资源简介

广东省广州市花都区2024—2025学年下学期八年级期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2025八下·花都期中）若式子在实数范围内有意义，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·花都期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·花都期中）在下列各组数据中，不能作为直角三角形三边边长的是（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，
4．（2025八下·花都期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·花都期中）如图，在矩形中，对角线，交于点O，下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·花都期中）如图，为了测量池塘边A，B两地之间的距离，在A，B的同侧取一点C，连接，，分别取，的中点D，E，测得，则A，B之间的距离为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八下·花都期中）顺次连接矩形各边中点所得四边形必定是（　　）
A．等腰梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
8．（2025八下·花都期中）如图，在菱形中，，，则（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八下·花都期中）如图，中，，的垂直平分线分别交，于点D，E，若，，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．
10．（2025八下·花都期中）八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．已知如图，在中，，，，则边上的高为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．（2025八下·花都期中）计算： 　 　．
12．（2025八下·花都期中）比较大小：　 　3．（填“”或“”）
13．（2025八下·花都期中）在中，，是边上的中线，若，则　 　．
14．（2025八下·花都期中）如图，图中所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形A，B的面积分别为9和7，则正方形C的面积是　 　．
15．（2025八下·花都期中）已知，化简　 　．
16．（2025八下·花都期中）如图，点P是正方形的对角线上一个动点，连接，过点P作于点E，于点F，连接，有下列4个结论：
①；②；③一定是等腰三角形；
④的最小值等于．其中正确的结论有　 　．（填写所有正确结论的序号）
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（2025八下·花都期中）计算：．
18．（2025八下·花都期中）如图，在中，于点D，，求的长．
19．（2025八下·花都期中）如图，在中，点E，F是对角线上的两点，且，连接，求证：．
20．（2025八下·花都期中）如图，为推进绿色亚运城市建设，广州市某低碳大厦在矩形屋顶中安装了两块正方形的光伏发电板A，B，两块光伏板沿屋顶长边恰好并排排列，其面积分别为和．
（1）光伏板A，B的边长分别为________m，________m；（用最简二次根式表示）
（2）计算屋顶中未利用区域（阴影部分）的面积．
21．（2025八下·花都期中）如图，在菱形中，对角线相交于点O，．
求：
（1）对角线的长；
（2）菱形的面积．
22．（2025八下·花都期中）如图，“广州湾号”货轮和“小蛮腰号”科考船从某港口P同时出发执行任务，已知“广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东方向航行，“小蛮腰号”以每小时5海里的速度沿另一方向航行，2小时后两船分别位于点R，Q处，此时两船相距26海里．
求：
（1）两船分别航行了多少海里？
（2）“小蛮腰号”的航行方向．
23．（2025八下·花都期中）如图，四边形中，，对角线相交于点O．
（1）请从下列条件①，②中选择一个作为已知，求证：四边形为矩形．
条件①：；条件②：（注：如果选择条件①和条件②分别作答，则按第一个解答计分．）
（2）在（1）的结论下，作平分交于点E，若，求的度数．
24．（2025八下·花都期中）如图，在四边形中，，，点P从点A出发，在射线上以的速度向右运动；点Q从点C同时出发，在线段上以的速度向点B运动．当点Q到达端点B时，点P也停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒．
（1） ______， ______；
（2）在点P，Q运动过程中，是否存在t值，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．
25．（2025八下·花都期中）已知，在平面直角坐标系中，正方形的顶点B，A，分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点C的坐标为，且a，b满足：，点D为边上的一个动点，将沿面折，得到．
（1）求出a，b的值；
（2）如图1，若点D为中点，延长交于点F，求的长；
（3）如图2，若，点M为线段上的动点，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
解得：．
故选：A．
【分析】
二次根式有意义的条件是被开方数为非负数．
2．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式
【解析】【解答】解：A、被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、被开方数是小数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、是最简二次根式，故此选项符合题意；
D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用最简二次根式的定义（①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐项分析判断即可.
3．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵，∴不能组成直角三角形，故此选项符合题意；
C、∵，∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵，∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意.
故答案为：．
【分析】根据勾股定理的逆定理，一个三角形的三边如果满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形就是直角三角形，据此逐项判断得出答案.
4．【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算正确，符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的加减法计算方法及步骤（①先利用二次根式的性质化简；②利用合并同类项的计算方法计算）和二次根式的乘除法的计算方法及步骤（①先将除法转换为乘法；②再利用二次根式的乘法的计算方法计算）分析求解即可.
5．【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：A、根据矩形的性质可知不一定成立，故A选项不符合题意；
B、根据矩形的性质可知，不一定成立，故B选项不符合题意；
C、根据矩形的性质可知不一定成立，故C选项不符合题意；
D、根据矩形的性质可知一定成立，故D选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用矩形的性质（①拥有平行四边形所有的性质；②四个角均是直角；③对角线相等）分析求解即可.
6．【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是和的中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：A．
【分析】先证出是的中位线，再利用中位线的性质（三角形的中位线平行且等于第三边的一半）分析求解即可.
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接、，
∵E、F、G、H分别是矩形的、、、边上的中点，
∴，（三角形的中位线等于第三边的一半），
∵矩形的对角线，
∴，
∴四边形是菱形．
故答案为：B．
【分析】利用中点四边形的性质（①对角线相等的四边形的中点四边形是菱形；②对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形；③对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形）分析求解即可.
8．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：四边形是菱形，，
故选：D．
【分析】本题考查菱形的性质、等腰三角形的性质及三角形外角定理的综合应用，解题时先根据菱形的性质“菱形的对角线平分一组对角”，得出 ；再由 可知 是等腰三角形，根据三角形内角和定理“三角形内角和为 ”，求出 ；最后根据三角形外角定理“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”，得出 ，代入数值计算即可。
9．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
设，则，
由勾股定理得：，即，
解得：（负值舍去），
∴，
故答案为：B．
【分析】连接BE，利用可得，设，则，利用勾股定理可得，即，求出x的值，最后求出EC的长即可.
10．【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴，
设边上的高的长为，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】利用题干中的定义及计算方法求出p的值，再求出s的值，再设边上的高的长为，利用三角形的面积公式可得，最后求出即可.
11．【答案】2
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： =2，
故答案为：2.
【分析】先计算根号下的乘方，再利用算术平方根的定义求解.
12．【答案】
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：，，
∴，
故答案为：．
【分析】计算和，小于，则小于3．
13．【答案】8
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图所示：
∵，点是的中点，
∴为斜边的中线，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】先证出为斜边的中线，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得，从而得解.
14．【答案】16
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵两个正方形的面积分别为9和7，
∴它们分别是直角三角形的两条直角边的平方，
根据勾股定理的几何意义，得，
∴
故答案为：．
【分析】利用正方形的面积公式及勾股定理可得，再将数据代入求出即可.
15．【答案】1
【知识点】二次根式的性质与化简；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：1.
【分析】先利用二次根式的性质化简，再去掉绝对值最后合并同类项即可.
16．【答案】①②④
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：延长交于点N，延长交于点M，
∵四边形是正方形．
∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，四边形是矩形，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，故①正确；
在与中，，
∴，
∴，故②正确；
∵P是上任意一点，
∴的长不确定，即是等腰三角形不一定成立，故③错误；
∵，
∴当时，有最小值，即有最小值，
∵，
∴此时P为的中点，
又∵，
∴，即的最小值为，故④正确；
故正确的是：①②④．
故答案为：①②④．
【分析】延长交于点N，延长交于点M，先证出四边形是正方形，四边形是矩形，利用矩形的性质可得，再利用“SAS”证出，利用全等的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，即；结合的长不确定，即是等腰三角形不一定成立，再结合P为的中点，，可得，即的最小值为，从而可得答案.
17．【答案】解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤（①有括号先算括号内；②再算二次根式的乘除；③最后计算二次根式的加减法）分析求解即可.
18．【答案】解：于点D，，
，
．
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】先利用勾股定理求出DC的长，再利用线段的和差求出BC的长即可.
19．【答案】证明：在中，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】先利用平行四边形的性质可得，可得，再结合，利用“SAS”证出，最后利用全等三角形的性质可得.
20．【答案】（1），；
（2）解：由题可知，阴影部分的面积为：
．
答：屋顶中未利用区域（阴影部分）的面积为．
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的实际应用
【解析】【解答】（1）解：由题可知，
设正方形的边长为，正方形的边长为，
则，，
解得，（负数舍去）．
故答案为：，.
【分析】（1）利用正方形的面积公式及算术平方根的计算方法求解即可；
（2）利用割补法列出算式，再利用二次根式的混合运算的计算方法求解即可.
（1）解：由题可知，
设正方形的边长为，正方形的边长为，
则，，
解得，（负数舍去）．
故答案为：，；
（2）解：由题可知，阴影部分的面积为：
．
答：屋顶中未利用区域（阴影部分）的面积为．
21．【答案】（1）解：∵四边形是菱形，，
∴，
∴是等边三角形．
∴.
（2）解：过点A作，如图所示：
由（1）得是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
∴．
∴菱形的面积．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）先利用菱形的性质证出是等边三角形，再利用等边三角形的性质可得；
（2）过点A作，先求出，利用含30°角的直角三角形的性质可得，利用勾股定理求出AN的长，最后求出菱形的面积即可.
（1）解：∵四边形是菱形，，
∴，
∴是等边三角形．
∴；
（2）过点A作，如图所示：
由（1）得是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
∴．
∴菱形的面积．
22．【答案】（1）解：∵“广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东方向航行，“小蛮腰号”以每小时5海里的速度沿另一方向航行，航行时间为2小时，
∴“广州湾号”航行路程为：海里；“小蛮腰号”航行路程为海里.
（2）解：由（1）得（海里），（海里），
∵两船相距26海里，
∴（海里），
∵，，
∴，
是直角三角形，
，
∴，
“小蛮腰号”的航行方向是南偏东．
【知识点】方位角；勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【分析】（1）根据题意利用“路程=速度×时间”列出算式求解即可；
（2）先求出，利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，可得，再利用角的运算求出“小蛮腰号”的航行方向是南偏东即可．
（1）解：∵“广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东方向航行，“小蛮腰号”以每小时5海里的速度沿另一方向航行，航行时间为2小时，
∴“广州湾号”航行路程为：海里；“小蛮腰号”航行路程为海里；
（2）由（1）得（海里），（海里），
∵两船相距26海里，
∴（海里），
∵，，
故，
是直角三角形，
，
∴，
“小蛮腰号”的航行方向是南偏东．
23．【答案】（1）解：选择条件①：；
证明：∵，，
∴，
∴，
∴四边形为矩形．
选择条件②：
∵，
∴，
∵，
∴，、
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形．
（2）解：∵四边形为矩形．
∴，，
∵平分
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；矩形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）先选择条件，再利用矩形的判定方法（①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形）分析求解即可；
（2）先证出是等边三角形，可得，，利用三角形的内角和及角的运算求出，最后求出即可.
（1）解：选择条件①：；
证明：∵，，
∴，
∴，
∴四边形为矩形．
选择条件②：
∵，
∴，
∵，
∴，、
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形．
（2）∵四边形为矩形．
∴，，
∵平分
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴
24．【答案】（1），
（2）解：存在，连接，
当点P在线段上时，
又要以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
解得，
当点P在的延长线上时，如图所示：
又要以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
解得，
综上所述，t的值为或．
【知识点】平行四边形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；四边形-动点问题
【解析】【解答】（1）解：，
根据题意可知：，，
；
故答案为：，.
【分析】（1）结合图形，利用线段的和差求出AP和BQ的长即可；
（2）分类讨论：①当点P在线段上时，②当点P在的延长线上时，先画出图形，再利用平行四边形的性质列出方程求解即可.
（1）解：，
根据题意可知：，，
；
故答案为：，；
（2）解：存在，连接，
当点P在线段上时，
又要以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
解得，
当点P在的延长线上时，如图所示：
又要以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
解得，
综上所述，t的值为或．
25．【答案】（1）解：，
，
解得：.
（2）解：由（1）得，
，
，
故正方形的边长为4；
连接，
正方形的边长为4，
点D为中点，
，，，
由折叠得：，，，
，，
在和中
，
（），
，
设，
，，
，
，
解得：，
故的长为.
（3）解：过点M作于点N，如图所示：
∵折叠，
∴，
∴，
∴，
当且仅当O、M、N三点共线时取得等号，此时，
连接，
∵，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴的最小值为．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；正方形的性质；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）利用非负数之和为0的性质求出a、b的值即可；
（2）连接，设，则，，利用勾股定理可得，列出方程，最后求出x的值即可；
（3）过点M作于点N，连接，先证出为等边三角形，求出，利用勾股定理求出ON的长，再结合，可得的最小值为．
（1）解：，
，
解得：；
（2）由（1）得，
，
，
故正方形的边长为4；
连接，
正方形的边长为4，
点D为中点，
，，，
由折叠得：，，，
，，
在和中
，
（），
，
设，
，，
，
，
解得：，
故的长为；
（3）过点M作于点N，如图所示：
∵折叠，
∴，
∴，
∴，
当且仅当O、M、N三点共线时取得等号，此时，
连接，
∵，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴的最小值为．
1 / 1广东省广州市花都区2024—2025学年下学期八年级期中数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2025八下·花都期中）若式子在实数范围内有意义，则实数a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
解得：．
故选：A．
【分析】
二次根式有意义的条件是被开方数为非负数．
2．（2025八下·花都期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；最简二次根式
【解析】【解答】解：A、被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、被开方数是小数，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
C、是最简二次根式，故此选项符合题意；
D、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用最简二次根式的定义（①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式）逐项分析判断即可.
3．（2025八下·花都期中）在下列各组数据中，不能作为直角三角形三边边长的是（　　）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵，∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵，∴不能组成直角三角形，故此选项符合题意；
C、∵，∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵，∴能组成直角三角形，故此选项不符合题意.
故答案为：．
【分析】根据勾股定理的逆定理，一个三角形的三边如果满足较小两边的平方和等于最大边长的平方，则该三角形就是直角三角形，据此逐项判断得出答案.
4．（2025八下·花都期中）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的乘除混合运算；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、和不是同类二次根式，不能合并，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算正确，符合题意；
D、，原计算错误，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的加减法计算方法及步骤（①先利用二次根式的性质化简；②利用合并同类项的计算方法计算）和二次根式的乘除法的计算方法及步骤（①先将除法转换为乘法；②再利用二次根式的乘法的计算方法计算）分析求解即可.
5．（2025八下·花都期中）如图，在矩形中，对角线，交于点O，下列结论一定正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：A、根据矩形的性质可知不一定成立，故A选项不符合题意；
B、根据矩形的性质可知，不一定成立，故B选项不符合题意；
C、根据矩形的性质可知不一定成立，故C选项不符合题意；
D、根据矩形的性质可知一定成立，故D选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用矩形的性质（①拥有平行四边形所有的性质；②四个角均是直角；③对角线相等）分析求解即可.
6．（2025八下·花都期中）如图，为了测量池塘边A，B两地之间的距离，在A，B的同侧取一点C，连接，，分别取，的中点D，E，测得，则A，B之间的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、E分别是和的中点，
∴是的中位线，
∴．
故答案为：A．
【分析】先证出是的中位线，再利用中位线的性质（三角形的中位线平行且等于第三边的一半）分析求解即可.
7．（2025八下·花都期中）顺次连接矩形各边中点所得四边形必定是（　　）
A．等腰梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接、，
∵E、F、G、H分别是矩形的、、、边上的中点，
∴，（三角形的中位线等于第三边的一半），
∵矩形的对角线，
∴，
∴四边形是菱形．
故答案为：B．
【分析】利用中点四边形的性质（①对角线相等的四边形的中点四边形是菱形；②对角线垂直的四边形的中点四边形是矩形；③对角线相等且垂直的四边形的中点四边形是正方形）分析求解即可.
8．（2025八下·花都期中）如图，在菱形中，，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；菱形的性质
【解析】【解答】解：四边形是菱形，，
故选：D．
【分析】本题考查菱形的性质、等腰三角形的性质及三角形外角定理的综合应用，解题时先根据菱形的性质“菱形的对角线平分一组对角”，得出 ；再由 可知 是等腰三角形，根据三角形内角和定理“三角形内角和为 ”，求出 ；最后根据三角形外角定理“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”，得出 ，代入数值计算即可。
9．（2025八下·花都期中）如图，中，，的垂直平分线分别交，于点D，E，若，，则的长为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
设，则，
由勾股定理得：，即，
解得：（负值舍去），
∴，
故答案为：B．
【分析】连接BE，利用可得，设，则，利用勾股定理可得，即，求出x的值，最后求出EC的长即可.
10．（2025八下·花都期中）八年级下册数学课本第16页介绍了“海伦—秦九韶公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么三角形的面积为．已知如图，在中，，，，则边上的高为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的实际应用
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴，
设边上的高的长为，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】利用题干中的定义及计算方法求出p的值，再求出s的值，再设边上的高的长为，利用三角形的面积公式可得，最后求出即可.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．（2025八下·花都期中）计算： 　 　．
【答案】2
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解： =2，
故答案为：2.
【分析】先计算根号下的乘方，再利用算术平方根的定义求解.
12．（2025八下·花都期中）比较大小：　 　3．（填“”或“”）
【答案】
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：，，
∴，
故答案为：．
【分析】计算和，小于，则小于3．
13．（2025八下·花都期中）在中，，是边上的中线，若，则　 　．
【答案】8
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：如图所示：
∵，点是的中点，
∴为斜边的中线，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】先证出为斜边的中线，再利用直角三角形斜边上中线的性质可得，从而得解.
14．（2025八下·花都期中）如图，图中所有四边形都是正方形，三角形是直角三角形，若正方形A，B的面积分别为9和7，则正方形C的面积是　 　．
【答案】16
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】解：∵两个正方形的面积分别为9和7，
∴它们分别是直角三角形的两条直角边的平方，
根据勾股定理的几何意义，得，
∴
故答案为：．
【分析】利用正方形的面积公式及勾股定理可得，再将数据代入求出即可.
15．（2025八下·花都期中）已知，化简　 　．
【答案】1
【知识点】二次根式的性质与化简；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：1.
【分析】先利用二次根式的性质化简，再去掉绝对值最后合并同类项即可.
16．（2025八下·花都期中）如图，点P是正方形的对角线上一个动点，连接，过点P作于点E，于点F，连接，有下列4个结论：
①；②；③一定是等腰三角形；
④的最小值等于．其中正确的结论有　 　．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：延长交于点N，延长交于点M，
∵四边形是正方形．
∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，四边形是矩形，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，故①正确；
在与中，，
∴，
∴，故②正确；
∵P是上任意一点，
∴的长不确定，即是等腰三角形不一定成立，故③错误；
∵，
∴当时，有最小值，即有最小值，
∵，
∴此时P为的中点，
又∵，
∴，即的最小值为，故④正确；
故正确的是：①②④．
故答案为：①②④．
【分析】延长交于点N，延长交于点M，先证出四边形是正方形，四边形是矩形，利用矩形的性质可得，再利用“SAS”证出，利用全等的性质可得，再利用角的运算和等量代换可得，即；结合的长不确定，即是等腰三角形不一定成立，再结合P为的中点，，可得，即的最小值为，从而可得答案.
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（2025八下·花都期中）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】利用二次根式的混合运算的计算方法及步骤（①有括号先算括号内；②再算二次根式的乘除；③最后计算二次根式的加减法）分析求解即可.
18．（2025八下·花都期中）如图，在中，于点D，，求的长．
【答案】解：于点D，，
，
．
【知识点】线段的和、差、倍、分的简单计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】先利用勾股定理求出DC的长，再利用线段的和差求出BC的长即可.
19．（2025八下·花都期中）如图，在中，点E，F是对角线上的两点，且，连接，求证：．
【答案】证明：在中，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】先利用平行四边形的性质可得，可得，再结合，利用“SAS”证出，最后利用全等三角形的性质可得.
20．（2025八下·花都期中）如图，为推进绿色亚运城市建设，广州市某低碳大厦在矩形屋顶中安装了两块正方形的光伏发电板A，B，两块光伏板沿屋顶长边恰好并排排列，其面积分别为和．
（1）光伏板A，B的边长分别为________m，________m；（用最简二次根式表示）
（2）计算屋顶中未利用区域（阴影部分）的面积．
【答案】（1），；
（2）解：由题可知，阴影部分的面积为：
．
答：屋顶中未利用区域（阴影部分）的面积为．
【知识点】二次根式的混合运算；二次根式的实际应用
【解析】【解答】（1）解：由题可知，
设正方形的边长为，正方形的边长为，
则，，
解得，（负数舍去）．
故答案为：，.
【分析】（1）利用正方形的面积公式及算术平方根的计算方法求解即可；
（2）利用割补法列出算式，再利用二次根式的混合运算的计算方法求解即可.
（1）解：由题可知，
设正方形的边长为，正方形的边长为，
则，，
解得，（负数舍去）．
故答案为：，；
（2）解：由题可知，阴影部分的面积为：
．
答：屋顶中未利用区域（阴影部分）的面积为．
21．（2025八下·花都期中）如图，在菱形中，对角线相交于点O，．
求：
（1）对角线的长；
（2）菱形的面积．
【答案】（1）解：∵四边形是菱形，，
∴，
∴是等边三角形．
∴.
（2）解：过点A作，如图所示：
由（1）得是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
∴．
∴菱形的面积．
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）先利用菱形的性质证出是等边三角形，再利用等边三角形的性质可得；
（2）过点A作，先求出，利用含30°角的直角三角形的性质可得，利用勾股定理求出AN的长，最后求出菱形的面积即可.
（1）解：∵四边形是菱形，，
∴，
∴是等边三角形．
∴；
（2）过点A作，如图所示：
由（1）得是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
∴．
∴菱形的面积．
22．（2025八下·花都期中）如图，“广州湾号”货轮和“小蛮腰号”科考船从某港口P同时出发执行任务，已知“广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东方向航行，“小蛮腰号”以每小时5海里的速度沿另一方向航行，2小时后两船分别位于点R，Q处，此时两船相距26海里．
求：
（1）两船分别航行了多少海里？
（2）“小蛮腰号”的航行方向．
【答案】（1）解：∵“广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东方向航行，“小蛮腰号”以每小时5海里的速度沿另一方向航行，航行时间为2小时，
∴“广州湾号”航行路程为：海里；“小蛮腰号”航行路程为海里.
（2）解：由（1）得（海里），（海里），
∵两船相距26海里，
∴（海里），
∵，，
∴，
是直角三角形，
，
∴，
“小蛮腰号”的航行方向是南偏东．
【知识点】方位角；勾股定理的实际应用-（行驶、航行）方向问题
【解析】【分析】（1）根据题意利用“路程=速度×时间”列出算式求解即可；
（2）先求出，利用勾股定理的逆定理证出是直角三角形，可得，再利用角的运算求出“小蛮腰号”的航行方向是南偏东即可．
（1）解：∵“广州湾号”以每小时12海里的速度沿北偏东方向航行，“小蛮腰号”以每小时5海里的速度沿另一方向航行，航行时间为2小时，
∴“广州湾号”航行路程为：海里；“小蛮腰号”航行路程为海里；
（2）由（1）得（海里），（海里），
∵两船相距26海里，
∴（海里），
∵，，
故，
是直角三角形，
，
∴，
“小蛮腰号”的航行方向是南偏东．
23．（2025八下·花都期中）如图，四边形中，，对角线相交于点O．
（1）请从下列条件①，②中选择一个作为已知，求证：四边形为矩形．
条件①：；条件②：（注：如果选择条件①和条件②分别作答，则按第一个解答计分．）
（2）在（1）的结论下，作平分交于点E，若，求的度数．
【答案】（1）解：选择条件①：；
证明：∵，，
∴，
∴，
∴四边形为矩形．
选择条件②：
∵，
∴，
∵，
∴，、
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形．
（2）解：∵四边形为矩形．
∴，，
∵平分
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；矩形的性质；矩形的判定
【解析】【分析】（1）先选择条件，再利用矩形的判定方法（①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形）分析求解即可；
（2）先证出是等边三角形，可得，，利用三角形的内角和及角的运算求出，最后求出即可.
（1）解：选择条件①：；
证明：∵，，
∴，
∴，
∴四边形为矩形．
选择条件②：
∵，
∴，
∵，
∴，、
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为矩形．
（2）∵四边形为矩形．
∴，，
∵平分
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴
24．（2025八下·花都期中）如图，在四边形中，，，点P从点A出发，在射线上以的速度向右运动；点Q从点C同时出发，在线段上以的速度向点B运动．当点Q到达端点B时，点P也停止运动．设点P，Q运动的时间为t秒．
（1） ______， ______；
（2）在点P，Q运动过程中，是否存在t值，使得以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1），
（2）解：存在，连接，
当点P在线段上时，
又要以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
解得，
当点P在的延长线上时，如图所示：
又要以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
解得，
综上所述，t的值为或．
【知识点】平行四边形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；四边形-动点问题
【解析】【解答】（1）解：，
根据题意可知：，，
；
故答案为：，.
【分析】（1）结合图形，利用线段的和差求出AP和BQ的长即可；
（2）分类讨论：①当点P在线段上时，②当点P在的延长线上时，先画出图形，再利用平行四边形的性质列出方程求解即可.
（1）解：，
根据题意可知：，，
；
故答案为：，；
（2）解：存在，连接，
当点P在线段上时，
又要以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
解得，
当点P在的延长线上时，如图所示：
又要以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
解得，
综上所述，t的值为或．
25．（2025八下·花都期中）已知，在平面直角坐标系中，正方形的顶点B，A，分别在x轴和y轴的正半轴上，顶点C的坐标为，且a，b满足：，点D为边上的一个动点，将沿面折，得到．
（1）求出a，b的值；
（2）如图1，若点D为中点，延长交于点F，求的长；
（3）如图2，若，点M为线段上的动点，求的最小值．
【答案】（1）解：，
，
解得：.
（2）解：由（1）得，
，
，
故正方形的边长为4；
连接，
正方形的边长为4，
点D为中点，
，，，
由折叠得：，，，
，，
在和中
，
（），
，
设，
，，
，
，
解得：，
故的长为.
（3）解：过点M作于点N，如图所示：
∵折叠，
∴，
∴，
∴，
当且仅当O、M、N三点共线时取得等号，此时，
连接，
∵，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴的最小值为．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；正方形的性质；绝对值的非负性
【解析】【分析】（1）利用非负数之和为0的性质求出a、b的值即可；
（2）连接，设，则，，利用勾股定理可得，列出方程，最后求出x的值即可；
（3）过点M作于点N，连接，先证出为等边三角形，求出，利用勾股定理求出ON的长，再结合，可得的最小值为．
（1）解：，
，
解得：；
（2）由（1）得，
，
，
故正方形的边长为4；
连接，
正方形的边长为4，
点D为中点，
，，，
由折叠得：，，，
，，
在和中
，
（），
，
设，
，，
，
，
解得：，
故的长为；
（3）过点M作于点N，如图所示：
∵折叠，
∴，
∴，
∴，
当且仅当O、M、N三点共线时取得等号，此时，
连接，
∵，
∴为等边三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
∴的最小值为．
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