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广东省深圳市宝安区松岗中学多校联考2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（2025八下·宝安期中）在电影《哪吒之魔童降世》中，哪吒的混天绫由一种神奇的纤维制成．科学家研究发现，这种纤维的直径仅有米．请用科学记数法表示这个直径的正确选项是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故选：A．
【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的小数，科学记数法表示较小数的通用形式为，其中要求，的取值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定，本题中0.000012左边第一个非零数字1前有5个0，因此确定，，即可直接写出该数的科学记数法表达式。
2．（2025八下·宝安期中）下列运算结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
故选：B
【分析】本题考查整式的混合运算，涵盖同底数幂的乘除、积的乘方以及合并同类项的知识点，需逐一分析选项验证运算正确性：同底数幂相乘底数不变指数相加，因此，并非；积的乘方需将每个因式分别乘方再将幂相乘，即；单项式相除时系数与同底数幂分别相除，，原式多了因式；只有同类项才能合并，与所含字母的指数不同，不属于同类项，无法合并，据此可确定正确选项。
3．（2025八下·宝安期中）如果三角形的三边长分别为a，4，5，那么整数a的值不可能是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由三角形的三边关系可得：，则，
a的值不可能是1，
故选：A．
【分析】根据三角形三边关系即可求出答案.
4．（2025八下·宝安期中）下列能表示的边上的高的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的高
5．（2025八下·宝安期中）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在的两边、上分别在取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：由题意可知
在中
∴(SSS)
∴
∴就是的平分线
故选：D
【分析】根据全等三角形判定定理即可求出答案.
6．（2025八下·宝安期中）下列说法正确的是（　　）
A．经过已知一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．若为完全平方式，则
C．已知的三个内角度数之比为，则此三角形是直角三角形
D．当硬币抛掷的次数在2000次以上时，“正面朝上”的频率总在附近摆动，显示出频率的稳定性，由此可估计随机掷一枚硬币“正面朝上”的概率为
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；利用频率估计概率；完全平方式
【解析】【解答】解：A、在同一平面内，经过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误，不符合题意；
B、若为完全平方式，则，故本选项错误，不符合题意；
C、最大的内角度数为，则此三角形不是直角三角形，故本选项错误，不符合题意；
D、当硬币抛掷的次数在2000次以上时，“正面朝上”的频率总在附近摆动，显示出频率的稳定性，由此可估计随机掷一枚硬币“正面朝上”的概率为，故本选项错误，不符合题意；
故选：D．
【分析】本题考查平行线公理、完全平方式的特征、三角形内角和定理以及频率估计概率的知识点，需逐一分析选项：平行线公理的前提是在同一平面内且经过直线外一点，选项缺少前提条件；完全平方式的形式为，对比可得，则，；根据三角形内角和为，按3：4：5的比例分配可求出最大内角为，因此该三角形不是直角三角形；根据频率的稳定性，当试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在概率附近，硬币抛掷2000次以上时正面朝上的频率稳定在0.5附近，故可估计该事件的概率为0.5。
7．（2025八下·宝安期中）如图是某住宅的平面结构图（单位：米），房的主人计划将卧室以外的地面都铺上地砖．如果他选用地砖的价格为元米，则买砖至少需用（　　）元
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】单项式乘多项式；整式的混合运算；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：由图可得，
买砖至少需用：
（元），
故选：A．
【分析】本题考查列代数式及整式的乘法运算，解题的关键是先计算出卧室以外的地面总面积，需分别用含、的代数式表示出卫生间、厨房、客厅的面积，再将各部分面积相加得到总面积，最后用总面积乘以地砖的单价元/米，通过单项式与多项式的乘法运算化简代数式，即可得到买砖所需的费用。
8．（2025八下·宝安期中）如图所示，长方形纸片中，，现将长方形纸片沿折叠，使点落在点处，与交于点；再将三角形沿折叠，使点落在点处．则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：由折叠的性质可得：，
在长方形中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选C．
【分析】本题考查长方形的性质、折叠的性质以及角的和差计算，长方形的四个内角均为直角，折叠前后的对应角相等，先根据和，利用直角三角形的两锐角互余求出，由折叠性质得，再结合，通过角的和差求出，再次折叠得，最后利用即可计算出的度数。
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2025八下·宝安期中）在日常生活中，我们通常采用如图的方法（斜钉上一块木条）来修理一张摇晃的椅子，请用数学知识说明这样做的依据是：　 　．
【答案】三角形具有稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：这样做的依据是：三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
【分析】根据三角形具有稳定性即可求出答案.
10．（2025八下·宝安期中）中国象棋中，馬走‘日’字格，如图，“馬”位于河界下方，其可达位置已用“●”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在河界上方的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由图形可知，“馬”移动一次可能到达的位置共有8种，其中到达的位置在河界上方有2种，
则“馬”随机移动一次，到达的位置在河界上方的概率是，
故答案为：．
【分析】本题考查概率公式的直接应用，随机事件的概率等于该事件发生的所求情况数与所有可能的总情况数的比值，首先从图中确定“馬”随机移动一次的总可达位置有8种，再数出其中在河界上方的可达位置有2种，将这两个数值代入概率公式计算，即可得到所求概率。
11．（2025八下·宝安期中）计算：20182﹣2019×2017＝　 　．
【答案】1
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：原式＝20182﹣（2018+1）×（2018﹣1）＝20182﹣20182+1＝1，
故答案是：1．
【分析】先将2019×2017变形为（2018+1）×（2018﹣1），再利用平方差公式计算即可.
12．（2025八下·宝安期中）如图1，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图2，在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，已知，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，此时平面镜与地面的夹角　 　．
【答案】
【知识点】角的运算；垂线的概念
【解析】【解答】解：如图，
由题意知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查垂线的性质和角的和差计算，由太阳光线反射后垂直射入深井底部可知，根据垂线的定义得，结合平角为，可求出，再由光的反射定律，可计算出，最后通过的角的和差关系，即可求出平面镜与地面的夹角。
13．（2025八下·宝安期中）我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》给出了在（为非负整数）的展开式中，把各项系数按一定的规律排成右表（展开后每一项按的次数由大到小的顺序排列），人们把这个表叫做“杨辉三角”．据此规律，则展开式中含项的系数是　 　．
【答案】2025
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：根据题意，可得：
，
∴，
∴展开式中含的系数为，
故答案为： ．
【分析】本题考查杨辉三角的规律及多项式乘方展开式的系数特征，观察杨辉三角的展开式可总结出规律：的展开式中，项的系数等于，将与进行对应，可得，，，则展开式中项即为项，根据上述规律可直接确定该项的系数。
三、解答题（本题共7小题，其中第14题8分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题10分，第19题10分，第20题10分，共61分）
14．（2025八下·宝安期中）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）原式．
（2）原式．
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算和整式的混合运算，涉及零指数幂、负整数指数幂和幂的相关运算法则。
（1）需先分别计算乘方、零指数幂和负整数指数幂，注意的计算结果为，非零数的零指数幂为1，即，一个数的负整数指数幂等于其正整数指数幂的倒数，即，再将各部分结果进行加减运算；
（2）需先根据幂的乘方、同底数幂的除法、同底数幂的乘法分别计算每一项，再合并同类项完成化简。
（1）原式．
（2）原式．
15．（2025八下·宝安期中）先化简，再求值：，其中，
【答案】解：原式
；
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的混合运算化简求值
16．（2025八下·宝安期中）概率与统计在我们日常生活中应用非常广泛：
（1）请将下列事件发生的概率标在图1中（用字母表示）：
①记为点：随机地从，，，，这十个数中选取两个数，和为；
②记为点：将个人分成两组，一定有个人分在一组；
③记为点：从装有个红球、个白球的不透明口袋中任取一个球，恰好是白球（这些球除颜色外完全相同）；
④记为点：如图所示的正方形纸片上做随机扎针实验，则针头恰好扎在阴影区域内．
（2）一个不透明的口袋中装有个白球和个红球，每个球除颜色外都相同．从口袋中取走个红球后，再放入个白球，并充分摇匀，如果随机摸出白球的概率是，的值是多少？
【答案】（1）解：①先判断此事件为不可能事件，再根据不可能事件的概率为求解；
②先判断此事件为必然事件，再根据必然事件的概率为求解；
③先判断此事件为随机事件，再根据随机事件的概率公式求出概率值为；
④先判断此事件为随机事件，再根据随机事件的概率公式求出概率值为．然后依次标在图中即可．
如图所示：
（2）解：由题意，口袋中有个白球和个红球，共有个球，能说明共个球即可
从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，
解得．
【知识点】事件的分类；几何概率；概率公式；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】本题考查随机事件的概率判断、概率公式的应用。
（1）需先判断每个事件的类型并计算对应概率，不可能事件的概率为0，两个一位数的和最大为18，因此事件①是不可能事件，概率为0；必然事件的概率为1，3个人分两组必然有2人在一组，因此事件②是必然事件，概率为1；随机事件根据概率公式计算，事件③中总球数为10个，白球7个，概率为，事件④中阴影区域面积为正方形的，概率为0.25，再将各点标在数轴的对应位置即可；
（2）中取走个红球并放入个白球后，总球数不变仍为20个，白球的数量变为个，根据概率公式列出方程，解该一元一次方程即可求出的值。
（1）解：①先判断此事件为不可能事件，再根据不可能事件的概率为求解；
②先判断此事件为必然事件，再根据必然事件的概率为求解；
③先判断此事件为随机事件，再根据随机事件的概率公式求出概率值为；
④先判断此事件为随机事件，再根据随机事件的概率公式求出概率值为．然后依次标在图中即可．
如图所示：
（2）解：由题意，口袋中有个白球和个红球，共有个球，能说明共个球即可
从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，
解得．
17．（2025八下·宝安期中）
（1）如图，用尺规作图，并保留作图痕迹：已知，延长到，使，过点作的平行线，交的延长线于点．
（2）与有什么数量关系？请说明理由．
【答案】（1）解：如图所示，、即为所求；（2）解：，理由如下．在和中，．
（1）解：如图所示，、即为所求；
（2）解：，理由如下．
在和中，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作一个角等于已知角；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】本题考查尺规作图的方法以及全等三角形的判定与性质。
（1）的尺规作图需分两步完成，首先延长，以点为圆心、的长为半径画弧，交的延长线于点，满足，再作，使交的延长线于点，即可作出与平行的直线；
（2）要判断与的数量关系，可通过证明三角形全等实现，由可得，又，且与是对顶角，故，根据角边角判定定理可证，再由全等三角形的对应边相等即可得出结论。
18．（2025八下·宝安期中）把下面的说理过程补充完整并解答第（2）题．
（1）已知：如图，点，分别在，上，于点，，．
求证：．
理由：∵（已知），
∴（_____），
∵在中，_____，
∴_____，
又∵（已知），
∴_____（_____），
又∵（已知），
∴（_____），
∴（_____）；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：理由：∵（已知），∴（垂直的定义），
∵在中，，
∴，
又∵（已知），
∴（同角的余角相等），
又∵（已知），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行）；
（2）解：解：∵，可设，则且，∴，
又∵，
∴，
即，
解得，，
又∵，
∴；
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】本题考查平行线的判定与性质、垂直的定义以及三角形内角和定理。
（1）需根据已知条件和几何定理逐步补充说理过程，由垂直的定义可得时，根据三角形内角和为，在中可得，结合已知，利用同角的余角相等可推出，再通过等量代换由得，最后根据内错角相等两直线平行，可证得；
（2）可通过设未知数的方法求解，设，则，由（1）的结论可知，结合列出方程，解出的值后，再由的平行线性质得，即可求出的度数。
（1）解：理由：∵（已知），
∴（垂直的定义），
∵在中，，
∴，
又∵（已知），
∴（同角的余角相等），
又∵（已知），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行）；
（2）解：解：∵，可设，则且，
∴，
又∵，
∴，
即，
解得，，
又∵，
∴；
19．（2025八下·宝安期中）数形结合是一种非常重要的数学思想，我们可以通过计算几何图形的面积来验证一些代数恒等式．
【探索】（1）如图1是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形、长和宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证乘法公式_____，利用上述公式解决问题：
【应用】（2）若，则_____；
【迁移】（3）如图2，在线段上取一点，分别以为边作正方形，连接．若阴影部分的面积和为11，的面积为7，求的长度．
【拓展】（4）若，则_____．
【答案】（1）；
（2）28；
（3）设正方形的边长为正方形的边长为，
∵阴影部分的面积和为11，的面积为7，
∴，，
即，，
，
，
，，
，
即．
（4）
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；整式的混合运算；数形结合
【解析】【解答】（1）解：图①从“整体上”看是边长为的正方形，因此面积为，拼成图①的四个部分的面积和为，
∴有；
（2）∵，
；
（4）设，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即．
【分析】本题考查完全平方公式的几何验证和公式的灵活变形应用。
（1）从整体来看，大正方形的边长为，面积为，从部分来看，大正方形的面积等于两个小正方形和两个长方形的面积之和，即，根据整体与部分的面积相等，可验证完全平方公式；
（2）利用完全平方公式的变形公式，将已知的和直接代入公式，即可计算出结果；
（3）设正方形的边长为，正方形的边长为，则，根据阴影部分面积和与的面积列出等式，可推出，，再利用完全平方公式的变形，代入数值求出的正值，即为的长度；
（4）通过换元法简化计算，设，，先求出，再结合已知，利用完全平方公式的变形，代入数值计算出的值，即为所求代数式的结果。
20．（2025八下·宝安期中）如图1是一副三角尺，，，，，．
（1）如图2，直角顶点与重合，当时，求的度数．
（2）如图3，直角顶点与重合，当点恰好落在上时，在上截取，连接，判断和的数量关系并说明理由．
（3）将三角尺从图4所示的位置开始，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为秒，当旋转到延长线上时，停止旋转．
①如图5．当时，的值是_____秒；
②当三角板中的边与三角板中的某条边平行时，的值是_____秒．
【答案】（1）解：过C作，则
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由：∵，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴；
（3）①40；②15，45或55．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】（3）解：①∵，
∴，
∴，
∴；
②当时，则，
∴，
当时，则，
∴，
∴；
当时，延长交于M，则，
∴，
∴；
综上所述，t的值为15或45或55．
【分析】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质以及几何图形的旋转问题。
（1）需作辅助线构造平行线，过点作，根据平行线的性质可得，再由可推出，因此，最后利用角的和差关系，即可求出角度；
（2）要判断和的数量关系，可证明和全等，由可得，又已知，，根据边角边判定定理可证，由全等三角形的对应边相等即可得出结论；
（3）①由得，代入得，解得；②需分三种情况讨论，即、、，分别利用平行线的性质求出三角尺绕点旋转的角度，再用旋转角度除以旋转速度3°/秒，即可得到对应的旋转时间。
（1）解：过C作，则
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴；
（3）解：①∵，
∴，
∴，
∴；
②当时，则，
∴，
当时，则，
∴，
∴；
当时，延长交于M，则，
∴，
∴；
综上所述，t的值为15或45或55．
1 / 1广东省深圳市宝安区松岗中学多校联考2024-2025学年八年级下学期4月期中考试数学试题
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）
1．（2025八下·宝安期中）在电影《哪吒之魔童降世》中，哪吒的混天绫由一种神奇的纤维制成．科学家研究发现，这种纤维的直径仅有米．请用科学记数法表示这个直径的正确选项是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·宝安期中）下列运算结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025八下·宝安期中）如果三角形的三边长分别为a，4，5，那么整数a的值不可能是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2025八下·宝安期中）下列能表示的边上的高的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025八下·宝安期中）工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角．如图，在的两边、上分别在取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点、重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．这里构造全等三角形的依据是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·宝安期中）下列说法正确的是（　　）
A．经过已知一点有且只有一条直线与已知直线平行
B．若为完全平方式，则
C．已知的三个内角度数之比为，则此三角形是直角三角形
D．当硬币抛掷的次数在2000次以上时，“正面朝上”的频率总在附近摆动，显示出频率的稳定性，由此可估计随机掷一枚硬币“正面朝上”的概率为
7．（2025八下·宝安期中）如图是某住宅的平面结构图（单位：米），房的主人计划将卧室以外的地面都铺上地砖．如果他选用地砖的价格为元米，则买砖至少需用（　　）元
A． B． C． D．
8．（2025八下·宝安期中）如图所示，长方形纸片中，，现将长方形纸片沿折叠，使点落在点处，与交于点；再将三角形沿折叠，使点落在点处．则的度数为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9．（2025八下·宝安期中）在日常生活中，我们通常采用如图的方法（斜钉上一块木条）来修理一张摇晃的椅子，请用数学知识说明这样做的依据是：　 　．
10．（2025八下·宝安期中）中国象棋中，馬走‘日’字格，如图，“馬”位于河界下方，其可达位置已用“●”标记，则“馬”随机移动一次，到达的位置在河界上方的概率是　 　．
11．（2025八下·宝安期中）计算：20182﹣2019×2017＝　 　．
12．（2025八下·宝安期中）如图1，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图2，在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，已知，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，此时平面镜与地面的夹角　 　．
13．（2025八下·宝安期中）我国宋朝数学家杨辉1261年的著作《详解九章算法》给出了在（为非负整数）的展开式中，把各项系数按一定的规律排成右表（展开后每一项按的次数由大到小的顺序排列），人们把这个表叫做“杨辉三角”．据此规律，则展开式中含项的系数是　 　．
三、解答题（本题共7小题，其中第14题8分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题10分，第19题10分，第20题10分，共61分）
14．（2025八下·宝安期中）计算：
（1）
（2）
15．（2025八下·宝安期中）先化简，再求值：，其中，
16．（2025八下·宝安期中）概率与统计在我们日常生活中应用非常广泛：
（1）请将下列事件发生的概率标在图1中（用字母表示）：
①记为点：随机地从，，，，这十个数中选取两个数，和为；
②记为点：将个人分成两组，一定有个人分在一组；
③记为点：从装有个红球、个白球的不透明口袋中任取一个球，恰好是白球（这些球除颜色外完全相同）；
④记为点：如图所示的正方形纸片上做随机扎针实验，则针头恰好扎在阴影区域内．
（2）一个不透明的口袋中装有个白球和个红球，每个球除颜色外都相同．从口袋中取走个红球后，再放入个白球，并充分摇匀，如果随机摸出白球的概率是，的值是多少？
17．（2025八下·宝安期中）
（1）如图，用尺规作图，并保留作图痕迹：已知，延长到，使，过点作的平行线，交的延长线于点．
（2）与有什么数量关系？请说明理由．
18．（2025八下·宝安期中）把下面的说理过程补充完整并解答第（2）题．
（1）已知：如图，点，分别在，上，于点，，．
求证：．
理由：∵（已知），
∴（_____），
∵在中，_____，
∴_____，
又∵（已知），
∴_____（_____），
又∵（已知），
∴（_____），
∴（_____）；
（2）若，求的度数．
19．（2025八下·宝安期中）数形结合是一种非常重要的数学思想，我们可以通过计算几何图形的面积来验证一些代数恒等式．
【探索】（1）如图1是一个大正方形被分割成了边长分别为和的两个正方形、长和宽分别为和的两个长方形，利用这个图形可以验证乘法公式_____，利用上述公式解决问题：
【应用】（2）若，则_____；
【迁移】（3）如图2，在线段上取一点，分别以为边作正方形，连接．若阴影部分的面积和为11，的面积为7，求的长度．
【拓展】（4）若，则_____．
20．（2025八下·宝安期中）如图1是一副三角尺，，，，，．
（1）如图2，直角顶点与重合，当时，求的度数．
（2）如图3，直角顶点与重合，当点恰好落在上时，在上截取，连接，判断和的数量关系并说明理由．
（3）将三角尺从图4所示的位置开始，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，设旋转时间为秒，当旋转到延长线上时，停止旋转．
①如图5．当时，的值是_____秒；
②当三角板中的边与三角板中的某条边平行时，的值是_____秒．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故选：A．
【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值小于1的小数，科学记数法表示较小数的通用形式为，其中要求，的取值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数决定，本题中0.000012左边第一个非零数字1前有5个0，因此确定，，即可直接写出该数的科学记数法表达式。
2．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、不是同类项，不能合并，故该选项不符合题意；
故选：B
【分析】本题考查整式的混合运算，涵盖同底数幂的乘除、积的乘方以及合并同类项的知识点，需逐一分析选项验证运算正确性：同底数幂相乘底数不变指数相加，因此，并非；积的乘方需将每个因式分别乘方再将幂相乘，即；单项式相除时系数与同底数幂分别相除，，原式多了因式；只有同类项才能合并，与所含字母的指数不同，不属于同类项，无法合并，据此可确定正确选项。
3．【答案】A
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：由三角形的三边关系可得：，则，
a的值不可能是1，
故选：A．
【分析】根据三角形三边关系即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】三角形的高
5．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：由题意可知
在中
∴(SSS)
∴
∴就是的平分线
故选：D
【分析】根据全等三角形判定定理即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；利用频率估计概率；完全平方式
【解析】【解答】解：A、在同一平面内，经过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误，不符合题意；
B、若为完全平方式，则，故本选项错误，不符合题意；
C、最大的内角度数为，则此三角形不是直角三角形，故本选项错误，不符合题意；
D、当硬币抛掷的次数在2000次以上时，“正面朝上”的频率总在附近摆动，显示出频率的稳定性，由此可估计随机掷一枚硬币“正面朝上”的概率为，故本选项错误，不符合题意；
故选：D．
【分析】本题考查平行线公理、完全平方式的特征、三角形内角和定理以及频率估计概率的知识点，需逐一分析选项：平行线公理的前提是在同一平面内且经过直线外一点，选项缺少前提条件；完全平方式的形式为，对比可得，则，；根据三角形内角和为，按3：4：5的比例分配可求出最大内角为，因此该三角形不是直角三角形；根据频率的稳定性，当试验次数足够多时，事件发生的频率会稳定在概率附近，硬币抛掷2000次以上时正面朝上的频率稳定在0.5附近，故可估计该事件的概率为0.5。
7．【答案】A
【知识点】单项式乘多项式；整式的混合运算；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：由图可得，
买砖至少需用：
（元），
故选：A．
【分析】本题考查列代数式及整式的乘法运算，解题的关键是先计算出卧室以外的地面总面积，需分别用含、的代数式表示出卫生间、厨房、客厅的面积，再将各部分面积相加得到总面积，最后用总面积乘以地砖的单价元/米，通过单项式与多项式的乘法运算化简代数式，即可得到买砖所需的费用。
8．【答案】C
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：由折叠的性质可得：，
在长方形中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故选C．
【分析】本题考查长方形的性质、折叠的性质以及角的和差计算，长方形的四个内角均为直角，折叠前后的对应角相等，先根据和，利用直角三角形的两锐角互余求出，由折叠性质得，再结合，通过角的和差求出，再次折叠得，最后利用即可计算出的度数。
9．【答案】三角形具有稳定性
【知识点】三角形的稳定性
【解析】【解答】解：这样做的依据是：三角形具有稳定性，
故答案为：三角形具有稳定性．
【分析】根据三角形具有稳定性即可求出答案.
10．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由图形可知，“馬”移动一次可能到达的位置共有8种，其中到达的位置在河界上方有2种，
则“馬”随机移动一次，到达的位置在河界上方的概率是，
故答案为：．
【分析】本题考查概率公式的直接应用，随机事件的概率等于该事件发生的所求情况数与所有可能的总情况数的比值，首先从图中确定“馬”随机移动一次的总可达位置有8种，再数出其中在河界上方的可达位置有2种，将这两个数值代入概率公式计算，即可得到所求概率。
11．【答案】1
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：原式＝20182﹣（2018+1）×（2018﹣1）＝20182﹣20182+1＝1，
故答案是：1．
【分析】先将2019×2017变形为（2018+1）×（2018﹣1），再利用平方差公式计算即可.
12．【答案】
【知识点】角的运算；垂线的概念
【解析】【解答】解：如图，
由题意知，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查垂线的性质和角的和差计算，由太阳光线反射后垂直射入深井底部可知，根据垂线的定义得，结合平角为，可求出，再由光的反射定律，可计算出，最后通过的角的和差关系，即可求出平面镜与地面的夹角。
13．【答案】2025
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：根据题意，可得：
，
∴，
∴展开式中含的系数为，
故答案为： ．
【分析】本题考查杨辉三角的规律及多项式乘方展开式的系数特征，观察杨辉三角的展开式可总结出规律：的展开式中，项的系数等于，将与进行对应，可得，，，则展开式中项即为项，根据上述规律可直接确定该项的系数。
14．【答案】（1）原式．
（2）原式．
【知识点】整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算和整式的混合运算，涉及零指数幂、负整数指数幂和幂的相关运算法则。
（1）需先分别计算乘方、零指数幂和负整数指数幂，注意的计算结果为，非零数的零指数幂为1，即，一个数的负整数指数幂等于其正整数指数幂的倒数，即，再将各部分结果进行加减运算；
（2）需先根据幂的乘方、同底数幂的除法、同底数幂的乘法分别计算每一项，再合并同类项完成化简。
（1）原式．
（2）原式．
15．【答案】解：原式
；
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；利用整式的混合运算化简求值
16．【答案】（1）解：①先判断此事件为不可能事件，再根据不可能事件的概率为求解；
②先判断此事件为必然事件，再根据必然事件的概率为求解；
③先判断此事件为随机事件，再根据随机事件的概率公式求出概率值为；
④先判断此事件为随机事件，再根据随机事件的概率公式求出概率值为．然后依次标在图中即可．
如图所示：
（2）解：由题意，口袋中有个白球和个红球，共有个球，能说明共个球即可
从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，
解得．
【知识点】事件的分类；几何概率；概率公式；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】本题考查随机事件的概率判断、概率公式的应用。
（1）需先判断每个事件的类型并计算对应概率，不可能事件的概率为0，两个一位数的和最大为18，因此事件①是不可能事件，概率为0；必然事件的概率为1，3个人分两组必然有2人在一组，因此事件②是必然事件，概率为1；随机事件根据概率公式计算，事件③中总球数为10个，白球7个，概率为，事件④中阴影区域面积为正方形的，概率为0.25，再将各点标在数轴的对应位置即可；
（2）中取走个红球并放入个白球后，总球数不变仍为20个，白球的数量变为个，根据概率公式列出方程，解该一元一次方程即可求出的值。
（1）解：①先判断此事件为不可能事件，再根据不可能事件的概率为求解；
②先判断此事件为必然事件，再根据必然事件的概率为求解；
③先判断此事件为随机事件，再根据随机事件的概率公式求出概率值为；
④先判断此事件为随机事件，再根据随机事件的概率公式求出概率值为．然后依次标在图中即可．
如图所示：
（2）解：由题意，口袋中有个白球和个红球，共有个球，能说明共个球即可
从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，
解得．
17．【答案】（1）解：如图所示，、即为所求；（2）解：，理由如下．在和中，．
（1）解：如图所示，、即为所求；
（2）解：，理由如下．
在和中，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-ASA；尺规作图-直线、射线、线段；尺规作图-作一个角等于已知角；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】本题考查尺规作图的方法以及全等三角形的判定与性质。
（1）的尺规作图需分两步完成，首先延长，以点为圆心、的长为半径画弧，交的延长线于点，满足，再作，使交的延长线于点，即可作出与平行的直线；
（2）要判断与的数量关系，可通过证明三角形全等实现，由可得，又，且与是对顶角，故，根据角边角判定定理可证，再由全等三角形的对应边相等即可得出结论。
18．【答案】（1）解：理由：∵（已知），∴（垂直的定义），
∵在中，，
∴，
又∵（已知），
∴（同角的余角相等），
又∵（已知），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行）；
（2）解：解：∵，可设，则且，∴，
又∵，
∴，
即，
解得，，
又∵，
∴；
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】本题考查平行线的判定与性质、垂直的定义以及三角形内角和定理。
（1）需根据已知条件和几何定理逐步补充说理过程，由垂直的定义可得时，根据三角形内角和为，在中可得，结合已知，利用同角的余角相等可推出，再通过等量代换由得，最后根据内错角相等两直线平行，可证得；
（2）可通过设未知数的方法求解，设，则，由（1）的结论可知，结合列出方程，解出的值后，再由的平行线性质得，即可求出的度数。
（1）解：理由：∵（已知），
∴（垂直的定义），
∵在中，，
∴，
又∵（已知），
∴（同角的余角相等），
又∵（已知），
∴（等量代换），
∴（内错角相等，两直线平行）；
（2）解：解：∵，可设，则且，
∴，
又∵，
∴，
即，
解得，，
又∵，
∴；
19．【答案】（1）；
（2）28；
（3）设正方形的边长为正方形的边长为，
∵阴影部分的面积和为11，的面积为7，
∴，，
即，，
，
，
，，
，
即．
（4）
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；整式的混合运算；数形结合
【解析】【解答】（1）解：图①从“整体上”看是边长为的正方形，因此面积为，拼成图①的四个部分的面积和为，
∴有；
（2）∵，
；
（4）设，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即．
【分析】本题考查完全平方公式的几何验证和公式的灵活变形应用。
（1）从整体来看，大正方形的边长为，面积为，从部分来看，大正方形的面积等于两个小正方形和两个长方形的面积之和，即，根据整体与部分的面积相等，可验证完全平方公式；
（2）利用完全平方公式的变形公式，将已知的和直接代入公式，即可计算出结果；
（3）设正方形的边长为，正方形的边长为，则，根据阴影部分面积和与的面积列出等式，可推出，，再利用完全平方公式的变形，代入数值求出的正值，即为的长度；
（4）通过换元法简化计算，设，，先求出，再结合已知，利用完全平方公式的变形，代入数值计算出的值，即为所求代数式的结果。
20．【答案】（1）解：过C作，则
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，理由：∵，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴；
（3）①40；②15，45或55．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】（3）解：①∵，
∴，
∴，
∴；
②当时，则，
∴，
当时，则，
∴，
∴；
当时，延长交于M，则，
∴，
∴；
综上所述，t的值为15或45或55．
【分析】本题考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质以及几何图形的旋转问题。
（1）需作辅助线构造平行线，过点作，根据平行线的性质可得，再由可推出，因此，最后利用角的和差关系，即可求出角度；
（2）要判断和的数量关系，可证明和全等，由可得，又已知，，根据边角边判定定理可证，由全等三角形的对应边相等即可得出结论；
（3）①由得，代入得，解得；②需分三种情况讨论，即、、，分别利用平行线的性质求出三角尺绕点旋转的角度，再用旋转角度除以旋转速度3°/秒，即可得到对应的旋转时间。
（1）解：过C作，则
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：，
理由：∵，
∴，
∵，
∴，
又，
∴，
∴；
（3）解：①∵，
∴，
∴，
∴；
②当时，则，
∴，
当时，则，
∴，
∴；
当时，延长交于M，则，
∴，
∴；
综上所述，t的值为15或45或55．
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