资源简介

广东省清远市清城区清城中学教育集团 2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
一、单选题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025八下·清城期中）下列图形中，是中心对称图形的是 （　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图形中存在明显的指向性元素，旋转 180° 后元素方向与原图形不一致，无法重合，不是中心对称图形，故A不符合题意 ；B、将图形绕中心旋转 180° 后，各部分能与原图形完全重合，符合中心对称图形的定义，故B符合题意 ；
C、内部的符号旋转 180° 后形态发生改变，与原图形无法重合，不是中心对称图形，故C不符合题意 ；
D、图形的花瓣状结构旋转 180° 后，位置和形态与原图形不匹配，不是中心对称图形，故D不符合题意 ；
故答案为：B。
【分析】根据中心对称图形的定义，将每个选项的图形绕中心旋转 180°，只有 B 选项旋转后能与自身完全重合，因此 B 是中心对称图形。
2．（2025八下·清城期中）在中，，则的长度为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中：
∠C = 90°，∠B = 30°，斜边AB = 6cm；
根据“30°角所对直角边是斜边的一半”，可得：；
故答案为：B。
【分析】在 Rt△ABC 中，利用 “30° 角所对直角边等于斜边的一半” 这一性质，由∠B=30°、AB=6cm，直接计算得出 AC=AB=3cm。
3．（2025八下·清城期中）如图，在等边三角形中，、分别在、上，连接、交于，连接交于点．有下列两个命题：
①如果，那么为中点；
②如果，那么．
对于这两个命题判断正确的是（　　）
A．①②都是真命题； B．①是真命题，②是假命题；
C．①是假命题，②是真命题； D．①②都是假命题．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；反证法；真命题与假命题
【解析】【解答】解：① 证明 “如果 DE∥BC，那么 G 为 DE 中点”
因为△ABC 是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°。
由 DE∥BC，可得∠ADE=∠ABC=60°，∠AED=∠ACB=60°，因此△ADE 为等边三角形，故 AD=AE。
因为 AB=AC，所以 AB AD=AC AE，即 BD=CE。
在△BDC 和△CEB 中：
BD=CE
∠DBC=∠ECB=60°
BC=CB
所以△BDC≌△CEB（SAS），得∠BDO=∠CEO。
在△BDO 和△CEO 中：
∠BDO=∠CEO
∠BOD=∠COE
BD=CE
所以△BDO≌△CEO（AAS），得 OD=OE。
由 OD=OE，可知点 O 在 DE 的垂直平分线上；又 AD=AE，点 A 也在 DE 的垂直平分线上。
两点确定一条直线，因此 AO 就是 DE 的垂直平分线，故 AO 与 DE 的交点 G 是 DE 的中点。
所以命题①为真命题。
② 证明 “如果 AO⊥DE，那么 DE∥BC”
采用反证法：
假设 DE 与 BC 不平行，作 EH∥BC，EH 与 AO 交于点 F，再作 AK⊥EH，垂足为 K，则∠AKF=90°。
已知 AO⊥DE，所以∠AGE=90°。
因为∠AFK 是△AGE 的一个外角，所以∠AFK>∠AGE=90°。
但在 Rt△AKF 中，∠AKF=90°，根据 “直角三角形中直角最大”，应有∠AKF>∠AFK，即 90°>∠AFK，这与∠AFK>90° 矛盾。
因此假设不成立，故 DE∥BC。
所以命题②为真命题。
综上，①②都是真命题；
故答案为：A。
【分析】对于命题①，利用等边三角形及平行线性质证明△ADE 为等边三角形，再通过两次全等证得 OD=OE，结合 AD=AE，得出 AO 垂直平分 DE，故 G 为 DE 中点；对于命题②，采用反证法，假设 DE 与 BC 不平行，通过构造平行线和外角性质推出矛盾，从而证明 DE∥BC，因此①②均为真命题。
4．（2025八下·清城期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，平分，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵垂直平分，
∴，
∴，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】先利用垂直平分线的性质及等边对等角的性质可得，利用角平分线的定义可得，再结合，可得，最后求出即可．
5．（2025八下·清城期中）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，．詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①；②；③．其中正确的结论有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：已知四边形 ABCD 是筝形，满足 AD = CD，AB = CB。
在△ABD 和△CBD 中：
AD = CD（已知）
AB = CB（已知）
DB = DB（公共边）
根据 “SSS” 全等判定定理，可得△ABD △CBD。
因此，结论③是正确的。
由△ABD △CBD，可得∠ADB = ∠CDB。在△AOD 和△COD 中：
AD = CD（已知）
∠ADB = ∠CDB（已证）
OD = OD（公共边）
根据 “SAS” 全等判定定理，可得△AOD △COD。
因此，AO = CO，且∠AOD = ∠COD。
又因为∠AOD + ∠COD = 180°，所以∠AOD = ∠COD = 90°，即 AC ⊥ BD。
因此，结论①和②都是正确的。
综上，①②③三个结论全部正确，正确的结论共 3 个。
故答案为：D。
【分析】先利用 “SSS” 证明△ABD≌△CBD，得到∠ADB=∠CDB，再用 “SAS” 证明△AOD≌△COD，从而推导出 AC⊥BD、AO=CO，因此①②③三个结论都正确。
6．（2025八下·清城期中）函数y=x+2的图象如图所示，当y>0时，x的值是（　　）
A．x<-2 B．x>-2 C．x>2 D．x<2
【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：已知函数为 。
当 时，代入函数得：
解得 ，即函数图象与x轴交于点 。
函数 是一个斜率为正（）的一次函数，y值随x值的增大而增大。
当 时，函数图象位于x轴的上方，对应的函数值 。
因此，当 时，x的取值范围是 。
故答案为：B。
【分析】先求出一次函数 y=x+2 与 x 轴的交点横坐标为 2，再根据函数斜率为正的增减性，得出当y>0时，x的取值范围是x> 2。
7．（2025八下·清城期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式组：
解不等式 ， 得：x≤1，
结合另一个不等式 ，取公共部分，得到不等式组的解集为：
3在数轴上表示解集：
：在 处用空心圆点，向右画线段。
：在 处用实心圆点，向左画线段。
公共部分即为 ，
故答案为：A。
【分析】先解出不等式 2x+4≤6 的解集为 x≤1，再与 x> 3 取公共部分得到 38．（2025八下·清城期中）若，则k的值是（　　）
A．10 B． C． D．14
【答案】B
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：
∴，
解得：，
故选：B．
【分析】
把等号右边利用多项式乘以多项式法则展开，再根据对应系数相等求解．
9．（2025八下·清城期中）如图所示，在和中，已知，，则的理由是（　　）
A．SAS B．AAS C．HL D．ASA
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：在和中，
，
，
故答案为：C．
【分析】图形中隐含了公共边BC=CB，再利用HL可证得结论.
10．（2025八下·清城期中）如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的乘除混合运算；三角形的面积；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理求出BD的长，再利用，可得，最后利用三角形的面积公式及割补法求出四边形的面积即可.
二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）
11．（2025八下·清城期中）若一个等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则其底边上的高为　 　．
【答案】8
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图：，，；
则；
由勾股定理得，．
故答案为：8．
【分析】利用等腰三角形 “三线合一” 的性质，先求出底边一半的长度为 6，再在由腰、底边一半和底边上的高构成的直角三角形中，应用勾股定理计算出底边上的高为 8。
12．（2025八下·清城期中）如图，在中，，，，垂足为点，，垂足为点，，则四边形的面积是　 　．
【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；含30°角的直角三角形；圆的相关概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；多边形的面积
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形的面积是，
故答案为：．
【分析】连接 OC，利用 HL 证明 Rt△CDO≌Rt△CEO，得到∠DCO=∠ECO=30°，再由直角三角形性质和勾股定理求出 OD=4、CD=，最后通过计算 2 倍的△CDO 面积得到四边形 DOEC 的面积为。
13．（2025八下·清城期中）如图，在中，，是的角平分线，于点E，，，则的面积是　 　．
【答案】15
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵是的角平分线，，
∴，
∴，
故答案为：15．
【分析】根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得DE=CD，然后根据三角形面积公式计算即可求解．
14．（2025八下·清城期中）如果关于x的不等式组的所有整数解的和是-7，则m的取值范围是　 　；
【答案】或2＜x≤3
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解①得：x＞ 5，
则不等式组的解集是： 5＜x＜m，
则大于 5的整数最小的是： 4.
设最大的是x.
则 (x＋4＋1)( 4＋x)＝ 7，
解得：x＝2或 3
当x＝ 3时，m的范围是： 3＜m 2；
当x＝2时，m的范围是：2＜m 3.
故答案是： 3＜m 2或2＜m 3.
【分析】先解不等式组得到解集为 515．（2025八下·清城期中）如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置，，，若平移距离为7，则阴影部分面积为　 　．
【答案】56
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质知，，，
，
∵平移，
，
，
故答案为：56．
【分析】由平移的性质知，，，根据边之间的关系可得OE，则，结合梯形面积即可求出答案.
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．（2025八下·清城期中）解不等式：
（1），并把它的解集在数轴上表示出来．
（2）求不等式的正整数解．
【答案】解：（1）去分母得：，
移项合并得：，
解得：，
（2）去括号得：，
移项合并得：，
解得：
正整数解为1，2，3．
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】（1）先去分母、移项合并，将不等式 化为 ，解得 ，并在数轴上用空心圆点在2处向左表示；
（2）先去括号、移项合并，将不等式 化为 ，解得 ，再从中找出正整数解为1、2、3。
17．（2025八下·清城期中）已知如图，在中，，．
（1）作的平分线，交于点；作的中点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接，求证：．
【答案】（1）解：如下图，点D、E即为所求作；
（2）证明：∵，平分，
，
，
∴，
∴，
在和中，
∴.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可.
（2）根据角平分线定义可得∠ABD，根据等角对等边可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（1）解：如下图，点D、E即为所求作；
（2）证明：∵，平分，
，
，
∴，
∴，
在和中，
∴.
18．（2025八下·清城期中）如图，已知，，与交于点M．过点C作，过点B作，与交于点N．
（1）求证：；
（2）已知，求的长．
【答案】（1）证明：在与中，
∵，，，
∴．
（2）解：如图：
由（1）知．
∴．
∵，，
∴，．
∴．
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-SSS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）利用 SSS 判定△ABC≌△DCB；
（2）由全等得∠MBC=∠MCB，再由平行线性质推出∠NCB=∠NBC，从而得到 CN=BN=3。
（1）证明：在与中，
∵，，，
∴．
（2）解：如图：
由（1）知．
∴．
∵，，
∴，．
∴．
∴．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．（2025八下·清城期中）在平面直角坐标系中，，点是轴正半轴上的点，连接，将绕点顺时针旋转至，．连接，直线交轴于点．
（1）如图，当 时，求点坐标；
（2）证明：；
（3）如图，若，，，判断的形状并说明理由．
【答案】（1）解：∵，∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴坐标为，
∴
（2）证明：∵，∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴
（3）解：为等边三角形，理由如下，过作，交轴于点，则，
∵，
∴，
∴，，
在中，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由（）可知，
∴为等边三角形
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及直角三角形的性质等相关知识点的应用能力。解题的关键在于熟练掌握并灵活运用这些几何知识点，通过分析题目条件，选择恰当的定理和性质进行推导证明。
（）因为，所以，可证明，所以，，继而求出点即可；
（）同（）理可证，所以，因为，所以有，所以，，然后通过等腰三角形的判定方法即可求证；
（）添加辅助线，过作，交轴于点，可得，所以，，，由勾股定理得，，又，，所以，，便可证明，最后通过全等三角形的性质等腰三角形的判定方法即可．
（1）解：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴坐标为，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：为等边三角形，理由如下，
过作，交轴于点，则，
∵，
∴，
∴，，
在中，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由（）可知，
∴为等边三角形．
20．（2025八下·清城期中）市园林处为了对一段公路进行绿化，计划购买，两种风景树共900棵．，两种树的相关信息如下表：
品种 项目 单价（元棵） 成活率
80
100
若购买种树棵，购树所需的总费用为元．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）若购树的总费用不超过82 000元，则购种树不少于多少棵？
（3）若希望这批树的成活率不低于，且使购树的总费用最低，应选购，两种树各多少棵？此时最低费用为多少？
【答案】解：（1）
且为整数）；
（2）由题意得：，
解得：，
又因为计划购买，两种风景树共900棵，
所以，
即购种树不少于400．
（3）
随的增大而减小．
当时，购树费用最低为（元．
当时，，
此时应购种树600棵，种树300棵，最低费用为78000元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据总费用=A种树费用+B种树费用，列出函数式 ，化简得 ；
（2）将 代入函数，解得 ，即购A种树不少于400棵；
（3）由成活率不低于94%列不等式 ，解得 ，再根据一次函数 随x增大而减小的性质，得出当 时费用最低，为78000元，此时购B种树300棵。
21．（2025八下·清城期中）如图，已知中，，为上一点，求证：．请将下面的证明过程补充完整，并在相应的括号内注明理由．
证明：如图，过点作于点，交于点．
，．
　　
，（已知）
　　
又，　　，
　　
　　．
【答案】证明：如图，过点作于点，交于点．
，．
，（已知）
等量代换）
又，，
，
垂直定义）．
故答案为：，等量代换，，，垂直定义．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】过点作于点，交于点，根据等腰三角形三线合一性质可得，根据角之间的关系可得，根据三角形内角和定理即可求出答案.
五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22．（2025八下·清城期中）如图，在△ABC中，AC>AB，AD平分∠BAC，点D到点B与点C的距离相等，过点D作DE⊥BC于点E.
（1）求证：BE＝CE；
（2）请直接写出∠ABC，∠ACB，∠ADE三者之间的数量关系；
（3）若∠ACB＝40°，∠ADE＝20°，求∠DCB的度数．
【答案】（1）证明：如图1中，∵DB=DC，DE⊥BC，∴CE=BE（等腰三角形底边上三线合一）．（2）∠ABC－∠ACB＝2∠ADE，（3）解：如图3中，作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N．∵∠DAN=∠DAM，DM⊥AC，DN⊥AB，∴DM=DN，在Rt△DBN和Rt△DCM中，，∴△DBN≌△DCM，∴∠BDN=∠CDM，∴∠CDB=∠MDN，∵∠CAB+∠MDN=180°，∴∠CDB+∠CAB=180°，∵∠ACB=40°，∠ADE=20°，∠ABC-∠ACB=2∠ADE∴∠ABC=80°，∴∠CAB=180°-80°-40°=60°，∴∠CDB=120°，∴∠EDB=∠EDC=60°，∴∠DCB=90°-∠EDC=30°．
（1）证明：如图1中，
∵DB=DC，DE⊥BC，
∴CE=BE（等腰三角形底边上三线合一）．
（2）解：∠ABC－∠ACB＝2∠ADE
（3）解：如图3中，作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N．
∵∠DAN=∠DAM，DM⊥AC，DN⊥AB，
∴DM=DN，
在Rt△DBN和Rt△DCM中，
，
∴△DBN≌△DCM，
∴∠BDN=∠CDM，
∴∠CDB=∠MDN，
∵∠CAB+∠MDN=180°，
∴∠CDB+∠CAB=180°，
∵∠ACB=40°，∠ADE=20°，∠ABC-∠ACB=2∠ADE
∴∠ABC=80°，
∴∠CAB=180°-80°-40°=60°，
∴∠CDB=120°，
∴∠EDB=∠EDC=60°，
∴∠DCB=90°-∠EDC=30°．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】（2）结论：∠ABC-∠ACB=2∠ADE．
理由：如图2中，作BN⊥AD于N，交AC于M．
∵∠BAN=∠MAN，∠BAN+∠ABN=90°，∠MAN+∠AMN=90°，
∴∠ABN=∠AMN，
∵∠DOE=∠BON，∠DEO=∠BNO=90°，
∴∠EDA=∠CBM，
∴∠ABC-∠ACB=∠ABM+∠CBM-∠ACB=∠AMB+∠CBM-∠ACB=∠MCB+∠CBM+∠CBM-∠ACB=2∠CBN=2∠EDA．
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一性质即可求出答案.
（2）作BN⊥AD于N，交AC于M，根据角之间的关系即可求出答案.
（3）作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，根据等边对等角可得DM=DN，根据全等三角形判定定理可得△DBN≌△DCM，则∠BDN=∠CDM，再根据角之间的关系即可求出答案.
23．（2025八下·清城期中）综合与探究
【课本内容】
如图1，连接的顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做的边上的中线．
【尝试应用】
（1）学了这个知识后，小泽遇到这样一个问题：如图2，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．小泽经过思考得到了如下的解决方法：如图2，延长到，使，连接，请你根据这个提示写出证明“”的推理过程，并求出的取值范围．
反思：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题处理】
（2）如图3，已知是中边上的中线，是上的一点，交于点，，求证：；
【拓展提升】
（3）如图4，在等边中，点是边上一定点，点在边上，以为边作等边，连接．请直接写出，，之间的数量关系．
【答案】解：（1）延长到，使，连接，
∵是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）延长至点，使，连接，
同（1）法可得：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）在上截取，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∵等边，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）通过倍长中线法构造△ADC≌△EDB，将 AC 转化为 BE，再利用三角形三边关系求出 AD 的取值范围为 1（2）同样用倍长中线法构造△ADB≌△GDC，将 AB 转化为 CG，结合 AB=CE 推出 CG=CE，再利用等边对等角和对顶角相等证明∠EAF=∠AEF，从而得到 FA=FE；
（3）在 CD 上截取 CH=CE，构造等边△CEH 和全等△DEH≌△FEC，通过等量代换得到 CD=CE+CF。
1 / 1广东省清远市清城区清城中学教育集团 2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题
一、单选题（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025八下·清城期中）下列图形中，是中心对称图形的是 （　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八下·清城期中）在中，，则的长度为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八下·清城期中）如图，在等边三角形中，、分别在、上，连接、交于，连接交于点．有下列两个命题：
①如果，那么为中点；
②如果，那么．
对于这两个命题判断正确的是（　　）
A．①②都是真命题； B．①是真命题，②是假命题；
C．①是假命题，②是真命题； D．①②都是假命题．
4．（2025八下·清城期中）如图，在中，的垂直平分线交于点，垂足为点，平分，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·清城期中）两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，其中，．詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①；②；③．其中正确的结论有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．（2025八下·清城期中）函数y=x+2的图象如图所示，当y>0时，x的值是（　　）
A．x<-2 B．x>-2 C．x>2 D．x<2
7．（2025八下·清城期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025八下·清城期中）若，则k的值是（　　）
A．10 B． C． D．14
9．（2025八下·清城期中）如图所示，在和中，已知，，则的理由是（　　）
A．SAS B．AAS C．HL D．ASA
10．（2025八下·清城期中）如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分）
11．（2025八下·清城期中）若一个等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则其底边上的高为　 　．
12．（2025八下·清城期中）如图，在中，，，，垂足为点，，垂足为点，，则四边形的面积是　 　．
13．（2025八下·清城期中）如图，在中，，是的角平分线，于点E，，，则的面积是　 　．
14．（2025八下·清城期中）如果关于x的不等式组的所有整数解的和是-7，则m的取值范围是　 　；
15．（2025八下·清城期中）如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到点C的方向平移到的位置，，，若平移距离为7，则阴影部分面积为　 　．
三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）
16．（2025八下·清城期中）解不等式：
（1），并把它的解集在数轴上表示出来．
（2）求不等式的正整数解．
17．（2025八下·清城期中）已知如图，在中，，．
（1）作的平分线，交于点；作的中点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连接，求证：．
18．（2025八下·清城期中）如图，已知，，与交于点M．过点C作，过点B作，与交于点N．
（1）求证：；
（2）已知，求的长．
四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分）
19．（2025八下·清城期中）在平面直角坐标系中，，点是轴正半轴上的点，连接，将绕点顺时针旋转至，．连接，直线交轴于点．
（1）如图，当 时，求点坐标；
（2）证明：；
（3）如图，若，，，判断的形状并说明理由．
20．（2025八下·清城期中）市园林处为了对一段公路进行绿化，计划购买，两种风景树共900棵．，两种树的相关信息如下表：
品种 项目 单价（元棵） 成活率
80
100
若购买种树棵，购树所需的总费用为元．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）若购树的总费用不超过82 000元，则购种树不少于多少棵？
（3）若希望这批树的成活率不低于，且使购树的总费用最低，应选购，两种树各多少棵？此时最低费用为多少？
21．（2025八下·清城期中）如图，已知中，，为上一点，求证：．请将下面的证明过程补充完整，并在相应的括号内注明理由．
证明：如图，过点作于点，交于点．
，．
　　
，（已知）
　　
又，　　，
　　
　　．
五、解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22．（2025八下·清城期中）如图，在△ABC中，AC>AB，AD平分∠BAC，点D到点B与点C的距离相等，过点D作DE⊥BC于点E.
（1）求证：BE＝CE；
（2）请直接写出∠ABC，∠ACB，∠ADE三者之间的数量关系；
（3）若∠ACB＝40°，∠ADE＝20°，求∠DCB的度数．
23．（2025八下·清城期中）综合与探究
【课本内容】
如图1，连接的顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做的边上的中线．
【尝试应用】
（1）学了这个知识后，小泽遇到这样一个问题：如图2，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围．小泽经过思考得到了如下的解决方法：如图2，延长到，使，连接，请你根据这个提示写出证明“”的推理过程，并求出的取值范围．
反思：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题处理】
（2）如图3，已知是中边上的中线，是上的一点，交于点，，求证：；
【拓展提升】
（3）如图4，在等边中，点是边上一定点，点在边上，以为边作等边，连接．请直接写出，，之间的数量关系．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、图形中存在明显的指向性元素，旋转 180° 后元素方向与原图形不一致，无法重合，不是中心对称图形，故A不符合题意 ；B、将图形绕中心旋转 180° 后，各部分能与原图形完全重合，符合中心对称图形的定义，故B符合题意 ；
C、内部的符号旋转 180° 后形态发生改变，与原图形无法重合，不是中心对称图形，故C不符合题意 ；
D、图形的花瓣状结构旋转 180° 后，位置和形态与原图形不匹配，不是中心对称图形，故D不符合题意 ；
故答案为：B。
【分析】根据中心对称图形的定义，将每个选项的图形绕中心旋转 180°，只有 B 选项旋转后能与自身完全重合，因此 B 是中心对称图形。
2．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中：
∠C = 90°，∠B = 30°，斜边AB = 6cm；
根据“30°角所对直角边是斜边的一半”，可得：；
故答案为：B。
【分析】在 Rt△ABC 中，利用 “30° 角所对直角边等于斜边的一半” 这一性质，由∠B=30°、AB=6cm，直接计算得出 AC=AB=3cm。
3．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；反证法；真命题与假命题
【解析】【解答】解：① 证明 “如果 DE∥BC，那么 G 为 DE 中点”
因为△ABC 是等边三角形，所以∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°。
由 DE∥BC，可得∠ADE=∠ABC=60°，∠AED=∠ACB=60°，因此△ADE 为等边三角形，故 AD=AE。
因为 AB=AC，所以 AB AD=AC AE，即 BD=CE。
在△BDC 和△CEB 中：
BD=CE
∠DBC=∠ECB=60°
BC=CB
所以△BDC≌△CEB（SAS），得∠BDO=∠CEO。
在△BDO 和△CEO 中：
∠BDO=∠CEO
∠BOD=∠COE
BD=CE
所以△BDO≌△CEO（AAS），得 OD=OE。
由 OD=OE，可知点 O 在 DE 的垂直平分线上；又 AD=AE，点 A 也在 DE 的垂直平分线上。
两点确定一条直线，因此 AO 就是 DE 的垂直平分线，故 AO 与 DE 的交点 G 是 DE 的中点。
所以命题①为真命题。
② 证明 “如果 AO⊥DE，那么 DE∥BC”
采用反证法：
假设 DE 与 BC 不平行，作 EH∥BC，EH 与 AO 交于点 F，再作 AK⊥EH，垂足为 K，则∠AKF=90°。
已知 AO⊥DE，所以∠AGE=90°。
因为∠AFK 是△AGE 的一个外角，所以∠AFK>∠AGE=90°。
但在 Rt△AKF 中，∠AKF=90°，根据 “直角三角形中直角最大”，应有∠AKF>∠AFK，即 90°>∠AFK，这与∠AFK>90° 矛盾。
因此假设不成立，故 DE∥BC。
所以命题②为真命题。
综上，①②都是真命题；
故答案为：A。
【分析】对于命题①，利用等边三角形及平行线性质证明△ADE 为等边三角形，再通过两次全等证得 OD=OE，结合 AD=AE，得出 AO 垂直平分 DE，故 G 为 DE 中点；对于命题②，采用反证法，假设 DE 与 BC 不平行，通过构造平行线和外角性质推出矛盾，从而证明 DE∥BC，因此①②均为真命题。
4．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵垂直平分，
∴，
∴，
又∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：C．
【分析】先利用垂直平分线的性质及等边对等角的性质可得，利用角平分线的定义可得，再结合，可得，最后求出即可．
5．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【解答】解：已知四边形 ABCD 是筝形，满足 AD = CD，AB = CB。
在△ABD 和△CBD 中：
AD = CD（已知）
AB = CB（已知）
DB = DB（公共边）
根据 “SSS” 全等判定定理，可得△ABD △CBD。
因此，结论③是正确的。
由△ABD △CBD，可得∠ADB = ∠CDB。在△AOD 和△COD 中：
AD = CD（已知）
∠ADB = ∠CDB（已证）
OD = OD（公共边）
根据 “SAS” 全等判定定理，可得△AOD △COD。
因此，AO = CO，且∠AOD = ∠COD。
又因为∠AOD + ∠COD = 180°，所以∠AOD = ∠COD = 90°，即 AC ⊥ BD。
因此，结论①和②都是正确的。
综上，①②③三个结论全部正确，正确的结论共 3 个。
故答案为：D。
【分析】先利用 “SSS” 证明△ABD≌△CBD，得到∠ADB=∠CDB，再用 “SAS” 证明△AOD≌△COD，从而推导出 AC⊥BD、AO=CO，因此①②③三个结论都正确。
6．【答案】B
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：已知函数为 。
当 时，代入函数得：
解得 ，即函数图象与x轴交于点 。
函数 是一个斜率为正（）的一次函数，y值随x值的增大而增大。
当 时，函数图象位于x轴的上方，对应的函数值 。
因此，当 时，x的取值范围是 。
故答案为：B。
【分析】先求出一次函数 y=x+2 与 x 轴的交点横坐标为 2，再根据函数斜率为正的增减性，得出当y>0时，x的取值范围是x> 2。
7．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式组：
解不等式 ， 得：x≤1，
结合另一个不等式 ，取公共部分，得到不等式组的解集为：
3在数轴上表示解集：
：在 处用空心圆点，向右画线段。
：在 处用实心圆点，向左画线段。
公共部分即为 ，
故答案为：A。
【分析】先解出不等式 2x+4≤6 的解集为 x≤1，再与 x> 3 取公共部分得到 38．【答案】B
【知识点】已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】解：
∴，
解得：，
故选：B．
【分析】
把等号右边利用多项式乘以多项式法则展开，再根据对应系数相等求解．
9．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：在和中，
，
，
故答案为：C．
【分析】图形中隐含了公共边BC=CB，再利用HL可证得结论.
10．【答案】A
【知识点】二次根式的乘除混合运算；三角形的面积；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，，
∴
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
【分析】先利用勾股定理求出BD的长，再利用，可得，最后利用三角形的面积公式及割补法求出四边形的面积即可.
11．【答案】8
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图：，，；
则；
由勾股定理得，．
故答案为：8．
【分析】利用等腰三角形 “三线合一” 的性质，先求出底边一半的长度为 6，再在由腰、底边一半和底边上的高构成的直角三角形中，应用勾股定理计算出底边上的高为 8。
12．【答案】
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；含30°角的直角三角形；圆的相关概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；多边形的面积
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴四边形的面积是，
故答案为：．
【分析】连接 OC，利用 HL 证明 Rt△CDO≌Rt△CEO，得到∠DCO=∠ECO=30°，再由直角三角形性质和勾股定理求出 OD=4、CD=，最后通过计算 2 倍的△CDO 面积得到四边形 DOEC 的面积为。
13．【答案】15
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵是的角平分线，，
∴，
∴，
故答案为：15．
【分析】根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”可得DE=CD，然后根据三角形面积公式计算即可求解．
14．【答案】或2＜x≤3
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解①得：x＞ 5，
则不等式组的解集是： 5＜x＜m，
则大于 5的整数最小的是： 4.
设最大的是x.
则 (x＋4＋1)( 4＋x)＝ 7，
解得：x＝2或 3
当x＝ 3时，m的范围是： 3＜m 2；
当x＝2时，m的范围是：2＜m 3.
故答案是： 3＜m 2或2＜m 3.
【分析】先解不等式组得到解集为 515．【答案】56
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：由平移的性质知，，，
，
∵平移，
，
，
故答案为：56．
【分析】由平移的性质知，，，根据边之间的关系可得OE，则，结合梯形面积即可求出答案.
16．【答案】解：（1）去分母得：，
移项合并得：，
解得：，
（2）去括号得：，
移项合并得：，
解得：
正整数解为1，2，3．
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式的特殊解；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】（1）先去分母、移项合并，将不等式 化为 ，解得 ，并在数轴上用空心圆点在2处向左表示；
（2）先去括号、移项合并，将不等式 化为 ，解得 ，再从中找出正整数解为1、2、3。
17．【答案】（1）解：如下图，点D、E即为所求作；
（2）证明：∵，平分，
，
，
∴，
∴，
在和中，
∴.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SSS；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据题意作图即可.
（2）根据角平分线定义可得∠ABD，根据等角对等边可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（1）解：如下图，点D、E即为所求作；
（2）证明：∵，平分，
，
，
∴，
∴，
在和中，
∴.
18．【答案】（1）证明：在与中，
∵，，，
∴．
（2）解：如图：
由（1）知．
∴．
∵，，
∴，．
∴．
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；三角形全等的判定-SSS；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）利用 SSS 判定△ABC≌△DCB；
（2）由全等得∠MBC=∠MCB，再由平行线性质推出∠NCB=∠NBC，从而得到 CN=BN=3。
（1）证明：在与中，
∵，，，
∴．
（2）解：如图：
由（1）知．
∴．
∵，，
∴，．
∴．
∴．
19．【答案】（1）解：∵，∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴坐标为，
∴
（2）证明：∵，∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴
（3）解：为等边三角形，理由如下，过作，交轴于点，则，
∵，
∴，
∴，，
在中，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由（）可知，
∴为等边三角形
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及直角三角形的性质等相关知识点的应用能力。解题的关键在于熟练掌握并灵活运用这些几何知识点，通过分析题目条件，选择恰当的定理和性质进行推导证明。
（）因为，所以，可证明，所以，，继而求出点即可；
（）同（）理可证，所以，因为，所以有，所以，，然后通过等腰三角形的判定方法即可求证；
（）添加辅助线，过作，交轴于点，可得，所以，，，由勾股定理得，，又，，所以，，便可证明，最后通过全等三角形的性质等腰三角形的判定方法即可．
（1）解：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴坐标为，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：为等边三角形，理由如下，
过作，交轴于点，则，
∵，
∴，
∴，，
在中，，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
由（）可知，
∴为等边三角形．
20．【答案】解：（1）
且为整数）；
（2）由题意得：，
解得：，
又因为计划购买，两种风景树共900棵，
所以，
即购种树不少于400．
（3）
随的增大而减小．
当时，购树费用最低为（元．
当时，，
此时应购种树600棵，种树300棵，最低费用为78000元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据总费用=A种树费用+B种树费用，列出函数式 ，化简得 ；
（2）将 代入函数，解得 ，即购A种树不少于400棵；
（3）由成活率不低于94%列不等式 ，解得 ，再根据一次函数 随x增大而减小的性质，得出当 时费用最低，为78000元，此时购B种树300棵。
21．【答案】证明：如图，过点作于点，交于点．
，．
，（已知）
等量代换）
又，，
，
垂直定义）．
故答案为：，等量代换，，，垂直定义．
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】过点作于点，交于点，根据等腰三角形三线合一性质可得，根据角之间的关系可得，根据三角形内角和定理即可求出答案.
22．【答案】（1）证明：如图1中，∵DB=DC，DE⊥BC，∴CE=BE（等腰三角形底边上三线合一）．（2）∠ABC－∠ACB＝2∠ADE，（3）解：如图3中，作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N．∵∠DAN=∠DAM，DM⊥AC，DN⊥AB，∴DM=DN，在Rt△DBN和Rt△DCM中，，∴△DBN≌△DCM，∴∠BDN=∠CDM，∴∠CDB=∠MDN，∵∠CAB+∠MDN=180°，∴∠CDB+∠CAB=180°，∵∠ACB=40°，∠ADE=20°，∠ABC-∠ACB=2∠ADE∴∠ABC=80°，∴∠CAB=180°-80°-40°=60°，∴∠CDB=120°，∴∠EDB=∠EDC=60°，∴∠DCB=90°-∠EDC=30°．
（1）证明：如图1中，
∵DB=DC，DE⊥BC，
∴CE=BE（等腰三角形底边上三线合一）．
（2）解：∠ABC－∠ACB＝2∠ADE
（3）解：如图3中，作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N．
∵∠DAN=∠DAM，DM⊥AC，DN⊥AB，
∴DM=DN，
在Rt△DBN和Rt△DCM中，
，
∴△DBN≌△DCM，
∴∠BDN=∠CDM，
∴∠CDB=∠MDN，
∵∠CAB+∠MDN=180°，
∴∠CDB+∠CAB=180°，
∵∠ACB=40°，∠ADE=20°，∠ABC-∠ACB=2∠ADE
∴∠ABC=80°，
∴∠CAB=180°-80°-40°=60°，
∴∠CDB=120°，
∴∠EDB=∠EDC=60°，
∴∠DCB=90°-∠EDC=30°．
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】（2）结论：∠ABC-∠ACB=2∠ADE．
理由：如图2中，作BN⊥AD于N，交AC于M．
∵∠BAN=∠MAN，∠BAN+∠ABN=90°，∠MAN+∠AMN=90°，
∴∠ABN=∠AMN，
∵∠DOE=∠BON，∠DEO=∠BNO=90°，
∴∠EDA=∠CBM，
∴∠ABC-∠ACB=∠ABM+∠CBM-∠ACB=∠AMB+∠CBM-∠ACB=∠MCB+∠CBM+∠CBM-∠ACB=2∠CBN=2∠EDA．
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一性质即可求出答案.
（2）作BN⊥AD于N，交AC于M，根据角之间的关系即可求出答案.
（3）作DM⊥AC于M，DN⊥AB于N，根据等边对等角可得DM=DN，根据全等三角形判定定理可得△DBN≌△DCM，则∠BDN=∠CDM，再根据角之间的关系即可求出答案.
23．【答案】解：（1）延长到，使，连接，
∵是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）延长至点，使，连接，
同（1）法可得：，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）在上截取，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，
∵等边，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）通过倍长中线法构造△ADC≌△EDB，将 AC 转化为 BE，再利用三角形三边关系求出 AD 的取值范围为 1（2）同样用倍长中线法构造△ADB≌△GDC，将 AB 转化为 CG，结合 AB=CE 推出 CG=CE，再利用等边对等角和对顶角相等证明∠EAF=∠AEF，从而得到 FA=FE；
（3）在 CD 上截取 CH=CE，构造等边△CEH 和全等△DEH≌△FEC，通过等量代换得到 CD=CE+CF。
1 / 1

展开更多......

收起↑