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第三章 圆
7 切线长定理
1.了解切线长的定义，理解并掌握切线长定理及其相关结论（重点）.
2.能够利用切线长定理进行有关计算（难点）.
3.在应用切线长定理解题过程中，渗透代数与几何结合解题的思想.
学习目标
回顾切线相关知识
1.切线的定义、性质和判定定理
定义：与圆只有一个公共点的直线
性质：圆的切线垂直于经过切点的半径
判定定理：过半径外端且垂直于该半径的直线是圆的切线
切线长定理的探究
切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
·
O
A
B
P
过圆内一点可作几条切线？过圆上一点？过圆外一点？
这两段切线长，即PA，PB之间有没有存在什么关系呢？
已知： PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点
求证： PA = PB ∠APO=∠BPO
B
A
P
O
切线长定理的探究
从这个证明，我们可以得到什么结论？（线段、角度、弧、四点共圆）
小组讨论：我们还能不能得到一些其他的相等关系
1、过圆外一点所画的圆的两条切线，他们的切线长长相等.
2、圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
3、圆心与这一点的连线平分两切点形成的弧.
4、圆心与这一点的连线垂直平分两切点形成的弦.
切线长定理的探究
切线长定理
常用辅助线的做法：
分别连接圆心和切点；
连接两切点；
连接圆心和圆外一点.
切线长定理的应用
1、如图，四边形ABCD的四条边都与⊙O相切。
（1）图中的线段之间具有哪些等量关系？
（2）证明：AB+CD=BC+AD
从问题（2）的证明我们可以得到什么结论？
E
F
H
G
圆的外切四边形
切线长定理的应用
2、如图，在Rt▲ABC中，∠C=90°，AC=10，BC=24，⊙O是▲ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，求⊙O的半径r。
思考：在一般的三角形中应该如何求内切圆半径呢？
角平分线的交点：三角形的内心
3、▲ABC的内切圆☉O与三边分别切于D、E、F三点，若▲ABC的面积为 S，三边长分别为a、b、c，求内切圆☉O的半径 r。
等面积法求内切圆半径
A
C
B
E
D
F
O
如果是四边形的内切圆，在已知四边形周长以及面积的情况下，能否求出其内切圆半径？
110 °
1、如图，已知以点O为圆心的圆与▲ABC三边相切，且∠ABC= 60 °, ∠ACB= 80 °,则∠BOC= .
A
B
C
O
2、如图，PA、PB是☉O的切线，切点分别为A、B，点C在☉O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是________度．
20
3、△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13，BC=14，CA=9，求AF、BD、CE的长.
A
C
B
E
D
F
O
解：设AF=xcm，则AE=xcm.
∴CE=CD=AC-AE=(9-x)cm，
BF=BD=AB-AF=(13-x)cm.
由 BD+CD=BC，可得
(13-x)+(9-x)=14，
解得 x=4.
4、△ABC的内切圆☉O与三边分别切于D、E、F三点，如图，已知AF=3,BD+CE=12,则△ABC的周长是 .
A
B
C
F
E
D
O
30
课堂小结
切线长定理
切线长：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长.
切线长定理：
过圆外一点所画的圆的两条切线长相等.
三角形内切圆半径的求法.
常用辅助线的做法：
分别连接圆心和切点；
连接两切点；
连接圆心和圆外一点.

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