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浙江省杭州市余杭区,富阳区,临平区,钱塘区,桐庐县2026届高三第一学期期末学业水平测试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2026高三上·临平期末）已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2026高三上·临平期末）设复数满足，则（　　）
A．1 B． C．2 D．
3．（2026高三上·临平期末）已知为实数，，则“”是“向量共线”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2026高三上·临平期末）某校举办了一次以“消防安全”为主题的知识竞赛，现随机抽取了100名学生的成绩（单位：分）作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，记样本数据的众数为，中位数为，平均数为，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2026高三上·临平期末）设是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2026高三上·临平期末）在中，为边上的中点，且，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
7．（2026高三上·临平期末）已知两点均在双曲线的右支上，若恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
8．（2026高三上·临平期末）如图，在平面直角坐标系上，有一系列点，每个点均在函数的图象上.已知以点为圆心的均与轴相切，与外切，且，则（　　）
A．是等比数列，且公比为 B．是等比数列，且公比为
C．是等差数列，且公差为2 D．是等差数列，且公差为4
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2026高三上·临平期末）已知函数，则（　　）
A．的周期为 B．在区间上单调递增
C．的图象关于直线对称 D．在区间上有3个零点
10．（2026高三上·临平期末）已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点，过的一条直线与交于两点，过作的垂线，垂足分别为，则（　　）
A． B．
C．直线与的斜率之和为0 D．与的面积相等
11．（2026高三上·临平期末）二进制是一种使用0和1两个数码的数制，是现代电子计算机技术的基础.对于整数可理解为逢二进一，比如：在十进制中的自然数5在二进制中就表示为表示为.自然数可表示为二进制表达式，则，其中当时，或，记为整数的二进制表达式中0的个数，则以下说法中正确的是（　　）
A． B．对任意
C．存在 D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2026高三上·临平期末）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为　 　.
13．（2026高三上·临平期末）已知，则　 　.
14．（2026高三上·临平期末）公切线是指同时相切于两条或两条以上的曲线的直线，若函数的图象存在两条不同的公切线，则实数的取值范围为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2026高三上·临平期末）已知数列是等差数列，其前项和，数列是等比数列，若.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求的前项和.
16．（2026高三上·临平期末）冬季是流感高发季，某卫生部门为宣传如何预防流感病毒制定了两种宣传方法，为了解两种宣传方法的宣传效果，该部门在人群中随机对60人进行了宣传，其中30人采用宣传方法一，30人采用宣传方法二，宣传后的人群对预防流感病毒的方法的了解程度分为“比较了解”和“有点了解”.经统计发现，采用宣传方法一宣传后的人中有24人是“比较了解”，采用宣传方法二宣传后的人中有12人是“比较了解”.
（1）以频率估计概率，现给2人采用宣传方法一宣传如何预防流感病毒，记宣传后“比较了解”的人数为，求的分布列和数学期望；
（2）若按照宣传方法进行分层抽样，从这60人中随机抽取10人，再从这10人中等可能依次抽取2人，求在第一次抽到“比较了解”的人的情况下，第二次抽到采用宣传方法一宣传且了解程度为“比较了解”的人的概率.
17．（2026高三上·临平期末）如图所示，在四棱锥中，，是正三角形.
（1）设为与的交点，为棱上一点，且平面，求的值；
（2）设是棱的中点，求证：平面；
（3）设是棱上一个动点，若直线与平面所成角的正弦值是，求线段的长度.
18．（2026高三上·临平期末）已知椭圆的离心率为分别是椭圆的右顶点，上顶点，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点，其中点在第一象限，点不在轴上，设直线的斜率分别为.
（i）求证：为定值；
（ii）设直线与轴交于点，求的面积的最大值.
19．（2026高三上·临平期末）已知函数.
（1）当时，求在区间上的极值；
（2）当时，若对任意恒成立，求的取值范围；
（3）设，且，证明：.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：，易知集合，集合，
则.
故答案为： C.
【分析】解一元二次不等式求得集合B，再根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由，可得，则.
故答案为：A.
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数，再根据复数模的运算求解即可.
3．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：当时，向量，，向量共线，即充分性成立；
若“共线”，则，解得或，即必要性不成立，
则“”是“向量共线”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据向量平行的坐标表示，结合充分、必要条件的定义求解即可.
4．【答案】D
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：由频率分布直方图可知：样本数据的众数落在内，则；
因为，所以；
平均数，
因为，所以.
故答案为：D.
【分析】根据频率分布直方图求众数，中位数和平均数判断大小即可.
5．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】解：函数是定义在上的偶函数，满足，
因为，所以，即，即函数的周期为，
又因为当时，，所以，
又因为，所以.
故答案为：B.
【分析】由函数是定义在上的偶函数，可得，结合得到函数的周期，再利用函数的周期性，结合当时，，求解即可.
6．【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：在中，由余弦定理得①，
因为为的中点，所以，
则②，
联立①②解得，则的面积为.
故答案为：D.
【分析】在中，由为的中点，可得，利用余弦定理以及向量数量积的运算律求出，再利用三角形面积公式求解即可.
7．【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由是双曲线右支上的两点，且，
可得，则，
由双曲线性质可知，，，
因为恒成立，所以，所以，解得.
故答案为：B.
【分析】将恒成立，转化为恒成立，结合双曲线的性质渐近线的斜率求解即可.
8．【答案】C
【知识点】等差数列概念与表示；平面内两点间的距离公式；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：因为与相外切，所以，
即，
即，
因为每个点均在函数的图像上，所以，
所以，即，整理可得，
所以数列是等差数列，且公差为，
则，即，数列不是等比数列.
故答案为：C.
【分析】根据与相外切，利用两点间距离公式化简得到，整理可得，结合等差数列的定义求解判断即可.
9．【答案】A,C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；辅助角公式；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：，
A、的周期为，故A正确；
B、当时，，在单调递减，
在单调递增，在该区间非单调递增，故B错误；
C、正弦函数的对称轴为，，解得，
当时，，满足条件，故C正确；
D、令，即，解得，
在内，时，；时，，有2个零点，故D错误．
故答案为：AC．
【分析】先利用辅助角公式化简函数为，再利用正弦函数的周期性、单调性、对称性以及零点逐项求解判断即可．
10．【答案】A,C,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：A、根据抛物线的定义可得，且，
则，即，故A正确；
B、，要使，则必有，很显然不一定成立，故B错误；
C、设直线的方程为，
联立方程得，整理得，
，，即，由题意可知同号，
，则，故C正确；
D、设直线的方程为，，
联立方程得，由韦达定理可得，
由题意，，到的距离为，
.
，到的距离为，，则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据抛物线的定义，结合三角形相似求解即可判断A；采用综合法即可判断B；设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元整理，利用韦达定理结合斜率公式表示出与的斜率之和化简计算即可判断C；设直线的方程为，，
联立直线与抛物线方程，通过找角之间的联系，再利用三角形面积公式求解即可判断D.
11．【答案】A,B,D
【知识点】二项式系数的性质；进位制
【解析】【解答】解：A、，，，故A正确；
B、的二进制是的二进制左移一位（末尾加0），，
的二进制是的二进制末尾加1，，故B正确；
C、二进制加法中，进位会减少1的个数，，故C错误；
D、，，
，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】先写出35的二进制，根据的定义即可判断A；理解二进制的进位法则即可判断BC；根据二进制计算出值，代入计算即可判断D.
12．【答案】
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题；扇形的弧长与面积；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，
因为圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，所以，
又因为，所以，
则圆锥的高，
圆锥的体积为.
故答案为：．
【分析】根据扇形的弧长公式，结合圆周长解出底面半径，再根据勾股定理，求出圆锥高，最后根据圆锥的体积公式求解即可.
13．【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：由，可得，即①，
由，可得② ，
联立①②可得，
，
则.
故答案为：.
【分析】，利用同角三角函数的商关系可得，，根据两角和的正弦公式化简可得，联立求得，再利用两角差的正弦公式求，最后利用余弦的二倍角公式求的值即可.
14．【答案】
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：设的切点分别为，
，则切线方程可表示为，
即，将点代入得到，
因为，所以，化简得到，
由函数的图象存在两条不同的公切线，
则与直线有两个不同交点，
令，，
令在上单调递增，
令在上单调递减，则，
注意到，可得大致图象，如图所示：
由图象可得，解得，则实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】设函数的切点分别为，分别求导，问题转化为与直线有两个不同交点，令，求导，利用导数判断函数单调性与极值情况，作出大致图象，数形结合求解即可.
15．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由题意得，解得，则；
由，解得，则；
（2）解：由（1）可得，
则的前项和
.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；数列的求和；等比数列的性质
【解析】【分析】(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据等差数列的通项与前项和公式列式求出，再根据等比数列的项的关系求出即可；
(2)由（1）可得，将的前项拆分为奇数项等差数列和偶数项等比数列，分别求和后再合并即可.
（1）设数列的公差为的公比为，
由题意得，解得，所以，
又，解得，所以.
（2）由条件得，
所以的前项和
.
16．【答案】（1）解：采用宣传方法一宣传后的人是“比较了解”的概率为，
由题意可知：的可能取值为，
则，
的分布列为
0 1 2
故；
（2）解：抽取的10人中，了解程度为“比较了解”的有人，且采用方法一宣传的有人，
采用方法二宣传的有人，
宣传方法 了解程度 合计
比较了解 有点了解
方法一 4 1 5
方法二 2 3 5
合计 6 4 10
记事件表示“第一次抽到比较了解的人”，
事件表示“第二次抽到采用宣传方法一宣传且了解程度为比较了解的人”，
则，.
【知识点】分层抽样方法；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）先计算采用宣传方法一宣传后的人是“比较了解”的概率，由题意可知：的可能取值为，满足，再根据二项分布的概率公式及期望公式求解即可；
（2）根据分层抽样法，先确定抽取的10人中采用宣传方法一宣传且了解程度为“有点了解”和采用宣传方法二宣传且了解程度为“有点了解”的人数，结合条件概率公式求解即可.
（1）采用宣传方法一宣传后的人是“比较了解”的概率为，
则，
所以的分布列为
0 1 2
故.
（2）抽取的10人中，了解程度为“比较了解”的有人，且采用方法一宣传的有人，采用方法二宣传的有人.
宣传方法 了解程度 合计
比较了解 有点了解
方法一 4 1 5
方法二 2 3 5
合计 6 4 10
记事件表示“第一次抽到比较了解的人”，
事件表示“第二次抽到采用宣传方法一宣传且了解程度为比较了解的人”，
则，
所以.
17．【答案】（1）解：平面平面，平面平面，所以，
所以，，，，
则；
（2）证明：取的中点，连接，，
因为，所以且，即四边形为平行四边形，所以，
在等边中，为中点，，
因为，所以平面，
又因为，所以，
又因为，所以，又因为，所以平面，
又因为，所以平面；
（3）解：取的中点的中点，连接，则，，
由（2）知平面，
因为平面，所以平面平面，
因为平面平面，所以平面，
因为平面，所以，所以两两垂直，
所以以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
所以，设平面的一条法向量为，
由，得，取，即，
设，
则，
设直线与平面的所成角为，
则，
化简得，解得或（舍去），
则，故线段的长度为.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）根据线面平行的性质推出线线平行，结合比例关系求解即可；
（2）取的中点，连接，由题意推出四边形为平行四边形，证明，再利用线面垂直的判定定理证明平面，再根据，即可证明平面；
（3）取的中点的中点，连接，由（2）知平面，推出两两垂直，以为坐标原点，求解平面法向量，结合线面角的向量公式求出长度即可.
（1）平面平面，平面平面，
，
，
.
（2）取的中点，连接，
且，即四边形为平行四边形，
，
在等边中，为中点，，
平面，
而，
又平面，
平面.
（3）取的中点的中点，连接，则，，
由（2）知平面，
因为平面，所以平面平面，
因为平面平面，所以平面，
因为平面，所以
所以两两垂直，
所以以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
所以，设平面的一条法向量为.
由，得，取，即.
设，
则，
设直线与平面的所成角为，
则
化简得，解得或（舍去），
所以.
故线段的长度为.
18．【答案】（1）解：椭圆的离心率为，则，即；
由，可得，联立，解得，
则椭圆C的标准方程为；
（2）解：（i）设直线的方程为，其中，且，
联立，整理得，
由韦达定理可得，
则
故为定值；
（ii）直线的方程为，令，得，故，
设直线与轴交于点，直线的方程为，
令，得，故；
由（i）可知，故，所以点是线段的中点，
故的面积，其中为点到直线的距离，
显然，当过点且与直线平行的直线与椭圆相切时，取最大值，
设直线的方程为，即，
联立，整理得，由，解得，
平行直线与之间的距离为，即的最大值为，
的面积为，
则的面积的最大值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面内两条平行直线间的距离；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，根据椭圆离心率结合以及，求椭圆方程即可；
（2）（i）设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程，消元得关于的不等式，利用韦达定理，结合斜率公式化简证明即可；
（ii）先根据直线与的方程分别求得点的坐标，根据（i）的结论，得到的面积等于2倍的的面积，将问题转化为求面积的最大值；因为，由三角形面积公式，只需求出点到直线的距离的最大值即可；当过点且与直线平行的直线与椭圆相切时，取最大值，由与椭圆相切求出直线的方程，再根据两平行线间距离公式得出的最大值，即可求面积的最大值.
（1）因为椭圆的离心率为，
所以，即；
因为，
又，
解得，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）（i）设直线的方程为，其中，且，
联立方程组，
整理得，
所以.
所以
故为定值.
（ii）直线的方程为，令，得，故，
设直线与轴交于点，直线的方程为，
令，得，故；
由（i）可知，故，所以点是线段的中点，
故的面积，其中为点到直线的距离.
显然，当过点且与直线平行的直线与椭圆相切时，取最大值.
设直线的方程为，即，
联立
整理得，由，解得.
所以平行直线与之间的距离为，
即的最大值为，
此时的面积为，
所以的面积的最大值为.
19．【答案】（1）解：当时，函数，，，
当时，，在上单调递减，则在上无极值；
当时，令，解得；令，解得；
函数在上单调递减，在上单调递增，
有极小值，无极大值；
（2）解：由整理得，
令，则，
注意到，故由必要条件知，解得；
下面证明充分性：当时，因为，则，
令，则，
令，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，可得，则，
可知在区间上单调递增，则，充分性得证，
综上所述：实数的取值范围为；
（3）证明：不妨设，
当时，左边，右边，所以左边右边；
当时，左边，右边，所以左边右边；
当，因为，所以，
要证，即证，
即证，即证，
令，则，
因为，所以，所以在区间上单调递减，
所以当时，，所以，所以在区间上单调递增，
因为，所以，所以，
所以，即，
综上可知：.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；不等式的证明
【解析】【分析】（1）将代入可得函数，求导，再分和两种情况，利用导数判断原函数单调性，求极值即可；
（2）由整理得，令，求导，注意到，则，可得必要性条件，再代入验证充分性即可；
（3）不妨设，分，和三种情况讨论，整理得，令，则，求导，利用导数判断函数的单调性，证明不等式即可.
（1）若，则，且，，
当时，则，可知在上单调递减，
所以在上无极值；
当时，令，解得；令，解得；
可知在上单调递减，在上单调递增，
所以有极小值，无极大值.
（2）由整理得，
令，则，
注意到，故由必要条件知，解得；
下面证明充分性：当时，因为，则，
令，则，
令，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，可得，则，
可知在区间上单调递增，则，充分性得证；
综上所述：实数的取值范围为.
（3）不妨设，
当时，左边，右边，所以左边右边；
当时，左边，右边，所以左边右边；
当，因为，所以.
要证，即证，
即证，即证，
令，则
因为，所以，所以在区间上单调递减，
所以当时，，所以，所以在区间上单调递增，
因为，所以，所以，
所以，即.
综上可知：.
1 / 1浙江省杭州市余杭区,富阳区,临平区,钱塘区,桐庐县2026届高三第一学期期末学业水平测试数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2026高三上·临平期末）已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：，易知集合，集合，
则.
故答案为： C.
【分析】解一元二次不等式求得集合B，再根据集合的交集运算求解即可.
2．（2026高三上·临平期末）设复数满足，则（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由，可得，则.
故答案为：A.
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简复数，再根据复数模的运算求解即可.
3．（2026高三上·临平期末）已知为实数，，则“”是“向量共线”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：当时，向量，，向量共线，即充分性成立；
若“共线”，则，解得或，即必要性不成立，
则“”是“向量共线”的充分不必要条件.
故答案为：A.
【分析】根据向量平行的坐标表示，结合充分、必要条件的定义求解即可.
4．（2026高三上·临平期末）某校举办了一次以“消防安全”为主题的知识竞赛，现随机抽取了100名学生的成绩（单位：分）作为样本进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，记样本数据的众数为，中位数为，平均数为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】频率分布直方图；众数、中位数、平均数
【解析】【解答】解：由频率分布直方图可知：样本数据的众数落在内，则；
因为，所以；
平均数，
因为，所以.
故答案为：D.
【分析】根据频率分布直方图求众数，中位数和平均数判断大小即可.
5．（2026高三上·临平期末）设是定义在上的偶函数，且满足，当时，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】解：函数是定义在上的偶函数，满足，
因为，所以，即，即函数的周期为，
又因为当时，，所以，
又因为，所以.
故答案为：B.
【分析】由函数是定义在上的偶函数，可得，结合得到函数的周期，再利用函数的周期性，结合当时，，求解即可.
6．（2026高三上·临平期末）在中，为边上的中点，且，则的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的数量积运算；解三角形；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：在中，由余弦定理得①，
因为为的中点，所以，
则②，
联立①②解得，则的面积为.
故答案为：D.
【分析】在中，由为的中点，可得，利用余弦定理以及向量数量积的运算律求出，再利用三角形面积公式求解即可.
7．（2026高三上·临平期末）已知两点均在双曲线的右支上，若恒成立，则双曲线的离心率的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由是双曲线右支上的两点，且，
可得，则，
由双曲线性质可知，，，
因为恒成立，所以，所以，解得.
故答案为：B.
【分析】将恒成立，转化为恒成立，结合双曲线的性质渐近线的斜率求解即可.
8．（2026高三上·临平期末）如图，在平面直角坐标系上，有一系列点，每个点均在函数的图象上.已知以点为圆心的均与轴相切，与外切，且，则（　　）
A．是等比数列，且公比为 B．是等比数列，且公比为
C．是等差数列，且公差为2 D．是等差数列，且公差为4
【答案】C
【知识点】等差数列概念与表示；平面内两点间的距离公式；圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：因为与相外切，所以，
即，
即，
因为每个点均在函数的图像上，所以，
所以，即，整理可得，
所以数列是等差数列，且公差为，
则，即，数列不是等比数列.
故答案为：C.
【分析】根据与相外切，利用两点间距离公式化简得到，整理可得，结合等差数列的定义求解判断即可.
二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2026高三上·临平期末）已知函数，则（　　）
A．的周期为 B．在区间上单调递增
C．的图象关于直线对称 D．在区间上有3个零点
【答案】A,C
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；辅助角公式；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：，
A、的周期为，故A正确；
B、当时，，在单调递减，
在单调递增，在该区间非单调递增，故B错误；
C、正弦函数的对称轴为，，解得，
当时，，满足条件，故C正确；
D、令，即，解得，
在内，时，；时，，有2个零点，故D错误．
故答案为：AC．
【分析】先利用辅助角公式化简函数为，再利用正弦函数的周期性、单调性、对称性以及零点逐项求解判断即可．
10．（2026高三上·临平期末）已知抛物线的焦点为的准线与轴交于点，过的一条直线与交于两点，过作的垂线，垂足分别为，则（　　）
A． B．
C．直线与的斜率之和为0 D．与的面积相等
【答案】A,C,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：A、根据抛物线的定义可得，且，
则，即，故A正确；
B、，要使，则必有，很显然不一定成立，故B错误；
C、设直线的方程为，
联立方程得，整理得，
，，即，由题意可知同号，
，则，故C正确；
D、设直线的方程为，，
联立方程得，由韦达定理可得，
由题意，，到的距离为，
.
，到的距离为，，则，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据抛物线的定义，结合三角形相似求解即可判断A；采用综合法即可判断B；设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，消元整理，利用韦达定理结合斜率公式表示出与的斜率之和化简计算即可判断C；设直线的方程为，，
联立直线与抛物线方程，通过找角之间的联系，再利用三角形面积公式求解即可判断D.
11．（2026高三上·临平期末）二进制是一种使用0和1两个数码的数制，是现代电子计算机技术的基础.对于整数可理解为逢二进一，比如：在十进制中的自然数5在二进制中就表示为表示为.自然数可表示为二进制表达式，则，其中当时，或，记为整数的二进制表达式中0的个数，则以下说法中正确的是（　　）
A． B．对任意
C．存在 D．
【答案】A,B,D
【知识点】二项式系数的性质；进位制
【解析】【解答】解：A、，，，故A正确；
B、的二进制是的二进制左移一位（末尾加0），，
的二进制是的二进制末尾加1，，故B正确；
C、二进制加法中，进位会减少1的个数，，故C错误；
D、，，
，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】先写出35的二进制，根据的定义即可判断A；理解二进制的进位法则即可判断BC；根据二进制计算出值，代入计算即可判断D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2026高三上·临平期末）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为　 　.
【答案】
【知识点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题；扇形的弧长与面积；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆锥的底面半径为，高为，母线长为，
因为圆锥的侧面展开图是一个半径为，圆心角为的扇形，所以，
又因为，所以，
则圆锥的高，
圆锥的体积为.
故答案为：．
【分析】根据扇形的弧长公式，结合圆周长解出底面半径，再根据勾股定理，求出圆锥高，最后根据圆锥的体积公式求解即可.
13．（2026高三上·临平期末）已知，则　 　.
【答案】
【知识点】简单的三角恒等变换；两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：由，可得，即①，
由，可得② ，
联立①②可得，
，
则.
故答案为：.
【分析】，利用同角三角函数的商关系可得，，根据两角和的正弦公式化简可得，联立求得，再利用两角差的正弦公式求，最后利用余弦的二倍角公式求的值即可.
14．（2026高三上·临平期末）公切线是指同时相切于两条或两条以上的曲线的直线，若函数的图象存在两条不同的公切线，则实数的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：设的切点分别为，
，则切线方程可表示为，
即，将点代入得到，
因为，所以，化简得到，
由函数的图象存在两条不同的公切线，
则与直线有两个不同交点，
令，，
令在上单调递增，
令在上单调递减，则，
注意到，可得大致图象，如图所示：
由图象可得，解得，则实数的取值范围为.
故答案为：.
【分析】设函数的切点分别为，分别求导，问题转化为与直线有两个不同交点，令，求导，利用导数判断函数单调性与极值情况，作出大致图象，数形结合求解即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2026高三上·临平期末）已知数列是等差数列，其前项和，数列是等比数列，若.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列满足，求的前项和.
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由题意得，解得，则；
由，解得，则；
（2）解：由（1）可得，
则的前项和
.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比数列的通项公式；数列的求和；等比数列的性质
【解析】【分析】(1)设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据等差数列的通项与前项和公式列式求出，再根据等比数列的项的关系求出即可；
(2)由（1）可得，将的前项拆分为奇数项等差数列和偶数项等比数列，分别求和后再合并即可.
（1）设数列的公差为的公比为，
由题意得，解得，所以，
又，解得，所以.
（2）由条件得，
所以的前项和
.
16．（2026高三上·临平期末）冬季是流感高发季，某卫生部门为宣传如何预防流感病毒制定了两种宣传方法，为了解两种宣传方法的宣传效果，该部门在人群中随机对60人进行了宣传，其中30人采用宣传方法一，30人采用宣传方法二，宣传后的人群对预防流感病毒的方法的了解程度分为“比较了解”和“有点了解”.经统计发现，采用宣传方法一宣传后的人中有24人是“比较了解”，采用宣传方法二宣传后的人中有12人是“比较了解”.
（1）以频率估计概率，现给2人采用宣传方法一宣传如何预防流感病毒，记宣传后“比较了解”的人数为，求的分布列和数学期望；
（2）若按照宣传方法进行分层抽样，从这60人中随机抽取10人，再从这10人中等可能依次抽取2人，求在第一次抽到“比较了解”的人的情况下，第二次抽到采用宣传方法一宣传且了解程度为“比较了解”的人的概率.
【答案】（1）解：采用宣传方法一宣传后的人是“比较了解”的概率为，
由题意可知：的可能取值为，
则，
的分布列为
0 1 2
故；
（2）解：抽取的10人中，了解程度为“比较了解”的有人，且采用方法一宣传的有人，
采用方法二宣传的有人，
宣传方法 了解程度 合计
比较了解 有点了解
方法一 4 1 5
方法二 2 3 5
合计 6 4 10
记事件表示“第一次抽到比较了解的人”，
事件表示“第二次抽到采用宣传方法一宣传且了解程度为比较了解的人”，
则，.
【知识点】分层抽样方法；离散型随机变量的期望与方差；二项分布
【解析】【分析】（1）先计算采用宣传方法一宣传后的人是“比较了解”的概率，由题意可知：的可能取值为，满足，再根据二项分布的概率公式及期望公式求解即可；
（2）根据分层抽样法，先确定抽取的10人中采用宣传方法一宣传且了解程度为“有点了解”和采用宣传方法二宣传且了解程度为“有点了解”的人数，结合条件概率公式求解即可.
（1）采用宣传方法一宣传后的人是“比较了解”的概率为，
则，
所以的分布列为
0 1 2
故.
（2）抽取的10人中，了解程度为“比较了解”的有人，且采用方法一宣传的有人，采用方法二宣传的有人.
宣传方法 了解程度 合计
比较了解 有点了解
方法一 4 1 5
方法二 2 3 5
合计 6 4 10
记事件表示“第一次抽到比较了解的人”，
事件表示“第二次抽到采用宣传方法一宣传且了解程度为比较了解的人”，
则，
所以.
17．（2026高三上·临平期末）如图所示，在四棱锥中，，是正三角形.
（1）设为与的交点，为棱上一点，且平面，求的值；
（2）设是棱的中点，求证：平面；
（3）设是棱上一个动点，若直线与平面所成角的正弦值是，求线段的长度.
【答案】（1）解：平面平面，平面平面，所以，
所以，，，，
则；
（2）证明：取的中点，连接，，
因为，所以且，即四边形为平行四边形，所以，
在等边中，为中点，，
因为，所以平面，
又因为，所以，
又因为，所以，又因为，所以平面，
又因为，所以平面；
（3）解：取的中点的中点，连接，则，，
由（2）知平面，
因为平面，所以平面平面，
因为平面平面，所以平面，
因为平面，所以，所以两两垂直，
所以以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
所以，设平面的一条法向量为，
由，得，取，即，
设，
则，
设直线与平面的所成角为，
则，
化简得，解得或（舍去），
则，故线段的长度为.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）根据线面平行的性质推出线线平行，结合比例关系求解即可；
（2）取的中点，连接，由题意推出四边形为平行四边形，证明，再利用线面垂直的判定定理证明平面，再根据，即可证明平面；
（3）取的中点的中点，连接，由（2）知平面，推出两两垂直，以为坐标原点，求解平面法向量，结合线面角的向量公式求出长度即可.
（1）平面平面，平面平面，
，
，
.
（2）取的中点，连接，
且，即四边形为平行四边形，
，
在等边中，为中点，，
平面，
而，
又平面，
平面.
（3）取的中点的中点，连接，则，，
由（2）知平面，
因为平面，所以平面平面，
因为平面平面，所以平面，
因为平面，所以
所以两两垂直，
所以以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则.
所以，设平面的一条法向量为.
由，得，取，即.
设，
则，
设直线与平面的所成角为，
则
化简得，解得或（舍去），
所以.
故线段的长度为.
18．（2026高三上·临平期末）已知椭圆的离心率为分别是椭圆的右顶点，上顶点，且.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于两点，其中点在第一象限，点不在轴上，设直线的斜率分别为.
（i）求证：为定值；
（ii）设直线与轴交于点，求的面积的最大值.
【答案】（1）解：椭圆的离心率为，则，即；
由，可得，联立，解得，
则椭圆C的标准方程为；
（2）解：（i）设直线的方程为，其中，且，
联立，整理得，
由韦达定理可得，
则
故为定值；
（ii）直线的方程为，令，得，故，
设直线与轴交于点，直线的方程为，
令，得，故；
由（i）可知，故，所以点是线段的中点，
故的面积，其中为点到直线的距离，
显然，当过点且与直线平行的直线与椭圆相切时，取最大值，
设直线的方程为，即，
联立，整理得，由，解得，
平行直线与之间的距离为，即的最大值为，
的面积为，
则的面积的最大值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面内两条平行直线间的距离；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，根据椭圆离心率结合以及，求椭圆方程即可；
（2）（i）设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程，消元得关于的不等式，利用韦达定理，结合斜率公式化简证明即可；
（ii）先根据直线与的方程分别求得点的坐标，根据（i）的结论，得到的面积等于2倍的的面积，将问题转化为求面积的最大值；因为，由三角形面积公式，只需求出点到直线的距离的最大值即可；当过点且与直线平行的直线与椭圆相切时，取最大值，由与椭圆相切求出直线的方程，再根据两平行线间距离公式得出的最大值，即可求面积的最大值.
（1）因为椭圆的离心率为，
所以，即；
因为，
又，
解得，
所以椭圆C的标准方程为.
（2）（i）设直线的方程为，其中，且，
联立方程组，
整理得，
所以.
所以
故为定值.
（ii）直线的方程为，令，得，故，
设直线与轴交于点，直线的方程为，
令，得，故；
由（i）可知，故，所以点是线段的中点，
故的面积，其中为点到直线的距离.
显然，当过点且与直线平行的直线与椭圆相切时，取最大值.
设直线的方程为，即，
联立
整理得，由，解得.
所以平行直线与之间的距离为，
即的最大值为，
此时的面积为，
所以的面积的最大值为.
19．（2026高三上·临平期末）已知函数.
（1）当时，求在区间上的极值；
（2）当时，若对任意恒成立，求的取值范围；
（3）设，且，证明：.
【答案】（1）解：当时，函数，，，
当时，，在上单调递减，则在上无极值；
当时，令，解得；令，解得；
函数在上单调递减，在上单调递增，
有极小值，无极大值；
（2）解：由整理得，
令，则，
注意到，故由必要条件知，解得；
下面证明充分性：当时，因为，则，
令，则，
令，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，可得，则，
可知在区间上单调递增，则，充分性得证，
综上所述：实数的取值范围为；
（3）证明：不妨设，
当时，左边，右边，所以左边右边；
当时，左边，右边，所以左边右边；
当，因为，所以，
要证，即证，
即证，即证，
令，则，
因为，所以，所以在区间上单调递减，
所以当时，，所以，所以在区间上单调递增，
因为，所以，所以，
所以，即，
综上可知：.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；不等式的证明
【解析】【分析】（1）将代入可得函数，求导，再分和两种情况，利用导数判断原函数单调性，求极值即可；
（2）由整理得，令，求导，注意到，则，可得必要性条件，再代入验证充分性即可；
（3）不妨设，分，和三种情况讨论，整理得，令，则，求导，利用导数判断函数的单调性，证明不等式即可.
（1）若，则，且，，
当时，则，可知在上单调递减，
所以在上无极值；
当时，令，解得；令，解得；
可知在上单调递减，在上单调递增，
所以有极小值，无极大值.
（2）由整理得，
令，则，
注意到，故由必要条件知，解得；
下面证明充分性：当时，因为，则，
令，则，
令，则，
令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则，可得，则，
可知在区间上单调递增，则，充分性得证；
综上所述：实数的取值范围为.
（3）不妨设，
当时，左边，右边，所以左边右边；
当时，左边，右边，所以左边右边；
当，因为，所以.
要证，即证，
即证，即证，
令，则
因为，所以，所以在区间上单调递减，
所以当时，，所以，所以在区间上单调递增，
因为，所以，所以，
所以，即.
综上可知：.
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