员落地的脚后跟处向起跳线作垂线段，测量的就是这条垂线段的长度，因为从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，所以测量跳远成绩时，以垂线段的长度来确定成绩，这样能保证测量出的距离是最短的，符合“垂线段最短"的原理；在木板上弹墨线或两钉子固定木条，是利用了“两点确定一条直线” 的原理，通过在木板两端固定两个点，然后用墨线连接这两个点，就可以弹出一条笔直的墨线， 而不是利用“垂线段最短”的原理；将弯曲的河道改直，是为了缩短河道的长度，使水流更顺畅，减少水流阻力等，这是根据“两点之间，线段最短”的原理，即两点之间线段的长度是最短的，而不是“垂线段最短”的原理.
6．（2025七下·兰州期中）如图，下列结论不正确的是（　　）
A．与是内错角 B．与是同位角
C．与是内错角 D．与是同旁内角
【答案】B
【知识点】同位角、内错角与同旁内角
【解析】【解答】解：A.与是内错角，故该选项正确，不符合题意；
B.与不是同位角，故该选项不正确，符合题意；
C.与是内错角，故该选项正确，不符合题意；
D.与是同旁内角，故该选项正确，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】由对顶角定义：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角；两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，被截两直线的同一侧的角，称为同位角，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角，对各选项进行判断．
7．（2025七下·兰州期中）下列说法正确的是（　　）．
A．调查中央电视台《开学第一课》的收视率，应采用全面调查的方式
B．一次抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖100次就有1次中奖
C．“掷一次骰子，向上一面的点数大于0”是随机事件
D．“全班50名学生，有两人同一天过生日”是随机事件
【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；事件的分类；概率的意义
【解析】【解答】解：A、调查中央电视台《开学第一课》的收视率，应采用抽样调查的方式，故错误，不符合题意；
B、一次抽奖活动中，中奖概率为，表示中奖的机会是，故错误，不符合题意；
C、“掷一次骰子，向上一面的点数大于0”是必然事件，故错误，不符合题意；
D、“全班50名学生，有两人同一天过生日”是随机事件，正确，符合题意．
故答案为：D．
【分析】调查方式：需要调查的对象数量较少时，进行全面调查是可行的 ；当总体数量非常庞大时，进行全面调查可能是不现实的用抽样调查 ；随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。 根据问题情境，确定正确的选项．
8．（2025七下·兰州期中）若，则k的值是（　　）
A． B．6 C．12 D．
【答案】D
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故选：D．
【分析】根据完全平方公式将等号左边展开，再根据对应项相等即可求出答案.
9．（2025七下·兰州期中）要使(x2+ax+1)(-6x3)的展开式中不含x4项，则a应等于（　　）
A．6 B．-1 C． D．0
【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】单项式乘以单项式，首先将系数进行相乘，然后根据同底数幂乘法计算法则进行计算得出答案．原式= ，根据题意可得：-6a=0，解得：a=0，
故答案为：D．
【分析】利用单项式与多项式相乘将原式展开，由展开式中不含x4项，可得x4项的系数为0，据此解答即可.
10．（2025七下·兰州期中）古希腊数学家埃拉托色尼发现，如图，夏至正午时分太阳光线直射进点处塞尼城的一口深井，说明太阳光线过圆心．而同一经度上另外一点处的亚历山大城一个方尖塔却会投影下一定长度的阴影，他测得方尖塔与太阳光线的夹角为，方尖塔延长线经过圆心．由太阳光线是平行光线，得到深井延长线和方尖塔延长线所夹圆心角的度数．因而得到球周长约为（接近真实值）．埃拉托色尼计算地球周长时用到的原理是（　　）
A．内错角相等，两直线平行 B．两直线平行，内错角相等
C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行
【答案】B
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图所示，
∵
∴圆心角
∴用到的原理是：两直线平行，内错角相等
故选：B．
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
11．（2025七下·兰州期中）已知，，，则a、b、c的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】幂的大小比较；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解∶∵，，，且，
∴．
故答案为：A．
【分析】先利用幂的乘法的逆运算将a、b、c化简成底数相同的幂，再比较大小即可.
二、填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
12．（2025七下·兰州期中）已知一个角的补角是它的余角的4倍，则这个角的度数是　 　．
【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；余角；补角
【解析】【解答】解：设这个角的度数为x，可得
，
解得．
故答案为：．
【分析】设这个角的度数为x，根据余角，补角定义建立方程，解方程即可求出答案.
13．（2025七下·兰州期中）将一个含角的直角三角板如图所示放置，使得直角的顶点落在直线上，另一顶点落在直线上，若，则的度数是　 　度．
【答案】20
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，
∵三角板是含45°角的直角三角板，
∴，
，
∴，
∵
，
，
故答案为：．
【分析】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．根据三角板是含45°角的直角三角板得性质，进而得出结论．
14．（2025七下·兰州期中）新考法我们定义：三角形；若，则　 　．
【答案】27
【知识点】同底数幂的乘法；有理数乘法与乘方的互化
【解析】【解答】解：由题意得，
，
∵，
∴原式，
故答案为：．
【分析】根据新定义，得所求结果为，同底数幂乘法计算法则：底数不变，指数相加求解．
15．（2025七下·兰州期中）投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏．下表记录了一组游戏参与者的投查结果．根据数据，估计这组游戏参与者投中的概率约为 　 　 （结果精确到）．
投壶次数
投中次数
投中频率
【答案】
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据题意可知，随着投中次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数附近，
估计这组游戏参与者投中的概率约为
故答案为：．
【分析】根据表格数据得出游戏参与者投中的频率趋近于，估计出其概率约为．
三、解答题（共11小题，满分75分）
16．（2025七下·兰州期中）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
；

（2）解：原式
；
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【分析】（1）根据幂的乘方公式：（am）n=amn与积的乘方公式：（ab）n=anbn计算，再合并同类项；
（2）根据完全平方公式（a-b）2=a2-2ab+b2与平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2计算 ，再合并同类项.
（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
17．（2025七下·兰州期中）用乘法公式简便计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
；

（2）解：
；

【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）根据99×101化为根据平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2进行计算；
（2）原式化为，根据完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2进行计算．
（1）解：
；
（2）解：
；
18．（2025七下·兰州期中）尝试解决下列有关幂的问题：
（1）若，求的值；
（2）若，求值；
【答案】（1）解：∵，∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，∴，，
∴，，
∴，
∴或．
【知识点】同底数幂的除法；解一元一次方程；幂的乘方运算；幂的乘方的逆运算
【解析】【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则、am×an=am+n，同底数幂幂除法法则am÷an=am-n进行计算化简得31+m=316，则m=15；
（2）根据幂的乘方法则(am)n=amn解得a=，b=3，代入a+b=11或-5。
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴或．
19．（2025七下·兰州期中）在计算时，甲错把看成了，得到的结果是，乙错把看成了，得到的结果是．
（1）求、的值；
（2）求的正确结果．
【答案】（1）解：甲错把看成了，
，
又，
，
．
乙错把看成了，
，
又，
，
，
．
故，．
（2）解：由（1）得，
∴
【知识点】多项式乘多项式；解一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据多项式乘多项式计算由甲错把看成了， 代入得，则6a=-24，a=-4；乙错把看成了，，则b=5；
（2）将（1）的的值代入计算得2x2+6x-20．
（1）解：甲错把看成了，
，
又，
，
．
乙错把看成了，
，
又，
，
，
．
故，．
（2）解：由（1）得，
∴
20．（2025七下·兰州期中）某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，建筑区域是长为米，宽为米的长方形，开发商计划将阴影部分进行绿化．
（1）求该小区绿化的总面积S；
（2）若，绿化成本为50元/平方米，则完成绿化共需要多少钱？
【答案】（1）解：根据题意，该小区绿化的总面积
平方米；
（2）解：当时，（平方米），
∴（元），
∴完成绿化共需要29000元．
【知识点】多项式乘多项式；用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式的值-直接代入求值；整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）根据大长方形的面积减去小长方形的面积等于绿化面积，列代数式，根据多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加计算 ；
（2）将代入（1）中（5a2+4ab)，得绿化面积为580平方米，再乘以每平方米成本50元等于绿化的费用．
（1）解：根据题意，该小区绿化的总面积
平方米；
（2）解：当时，
（平方米），
∴（元），
∴完成绿化共需要29000元．
21．（2025七下·兰州期中）在一个不透明的盒子里装有除颜色不同外其他完全相同的红、白两种球共60个．做摸球试验：将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．下图是“摸到白色球”的频率折线图．
（1）估计当摸球次数n很大时，摸到白球的概率将会接近 （精确到）；假如你摸一次球，你摸到白球的概率为______．
（2）如果要使摸到白球的概率为，那么需要往盒子里再放入多少个白球？
【答案】（1）；
（2）解：由题意，可知白球的个数为（个），红球的个数为（个）．
设需要往盒子里再放入个白球．
根据题意，得，解得．
经检验，是分式方程的解，且符合题意．
答：需要往盒子里再放入15个白球．
【知识点】分式方程的实际应用；利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】（1）解：估计当摸球次数n很大时，摸到白球的概率将会接近；假如你摸一次球，你摸到白球的概率为；
故答案为：0.50；0.5
【分析】(1)本题考察频率与概率的关系，核心是利用“大量重复试验中，频率稳定在概率附近”这一规律。从“摸到白球”的频率折线图可以看出，随着摸球次数的增加，频率逐渐稳定在0.50左右，因此当摸球次数n很大时，摸到白球的概率接近0.50；单次摸球的概率等于这个稳定的频率，即0.5。
(2)本题考察概率公式的实际应用，核心是根据目标概率列方程求解。由(1)可知，盒子中原有60个球，摸到白球的概率为0.5，因此原有白球数量为个，红球数量为个。设再放入x个白球，此时白球总数为，球的总数为，根据目标概率，可列出方程，解方程得x=15，经检验该解符合题意，因此需要再放入15个白球。
（1）解：估计当摸球次数n很大时，摸到白球的概率将会接近；假如你摸一次球，你摸到白球的概率为；
（2）解：由题意，可知白球的个数为（个），红球的个数为（个）．
设需要往盒子里再放入个白球．
根据题意，得，解得．
经检验，是分式方程的解，且符合题意．
答：需要往盒子里再放入15个白球．
22．（2025七下·兰州期中）如图，，，，．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）证明：∵
∴
∴
∵
∴
∴；
（2）解：由（1）得：，
∴
∵
∴即，
∴．
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）根据直线平行判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据直线平行性质可得，根据垂直可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（1）证明：∵
∴
∴
∵
∴
∴；
（2）解：由（1）得：，
∴
∵
∴即，
∴．
23．（2025七下·兰州期中）如图，在四边形中，点E为延长线上一点，点F为延长线上一点，连接，交于点G，交于点H，若，．求证：．
请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．
证明：∵（ ），（已知）．
∴ ＝ （等式的基本事实）．
∴（ ）．
∴（ ）．
∵（已知），
∴（等式的基本事实）．
∴ ∥ （同旁内角互补，两直线平行）．
∴（ ）．
【答案】证明：∵（对顶角相等），（已知）．
∴（等式的基本事实）．
∴（同位角相等，两直线平行）．
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
∵（已知），
∴（等式的基本事实）．
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
∴（两直线平行，内错角相等）．
【知识点】对顶角及其性质；平行线的应用-证明问题；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】根据已知条件结合图形填写理论依据．
24．（2025七下·兰州期中）阅读理解：
已知，求的值．
解：因为，
所以，即．
因为，
所以．
参考上述过程解答下列问题：
（1）若．
①________；
②求的值；
（2）已知，，求的值．
【答案】（1）①；
②∵，
∴，
由①可知，，
∴原式；
（2）解：∵，∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴原式．
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值；整体思想
【解析】【解答】（1）解：①∵，
∴，即，
∵，
∴；【分析】（1）①根据阅读理解， 变形完全平方公式：x2+y2=（x-y）2+2xy，得x2+y2=5；②完全平方公式 =x2+y2+2xy，将，xy=-2整体代入得1.
（2）完全平方公式的变形为 =x2+y2-2xy， 将， 整体代入得1．
（1）解：①∵，
∴，即，
∵，
∴；
②∵，
∴，
由①可知，，
∴原式；
（2）∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴原式．
25．（2025七下·兰州期中）规定两数a、b之间的一种运算．记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：
设，，则，，故，则，即．
（1）根据上述规定，填空：　 　 ；　 　 ．
（2）计算 ，并说明理由．
【答案】（1）3；0
（2）解：
理由如下：设，，
则，，
∵，
∴，
∴．
【知识点】同底数幂的乘法；零指数幂；有理数乘方的实际应用
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴；
∵，
∴．
故答案为：3；0；
【分析】（1）根据同底数幂乘法法则：底数不变，指数相加，“雅对”的定义；
（2）仿照“雅对” 定义，计算（5，16）
（1）解：∵，
∴；
∵，
∴．
故答案为：3；0；
（2）解：，理由如下：
设，，
则，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
26．（2025七下·兰州期中）【阅读思考】如图①，已知，探究之间关系，小明添加了一条辅助线．解决了这道题．得到的结果是．
证明过程如下：
如图①，过点C作，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，即．
（1）【理解应用】如图②，已知，求的度数；
（2）【拓展探索】如图③，已知，点C在点D的右侧，平分平分所在的直线交于点E，点E在直线与之间，点B在点A的右侧，且，若，则度数为多少？（用含n的代数式表示）
【答案】（1）解：如图②，过点C作，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图③，过点E作，
∵平分平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴．
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-证明问题；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）过点C作，根据直线平行性质即可求出答案.
（2）过点E作，根据角平分线定义可得，，根据直线平行性质即可求出答案.
1 / 1甘肃省兰州市某校2024-2025学年七年级下学期期中数学试卷
一、选择题（共11小题，满分33分，每小题3分）
1．（2025七下·兰州期中）北宋词人晏殊笔下《破阵子·春景》中“燕子来时新社，梨花落后清明．池上碧苔三四点，叶底黄鹂一两声，日长飞絮轻”以清新自然的笔触展现春社至清明时节的生机盎然．若苔花的花粉直径约为，则数据用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025七下·兰州期中）下列计算正确的是(　　)
A． B．
C． D．
3．（2025七下·兰州期中）下列整式乘法中，能用平方差公式简便计算的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025七下·兰州期中）如图是一款手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025七下·兰州期中）数学源于生活，寓于生活，用于生活．下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（　　）
A．测量跳远成绩
B．木板上弹墨线
C．弯曲河道改直
D．两钉子固定木条
6．（2025七下·兰州期中）如图，下列结论不正确的是（　　）
A．与是内错角 B．与是同位角
C．与是内错角 D．与是同旁内角
7．（2025七下·兰州期中）下列说法正确的是（　　）．
A．调查中央电视台《开学第一课》的收视率，应采用全面调查的方式
B．一次抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖100次就有1次中奖
C．“掷一次骰子，向上一面的点数大于0”是随机事件
D．“全班50名学生，有两人同一天过生日”是随机事件
8．（2025七下·兰州期中）若，则k的值是（　　）
A． B．6 C．12 D．
9．（2025七下·兰州期中）要使(x2+ax+1)(-6x3)的展开式中不含x4项，则a应等于（　　）
A．6 B．-1 C． D．0
10．（2025七下·兰州期中）古希腊数学家埃拉托色尼发现，如图，夏至正午时分太阳光线直射进点处塞尼城的一口深井，说明太阳光线过圆心．而同一经度上另外一点处的亚历山大城一个方尖塔却会投影下一定长度的阴影，他测得方尖塔与太阳光线的夹角为，方尖塔延长线经过圆心．由太阳光线是平行光线，得到深井延长线和方尖塔延长线所夹圆心角的度数．因而得到球周长约为（接近真实值）．埃拉托色尼计算地球周长时用到的原理是（　　）
A．内错角相等，两直线平行 B．两直线平行，内错角相等
C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行
11．（2025七下·兰州期中）已知，，，则a、b、c的大小关系为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）
12．（2025七下·兰州期中）已知一个角的补角是它的余角的4倍，则这个角的度数是　 　．
13．（2025七下·兰州期中）将一个含角的直角三角板如图所示放置，使得直角的顶点落在直线上，另一顶点落在直线上，若，则的度数是　 　度．
14．（2025七下·兰州期中）新考法我们定义：三角形；若，则　 　．
15．（2025七下·兰州期中）投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏．下表记录了一组游戏参与者的投查结果．根据数据，估计这组游戏参与者投中的概率约为 　 　 （结果精确到）．
投壶次数
投中次数
投中频率
三、解答题（共11小题，满分75分）
16．（2025七下·兰州期中）计算：
（1）
（2）
17．（2025七下·兰州期中）用乘法公式简便计算：
（1）
（2）
18．（2025七下·兰州期中）尝试解决下列有关幂的问题：
（1）若，求的值；
（2）若，求值；
19．（2025七下·兰州期中）在计算时，甲错把看成了，得到的结果是，乙错把看成了，得到的结果是．
（1）求、的值；
（2）求的正确结果．
20．（2025七下·兰州期中）某小区有一块长为米，宽为米的长方形地块，建筑区域是长为米，宽为米的长方形，开发商计划将阴影部分进行绿化．
（1）求该小区绿化的总面积S；
（2）若，绿化成本为50元/平方米，则完成绿化共需要多少钱？
21．（2025七下·兰州期中）在一个不透明的盒子里装有除颜色不同外其他完全相同的红、白两种球共60个．做摸球试验：将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程．下图是“摸到白色球”的频率折线图．
（1）估计当摸球次数n很大时，摸到白球的概率将会接近 （精确到）；假如你摸一次球，你摸到白球的概率为______．
（2）如果要使摸到白球的概率为，那么需要往盒子里再放入多少个白球？
22．（2025七下·兰州期中）如图，，，，．
（1）求证：；
（2）求的度数．
23．（2025七下·兰州期中）如图，在四边形中，点E为延长线上一点，点F为延长线上一点，连接，交于点G，交于点H，若，．求证：．
请完善解答过程，并在括号内填写相应的理论依据．
证明：∵（ ），（已知）．
∴ ＝ （等式的基本事实）．
∴（ ）．
∴（ ）．
∵（已知），
∴（等式的基本事实）．
∴ ∥ （同旁内角互补，两直线平行）．
∴（ ）．
24．（2025七下·兰州期中）阅读理解：
已知，求的值．
解：因为，
所以，即．
因为，
所以．
参考上述过程解答下列问题：
（1）若．
①________；
②求的值；
（2）已知，，求的值．
25．（2025七下·兰州期中）规定两数a、b之间的一种运算．记作，如果，则．我们叫为“雅对”．例如：因为，所以．我们还可以利用“雅对”定义说明等式成立．证明如下：
设，，则，，故，则，即．
（1）根据上述规定，填空：　 　 ；　 　 ．
（2）计算 ，并说明理由．
26．（2025七下·兰州期中）【阅读思考】如图①，已知，探究之间关系，小明添加了一条辅助线．解决了这道题．得到的结果是．
证明过程如下：
如图①，过点C作，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，即．
（1）【理解应用】如图②，已知，求的度数；
（2）【拓展探索】如图③，已知，点C在点D的右侧，平分平分所在的直线交于点E，点E在直线与之间，点B在点A的右侧，且，若，则度数为多少？（用含n的代数式表示）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故选：．
【分析】，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解.
2．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，故该选项不正确，不符合题意；
B.，故该选项正确，符合题意；
C.和不是同类项，不能合并，故该选项不正确，不符合题意；
D.，故该选项不正确，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相加；积的乘方进行判断．
3．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A．，只能利用多项式乘多项式的计算方法进行计算，不能利用平方差公式，因此选项A不符合题意；
B．，能利用平方差公式，故选项B符合题意；
C．，能利用完全平方公式，不能利用平方差公式，因此选项C不符合题意；
D．，能利用完全平方公式，不能利用平方差公式，因此选项D不符合题意；
故选：B．
【分析】根据平方差公式即可求出答案.
4．【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；补角；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图：
，，
，
，，
，
．
故选：A．
【分析】根据直线平行性质可得，根据补角可得∠4，再根据三角形外角性质即可求出答案.
5．【答案】A
【知识点】两点确定一条直线；两点之间线段最短；垂线段最短及其应用
【解析】【解答】解：A、测量跳远成绩是求脚后跟到起跳线的距离，数学常识为垂线段最短，故该选项符合题意；
B、木板上弹墨线，能弹出一条笔直的墨线，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意；
C、弯曲河道改直，就能够缩短路程，数学常识为两点之间，线段最短，故该选项不符合题意；
D、两钉子固定木条，数学常识为两点确定一条直线，故该选项不符合题意.
故答案为：A．
【分析】在测量跳远成绩时，是从运动员落地的脚后跟处向起跳线作垂线段，测量的就是这条垂线段的长度，因为从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短，所以测量跳远成绩时，以垂线段的长度来确定成绩，这样能保证测量出的距离是最短的，符合“垂线段最短"的原理；在木板上弹墨线或两钉子固定木条，是利用了“两点确定一条直线” 的原理，通过在木板两端固定两个点，然后用墨线连接这两个点，就可以弹出一条笔直的墨线， 而不是利用“垂线段最短”的原理；将弯曲的河道改直，是为了缩短河道的长度，使水流更顺畅，减少水流阻力等，这是根据“两点之间，线段最短”的原理，即两点之间线段的长度是最短的，而不是“垂线段最短”的原理.
6．【答案】B
【知识点】同位角、内错角与同旁内角
【解析】【解答】解：A.与是内错角，故该选项正确，不符合题意；
B.与不是同位角，故该选项不正确，符合题意；
C.与是内错角，故该选项正确，不符合题意；
D.与是同旁内角，故该选项正确，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】由对顶角定义：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角；两条直线被第三条直线所截，在截线的同旁，被截两直线的同一侧的角，称为同位角，两个角分别在截线的两侧，且夹在两条被截直线之间，具有这样位置关系的一对角叫做内错角，在截线同旁，且在被截线之内的两角，叫做同旁内角，对各选项进行判断．
7．【答案】D
【知识点】全面调查与抽样调查；事件的分类；概率的意义
【解析】【解答】解：A、调查中央电视台《开学第一课》的收视率，应采用抽样调查的方式，故错误，不符合题意；
B、一次抽奖活动中，中奖概率为，表示中奖的机会是，故错误，不符合题意；
C、“掷一次骰子，向上一面的点数大于0”是必然事件，故错误，不符合题意；
D、“全班50名学生，有两人同一天过生日”是随机事件，正确，符合题意．
故答案为：D．
【分析】调查方式：需要调查的对象数量较少时，进行全面调查是可行的 ；当总体数量非常庞大时，进行全面调查可能是不现实的用抽样调查 ；随机事件是指在一定条件下可能发生也可能不发生的事件。 根据问题情境，确定正确的选项．
8．【答案】D
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故选：D．
【分析】根据完全平方公式将等号左边展开，再根据对应项相等即可求出答案.
9．【答案】D
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】单项式乘以单项式，首先将系数进行相乘，然后根据同底数幂乘法计算法则进行计算得出答案．原式= ，根据题意可得：-6a=0，解得：a=0，
故答案为：D．
【分析】利用单项式与多项式相乘将原式展开，由展开式中不含x4项，可得x4项的系数为0，据此解答即可.
10．【答案】B
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：如图所示，
∵
∴圆心角
∴用到的原理是：两直线平行，内错角相等
故选：B．
【分析】根据直线平行性质即可求出答案.
11．【答案】A
【知识点】幂的大小比较；幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解∶∵，，，且，
∴．
故答案为：A．
【分析】先利用幂的乘法的逆运算将a、b、c化简成底数相同的幂，再比较大小即可.
12．【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；余角；补角
【解析】【解答】解：设这个角的度数为x，可得
，
解得．
故答案为：．
【分析】设这个角的度数为x，根据余角，补角定义建立方程，解方程即可求出答案.
13．【答案】20
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图，
∵三角板是含45°角的直角三角板，
∴，
，
∴，
∵
，
，
故答案为：．
【分析】本题考查的是平行线的性质，熟知两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．根据三角板是含45°角的直角三角板得性质，进而得出结论．
14．【答案】27
【知识点】同底数幂的乘法；有理数乘法与乘方的互化
【解析】【解答】解：由题意得，
，
∵，
∴原式，
故答案为：．
【分析】根据新定义，得所求结果为，同底数幂乘法计算法则：底数不变，指数相加求解．
15．【答案】
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据题意可知，随着投中次数越来越大时，频率逐渐稳定到常数附近，
估计这组游戏参与者投中的概率约为
故答案为：．
【分析】根据表格数据得出游戏参与者投中的频率趋近于，估计出其概率约为．
16．【答案】（1）解：原式
；

（2）解：原式
；
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【分析】（1）根据幂的乘方公式：（am）n=amn与积的乘方公式：（ab）n=anbn计算，再合并同类项；
（2）根据完全平方公式（a-b）2=a2-2ab+b2与平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2计算 ，再合并同类项.
（1）解：原式
；
（2）解：原式
；
17．【答案】（1）解：
；

（2）解：
；

【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用
【解析】【分析】（1）根据99×101化为根据平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2进行计算；
（2）原式化为，根据完全平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2进行计算．
（1）解：
；
（2）解：
；
18．【答案】（1）解：∵，∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，∴，，
∴，，
∴，
∴或．
【知识点】同底数幂的除法；解一元一次方程；幂的乘方运算；幂的乘方的逆运算
【解析】【分析】（1）根据同底数幂的乘法法则、am×an=am+n，同底数幂幂除法法则am÷an=am-n进行计算化简得31+m=316，则m=15；
（2）根据幂的乘方法则(am)n=amn解得a=，b=3，代入a+b=11或-5。
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴或．
19．【答案】（1）解：甲错把看成了，
，
又，
，
．
乙错把看成了，
，
又，
，
，
．
故，．
（2）解：由（1）得，
∴
【知识点】多项式乘多项式；解一元一次方程
【解析】【分析】（1）根据多项式乘多项式计算由甲错把看成了， 代入得，则6a=-24，a=-4；乙错把看成了，，则b=5；
（2）将（1）的的值代入计算得2x2+6x-20．
（1）解：甲错把看成了，
，
又，
，
．
乙错把看成了，
，
又，
，
，
．
故，．
（2）解：由（1）得，
∴
20．【答案】（1）解：根据题意，该小区绿化的总面积
平方米；
（2）解：当时，（平方米），
∴（元），
∴完成绿化共需要29000元．
【知识点】多项式乘多项式；用代数式表示几何图形的数量关系；求代数式的值-直接代入求值；整式加、减混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）根据大长方形的面积减去小长方形的面积等于绿化面积，列代数式，根据多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加计算 ；
（2）将代入（1）中（5a2+4ab)，得绿化面积为580平方米，再乘以每平方米成本50元等于绿化的费用．
（1）解：根据题意，该小区绿化的总面积
平方米；
（2）解：当时，
（平方米），
∴（元），
∴完成绿化共需要29000元．
21．【答案】（1）；
（2）解：由题意，可知白球的个数为（个），红球的个数为（个）．
设需要往盒子里再放入个白球．
根据题意，得，解得．
经检验，是分式方程的解，且符合题意．
答：需要往盒子里再放入15个白球．
【知识点】分式方程的实际应用；利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】（1）解：估计当摸球次数n很大时，摸到白球的概率将会接近；假如你摸一次球，你摸到白球的概率为；
故答案为：0.50；0.5
【分析】(1)本题考察频率与概率的关系，核心是利用“大量重复试验中，频率稳定在概率附近”这一规律。从“摸到白球”的频率折线图可以看出，随着摸球次数的增加，频率逐渐稳定在0.50左右，因此当摸球次数n很大时，摸到白球的概率接近0.50；单次摸球的概率等于这个稳定的频率，即0.5。
(2)本题考察概率公式的实际应用，核心是根据目标概率列方程求解。由(1)可知，盒子中原有60个球，摸到白球的概率为0.5，因此原有白球数量为个，红球数量为个。设再放入x个白球，此时白球总数为，球的总数为，根据目标概率，可列出方程，解方程得x=15，经检验该解符合题意，因此需要再放入15个白球。
（1）解：估计当摸球次数n很大时，摸到白球的概率将会接近；假如你摸一次球，你摸到白球的概率为；
（2）解：由题意，可知白球的个数为（个），红球的个数为（个）．
设需要往盒子里再放入个白球．
根据题意，得，解得．
经检验，是分式方程的解，且符合题意．
答：需要往盒子里再放入15个白球．
22．【答案】（1）证明：∵
∴
∴
∵
∴
∴；
（2）解：由（1）得：，
∴
∵
∴即，
∴．
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）根据直线平行判定定理及性质即可求出答案.
（2）根据直线平行性质可得，根据垂直可得，再根据角之间的关系即可求出答案.
（1）证明：∵
∴
∴
∵
∴
∴；
（2）解：由（1）得：，
∴
∵
∴即，
∴．
23．【答案】证明：∵（对顶角相等），（已知）．
∴（等式的基本事实）．
∴（同位角相等，两直线平行）．
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
∵（已知），
∴（等式的基本事实）．
∴（同旁内角互补，两直线平行）．
∴（两直线平行，内错角相等）．
【知识点】对顶角及其性质；平行线的应用-证明问题；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】根据已知条件结合图形填写理论依据．
24．【答案】（1）①；
②∵，
∴，
由①可知，，
∴原式；
（2）解：∵，∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴原式．
【知识点】完全平方公式及运用；求代数式的值-整体代入求值；整体思想
【解析】【解答】（1）解：①∵，
∴，即，
∵，
∴；【分析】（1）①根据阅读理解， 变形完全平方公式：x2+y2=（x-y）2+2xy，得x2+y2=5；②完全平方公式 =x2+y2+2xy，将，xy=-2整体代入得1.
（2）完全平方公式的变形为 =x2+y2-2xy， 将， 整体代入得1．
（1）解：①∵，
∴，即，
∵，
∴；
②∵，
∴，
由①可知，，
∴原式；
（2）∵，
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴原式．
25．【答案】（1）3；0
（2）解：
理由如下：设，，
则，，
∵，
∴，
∴．
【知识点】同底数幂的乘法；零指数幂；有理数乘方的实际应用
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴；
∵，
∴．
故答案为：3；0；
【分析】（1）根据同底数幂乘法法则：底数不变，指数相加，“雅对”的定义；
（2）仿照“雅对” 定义，计算（5，16）
（1）解：∵，
∴；
∵，
∴．
故答案为：3；0；
（2）解：，理由如下：
设，，
则，，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
26．【答案】（1）解：如图②，过点C作，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图③，过点E作，
∵平分平分，
∴，，
∵，
∴，
∴，，
∴．
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-证明问题；平行公理的推论
【解析】【分析】（1）过点C作，根据直线平行性质即可求出答案.
（2）过点E作，根据角平分线定义可得，，根据直线平行性质即可求出答案.
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