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广东省江门市恩平市2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将所选的字母写在下面表格内．
1．（2025八下·恩平期中）计算的结果是(　　)
A．9 B．-9 C．3 D．3
2．（2025八下·恩平期中）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·恩平期中）无理数的大小在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
4．（2025八下·恩平期中）若的三边分别为5、12、13，则的面积是（　　）
A．25 B．45 C．60 D．30
5．（2025八下·恩平期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·恩平期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
7．（2025八下·恩平期中）如图，在中，、相交于点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025八下·恩平期中）如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平形四边形，则下列正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八下·恩平期中）如图，平行四边形ABCD的周长是32，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，BD＝12，则△DOE的周长为（　　）
A．16 B．14 C．22 D．18
10．（2025八下·恩平期中）如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（2025八下·恩平期中）使 有意义的x的取值范围是　 　．
12．（2025八下·恩平期中）化简：　 　
13．（2025八下·恩平期中）在中，，则　 　．
14．（2025八下·恩平期中）若实数满足，则　 　．
15．（2025八下·恩平期中）如图，等腰梯形ABCD中，AB∥DC，BE∥AD， 梯形ABCD的周长为26，DE=4，则△DEC的周长为　 　．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分．
16．（2025八下·恩平期中）计算：．
17．（2025八下·恩平期中）如图，强大的台风使得一棵大树在离地面6米处折断倒下，大树顶部落在离大树底部8米处，大树折断之前有多高？
18．（2025八下·恩平期中）如图，在中，E，F分别是，的中点．求证：四边形是平行四边形．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（2025八下·恩平期中）已知：菱形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，且AC=6，BD=8，求菱形的周长和面积．
20．（2025八下·恩平期中）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？
21．（2025八下·恩平期中）如图，在平行四边形中，为线段的中点，连接，，延长，交于点，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求四边形的面积．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22．（2025八下·恩平期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题．
，
，
，
．．．．．．
（1）观察以上规律，请写出第个等式： （n为正整数）．
（2）利用上面的规律，计算：．
（3）请利用上面的规律，比较与的大小．
23．（2025八下·恩平期中）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
　　 　　
（1）操作判断
操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．
根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．
（2）迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．
①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；
②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．
（3）拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：∵32=9，
∴=3.
故答案为：C.
【分析】利用算术平方根的定义及计算方法求解即可.
2．【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A是最简二次根式；
B：被开方数含能开得尽的因数，故B不是最简二次根式；
C：被开方数含能开得尽的因数，故C不是最简二次根式；
D：被开方数含分母，故D不是最简二次根式。
故选：A.
【分析】根据最简二次根式的定义，逐个检查是否同时满足最简二次根式的两个条件，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是。
3．【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：B．
【分析】先利用估算无理数大小的方法可得，再求解即可.
4．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵的三边分别为5、12、13，且，
∴是直角三角形，两直角边是5，12，
∴．
故答案为：D．
【分析】先利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，两直角边是5，12，再利用三角形的面积公式求解即可.
5．【答案】C
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A、与不能合并，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的加法、二次根式的减法、二次根式的乘法和二次根式的除法的计算方法逐项分析判断即可.
6．【答案】B
【知识点】“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是．
故答案为：B．
【分析】根据图形分析，得小正方形的边长为两条直角边长的差为2，则周长为8．
7．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】先利用平行四边形的性质可得，再利用勾股定理求出AD的长，从而得解.
8．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、当，时，四边形ABCD可能是等腰梯形，故不能判断四边形ABCD为平形四边形，故选项A不正确，不符合题意；
B、 ∵，∴，仅凭此条件不能判断四边形ABCD为平形四边形，故选项B不正确，不符合题意；
C、根据，，不能判断四边形ABCD为平形四边形，故选项C不正确，不符合题意；
D、∵，
∴，
∵
∴，
∴
∴四边形ABCD为平形四边形，故选项D正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】平行四边形的判定定理：①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别平行的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形，据此逐一判断得出答案.
9．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=，
∵点E是AD的中点，
∴，
∵平行四边形ABCD的周长是32，
∴AD+AB=16，
∵BD＝12，
∴△DOE的周长等于DO+DE+OE=．
故选：B
【分析】根据平行四边形的性质得到OD=，则，进而得到△DOE的周长等于DO+DE+OE=，从而结合题意即可求解。
10．【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是中点，
∴；
故选：A.
【分析】
由平行四边形的对边平行结合角平分线概念得，由平行四边形的对边相等得，再根据三角形的中位线定理得OE等于BP的一半.
11．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：列不等式得：x+1≥0，解得x≥﹣1．
故答案为：x≥﹣1．
【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式可求解。
12．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：；
故答案为：.
【分析】利用分母有理化的计算方法分析求解即可.
13．【答案】
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】利用平行四边形的性质可得，再结合可得，最后求出即可.
14．【答案】9
【知识点】分式的值；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：9．
【分析】先利用非负数之和为0的性质可得，求出a、b的值，最后将其代入计算即可.
15．【答案】18
【知识点】平行四边形的判定与性质；等腰梯形的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥DC，BE∥AD，
∴四边形ADEB是平行四边形，
∴AD=BE，AB=DE，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴BC=AD，
∵梯形ABCD的周长为26，
∴AD+CD+BC+AB=AD+DE+EC+BC+AB=BE+2DE+EC+BC=26，
∵DE=4，
∴BE+EC+BC=18．
故答案为：18.
【分析】先证出四边形ADEB是平行四边形，利用平行四边形的性质可得AD=BE，AB=DE，再利用等腰梯形的性质和等量代换可得BC=AD，再利用梯形的周长公式及等量代换可得AD+CD+BC+AB=AD+DE+EC+BC+AB=BE+2DE+EC+BC=26，最后求出BE+EC+BC=18即可．
16．【答案】解：原式
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据二次根式的混合运算法则，先算乘除法，再算加减法，即可得出答案。
17．【答案】解：由题意得：∠C=90°，米，米，
∴（米），
∴（米）．
答：大树折断前高16米
【知识点】风吹树折模型
【解析】【分析】先利用勾股定理计算出的长，然后再计算出即可得到大树折断前的高度．
18．【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，分别是，的中点，
，，
，
四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出，，根据中点定义得出，，则，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得四边形是平行四边形．
19．【答案】解：由菱形对角线性质知，AO=AC=3，BO=BD=4，且AO⊥BO，
∴AB=5，
∴周长L=4AB=20；
∵菱形对角线相互垂直，
∴菱形面积是S=AC×BD=24．
综上可得菱形的周长为20、面积为24．
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】先利用菱形的性质可得AO=AC=3，BO=BD=4，且AO⊥BO，利用勾股定理求出AB的长，最后利用菱形的周长公式和面积公式求解即可.
20．【答案】解∶ 设水池的深度为x尺，则芦苇的长为尺，根据勾股定理得：，
解得：，
∴
即水池的深度是12尺， 芦苇的长度是13尺
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】根据题意，找到题中的直角三角形，设水池的深度为x尺，则芦苇的长为尺，由勾股定理得，解得x=12，则 芦苇的长度是13尺。
21．【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，
∴，，
∵为线段的中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形．
（2）解：如图，过点作于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的面积等于，
∵，，
∵点是对角线的中心，
∴，
∴，
∴平行四边形的面积为：．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质，得，根据平行线的性质，得，；由点为线段的中点，，则（AAS），AE=EF，对角线互相平分的四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，根据由一个角是直角的平行四边形是矩形，得平行四边形是矩形；
（2）过点作于点，在Rt△ADF中，根据勾股定理得=12，再根据四边形的面积等于=15．
22．【答案】（1）
（2）解：∵，
∴，
∴
.
（3）解：由于，，
，
，
．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】（1）解：根据前几个等式可得第n个等式为：，
故答案为：.
【分析】（1）根据前几个等式与序号的关系可得等式规律；
（2）先利用（1）的规律将原式变形为，再计算即可；
（3）先求倒数，再利用分母有理化化简，最后比较大小即可．
（1）解：根据前几个等式可得第n个等式为：，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∴
；
（3）解：由于，，
，
，
．
23．【答案】（1）解：或或或
（2）解：①15，15；
②
.
（3）cm或
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；矩形的性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】（1）解：，
，
，sin∠BME=，
，
，
，
，
故答案为：或或或；
（2）∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°
由折叠性质得：AB=BM，∠PMB=∠BMQ=∠A=90°
∴BM=BC
①
∴
，
故答案为：15，15；
（3）当点Q在点F的下方时，如图，
，DQ=DF+FQ=4+1=5(cm)
由（2）可知，
设
，
即
解得：
∴；
当点Q在点F的上方时，如图，
cm，DQ =3cm，
由（2）可知，
设
，
即
解得：
∴．
【分析】（1）利用，sin∠BME=，求出 ，再结合 ，求出 即可；
（2）①先利用“HL”证出，利用全等三角形的性质可得，再结合，求出即可；
②再利用“HL”证出，再利用全等三角形的性质可得；
（3）分类讨论：① 当点Q在点F的下方时， ② 当点Q在点F的上方时， 再分别画出图形并利用勾股定理列出方程求解即可.
1 / 1广东省江门市恩平市2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请将所选的字母写在下面表格内．
1．（2025八下·恩平期中）计算的结果是(　　)
A．9 B．-9 C．3 D．3
【答案】C
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：∵32=9，
∴=3.
故答案为：C.
【分析】利用算术平方根的定义及计算方法求解即可.
2．（2025八下·恩平期中）下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：A：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A是最简二次根式；
B：被开方数含能开得尽的因数，故B不是最简二次根式；
C：被开方数含能开得尽的因数，故C不是最简二次根式；
D：被开方数含分母，故D不是最简二次根式。
故选：A.
【分析】根据最简二次根式的定义，逐个检查是否同时满足最简二次根式的两个条件，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是。
3．（2025八下·恩平期中）无理数的大小在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：B．
【分析】先利用估算无理数大小的方法可得，再求解即可.
4．（2025八下·恩平期中）若的三边分别为5、12、13，则的面积是（　　）
A．25 B．45 C．60 D．30
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵的三边分别为5、12、13，且，
∴是直角三角形，两直角边是5，12，
∴．
故答案为：D．
【分析】先利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，两直角边是5，12，再利用三角形的面积公式求解即可.
5．（2025八下·恩平期中）下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：A、与不能合并，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项符合题意；
D、，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的加法、二次根式的减法、二次根式的乘法和二次根式的除法的计算方法逐项分析判断即可.
6．（2025八下·恩平期中）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【知识点】“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：图中的直角三角形的两条直角边的长分别为1和3，则中间小正方形的周长是．
故答案为：B．
【分析】根据图形分析，得小正方形的边长为两条直角边长的差为2，则周长为8．
7．（2025八下·恩平期中）如图，在中，、相交于点，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
故答案为：A．
【分析】先利用平行四边形的性质可得，再利用勾股定理求出AD的长，从而得解.
8．（2025八下·恩平期中）如图，在四边形中，，若添加一个条件，使四边形为平形四边形，则下列正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、当，时，四边形ABCD可能是等腰梯形，故不能判断四边形ABCD为平形四边形，故选项A不正确，不符合题意；
B、 ∵，∴，仅凭此条件不能判断四边形ABCD为平形四边形，故选项B不正确，不符合题意；
C、根据，，不能判断四边形ABCD为平形四边形，故选项C不正确，不符合题意；
D、∵，
∴，
∵
∴，
∴
∴四边形ABCD为平形四边形，故选项D正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】平行四边形的判定定理：①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；②两组对边分别平行的四边形是平行四边形；③两组对边分别相等的四边形是平行四边形；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；⑤对角线互相平分的四边形是平行四边形，据此逐一判断得出答案.
9．（2025八下·恩平期中）如图，平行四边形ABCD的周长是32，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，BD＝12，则△DOE的周长为（　　）
A．16 B．14 C．22 D．18
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OD=，
∵点E是AD的中点，
∴，
∵平行四边形ABCD的周长是32，
∴AD+AB=16，
∵BD＝12，
∴△DOE的周长等于DO+DE+OE=．
故选：B
【分析】根据平行四边形的性质得到OD=，则，进而得到△DOE的周长等于DO+DE+OE=，从而结合题意即可求解。
10．（2025八下·恩平期中）如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，，
∴，，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵是中点，
∴；
故选：A.
【分析】
由平行四边形的对边平行结合角平分线概念得，由平行四边形的对边相等得，再根据三角形的中位线定理得OE等于BP的一半.
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（2025八下·恩平期中）使 有意义的x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：列不等式得：x+1≥0，解得x≥﹣1．
故答案为：x≥﹣1．
【分析】根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，列不等式可求解。
12．（2025八下·恩平期中）化简：　 　
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：；
故答案为：.
【分析】利用分母有理化的计算方法分析求解即可.
13．（2025八下·恩平期中）在中，，则　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】利用平行四边形的性质可得，再结合可得，最后求出即可.
14．（2025八下·恩平期中）若实数满足，则　 　．
【答案】9
【知识点】分式的值；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：9．
【分析】先利用非负数之和为0的性质可得，求出a、b的值，最后将其代入计算即可.
15．（2025八下·恩平期中）如图，等腰梯形ABCD中，AB∥DC，BE∥AD， 梯形ABCD的周长为26，DE=4，则△DEC的周长为　 　．
【答案】18
【知识点】平行四边形的判定与性质；等腰梯形的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥DC，BE∥AD，
∴四边形ADEB是平行四边形，
∴AD=BE，AB=DE，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴BC=AD，
∵梯形ABCD的周长为26，
∴AD+CD+BC+AB=AD+DE+EC+BC+AB=BE+2DE+EC+BC=26，
∵DE=4，
∴BE+EC+BC=18．
故答案为：18.
【分析】先证出四边形ADEB是平行四边形，利用平行四边形的性质可得AD=BE，AB=DE，再利用等腰梯形的性质和等量代换可得BC=AD，再利用梯形的周长公式及等量代换可得AD+CD+BC+AB=AD+DE+EC+BC+AB=BE+2DE+EC+BC=26，最后求出BE+EC+BC=18即可．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题8分，共24分．
16．（2025八下·恩平期中）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】根据二次根式的混合运算法则，先算乘除法，再算加减法，即可得出答案。
17．（2025八下·恩平期中）如图，强大的台风使得一棵大树在离地面6米处折断倒下，大树顶部落在离大树底部8米处，大树折断之前有多高？
【答案】解：由题意得：∠C=90°，米，米，
∴（米），
∴（米）．
答：大树折断前高16米
【知识点】风吹树折模型
【解析】【分析】先利用勾股定理计算出的长，然后再计算出即可得到大树折断前的高度．
18．（2025八下·恩平期中）如图，在中，E，F分别是，的中点．求证：四边形是平行四边形．
【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，分别是，的中点，
，，
，
四边形是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质得出，，根据中点定义得出，，则，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得四边形是平行四边形．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（2025八下·恩平期中）已知：菱形ABCD的两条对角线AC与BD相交于点O，且AC=6，BD=8，求菱形的周长和面积．
【答案】解：由菱形对角线性质知，AO=AC=3，BO=BD=4，且AO⊥BO，
∴AB=5，
∴周长L=4AB=20；
∵菱形对角线相互垂直，
∴菱形面积是S=AC×BD=24．
综上可得菱形的周长为20、面积为24．
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】先利用菱形的性质可得AO=AC=3，BO=BD=4，且AO⊥BO，利用勾股定理求出AB的长，最后利用菱形的周长公式和面积公式求解即可.
20．（2025八下·恩平期中）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？
【答案】解∶ 设水池的深度为x尺，则芦苇的长为尺，根据勾股定理得：，
解得：，
∴
即水池的深度是12尺， 芦苇的长度是13尺
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】根据题意，找到题中的直角三角形，设水池的深度为x尺，则芦苇的长为尺，由勾股定理得，解得x=12，则 芦苇的长度是13尺。
21．（2025八下·恩平期中）如图，在平行四边形中，为线段的中点，连接，，延长，交于点，连接，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴，
∴，，
∵为线段的中点，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形．
（2）解：如图，过点作于点，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的面积等于，
∵，，
∵点是对角线的中心，
∴，
∴，
∴平行四边形的面积为：．
【知识点】平行四边形的判定与性质；矩形的判定；几何图形的面积计算-割补法；三角形全等的判定-AAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质，得，根据平行线的性质，得，；由点为线段的中点，，则（AAS），AE=EF，对角线互相平分的四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，根据由一个角是直角的平行四边形是矩形，得平行四边形是矩形；
（2）过点作于点，在Rt△ADF中，根据勾股定理得=12，再根据四边形的面积等于=15．
五、解答题（三）：本大题共2小题，每小题12分，共24分．
22．（2025八下·恩平期中）观察下列一组等式，然后解答后面的问题．
，
，
，
．．．．．．
（1）观察以上规律，请写出第个等式： （n为正整数）．
（2）利用上面的规律，计算：．
（3）请利用上面的规律，比较与的大小．
【答案】（1）
（2）解：∵，
∴，
∴
.
（3）解：由于，，
，
，
．
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】（1）解：根据前几个等式可得第n个等式为：，
故答案为：.
【分析】（1）根据前几个等式与序号的关系可得等式规律；
（2）先利用（1）的规律将原式变形为，再计算即可；
（3）先求倒数，再利用分母有理化化简，最后比较大小即可．
（1）解：根据前几个等式可得第n个等式为：，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∴
；
（3）解：由于，，
，
，
．
23．（2025八下·恩平期中）综合与实践
综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．
　　 　　
（1）操作判断
操作一：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在矩形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM．
根据以上操作，当点M在EF上时，写出图1中一个30°的角：______．
（2）迁移探究
小华将矩形纸片换成正方形纸片，继续探究，过程如下：
将正方形纸片ABCD按照（1）中的方式操作，并延长PM交CD于点Q，连接BQ．
①如图2，当点M在EF上时，∠MBQ＝______°，∠CBQ＝______°；
②改变点P在AD上的位置（点P不与点A，D重合），如图3，判断∠MBQ与∠CBQ的数量关系，并说明理由．
（3）拓展应用
在（2）的探究中，已知正方形纸片ABCD的边长为8cm，当FQ＝1cm时，直接写出AP的长．
【答案】（1）解：或或或
（2）解：①15，15；
②
.
（3）cm或
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；矩形的性质；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】（1）解：，
，
，sin∠BME=，
，
，
，
，
故答案为：或或或；
（2）∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC，∠A=∠ABC=∠C=90°
由折叠性质得：AB=BM，∠PMB=∠BMQ=∠A=90°
∴BM=BC
①
∴
，
故答案为：15，15；
（3）当点Q在点F的下方时，如图，
，DQ=DF+FQ=4+1=5(cm)
由（2）可知，
设
，
即
解得：
∴；
当点Q在点F的上方时，如图，
cm，DQ =3cm，
由（2）可知，
设
，
即
解得：
∴．
【分析】（1）利用，sin∠BME=，求出 ，再结合 ，求出 即可；
（2）①先利用“HL”证出，利用全等三角形的性质可得，再结合，求出即可；
②再利用“HL”证出，再利用全等三角形的性质可得；
（3）分类讨论：① 当点Q在点F的下方时， ② 当点Q在点F的上方时， 再分别画出图形并利用勾股定理列出方程求解即可.
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