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广东省梅州市学艺中学2024-2025学年九年级下学期期中测试数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025九下·梅州期中）下列实数：，0，，，其中最小的是（　　）
A． B．0 C． D．
2．（2025九下·梅州期中）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025九下·梅州期中）根据某网站统计数据，截止至2025年1月，的总访问量达到了278000000次，其中278000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025九下·梅州期中）甲、乙、丙三名男生进行跳远测试，每人10次跳远成绩的平均数都是，方差分别是，则这三名同学跳远成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法比较
5．（2025九下·梅州期中）如图，将沿向右平移得到，若，，则的长是（　　）
A．2 B． C．3 D．5
6．（2025九下·梅州期中）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025九下·梅州期中）如图，，．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025九下·梅州期中）某校八年级学生去距离学校的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的倍，求慢车的速度，设慢车的速度是，所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025九下·梅州期中）如图，点，，均在上，，的半径为3，则的长是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025九下·梅州期中）如图，一段抛物线：记为，它与x轴交于两点O、；将绕旋转得到，交x轴于；将绕旋转得到，交x轴于；…如此进行下去，直至得到，若顶点在上，则m的值是（　　）
A．4048 B．4049 C．4050 D．4051
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2025九下·梅州期中）在英语单词苹果中任意选出一个字母，选出的字母为“p”的概率是　 　．
12．（2025九下·梅州期中）若，，则的值为　 　．
13．（2025九下·梅州期中）如图．，相交于点，，请你补充一个条件　 　，使．
14．（2025九下·梅州期中）如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是　 　．
15．（2025九下·梅州期中）如图，正方形的边长为．将正方形绕点顺时针旋转得到正方形．连接，．当为直角三角形时，的长度是　 　．
三、解答题（共3小题，每小题7分，共21分）
16．（2025九下·梅州期中）计算：．
17．（2025九下·梅州期中）图1图2均为5×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上．
（1）观察：如图1，　 　，　 　；
（2）探究：如图2，仅用无刻度的直尺在上找一点M，连接，使得；小军说：作点B关于的对称点，连接与交于点M…请根据小军的方案在图2中画出点M的位置，并证明是否可行．
18．（2025九下·梅州期中）为了解学生对《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》这两部影片的评价，某调查小组从该校九年级学生中随机抽取了20名学生对这两部作品分别进行评级，等级分为一星、二星、三星、四星、五星，其中对应等级的得分依次记为2分、4分、6分、8分、10分．现将学生对电影的评级整理并绘制成统计图．
请你根据提供的信息解答下列问题：
（1）求此次电影评级中，电影《唐探1900》评级在三星及以上的人数．
（2）将下列表格补充完整：
平均数（分） 众数（分） 中位数（分）
对《哪吒之魔童闹海》 ______ 10 8
《唐探1900》 8 ______
（3）从相关统计量进行分析，你认为该校九年级学生对哪部作品的评价更高？请说明理由．
四、解答题（共3小题，每小题9分，共27分）
19．（2025九下·梅州期中）如图①是某型号抽油机，俗称磕头机，是一种用于开采石油的机械设备，其核心特点是通过游梁、连杆、曲柄机构带动驴头实现往复运动，利用曲柄重块平衡载荷，驱动抽油杆上下运动以抽取原油．图②是磕头机在某时刻工作的示意图，若是抽油杆，是驴头，是游梁，是支架，支架与游梁的夹角．点在点的北偏东方向测得，，．求抽油杆顶端到地面的距离（结果精确到）．（参考数据：，，，）
20．（2025九下·梅州期中）根据以下素材，探索完成任务．
学校如何购买保洁物品
问题背景 自《义务教育劳动课程标准（2022年版）》的发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程．劳动教育是学生设计能力、问题解决能力、合作能力、实践能力以及社会责任感提升的重要手段．
素材1 为了保障劳动教育的有序进行，某学校需要增加保洁物品的库存量，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．考虑两种物品的易损情况，要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套．
素材2 商店物品价格情况：买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元．
素材3 商店提供以下两种优惠方案： 方案1：两种商品按原价的8折出售； 方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折．
问题解决
任务1 确定物品单价 请运用所学知识，求出毛巾和扫把簸箕套装的单价．
任务2 探究购买方案 如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？
21．（2025九下·梅州期中）如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为，，，在的延长线上取一点，连接，使．
（1）求证：是的切线；
（2）求的长．
五、解答题（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22．（2025九下·梅州期中）如图在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，经过点A的直线与抛物线交于点，与y轴交于点E．
（1）求抛物线的表达式．
（2）①x轴下方抛物线上是否存在一点F，使面积等于的面积？若存在，请求出点F的坐标．
②若点Q是x轴下方抛物线上的一个动点，使的面积为，请直接写出点Q的坐标．
（3）点M是线段OA上一动点，点N是线段AE上一动点，且，请求出的最小值．
23．（2025九下·梅州期中）如图1，四边形是一张矩形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏．
游戏1 折出对角线，将点A沿过点B的直线翻折到上，折痕BE交于点F，交于点E．展开后如图2所示．
（1）若E恰好为的中点，证明：，并求与之间的数量关系．
游戏2 在游戏1的基础上，将翻折至与重合，折痕为，展开后将点A沿过点E的直线翻折到上的点G处，展开后如图3所示．
（2）在（1）的条件下，连接，求的度数．
游戏3 在游戏1的基础上，将翻折至与先重合，展开后得到新折痕交于点N，如图4所示，Q是的中点，连接．
（3）设，，的面积分别为，若，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵|-1|=1，，而1＞，
∴-1＜，
又∵0＞-1，0＞，＞，＞-1，
∴最小的数是-1.
故答案为：A.
【分析】根据正数大于负数，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小，即可比较得出答案.
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
故选：A．
【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形的判定，需要依据两种图形的定义来分析，轴对称图形是沿一条直线折叠后直线两旁的部分能完全重合，中心对称图形是绕某一点旋转后能与自身重合。解题时依次对每个选项的图形进行判断，检查是否同时满足两个图形的定义，若折叠后可重合且旋转后也重合，则为符合题意的图形。
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：278000000用科学记数法表示为．
故答案为：B．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
4．【答案】C
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，
这三名同学跳远成绩最稳定的是丙，
故答案为：C．
【分析】方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此即可判断得出答案.
5．【答案】A
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵沿方向平移至处．
∴，
故选：A．
【分析】根据图形平移的性质即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，故A错误；
B.，故B错误；
C.，故C错误；
D.，故D正确；
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项的法则，幂的运算性质对每个选项进行逐一判断，即可得出答案.
7．【答案】A
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
，
，
∵，
，，
，
，
，
．
故选：A．
【分析】根据对顶角相等可得，根据直线平行性质可得∠A，再根据角之间的关系即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，慢车的行驶时间为：，快车的行驶时间为.根据题干“他们同时到达”，以“快车的行驶时间”为等量关系，可建立方程：，
故答案选B.
【分析】题干中有路程和时间两个量，因为可以利用速度=路程÷时间，得到两车的速度，再由出发时间差得到等量关系建立分式方程.
9．【答案】D
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：，
，
．
故选：D．
【分析】本题考查弧长的计算与圆周角定理，圆周角定理指出同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，弧长公式为（为圆心角度数，为圆的半径）。解题时先根据圆周角定理，由求出弧所对的圆心角，再将，代入弧长公式，计算得出弧的长度。
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；坐标与图形变化﹣旋转；探索数与式的规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：令，则，
解得：，，
，，
，
由旋转的性质可知，，
，，
抛物线与轴的交点坐标分别为，，
抛物线的对称轴为直线，
当时，，
抛物线的顶点坐标为，
同理可得抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为……
观察发现，当为奇数时，的顶点坐标为，当为偶数时，的顶点坐标为，
当时，的顶点坐标为，
，
故选：B．
【分析】本题考查二次函数的性质、旋转的性质及坐标规律探究，先通过二次函数解析式求出与x轴的交点，再分析旋转后抛物线的顶点坐标规律。解题时先令，解得的根为，，得到，，由旋转性质得出；再求出的对称轴为，代入解析式得顶点为，依次求出顶点、顶点，总结出奇数项抛物线的顶点横坐标为，将代入即可求出。
11．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：单词中共有5个字母，
其中出现了2次，
故任意选择一个字母恰好是字母的概率为：．
故答案为：．
【分析】本题考查概率公式的应用。解题时先确定单词中总共有5个字母，即所有可能的结果数为5，再找出其中字母“”出现了2次，即符合条件的结果数为2，将数值代入概率公式即可求出概率。
12．【答案】2
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：2
【分析】根据平方差公式结合题意即可求解。
13．【答案】
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，相交于点，，
∴，
∴当时，；
当时，；
当时，；
故答案为：或或．
【分析】根据三角形全等的判定结合题意即可求解。
14．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
设正方形的边长为m，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设反比例函数的表达式为，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
∴，
∴这个反比例函数的表达式是，
故答案为：．
【分析】设正方形的边长为m，根据题意得到，即可得到，然后把B、E点坐标代入解析式可得，求出m值即可解题．
15．【答案】1或或5
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）当为直角顶点时，与重合，如图：
此时；
（2）当为直角顶点时，过作于，如图：
由旋转性质可得，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
③当为直角顶点时，如图：
此时共线，
，
在中，
综上所述：的长为或或．
故答案为：1或或5．
【分析】本题考查正方形的性质、旋转的性质及勾股定理的应用，需分情况讨论中哪个角为直角，再结合图形性质求解。解题时分三种情况：当为直角顶点时，旋转后点与重合，此时等于正方形边长；当为直角顶点时，过作，利用旋转性质得，结合全等三角形判定得出，再在中用勾股定理列方程求解；当为直角顶点时，、、共线，先求出的长度，再在中用勾股定理计算。
16．【答案】
．
【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，涉及零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值和二次根式的化简，需按照运算顺序逐步计算。解题时先根据零指数幂的性质，任何非零数的0次幂为1，得；再化简绝对值，因为，所以；接着代入特殊角的三角函数值，得；最后化简二次根式，再将所有化简后的结果进行加减运算。
17．【答案】（1）；
（2）解：如图2中，点即为所求．
小军的方案．
理由：点与关于对称，
，
，
，
，
，
又，
；
【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】（1）解：，，，
，
．
故答案为：，；
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、轴对称的性质及作图应用，第一问利用平行线分线段成比例定理求解，第二问结合轴对称和相似三角形判定证明方案可行性。
(1)中由可判定，相似三角形的对应边成比例，先确定，，即可得出，进而得到；
(2)中先根据轴对称的性质作出点关于的对称点，连接交于，由轴对称得，，再结合得，从而推出，又，根据两角分别相等的两个三角形相似，可判定。
（1）解：，，，
，
．
故答案为：，；
（2）解：如图2中，点即为所求．
小军的方案．
理由：点与关于对称，
，
，
，
，
，
又，
；
18．【答案】（1）解：（人）
答：此次电影评级中，电影《唐探1900》评级在三星及以上的人数为人；
（2）；8
（3）该校九年级学生对《哪吒之魔童闹海》的评价更高．
理由：九年级学生对《哪吒之魔童闹海》的评价分的平均数和众数都比《唐探1900》高，对《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》评价分的中位数相同，
该校九年级学生对《哪吒之魔童闹海》的评价更高．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】（2）《哪吒之魔童闹海》平均数（分），
将《唐探1900》中学生的评价分从小到大进行排序，排在中间位置的2个数为8分，
∴中位数（分），
故答案为：，；
【分析】本题考查统计图表的应用，涉及扇形统计图、平均数、中位数、众数的计算及统计量的实际分析。
(1)中先从扇形统计图求出三星及以上的百分比为，再用总人数20乘以该百分比，即可求出对应人数；
(2)中计算《哪吒之魔童闹海》的平均数时，根据平均数公式，用各评级得分乘以对应人数的和除以总人数20，求《唐探1900》的中位数时，将得分从小到大排序，取中间两个数的平均值；
(3)中通过比较两部影片评价得分的平均数、中位数、众数，平均数和众数更高的影片，学生的评价相对更高。
（1）解：（人）
答：此次电影评级中，电影《唐探1900》评级在三星及以上的人数为人；
（2）《哪吒之魔童闹海》平均数（分），
将《唐探1900》中学生的评价分从小到大进行排序，排在中间位置的2个数为8分，
∴中位数（分），
故答案为：，；
（3）该校九年级学生对《哪吒之魔童闹海》的评价更高．
理由：九年级学生对《哪吒之魔童闹海》的评价分的平均数和众数都比《唐探1900》高，对《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》评价分的中位数相同，
该校九年级学生对《哪吒之魔童闹海》的评价更高．
19．【答案】解：如图，过作交的延长线于，交的延长线于．
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴
．
∵
∴（米）
答：抽油杆顶端距地面高度约是9.5米．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，结合矩形的判定与性质，通过作垂线将不规则图形转化为直角三角形求解。解题时过作交延长线于，交延长线于，先判定四边形为矩形，得；再在中，利用余弦的定义求出，在中，由，利用余弦的定义求出；最后根据，代入数值计算即可。
20．【答案】任务1：解：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元．
根据题意得：
解得
答：毛巾单价为2元，扫把簸箕套装的单价为6元．
任务2：解：设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条，
∴购买扫把簸箕套装和毛巾的费用为（元）
方案一：，
解得，
由题意得，
∴，
∴
方案二：，
解得，
∴方案二不符题意，舍去．
答：学校购买扫把簸箕套装50套，毛巾150条．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求出答案.
任务2：设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求出答案.
21．【答案】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：是直径，是弦，且，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形外角的概念及性质；切线的判定；相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，根据等边对等角可得，根据三角形外角性质可得，根据角之间的关系可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据垂径定理可得，根据勾股定理可得OE，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得OF，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：是直径，是弦，且，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
22．【答案】（1）解：抛物线过，，
，解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：①存在，
如图，过点B作交抛物线于点F，此时面积等于的面积，
设直线的表达式为，
，，
，解得，
直线的表达式为，
设直线的表达式为，
在二次函数中令，得，
解得：，
，
将代入得：，解得，
直线的表达式为，
联立方程组得，解得：或，
；
②或
（3）解：如图2，过点作轴，，连接，，
轴，
，
，，
，
，
，
当、、三点共线时，的值最小，最小为的长，
直线的表达式为，
，
，
，
，
的最小值为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；二次函数与一次函数的综合应用；三角形全等的判定-SAS；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：（2）②如图1，过点作交轴于，连接，
，
的面积为，
，解得，
，
，
，直线的表达式为，
设直线的表达式为，
，解得，
直线的表达式为，
联立与抛物线得，
解得，，
点的坐标为或；
【分析】(1)中将点和代入抛物线解析式，得到关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，即可确定抛物线表达式；
(2)①中过作交抛物线于，同底等高的三角形面积相等，先求出直线的解析式，再根据平行关系求出直线的解析式，联立抛物线与直线的解析式，解方程组求出坐标；②中过作交x轴于，利用三角形面积公式求出的长度，确定点坐标，求出直线的解析式，联立抛物线解析式求解即可；
(3)中过作轴且，证明，得，根据三角形三边关系，当、、共线时取最小值，利用勾股定理求出的长度即为最小值。
（1）解：抛物线过，，
，解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：①存在，
如图，过点B作交抛物线于点F，此时面积等于的面积，
设直线的表达式为，
，，
，解得，
直线的表达式为，
设直线的表达式为，
在二次函数中令，得，
解得：，
，
将代入得：，解得，
直线的表达式为，
联立方程组得，解得：或，
；
②如图1，过点作交轴于，连接，
，
的面积为，
，解得，
，
，
，直线的表达式为，
设直线的表达式为，
，解得，
直线的表达式为，
联立与抛物线得，
解得，，
点的坐标为或；
（3）解：如图2，过点作轴，，连接，，
轴，
，
，，
，
，
，
当、、三点共线时，的值最小，最小为的长，
直线的表达式为，
，
，
，
，
的最小值为．
23．【答案】解：（1）根据翻折的性质可知，，
∴，
∴
∵四边形是矩形，
∴，
∴
∴
∴，
∴，即
∵E为的中点，
∴，
∴，
∴
（2）根据翻折的性质可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴
在矩形中，，
∴，
∴，
∴
中，
（3）延长交于点H，根据翻折的性质可知，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
又Q是的中点，
∴，
∴
又，
∴，
∴
∴
∵，即，
∴
∵，，，
∴
∴，，
∴，，
在和中，，
，
解得或（舍去）
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由于A的对应点在AC上，则，则由垂直的概念结合同角的余角相等可证明，由于E恰好为的中点，则由相似比可得；
（2）由折叠的性质可得，则EG//AC，又，则，此时可设AD=2a，则AE=EG=a，由（1）知，由勾股定理可求得，再由矩形的对边平行可证则，由相似比可求得，再解可得，则，；
（3）延长交于点H，由折叠的性质可得，又，则，则；又可证明，则，由可得，再证明可得，，在和中，利用勾股定理求出，然后根据即可求解．
1 / 1广东省梅州市学艺中学2024-2025学年九年级下学期期中测试数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025九下·梅州期中）下列实数：，0，，，其中最小的是（　　）
A． B．0 C． D．
【答案】A
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵|-1|=1，，而1＞，
∴-1＜，
又∵0＞-1，0＞，＞，＞-1，
∴最小的数是-1.
故答案为：A.
【分析】根据正数大于负数，0大于负数，两个负数绝对值大的反而小，即可比较得出答案.
2．（2025九下·梅州期中）下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；
B、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意；
D、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
故选：A．
【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形的判定，需要依据两种图形的定义来分析，轴对称图形是沿一条直线折叠后直线两旁的部分能完全重合，中心对称图形是绕某一点旋转后能与自身重合。解题时依次对每个选项的图形进行判断，检查是否同时满足两个图形的定义，若折叠后可重合且旋转后也重合，则为符合题意的图形。
3．（2025九下·梅州期中）根据某网站统计数据，截止至2025年1月，的总访问量达到了278000000次，其中278000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：278000000用科学记数法表示为．
故答案为：B．
【分析】用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，据此解答即可.
4．（2025九下·梅州期中）甲、乙、丙三名男生进行跳远测试，每人10次跳远成绩的平均数都是，方差分别是，则这三名同学跳远成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法比较
【答案】C
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，
这三名同学跳远成绩最稳定的是丙，
故答案为：C．
【分析】方差就是一组数据的各个数据与其平均数差的平方和的算术平均数，方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，据此即可判断得出答案.
5．（2025九下·梅州期中）如图，将沿向右平移得到，若，，则的长是（　　）
A．2 B． C．3 D．5
【答案】A
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：∵沿方向平移至处．
∴，
故选：A．
【分析】根据图形平移的性质即可求出答案.
6．（2025九下·梅州期中）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，故A错误；
B.，故B错误；
C.，故C错误；
D.，故D正确；
故答案为：D.
【分析】根据合并同类项的法则，幂的运算性质对每个选项进行逐一判断，即可得出答案.
7．（2025九下·梅州期中）如图，，．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
，
，
∵，
，，
，
，
，
．
故选：A．
【分析】根据对顶角相等可得，根据直线平行性质可得∠A，再根据角之间的关系即可求出答案.
8．（2025九下·梅州期中）某校八年级学生去距离学校的游览区游览，一部分学生乘慢车先行，出发后，另一部分学生乘快车前往，结果他们同时到达．已知快车的速度是慢车速度的倍，求慢车的速度，设慢车的速度是，所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列分式方程；分式方程的实际应用
【解析】【解答】解：由题意，慢车的行驶时间为：，快车的行驶时间为.根据题干“他们同时到达”，以“快车的行驶时间”为等量关系，可建立方程：，
故答案选B.
【分析】题干中有路程和时间两个量，因为可以利用速度=路程÷时间，得到两车的速度，再由出发时间差得到等量关系建立分式方程.
9．（2025九下·梅州期中）如图，点，，均在上，，的半径为3，则的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：，
，
．
故选：D．
【分析】本题考查弧长的计算与圆周角定理，圆周角定理指出同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，弧长公式为（为圆心角度数，为圆的半径）。解题时先根据圆周角定理，由求出弧所对的圆心角，再将，代入弧长公式，计算得出弧的长度。
10．（2025九下·梅州期中）如图，一段抛物线：记为，它与x轴交于两点O、；将绕旋转得到，交x轴于；将绕旋转得到，交x轴于；…如此进行下去，直至得到，若顶点在上，则m的值是（　　）
A．4048 B．4049 C．4050 D．4051
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；坐标与图形变化﹣旋转；探索数与式的规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：令，则，
解得：，，
，，
，
由旋转的性质可知，，
，，
抛物线与轴的交点坐标分别为，，
抛物线的对称轴为直线，
当时，，
抛物线的顶点坐标为，
同理可得抛物线的顶点坐标为，抛物线的顶点坐标为……
观察发现，当为奇数时，的顶点坐标为，当为偶数时，的顶点坐标为，
当时，的顶点坐标为，
，
故选：B．
【分析】本题考查二次函数的性质、旋转的性质及坐标规律探究，先通过二次函数解析式求出与x轴的交点，再分析旋转后抛物线的顶点坐标规律。解题时先令，解得的根为，，得到，，由旋转性质得出；再求出的对称轴为，代入解析式得顶点为，依次求出顶点、顶点，总结出奇数项抛物线的顶点横坐标为，将代入即可求出。
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11．（2025九下·梅州期中）在英语单词苹果中任意选出一个字母，选出的字母为“p”的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：单词中共有5个字母，
其中出现了2次，
故任意选择一个字母恰好是字母的概率为：．
故答案为：．
【分析】本题考查概率公式的应用。解题时先确定单词中总共有5个字母，即所有可能的结果数为5，再找出其中字母“”出现了2次，即符合条件的结果数为2，将数值代入概率公式即可求出概率。
12．（2025九下·梅州期中）若，，则的值为　 　．
【答案】2
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：由题意得，
故答案为：2
【分析】根据平方差公式结合题意即可求解。
13．（2025九下·梅州期中）如图．，相交于点，，请你补充一个条件　 　，使．
【答案】
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵，相交于点，，
∴，
∴当时，；
当时，；
当时，；
故答案为：或或．
【分析】根据三角形全等的判定结合题意即可求解。
14．（2025九下·梅州期中）如图，在矩形和正方形中，点A在y轴正半轴上，点C，F均在x轴正半轴上，点D在边上，，．若点B，E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比例函数的表达式是　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
设正方形的边长为m，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设反比例函数的表达式为，
∴，
解得或（不合题意，舍去），
∴，
∴，
∴这个反比例函数的表达式是，
故答案为：．
【分析】设正方形的边长为m，根据题意得到，即可得到，然后把B、E点坐标代入解析式可得，求出m值即可解题．
15．（2025九下·梅州期中）如图，正方形的边长为．将正方形绕点顺时针旋转得到正方形．连接，．当为直角三角形时，的长度是　 　．
【答案】1或或5
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）当为直角顶点时，与重合，如图：
此时；
（2）当为直角顶点时，过作于，如图：
由旋转性质可得，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
③当为直角顶点时，如图：
此时共线，
，
在中，
综上所述：的长为或或．
故答案为：1或或5．
【分析】本题考查正方形的性质、旋转的性质及勾股定理的应用，需分情况讨论中哪个角为直角，再结合图形性质求解。解题时分三种情况：当为直角顶点时，旋转后点与重合，此时等于正方形边长；当为直角顶点时，过作，利用旋转性质得，结合全等三角形判定得出，再在中用勾股定理列方程求解；当为直角顶点时，、、共线，先求出的长度，再在中用勾股定理计算。
三、解答题（共3小题，每小题7分，共21分）
16．（2025九下·梅州期中）计算：．
【答案】
．
【知识点】零指数幂；二次根式的性质与化简；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题考查实数的混合运算，涉及零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值和二次根式的化简，需按照运算顺序逐步计算。解题时先根据零指数幂的性质，任何非零数的0次幂为1，得；再化简绝对值，因为，所以；接着代入特殊角的三角函数值，得；最后化简二次根式，再将所有化简后的结果进行加减运算。
17．（2025九下·梅州期中）图1图2均为5×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D均在格点上．
（1）观察：如图1，　 　，　 　；
（2）探究：如图2，仅用无刻度的直尺在上找一点M，连接，使得；小军说：作点B关于的对称点，连接与交于点M…请根据小军的方案在图2中画出点M的位置，并证明是否可行．
【答案】（1）；
（2）解：如图2中，点即为所求．
小军的方案．
理由：点与关于对称，
，
，
，
，
，
又，
；
【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】（1）解：，，，
，
．
故答案为：，；
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、轴对称的性质及作图应用，第一问利用平行线分线段成比例定理求解，第二问结合轴对称和相似三角形判定证明方案可行性。
(1)中由可判定，相似三角形的对应边成比例，先确定，，即可得出，进而得到；
(2)中先根据轴对称的性质作出点关于的对称点，连接交于，由轴对称得，，再结合得，从而推出，又，根据两角分别相等的两个三角形相似，可判定。
（1）解：，，，
，
．
故答案为：，；
（2）解：如图2中，点即为所求．
小军的方案．
理由：点与关于对称，
，
，
，
，
，
又，
；
18．（2025九下·梅州期中）为了解学生对《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》这两部影片的评价，某调查小组从该校九年级学生中随机抽取了20名学生对这两部作品分别进行评级，等级分为一星、二星、三星、四星、五星，其中对应等级的得分依次记为2分、4分、6分、8分、10分．现将学生对电影的评级整理并绘制成统计图．
请你根据提供的信息解答下列问题：
（1）求此次电影评级中，电影《唐探1900》评级在三星及以上的人数．
（2）将下列表格补充完整：
平均数（分） 众数（分） 中位数（分）
对《哪吒之魔童闹海》 ______ 10 8
《唐探1900》 8 ______
（3）从相关统计量进行分析，你认为该校九年级学生对哪部作品的评价更高？请说明理由．
【答案】（1）解：（人）
答：此次电影评级中，电影《唐探1900》评级在三星及以上的人数为人；
（2）；8
（3）该校九年级学生对《哪吒之魔童闹海》的评价更高．
理由：九年级学生对《哪吒之魔童闹海》的评价分的平均数和众数都比《唐探1900》高，对《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》评价分的中位数相同，
该校九年级学生对《哪吒之魔童闹海》的评价更高．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】（2）《哪吒之魔童闹海》平均数（分），
将《唐探1900》中学生的评价分从小到大进行排序，排在中间位置的2个数为8分，
∴中位数（分），
故答案为：，；
【分析】本题考查统计图表的应用，涉及扇形统计图、平均数、中位数、众数的计算及统计量的实际分析。
(1)中先从扇形统计图求出三星及以上的百分比为，再用总人数20乘以该百分比，即可求出对应人数；
(2)中计算《哪吒之魔童闹海》的平均数时，根据平均数公式，用各评级得分乘以对应人数的和除以总人数20，求《唐探1900》的中位数时，将得分从小到大排序，取中间两个数的平均值；
(3)中通过比较两部影片评价得分的平均数、中位数、众数，平均数和众数更高的影片，学生的评价相对更高。
（1）解：（人）
答：此次电影评级中，电影《唐探1900》评级在三星及以上的人数为人；
（2）《哪吒之魔童闹海》平均数（分），
将《唐探1900》中学生的评价分从小到大进行排序，排在中间位置的2个数为8分，
∴中位数（分），
故答案为：，；
（3）该校九年级学生对《哪吒之魔童闹海》的评价更高．
理由：九年级学生对《哪吒之魔童闹海》的评价分的平均数和众数都比《唐探1900》高，对《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》评价分的中位数相同，
该校九年级学生对《哪吒之魔童闹海》的评价更高．
四、解答题（共3小题，每小题9分，共27分）
19．（2025九下·梅州期中）如图①是某型号抽油机，俗称磕头机，是一种用于开采石油的机械设备，其核心特点是通过游梁、连杆、曲柄机构带动驴头实现往复运动，利用曲柄重块平衡载荷，驱动抽油杆上下运动以抽取原油．图②是磕头机在某时刻工作的示意图，若是抽油杆，是驴头，是游梁，是支架，支架与游梁的夹角．点在点的北偏东方向测得，，．求抽油杆顶端到地面的距离（结果精确到）．（参考数据：，，，）
【答案】解：如图，过作交的延长线于，交的延长线于．
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴
．
∵
∴（米）
答：抽油杆顶端距地面高度约是9.5米．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，结合矩形的判定与性质，通过作垂线将不规则图形转化为直角三角形求解。解题时过作交延长线于，交延长线于，先判定四边形为矩形，得；再在中，利用余弦的定义求出，在中，由，利用余弦的定义求出；最后根据，代入数值计算即可。
20．（2025九下·梅州期中）根据以下素材，探索完成任务．
学校如何购买保洁物品
问题背景 自《义务教育劳动课程标准（2022年版）》的发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程．劳动教育是学生设计能力、问题解决能力、合作能力、实践能力以及社会责任感提升的重要手段．
素材1 为了保障劳动教育的有序进行，某学校需要增加保洁物品的库存量，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．考虑两种物品的易损情况，要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套．
素材2 商店物品价格情况：买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元．
素材3 商店提供以下两种优惠方案： 方案1：两种商品按原价的8折出售； 方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折．
问题解决
任务1 确定物品单价 请运用所学知识，求出毛巾和扫把簸箕套装的单价．
任务2 探究购买方案 如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？
【答案】任务1：解：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元．
根据题意得：
解得
答：毛巾单价为2元，扫把簸箕套装的单价为6元．
任务2：解：设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条，
∴购买扫把簸箕套装和毛巾的费用为（元）
方案一：，
解得，
由题意得，
∴，
∴
方案二：，
解得，
∴方案二不符题意，舍去．
答：学校购买扫把簸箕套装50套，毛巾150条．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务1：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求出答案.
任务2：设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求出答案.
21．（2025九下·梅州期中）如图，在中，是直径，是弦，且，垂足为，，，在的延长线上取一点，连接，使．
（1）求证：是的切线；
（2）求的长．
【答案】（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：是直径，是弦，且，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
【知识点】三角形外角的概念及性质；切线的判定；相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，根据等边对等角可得，根据三角形外角性质可得，根据角之间的关系可得，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据垂径定理可得，根据勾股定理可得OE，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得OF，再根据边之间的关系即可求出答案.
（1）证明：连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
（2）解：是直径，是弦，且，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
．
五、解答题（共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22．（2025九下·梅州期中）如图在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，经过点A的直线与抛物线交于点，与y轴交于点E．
（1）求抛物线的表达式．
（2）①x轴下方抛物线上是否存在一点F，使面积等于的面积？若存在，请求出点F的坐标．
②若点Q是x轴下方抛物线上的一个动点，使的面积为，请直接写出点Q的坐标．
（3）点M是线段OA上一动点，点N是线段AE上一动点，且，请求出的最小值．
【答案】（1）解：抛物线过，，
，解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：①存在，
如图，过点B作交抛物线于点F，此时面积等于的面积，
设直线的表达式为，
，，
，解得，
直线的表达式为，
设直线的表达式为，
在二次函数中令，得，
解得：，
，
将代入得：，解得，
直线的表达式为，
联立方程组得，解得：或，
；
②或
（3）解：如图2，过点作轴，，连接，，
轴，
，
，，
，
，
，
当、、三点共线时，的值最小，最小为的长，
直线的表达式为，
，
，
，
，
的最小值为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；二次函数与一次函数的综合应用；三角形全等的判定-SAS；二次函数-面积问题
【解析】【解答】解：（2）②如图1，过点作交轴于，连接，
，
的面积为，
，解得，
，
，
，直线的表达式为，
设直线的表达式为，
，解得，
直线的表达式为，
联立与抛物线得，
解得，，
点的坐标为或；
【分析】(1)中将点和代入抛物线解析式，得到关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，即可确定抛物线表达式；
(2)①中过作交抛物线于，同底等高的三角形面积相等，先求出直线的解析式，再根据平行关系求出直线的解析式，联立抛物线与直线的解析式，解方程组求出坐标；②中过作交x轴于，利用三角形面积公式求出的长度，确定点坐标，求出直线的解析式，联立抛物线解析式求解即可；
(3)中过作轴且，证明，得，根据三角形三边关系，当、、共线时取最小值，利用勾股定理求出的长度即为最小值。
（1）解：抛物线过，，
，解得，
抛物线的表达式为；
（2）解：①存在，
如图，过点B作交抛物线于点F，此时面积等于的面积，
设直线的表达式为，
，，
，解得，
直线的表达式为，
设直线的表达式为，
在二次函数中令，得，
解得：，
，
将代入得：，解得，
直线的表达式为，
联立方程组得，解得：或，
；
②如图1，过点作交轴于，连接，
，
的面积为，
，解得，
，
，
，直线的表达式为，
设直线的表达式为，
，解得，
直线的表达式为，
联立与抛物线得，
解得，，
点的坐标为或；
（3）解：如图2，过点作轴，，连接，，
轴，
，
，，
，
，
，
当、、三点共线时，的值最小，最小为的长，
直线的表达式为，
，
，
，
，
的最小值为．
23．（2025九下·梅州期中）如图1，四边形是一张矩形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏．
游戏1 折出对角线，将点A沿过点B的直线翻折到上，折痕BE交于点F，交于点E．展开后如图2所示．
（1）若E恰好为的中点，证明：，并求与之间的数量关系．
游戏2 在游戏1的基础上，将翻折至与重合，折痕为，展开后将点A沿过点E的直线翻折到上的点G处，展开后如图3所示．
（2）在（1）的条件下，连接，求的度数．
游戏3 在游戏1的基础上，将翻折至与先重合，展开后得到新折痕交于点N，如图4所示，Q是的中点，连接．
（3）设，，的面积分别为，若，，求的长．
【答案】解：（1）根据翻折的性质可知，，
∴，
∴
∵四边形是矩形，
∴，
∴
∴
∴，
∴，即
∵E为的中点，
∴，
∴，
∴
（2）根据翻折的性质可知，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，，
∴
在矩形中，，
∴，
∴，
∴
中，
（3）延长交于点H，根据翻折的性质可知，
又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
又Q是的中点，
∴，
∴
又，
∴，
∴
∴
∵，即，
∴
∵，，，
∴
∴，，
∴，，
在和中，，
，
解得或（舍去）
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）由于A的对应点在AC上，则，则由垂直的概念结合同角的余角相等可证明，由于E恰好为的中点，则由相似比可得；
（2）由折叠的性质可得，则EG//AC，又，则，此时可设AD=2a，则AE=EG=a，由（1）知，由勾股定理可求得，再由矩形的对边平行可证则，由相似比可求得，再解可得，则，；
（3）延长交于点H，由折叠的性质可得，又，则，则；又可证明，则，由可得，再证明可得，，在和中，利用勾股定理求出，然后根据即可求解．
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