资源简介

广东省湛江市雷州市四校 2024-2025学年八年级下学期4月期中联考数学试题
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．（2025八下·雷州期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·雷州期中）下列计算正确的是（　　）
A． B．＝4 C．（）2＝6 D．＝2
3．（2025八下·雷州期中）已知平行四边形中，，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·雷州期中）要使二次根式有意义，x应满足的条件是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·雷州期中）下列线段能组成直角三角形的一组是（　　）
A．1，2，2 B．3，4，5 C． ，2， D．5，6，7
6．（2025八下·雷州期中）在四边形中、相交于点，下列说法错误的是（　　）
A．，，则四边形是平行四边形
B．，且，则四边形是菱形
C．，则四边形是矩形
D．且，则四边形是正方形
7．（2025八下·雷州期中）下列说法错误的是（　　）
A．菱形的对角线互相垂直且平分
B．矩形的对角线相等
C．有一组邻边相等的四边形是菱形
D．四条边相等的四边形是菱形
8．（2025八下·雷州期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，交BD于点E，，则的度数为（　　）
A．40° B．35° C．30° D．25°
9．（2025八下·雷州期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2025八下·雷州期中）已知是矩形对角线的交点，作，，相交于点，连接．下列说法正确的是(　　)
①四边形为菱形；②；③；④若，则
A．①③ B．①②④ C．①④ D．③④
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（2025八下·雷州期中）　 　．
12．（2025八下·雷州期中）如图，中，，，的外角平分线与边的垂直平分线交于点D，则　 　．
13．（2025八下·雷州期中）如图，在数轴上，点O所对应的实数是0，点A所对应的实数是2，过点A作数轴的垂线段，且，连接．以O为圆心，的长为半径画弧，交数轴的负半轴于点C，则点C对应的实数为　 　．
14．（2025八下·雷州期中）如图E在边AB上，把矩形ABCD沿直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处．若AE＝5，BF＝3．则△CDF的面积是　 　．
15．（2025八下·雷州期中）如图，在正方形外取一点，连接，，，过点A作的垂线交于点，若，．下列结论：①；②点到直线的距离为；③；④．其中正确的是　 　．
三、解答题（每小题7分，共21分）
16．（2025八下·雷州期中）计算：．
17．（2025八下·雷州期中）先化简，再求值：，其中．
18．（2025八下·雷州期中）如图，正方形网格中，每个小方格的边长为1，请完成：
（1）从A点出发画线段、，以及线段使，，，且使B、C两点也在格点上；
（2）请求出图中你所画的的面积．
四、解答题（每小题9分，共27分）
19．（2025八下·雷州期中）已知，满足．
（1）求的值．
（2）若一个菱形的对角线的长分别是x，y，求这个菱形的面积和高．
20．（2025八下·雷州期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，交CB延长线于E，交AD延长线于点F．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）若，，求OB的长．
21．（2025八下·雷州期中）如图，在中，D是的中点，交于点E，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
五、解答题（13+14，共27分）
22．（2025八下·雷州期中）老师在数学课上提出这样一个问题：已知，求的值．
小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：先将等式两边都除以x，得到的值，再利用完全平方公式求出．
参考小明的思路，解决下列问题：
（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
23．（2025八下·雷州期中）如图，在等腰△ABC中，点D为直线BC上一动点（点D不B、C重合），以AD为边向右侧作正方形ADEF，连接CF．
【猜想】如图①，当点D在线段BC上时，直接写出CF、BC、CD三条线段的数量关系．
【探究】如图②，当点D在线段BC的延长线上时，判断CF、BC，CD三条线段的数量关系，并说明理由．
【应用】如图③，当点D在线段BC的反向延长线上时，点A、F分别在直线BC两侧，AE．DF交点为点O连接CO，若，，则 ．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故本选项符合题意；
C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用最简二次根式的定义（①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐项分析判断即可.
2．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
B、原式＝，不符合题意；
C、原式＝9×2＝18，不符合题意；
D、原式＝2，符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的加法、二次根式的除法和二次根式的性质逐项判断即可。
3．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质可得，，则，解方程即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：2-x≥0，
解得x≤2；
故答案为：B.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
5．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵12+22≠22，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不能组成直角三角形；
B、∵32+42＝52，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故能组成直角三角形；
C、∵( )2+22≠( )2，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不能组成直角三角形；
D、∵52+62≠72，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不能组成直角三角形．
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理的逆定理逐项分析即可．
6．【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：、，，则四边形有可能是等腰梯形，此选项错误，符合题意；
B、∵，，∴，，∵，，∴，，∴，
∴四边形是菱形，此选项正确，不符合题意；
C、∵，∴四边形是平行四边形，∴，即：，∴平行四边形是矩形，此选项正确，不符合题意；
D、∵，，∴，∴四边形是矩形，
又∵，∴矩形是正方形，此选项正确，不符合题意；
故答案为：．
【分析】利用平行四边形的判定方法（①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形）、矩形的判定方法（①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形）、菱形的判定方法（①四条边相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③有一组邻边相等的平行四边形是菱形）和正方形的判定方法（①对角线相等且垂直的平行四边形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形；③对角线垂直的矩形是正方形）分析求解即可.
7．【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A、菱形的对角线互相垂直且平分，此项正确，故不符合题意；
B、矩形的对角线相等，此项正确，故不符合题意；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，此项错误，故符合题意；
D、四条边相等的四边形是菱形，此项正确，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据菱形的判定与性质，矩形的性质逐项判断即可.
8．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，OA=OD，
∴∠ADO=∠DAO，
∵∠AOB=∠ADO+∠DAO，，
∴∠ADO=55°，
∵，即∠AED=90°，
∴∠DAE=35°．
故答案为：B
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分，则OA=OD，得∠ADO=55°，再由，由三角形内角和为180°，则 ∠DAE=35° ．
9．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．故①正确．
②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2=∠CAB=30°，
∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正确．
③∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD．
∴点D在AB的中垂线上．故③正确．
④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，
∴CD=AD．
∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC CD=AC AD．
∴S△ABC=AC BC=AC AD=AC AD．
∴S△DAC：S△ABC．故④正确．
综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．
故选D．
【分析】①根据作图的过程可以判定AD是 的角平分线；②利用角平分线的定义可以推知. ，则由直角三角形的性质来求的度数；③利用等角对等边可以证得 的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在 AB的中垂线上；④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比，解答即可.
10．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；菱形的判定；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：①∵DEAC，AEBD，
∴四边形DEAO是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD，
∴四边形DEAO为菱形，故①正确；
②当△AOB是等边三角形时，AE＝AB才能成立，故②错误；
③当△AOB是等边三角形时，∠BAE＝120°才能成立，故③错误；
④如图，连接OE，
∵∠BED＝90°，O是矩形ABCD对角线BD的中点，
∴OE＝OB＝OD，
∵四边形DEAO为菱形，
∴DE＝OD，
∴△DEO是等边三角形，
∴∠EDO＝60°，
∴∠ADO＝∠EDO＝30°，∠EBD＝90°－60°＝30°，
∴∠ADB＝∠EBD，
又∵∠BAD＝∠DEB＝90°，BD＝DB，
∴△ABD≌△EDB（AAS），
∴AD＝BE，故④正确；
故答案为：C．
【分析】由 ，得四边形DEAO是平行四边形，由四边形ABCD是矩形，得OA＝OD，则四边形DEAO为菱形，则①正确；当△AOB是等边三角形时，AE＝AB才能成立，则②错误；当△AOB是等边三角形时，∠BAE＝120°才能成立，则③错误；连接OE，由∠BED＝90°，O是矩形ABCD对角线BD的中点，则OE＝OB＝OD，则△DEO是等边三角形，得∠ADB＝∠EBD＝30°，证明△ABD≌△EDB(AAS），则④正确．
11．【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：原式==；
故答案为：.
【分析】先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并即可.
12．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过点D作于H， 延长线于F， 连接BD，
又∵
∴四边形DECF是矩形，
∵AD平分
，
∵ DE是BC的垂直平分线，
设AF=x，则.AH=AF=x，CF=DE=3+x，BH=5-x，
即AF=1，
故答案为：
【分析】 如图，过点D作 于H， 延长线于F，连接BD，根据勾股定理求出.BC=4，根据矩形的判定与性质推出(CE=DF=2，根据全等三角形的判定与性质推出AF=AH，设AF=x，则AH=AF=x，CF=DE=3+x，BH=5-x，根据勾股定理求解即可.
13．【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：∵
∴OB==OC，
∵点C在原点的左边，
∴点C对应的实数为．
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理求出OB的长，再结合点C在原点的左边，即可得到点C对应的实数为．
14．【答案】54
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设BC为x则AD=FD=x．
∵矩形ABCD沿直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处，
∴AE=EF=5
∵在RtEBF中，BF=3
∴BE=4
∴AB=CD=9
在RtFCD中，FC=x-3，CD=9，FD=x
由勾股定理可得
解得x=15
∴
故答案为：54．
【分析】根据折叠对称的性质可得AE=EF， 在RtEBF中， 勾股定理得BE=4，在RtFCD中，设FD=x，勾股定理得FD=15，再根据三角形面积得54．
15．【答案】①③④
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：①∵，，
∴，
在和中 ，
∴故①正确；
③，
∴，
又∵，，
∴，
∴，故③正确；
②过B作，交的延长线于F，
∵，，
∴，
又∵③中，，
∴，
∵，
∴，
∴，故②不正确；
④∵，，
∴在中，，
∴，故④正确，
故答案为：①③④
【分析】利用角的运算和等量代换可得，再利用“SAS”证出，可判断出①是否正确；再利用角的运算和等量代换可得，从而可判断出③是否正确；再利用勾股定理和线段的和差求出，从而判断出②是否正确；最后利用正方形的面积公式求出，从而可判断出④是否正确.
16．【答案】解：原式
．

【知识点】零指数幂；负整数指数幂；最简二次根式；二次根式的加减法
【解析】【分析】根据二次根式的性质，得，零指数指数幂为1，得、负整数指数幂的定义化简，再进行合并等于．
17．【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分母有理化；二次根式的化简求值；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，再代值计算即可.
18．【答案】（1）解：如图，
∴，，.
（2）解：.
【知识点】三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）利用勾股定理及线段的定义和作图方法作出图形即可；
（2）利用三角形的面积公式及割补法求解即可.
（1）如图，
，，
（2）
19．【答案】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴.
（2）解：∵一个菱形的对角线的长分别是x，y，，，
∴，，
∴这个菱形的面积为，
∴，
则这个菱形的边长为，
设这个菱形的高为，则，
解得：．
【知识点】二次根式的化简求值；菱形的性质；偶次方的非负性；绝对值的非负性；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）先利用非负数之和0的性质求出，，再将其代入计算即可；
（2）先求出这个菱形的面积为，再利用勾股定理求出菱形的边长，再设这个菱形的高为，利用菱形的面积列出方程，最后求出h的值即可.
（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴；
（2）解：∵一个菱形的对角线的长分别是x，y，，，
∴，，
∴这个菱形的面积为，
∴，
则这个菱形的边长为，
设这个菱形的高为，则，
解得：．
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，
∴AF∥EC，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE⊥BC
∴∠AEC=90°，
∴平行四边形AECF是矩形；
（2）解：四边形ABCD是菱形，则AB=BC=AD=5，线段AC，BD互相垂直平分，
Rt△AEB中，由勾股定理得BE=，
Rt△AEC中，CE=CB＋BE=5＋3=8，AC=，
Rt△AOB中，AO=AC=，OB=，
故OB的长为：
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查菱形的性质、矩形的判定以及勾股定理的综合应用。
(1)中先利用菱形对边平行的性质，结合，判定四边形为平行四边形，再根据得到，利用“有一个角是直角的平行四边形是矩形”的判定定理证明；
(2)中由菱形四条边相等的性质得，在中用勾股定理求出的长度，进而得到，再在中求出的长度，结合菱形对角线互相平分的性质得，最后在中利用勾股定理求出的长度。
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴AF∥EC，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE⊥BC
∴∠AEC=90°，
∴平行四边形AECF是矩形；
（2）解：四边形ABCD是菱形，则AB=BC=AD=5，线段AC，BD互相垂直平分，
Rt△AEB中，由勾股定理得BE=，
Rt△AEC中，CE=CB＋BE=5＋3=8，AC=，
Rt△AOB中，AO=AC=，OB=，
故OB的长为：
21．【答案】（1）解：连接，
∵D是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵D是的中点，，∴，
∵，，
∴，
∵，
∴设，则，
在中
∴，
解得：
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）连接，由线段垂直平分线的性质，得，，得，则 ；
（2）设，则，在中，由勾股定理得AC2+AE2=CE2，即，解得CE=，.
22．【答案】解：（1），
等式两边都除以x，
得，
，
，
；
（2），
等式两边都除以x，
得，
，
，
，
．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）先求出，再利用完全平方公式的计算方法分析求解即可；
（2）先求出，再利用完全平方公式的计算方法分析求解即可.
23．【答案】【猜想】 解： 如图① CD= BC- CF，
【探究】 如图②， CF= BC+ CD，
理由如下：
∵∠BAC= 90°，AB= AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形 ADEF是正方形，
∴ AD= AF，∠DAF= 90°，
∴∠BAD=∠BAC +∠DAC，
∴∠CAF=∠DAF+∠DAC，
在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF (SAS)，
∴BD= CF，
∵BD= BC＋CD，
∴CF= BC+CD；
【应用】 如图③，
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：【猜想】CD= BC- CF，
理由如下：
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD= AF，∠DAF= 90°=∠BAC，
∴∠BAD=∠FAC，
在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF (SAS)，
∴BD= CF，
∵CD= BC- BD，
∴CD= BC- CF：
【应用】解：∵∠BAC= 90°，AB= AC，
∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD= AF，∠DAF= 90°，
∴∠BAC=∠DAF，
∴，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF (SAS)，
∴BD=CF，
∴∠ACF=∠ABD= 180°- 45°= 135°，
∴∠FCD=∠ACF-∠ACB = 90°，
∴△FCD为直角三角形，
∵，
∴ ，
∴CD= BC+ BD，
∴ CD = BC+CF= 2+1=3，
∴ ，
∵正方形ADEF中，O为DF中点，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】【猜想】 由SAS证△BAD≌△CAF，得BD= CF，因为CD= BC- BD，则CD= BC- CF；
【探究】由SAS证△BAD≌△CAF，得BD= CF，由BD= BC＋CD，则CF= BC+CD；；
【应用】 由SAS证△BAD≌△CAF，得出BD= CF，∠ACF=∠ABD = 135°，则∠DCF= 90°，在Rt△DCF中，由勾股定理得DF=，由直角三角形的斜边中线的等于斜边的一半，得
1 / 1广东省湛江市雷州市四校 2024-2025学年八年级下学期4月期中联考数学试题
一、单选题（每小题3分，共30分）
1．（2025八下·雷州期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A、不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故本选项符合题意；
C、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用最简二次根式的定义（①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐项分析判断即可.
2．（2025八下·雷州期中）下列计算正确的是（　　）
A． B．＝4 C．（）2＝6 D．＝2
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意；
B、原式＝，不符合题意；
C、原式＝9×2＝18，不符合题意；
D、原式＝2，符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用二次根式的加法、二次根式的除法和二次根式的性质逐项判断即可。
3．（2025八下·雷州期中）已知平行四边形中，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形的性质可得，，则，解方程即可求出答案.
4．（2025八下·雷州期中）要使二次根式有意义，x应满足的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：2-x≥0，
解得x≤2；
故答案为：B.
【分析】二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此解答即可.
5．（2025八下·雷州期中）下列线段能组成直角三角形的一组是（　　）
A．1，2，2 B．3，4，5 C． ，2， D．5，6，7
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵12+22≠22，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不能组成直角三角形；
B、∵32+42＝52，∴该三角形符合勾股定理的逆定理，故能组成直角三角形；
C、∵( )2+22≠( )2，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不能组成直角三角形；
D、∵52+62≠72，∴该三角形不符合勾股定理的逆定理，故不能组成直角三角形．
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理的逆定理逐项分析即可．
6．（2025八下·雷州期中）在四边形中、相交于点，下列说法错误的是（　　）
A．，，则四边形是平行四边形
B．，且，则四边形是菱形
C．，则四边形是矩形
D．且，则四边形是正方形
【答案】A
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：、，，则四边形有可能是等腰梯形，此选项错误，符合题意；
B、∵，，∴，，∵，，∴，，∴，
∴四边形是菱形，此选项正确，不符合题意；
C、∵，∴四边形是平行四边形，∴，即：，∴平行四边形是矩形，此选项正确，不符合题意；
D、∵，，∴，∴四边形是矩形，
又∵，∴矩形是正方形，此选项正确，不符合题意；
故答案为：．
【分析】利用平行四边形的判定方法（①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对边分别平行的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形）、矩形的判定方法（①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形）、菱形的判定方法（①四条边相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③有一组邻边相等的平行四边形是菱形）和正方形的判定方法（①对角线相等且垂直的平行四边形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形；③对角线垂直的矩形是正方形）分析求解即可.
7．（2025八下·雷州期中）下列说法错误的是（　　）
A．菱形的对角线互相垂直且平分
B．矩形的对角线相等
C．有一组邻边相等的四边形是菱形
D．四条边相等的四边形是菱形
【答案】C
【知识点】菱形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A、菱形的对角线互相垂直且平分，此项正确，故不符合题意；
B、矩形的对角线相等，此项正确，故不符合题意；
C、有一组邻边相等的平行四边形是菱形，此项错误，故符合题意；
D、四条边相等的四边形是菱形，此项正确，故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据菱形的判定与性质，矩形的性质逐项判断即可.
8．（2025八下·雷州期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，交BD于点E，，则的度数为（　　）
A．40° B．35° C．30° D．25°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，OA=OD，
∴∠ADO=∠DAO，
∵∠AOB=∠ADO+∠DAO，，
∴∠ADO=55°，
∵，即∠AED=90°，
∴∠DAE=35°．
故答案为：B
【分析】根据矩形的对角线相等且互相平分，则OA=OD，得∠ADO=55°，再由，由三角形内角和为180°，则 ∠DAE=35° ．
9．（2025八下·雷州期中）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数是
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：S△ABC=1：3．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的平分线．故①正确．
②如图，∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°．
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2=∠CAB=30°，
∴∠3=90°﹣∠2=60°，即∠ADC=60°．故②正确．
③∵∠1=∠B=30°，
∴AD=BD．
∴点D在AB的中垂线上．故③正确．
④∵如图，在直角△ACD中，∠2=30°，
∴CD=AD．
∴BC=CD+BD=AD+AD=AD，S△DAC=AC CD=AC AD．
∴S△ABC=AC BC=AC AD=AC AD．
∴S△DAC：S△ABC．故④正确．
综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个．
故选D．
【分析】①根据作图的过程可以判定AD是 的角平分线；②利用角平分线的定义可以推知. ，则由直角三角形的性质来求的度数；③利用等角对等边可以证得 的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点D在 AB的中垂线上；④利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比，解答即可.
10．（2025八下·雷州期中）已知是矩形对角线的交点，作，，相交于点，连接．下列说法正确的是(　　)
①四边形为菱形；②；③；④若，则
A．①③ B．①②④ C．①④ D．③④
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质；菱形的判定；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：①∵DEAC，AEBD，
∴四边形DEAO是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴OA＝OD，
∴四边形DEAO为菱形，故①正确；
②当△AOB是等边三角形时，AE＝AB才能成立，故②错误；
③当△AOB是等边三角形时，∠BAE＝120°才能成立，故③错误；
④如图，连接OE，
∵∠BED＝90°，O是矩形ABCD对角线BD的中点，
∴OE＝OB＝OD，
∵四边形DEAO为菱形，
∴DE＝OD，
∴△DEO是等边三角形，
∴∠EDO＝60°，
∴∠ADO＝∠EDO＝30°，∠EBD＝90°－60°＝30°，
∴∠ADB＝∠EBD，
又∵∠BAD＝∠DEB＝90°，BD＝DB，
∴△ABD≌△EDB（AAS），
∴AD＝BE，故④正确；
故答案为：C．
【分析】由 ，得四边形DEAO是平行四边形，由四边形ABCD是矩形，得OA＝OD，则四边形DEAO为菱形，则①正确；当△AOB是等边三角形时，AE＝AB才能成立，则②错误；当△AOB是等边三角形时，∠BAE＝120°才能成立，则③错误；连接OE，由∠BED＝90°，O是矩形ABCD对角线BD的中点，则OE＝OB＝OD，则△DEO是等边三角形，得∠ADB＝∠EBD＝30°，证明△ABD≌△EDB(AAS），则④正确．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（2025八下·雷州期中）　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【解答】解：原式==；
故答案为：.
【分析】先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并即可.
12．（2025八下·雷州期中）如图，中，，，的外角平分线与边的垂直平分线交于点D，则　 　．
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理；矩形的判定与性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过点D作于H， 延长线于F， 连接BD，
又∵
∴四边形DECF是矩形，
∵AD平分
，
∵ DE是BC的垂直平分线，
设AF=x，则.AH=AF=x，CF=DE=3+x，BH=5-x，
即AF=1，
故答案为：
【分析】 如图，过点D作 于H， 延长线于F，连接BD，根据勾股定理求出.BC=4，根据矩形的判定与性质推出(CE=DF=2，根据全等三角形的判定与性质推出AF=AH，设AF=x，则AH=AF=x，CF=DE=3+x，BH=5-x，根据勾股定理求解即可.
13．（2025八下·雷州期中）如图，在数轴上，点O所对应的实数是0，点A所对应的实数是2，过点A作数轴的垂线段，且，连接．以O为圆心，的长为半径画弧，交数轴的负半轴于点C，则点C对应的实数为　 　．
【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：∵
∴OB==OC，
∵点C在原点的左边，
∴点C对应的实数为．
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理求出OB的长，再结合点C在原点的左边，即可得到点C对应的实数为．
14．（2025八下·雷州期中）如图E在边AB上，把矩形ABCD沿直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处．若AE＝5，BF＝3．则△CDF的面积是　 　．
【答案】54
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：设BC为x则AD=FD=x．
∵矩形ABCD沿直线DE折叠，点A落在边BC上的点F处，
∴AE=EF=5
∵在RtEBF中，BF=3
∴BE=4
∴AB=CD=9
在RtFCD中，FC=x-3，CD=9，FD=x
由勾股定理可得
解得x=15
∴
故答案为：54．
【分析】根据折叠对称的性质可得AE=EF， 在RtEBF中， 勾股定理得BE=4，在RtFCD中，设FD=x，勾股定理得FD=15，再根据三角形面积得54．
15．（2025八下·雷州期中）如图，在正方形外取一点，连接，，，过点A作的垂线交于点，若，．下列结论：①；②点到直线的距离为；③；④．其中正确的是　 　．
【答案】①③④
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：①∵，，
∴，
在和中 ，
∴故①正确；
③，
∴，
又∵，，
∴，
∴，故③正确；
②过B作，交的延长线于F，
∵，，
∴，
又∵③中，，
∴，
∵，
∴，
∴，故②不正确；
④∵，，
∴在中，，
∴，故④正确，
故答案为：①③④
【分析】利用角的运算和等量代换可得，再利用“SAS”证出，可判断出①是否正确；再利用角的运算和等量代换可得，从而可判断出③是否正确；再利用勾股定理和线段的和差求出，从而判断出②是否正确；最后利用正方形的面积公式求出，从而可判断出④是否正确.
三、解答题（每小题7分，共21分）
16．（2025八下·雷州期中）计算：．
【答案】解：原式
．

【知识点】零指数幂；负整数指数幂；最简二次根式；二次根式的加减法
【解析】【分析】根据二次根式的性质，得，零指数指数幂为1，得、负整数指数幂的定义化简，再进行合并等于．
17．（2025八下·雷州期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式．
【知识点】分母有理化；二次根式的化简求值；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先根据分式混合运算法则进行化简，再代值计算即可.
18．（2025八下·雷州期中）如图，正方形网格中，每个小方格的边长为1，请完成：
（1）从A点出发画线段、，以及线段使，，，且使B、C两点也在格点上；
（2）请求出图中你所画的的面积．
【答案】（1）解：如图，
∴，，.
（2）解：.
【知识点】三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【分析】（1）利用勾股定理及线段的定义和作图方法作出图形即可；
（2）利用三角形的面积公式及割补法求解即可.
（1）如图，
，，
（2）
四、解答题（每小题9分，共27分）
19．（2025八下·雷州期中）已知，满足．
（1）求的值．
（2）若一个菱形的对角线的长分别是x，y，求这个菱形的面积和高．
【答案】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴.
（2）解：∵一个菱形的对角线的长分别是x，y，，，
∴，，
∴这个菱形的面积为，
∴，
则这个菱形的边长为，
设这个菱形的高为，则，
解得：．
【知识点】二次根式的化简求值；菱形的性质；偶次方的非负性；绝对值的非负性；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）先利用非负数之和0的性质求出，，再将其代入计算即可；
（2）先求出这个菱形的面积为，再利用勾股定理求出菱形的边长，再设这个菱形的高为，利用菱形的面积列出方程，最后求出h的值即可.
（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴，，
∴；
（2）解：∵一个菱形的对角线的长分别是x，y，，，
∴，，
∴这个菱形的面积为，
∴，
则这个菱形的边长为，
设这个菱形的高为，则，
解得：．
20．（2025八下·雷州期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，交CB延长线于E，交AD延长线于点F．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）若，，求OB的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，
∴AF∥EC，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE⊥BC
∴∠AEC=90°，
∴平行四边形AECF是矩形；
（2）解：四边形ABCD是菱形，则AB=BC=AD=5，线段AC，BD互相垂直平分，
Rt△AEB中，由勾股定理得BE=，
Rt△AEC中，CE=CB＋BE=5＋3=8，AC=，
Rt△AOB中，AO=AC=，OB=，
故OB的长为：
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查菱形的性质、矩形的判定以及勾股定理的综合应用。
(1)中先利用菱形对边平行的性质，结合，判定四边形为平行四边形，再根据得到，利用“有一个角是直角的平行四边形是矩形”的判定定理证明；
(2)中由菱形四条边相等的性质得，在中用勾股定理求出的长度，进而得到，再在中求出的长度，结合菱形对角线互相平分的性质得，最后在中利用勾股定理求出的长度。
（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴AF∥EC，
∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AE⊥BC
∴∠AEC=90°，
∴平行四边形AECF是矩形；
（2）解：四边形ABCD是菱形，则AB=BC=AD=5，线段AC，BD互相垂直平分，
Rt△AEB中，由勾股定理得BE=，
Rt△AEC中，CE=CB＋BE=5＋3=8，AC=，
Rt△AOB中，AO=AC=，OB=，
故OB的长为：
21．（2025八下·雷州期中）如图，在中，D是的中点，交于点E，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）解：连接，
∵D是的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵D是的中点，，∴，
∵，，
∴，
∵，
∴设，则，
在中
∴，
解得：
∴．
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的逆定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）连接，由线段垂直平分线的性质，得，，得，则 ；
（2）设，则，在中，由勾股定理得AC2+AE2=CE2，即，解得CE=，.
五、解答题（13+14，共27分）
22．（2025八下·雷州期中）老师在数学课上提出这样一个问题：已知，求的值．
小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路：先将等式两边都除以x，得到的值，再利用完全平方公式求出．
参考小明的思路，解决下列问题：
（1）已知，求的值；
（2）已知，求的值．
【答案】解：（1），
等式两边都除以x，
得，
，
，
；
（2），
等式两边都除以x，
得，
，
，
，
．
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）先求出，再利用完全平方公式的计算方法分析求解即可；
（2）先求出，再利用完全平方公式的计算方法分析求解即可.
23．（2025八下·雷州期中）如图，在等腰△ABC中，点D为直线BC上一动点（点D不B、C重合），以AD为边向右侧作正方形ADEF，连接CF．
【猜想】如图①，当点D在线段BC上时，直接写出CF、BC、CD三条线段的数量关系．
【探究】如图②，当点D在线段BC的延长线上时，判断CF、BC，CD三条线段的数量关系，并说明理由．
【应用】如图③，当点D在线段BC的反向延长线上时，点A、F分别在直线BC两侧，AE．DF交点为点O连接CO，若，，则 ．
【答案】【猜想】 解： 如图① CD= BC- CF，
【探究】 如图②， CF= BC+ CD，
理由如下：
∵∠BAC= 90°，AB= AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形 ADEF是正方形，
∴ AD= AF，∠DAF= 90°，
∴∠BAD=∠BAC +∠DAC，
∴∠CAF=∠DAF+∠DAC，
在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF (SAS)，
∴BD= CF，
∵BD= BC＋CD，
∴CF= BC+CD；
【应用】 如图③，
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：【猜想】CD= BC- CF，
理由如下：
∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD= AF，∠DAF= 90°=∠BAC，
∴∠BAD=∠FAC，
在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF (SAS)，
∴BD= CF，
∵CD= BC- BD，
∴CD= BC- CF：
【应用】解：∵∠BAC= 90°，AB= AC，
∠ABC=∠ACB=45°，
∵四边形ADEF是正方形，
∴AD= AF，∠DAF= 90°，
∴∠BAC=∠DAF，
∴，
∴∠BAD=∠CAF，
在△BAD和△CAF中，
，
∴△BAD≌△CAF (SAS)，
∴BD=CF，
∴∠ACF=∠ABD= 180°- 45°= 135°，
∴∠FCD=∠ACF-∠ACB = 90°，
∴△FCD为直角三角形，
∵，
∴ ，
∴CD= BC+ BD，
∴ CD = BC+CF= 2+1=3，
∴ ，
∵正方形ADEF中，O为DF中点，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】【猜想】 由SAS证△BAD≌△CAF，得BD= CF，因为CD= BC- BD，则CD= BC- CF；
【探究】由SAS证△BAD≌△CAF，得BD= CF，由BD= BC＋CD，则CF= BC+CD；；
【应用】 由SAS证△BAD≌△CAF，得出BD= CF，∠ACF=∠ABD = 135°，则∠DCF= 90°，在Rt△DCF中，由勾股定理得DF=，由直角三角形的斜边中线的等于斜边的一半，得
1 / 1

展开更多......

收起↑