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23.1　一次函数的概念
第二十三章 一次函数
学习目标
1.理解正比例函数的概念.
2.会求正比例函数的解析式,能利用正比例函数解决简单的实际问题.
3.理解一次函数的概念,明确一次函数与正比例函数之间的联系.
4.能根据实际问题写出一次函数的解析式.
课堂探究
问题一
下列问题中,变量之间的对应关系是函数关系吗 如果是,请写出函数解析式.
(1)圆的周长C随半径r的变化而变化;
(2)铁的密度为7.86 g/cm3,铁块的质量m(单位:g)随它的体积V(单位:cm3)的变化而变化;
(3)每本练习本的厚度为0.5 cm,一些练习本摞在一起的总厚度h(单位:cm)随练习本的本数n的变化而变化;
(4)冷冻一个0 ℃的物体,使它每分钟下降2 ℃,物体温度T(单位:℃)随冷冻时间t
(单位:min)的变化而变化.
解:(1)(2)(3)(4)变量之间的对应关系是函数关系，其函数解析式如下:
探究1-1:认真观察以上出现的四个函数解析式,分别说出函数、常量和自变量.
函数解析式 函数 常量 自变量
答案:共同特点:都是常数与自变量的积的形式
探究1-2:这些函数解析式有什么共同点
归纳:一般地,形如　　　 　　的函数,叫作正比例函数,其中
　　　　　叫作比例系数.
正比例函数的结构特征:①　　　　　;②　　　　　.
问题二
京沪高速铁路全长1 318 km.设列车的平均速度为300 km/h.考虑以下问题:
(1)乘京沪高铁列车,从始发站北京南站到终点站上海虹桥站,大约需要多少小时(结果保留小数点后一位)
解:(1)1318÷300≈4.4(小时)．故约需4.4小时；
(2)京沪高铁列车的行程y(单位:km)与运行时间t(单位:h)之间有何数量关系
解:(2)京沪高铁列车的行程y(单位:千米)与运行时间t(单位:时)的函数解析式为y＝300t；
(3)把t＝2.5代入解析式y＝300t，得y＝750＜1 023．故没有过距始发站1 023千米的南京南站．
(3)京沪高铁列车从北京南站出发2.5 h后,是否已经过了距始发站
1 023 km的南京南站
探究2-1:已知某汽车每行驶100 km的耗油量是8 L,所使用的汽油每升8元.
(1)写出该汽车行驶途中所耗油费y(单位:元)与行程x(单位:km)之间的函数关系式,并指出y是x的什么函数;
(2)计算该汽车行驶220 km所需油费.
归纳:
求正比例函数的解析式的步骤:①　　　　;②　　　　;③　　　　;④　　　　.
答案:①列 ②代 ③解 ④写
问题三
某登山队大本营所在地的气温为5 ℃,海拔每升高1 km气温下降6 ℃.登山队员由大本营向上登高x km时,他们所在位置的气温是y ℃.
(1)试用函数解析式表示y与x的关系.
(2)它是正比例函数吗 为什么
解:(1)根据题意，得解析式为y＝﹣6x+5(x≥0)．
探究3-1:下列问题中,变量之间的对应关系是函数关系吗 如果是,请写出函数解析式.
(1)有人发现,在20 ℃～25 ℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数c与温度t(单位:℃)有关,且c的值约是t的7倍与35的差;
(2)一种计算成年人标准体重G(单位:kg)的方法是,以厘米为单位量出身高值h,再减常数105,所得差是G的值;
(3)某城市的市内电话的月收费额y(单位:元)包括月租费22元和拨打电话x min的计时费(按0.1元/min收取);
(4)把一个长10 cm,宽5 cm的长方形的长减少x cm,宽不变,长方形的面积y(单位:cm2)随x的变化而变化.
探究3-2:观察以上出现的四个函数解析式,很显然它们不是正比例函数,那么它们有什么共同特征呢
解:共同特征:都是常数与自变量的积与常数的和的形式
归纳:一般地,形如　　　　 　　的函数,叫作一次函数,其中x是自变量.
一次函数的特点如下:
(1)解析式中自变量x的次数是　　　　　　次;
(2)比例系数　　　　　　;
(3)常数项:通常不为0,但也可以等于0.
问题四
我国现行个人工资、薪金所得税征收办法规定:月收入不超过5 000元的部分不收税;月收入超过5 000元但不超过8 000元的部分征收3%的所得税……如某人月收入5 360元,他应缴个人工资、薪金所得税为(5 360-5 000)×3%=10.8(元).
(1)当月收入超过5 000元而又不超过8 000元时,写出应缴所得税y
(单位:元)与收入x(单位:元)之间的函数解析式.
解:(1)根据题意，得y＝(x﹣5000)×3%，即y＝0.03x﹣150；
(2)某人月收入为5 660元,他应缴所得税多少元
解: (2)当x＝5660时，y＝0.03×5660﹣150＝19.8(元)，
答:他应缴所得税19.8元；
(3)把y＝19.2代入y＝0.03x﹣150，得0.03x﹣150＝19.2，
解得x＝5640．
答:此人本月工资是5640元
(3)如果某人本月应缴所得税19.2元,那么此人本月工资是多少元
学后反思
1.通过本节课的学习,你能理解正比例函数、一次函数的数学表达形式吗 请说出来.
2.如何求正比例函数、一次函数的解析式 有什么步骤
3.学习本节课后,你还有什么疑问 提出一些与正比例函数及一次函数相关的实际问题.
课后作业
基础题
1.下列函数关系中,属于正比例函数关系的是(　 　)
A.圆的面积S与它的半径r
B.汽车的行驶速度不变时,行驶路程s与行驶时间t
C.正方形的面积S与边长a
D.工作总量(看作“1”)一定,工作效率w与工作时间t
B
2.下列说法正确的是(　 　)
A.一次函数是正比例函数
B.正比例函数不是一次函数
C.不是正比例函数就不是一次函数
D.正比例函数是一次函数
D
3.填空:
(1)若y=(k-1)x是y关于x的正比例函数,则k满足　 　;
(2)若y=kxk-1是y关于x的正比例函数,则k=　 　;
(3)若y=3x+k-4是y关于x的正比例函数,则k=　 　;
(4)若y=(m-2)是y关于x的正比例函数,则m=　 　.
k≠1
2
4
-2
①②
5.要使y=(m-2)xn-1+n是关于x的一次函数,n,m应满足　 　.
n=2,m≠2
6.已知y-3与x成正比例,且x=4时,y=7,求y与x之间的函数关系式.
解:依题意,设y-3与x之间的函数关系式为
y-3=kx.
∵x=4时,y=7,
∴7-3=4k,解得k=1.
∴y-3=x,即y=x+3.
7.已知长方形的周长是30 cm,长是x cm,宽是y cm.
(1)写出y与x之间的函数解析式,它是一次函数吗
(2)若长是宽的2倍,求长方形的面积.
解:(1)y=15-x,是一次函数.
(2)由题意,得x=2(15-x),
解得x=10,
∴y=15-x=5.
∴长方形的面积为10×5=50(cm2).
拓展题
8.有一块10公顷的成熟麦田,用一台每小时收割0.5公顷麦田的小麦收割机来收割.
(1)求收割的面积y(单位:公顷)与收割时间x(单位:h)之间的函数关系式;
(2)求收割完这块麦田所需的时间.
解:(1)y=0.5x.
(2)把y=10代入y=0.5x中,得10=0.5x,
解得x=20,即收割完这块麦田需要20 h.
9.已知△ABC是边长为x的等边三角形.
(1)求BC边上的高h与x之间的函数关系式.h是x的一次函数吗 如果是,请指出相应的k与b的值.
10.已知关于x的函数y=2x|m|+(m+1).
(1)若这个函数是一次函数,求m的值;
(2)若这个函数的图象经过原点,求m的值.
解:(1)m=±1.　(2)m=-1.

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