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10.3 三角形的角平分线、中线和高线
第十章 三角形
理解三角形的角平分线、中线和高线的概念，能正确作出三角形的角平分线、中线和高线.
掌握三角形角平分线、中线和高线的性质，并进行相关计算.
了解三角形重心的概念.
角平分线：
OC是∠AOB的角平分线，则∠1=∠2.
O
B
A
C
1
2
线段的中点：
C是线段AB的中点，则AC=CB.
A
B
C
垂线：
a是b的垂线，∠1=90°.
a
b
1
如果这些要素出现在三角形中，又有什么意义？
思考
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点间的线段叫作三角形的角平分线.
例：如图，在△ABC中，∠BAD=∠CAD，则线段AD是△ABC的一条角平分线.
A
B
C
D
三角形的角平分线
注意 角的平分线是射线，三角形的角平分线是线段.
A
B
C
D
问题1：在△ABC中，线段AD是△ABC的一条角平分线，你可以得出什么结论？
已知角平分线，可得两角相等
∠BAD=∠CAD
问题2：一个三角形有几条角平分线？画一个三角形，用量角器和直尺画出它的所有角平分线，并与同学交流，看看你们的画法是否一致.
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
任何三角形都有三条角平分线
并且三角形的三条角平分线在三角形的内部交于一点.
三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.
例：如图，在△ABC中， AF⊥BC于点F，则线段AF是△ABC的一条高.
A
B
C
F
三角形的高线
问题1：在△ABC中，线段AF是△ABC的一条高，你能得到什么结论？
A
B
C
F
AF⊥BC
已知高，可得两线垂直
问题2：已知△ABC，分别画出BC边上的高.
A
B
C
A
B
C
A
B
C
问题3：试试作出其他边上的高.
A
B
C
A
B
C
A
B
C
问题4：:观察下面的图形，说说你发现了什么，你的发现与“三角形的角平分线”里的发现一样吗？
三条高都在三角形的内部，三条高交于同一点.
两条高与直角边重合，另外一条高在内部,三条高的交点为直角顶点.
两条高在外部，另外一条高在内部,三条高没有交点.
但三条高所在直线交于三角形外一点.
任何三角形都有三条高
连接三角形的一个顶点与它对边中点的线段叫作三角形的中线.
例：如图，在△ABC中，点E在BC上，BE=EC，则线段AE是△ABC的一条中线.
A
B
C
E
三角形的中线
A
B
C
E
问题1：在△ABC中，点E在BC上，线段AE是△ABC的一条中线，你能得到什么结论？
BE=EC
已知中线，可得两线段相等
问题2：剪下一个三角形纸片，用折纸的方法找到三边的中点，画出这个三角形的三条中线.这三条中线交于一点吗？
直角三角形
锐角三角形
钝角三角形
三角形的三条中线在三角形内部交于一点
任何三角形都有三条中线
问题3：按剪下的三角形纸片，用厚薄均匀的硬纸板裁出一个相同的三角形，画出这个三角形的三条中线.并在它们的交点处钻一个小孔，通过小孔系一条线，将三角形硬纸板吊起，这时三角形硬纸板处于什么状态？
三角形的三条中线交于一点，这个交点叫作三角形的重心.
1.如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线、角平分线和高线.请指出图中相等的角以及相等的线段.
∵AE是△ABC的角平分线，∴∠BAE＝∠CAE.
∵AF是△ABC的高线，∴∠AFB＝∠AFC＝90°.
∵AD是△ABC的中线，∴BD＝DC.
2.如图,在△ABC中,∠BAC=68°，∠B=36°，AD是△ABC的一条角平分线，则∠ADB的度数为 .
A
B
D
C
110°
解析：∵CD是中线，∴AD=BD.
∵C△DBC=DB+BC+CD=25 cm，BC-AC=5 cm，
∴C△ADC=DA+AC+CD=DB+(BC-5)+CD=(DB+BC+CD)-5=25-5=20(cm).
3.在△ABC中,CD是中线,已知BC-AC=5 cm, △DBC的周长为25 cm,则△ADC的周长是________.
20 cm
归纳：一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差.
4.如图，在△ABC中，AE是BC边上中线,若△ABC的面积为80 cm2,则△ABE的面积是 .
40 cm2
D
A
B
E
C
归纳：同高等底的两个三角形面积相等;三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形
解析：过点A作BC边上的高AD，
∵ AE是BC边上的中线，
∴ BE = EC.
∴
∵
cm2.
知道面积，可以作什么辅助线？
5.如图，在△ABC中，CE，BF是两条高，若∠A= 50°，∠BCE=30°，则∠EBF的度数是 ，∠FBC的度数是 .
20°
40°
A
B
C
E
F
三角形重要线段
高
中线
角平分线
三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点间的线段叫作三角形的角平分线.
已知角平分线，可得两角相等
连接三角形的一个顶点与它对边中点的线段叫作三角形的中线.
已知中线，可得两线相等.
本节课我们学了三角形的哪些重要线段？它们分别有什么性质？
三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫作三角形的高线，简称三角形的高.
已知高，可得两线垂直.

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