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浙江省杭州市拱墅区育才中学2025-2026学年九年级下学期周测数学试卷(3月)
一、选择题(共10小题)
1．（2026九下·杭州月考）某天14：00，我国五个城市的气温如表，其中与北京气温最接近的城市是 (　　)
城市 哈尔滨 北京 广州 武汉 杭州
气温/℃ -20 -8 10 5 0
A．哈尔滨 B．广州 C．武汉 D．杭州
【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法；有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：∵-20<-8<0<5<10，且-8-(-20)=12，0-(-8)=8，
∴与北京气温最接近的城市为杭州，
故答案为：D.
【分析】先根据有理数比较大小，然后求出相邻两个城市的温度差，比较解答即可.
2．（2026九下·杭州月考）榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式.如图是某个构件的截面图，其中AD∥BC，∠ABC=70°，则∠BAD= (　　)
A．70° B．100° C．110° D．130°
【答案】C
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：
故选： C.
【分析】由平行线的性质推出即可求出的度数.
3．（2026九下·杭州月考）舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计局统计中国每年浪费的食物总量折合粮食约499.5亿千克，将4995000000用科学记数法应表示为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故选： D.
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中 n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数.
4．（2026九下·杭州月考）2025年9月3日，中国战略反击体系中的重要组成—东风5C液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象.如图为东风-5C洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（　　）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：东风-5C洲际导弹的三视图为：
所以主视图与俯视图相同，左视图与俯视图和主视图不相同.
故选： B.
【分析】根据简单组合体三视图的画法画出它的三视图即可.
5．（2026九下·杭州月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF 是以原点O为位似中心的位似图形，DF=2AC，点B坐标为 则点E的坐标为(　　)
A． B． C．(-2，1) D．(-1，2)
【答案】D
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征
【解析】【解答】解：
与 的相似比为AC：DF=1：2，
∵点B坐标为
∴点E的坐标为 即(-1，2)，
故选： D.
【分析】由题意得， 与 的相似比为AC：DF=1：2，进而可得答案.
6．（2026九下·杭州月考）我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位所著，名著里有一道关于“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有几 ”其大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板离地5尺，秋千的绳索始终是拉直的，试问绳索有多长.设绳索长为x尺，则x满足的方程为(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元一次方程；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：由题意得，
故选： B.
【分析】根据各边之间的关系，利用勾股定理，可得出关于x的一元二次方程，此题得解.
7．（2026九下·杭州月考）如图，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数与方差均发生变化，关于这两个统计量的变化情况，描述正确的是（　　）.
A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变大 D．平均数变大，方差变小
【答案】A
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数变小，方差变小；
故答案为：A.
【分析】根据平均数和方差的定义，即可得出答案.
方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.
8．（2026九下·杭州月考）如图，CD是△ABC的角平分线.按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边AB相交于点E，与边AC相交于点F；②以点B为圆心，AE长为半径画弧，与边BC相交于点G；③以点G为圆心，EF长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点H；④作射线BH，与CD相交于点M，与边AC相交于点N.则下列结论一定正确的是（　　）
A．∠ABN=∠A B．BN⊥AC C．CM=AD D．BM=BD
【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】如图，
根据尺规作图得：，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴，
∴，，
∴，
∴BM=BD，故Ｄ正确.
∵根据已知不能得，故∠ABN≠∠A，故A错误.
∵，，
又∵无法证明，
∴无法证明，即无法证明BN⊥AC，故Ｂ错误.
∵根据条件无法证明CM=AD，故Ｃ错误.
故答案为：Ｄ.
【分析】根据尺规作图得相等，根据角平分线定义得相等，再根据三角形外角性质得，，进一步推理得，再根据等角对等边即可得BM=BD，而根据已知条件无法得，故∠ABN≠∠A，故A错误，无法证明，即无法证明BN⊥AC，根据条件无法证明CM=AD，故Ｃ错误，即可得答案.
9．（2026九下·杭州月考） 点(x1，y1)， (x2， y2)， (x3， y3)在反比例函数 的图象上， 则下列判断正确的是(　　)
A．若 则 B．若 则
C．若 则 D．若 则
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：反比例函数 中，
反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内 y随x的增大而增大.
若 当 时，则 故A错误；
若 当 时，则 故B错误；
若 当 时，则 得到 故C错误；
若 故D正确.
故选 D.
【分析】根据反比例函数的性质，根据象限内点的坐标特征逐项判断解答即可.
10．（2026九下·杭州月考） 如图1， 在△ABC中， ∠C=90°， BC=4cm， AB= ncm. 动点P ， Q均以1cm/s的速度从点C同时出发，点P沿折线C→B→A向点A运动，点Q沿边CA 向点A运动.当点Q运动到点A时，两点都停止运动.△PCQ的面积S (单位：cm2)与运动时间t (单位：s)的关系如图2所示，则下列正确的是(　　)
A．m=9 B．t=5时， △PCQ为直角三角形
C．n=12 D．t=7.5时， △PCQ面积最大
【答案】C
【知识点】二次函数的最值；三角形的面积；动点问题的函数图象；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：当t=4时，点P与点B重合，如图1，此时BC=CQ=4，
故A选项错误，不符合题意；
t=5时，点P在线段AB上，如图， 为锐角三角形，
故B选项错误，不符合题意；
当点P在AB上时， 函数图象过点(10，10)， 如图3，作 '于点M， 则CQ=10，BP=6，
故C选项正确，符合题意.
由函数图象可得：当点P在AB上时，如图3， 有最大值.
由题意得：CQ=tcm，则AP=4+12-t=(16-t)cm，
∴当t=8时， 面积最大，故D选项错误，不符合题意.
故选： C.
【分析】根据所给函数图象上的关键点(4，m)判断出此时点P的位置，即可求得m的值；进而得到当t=5时，点P的位置，画出图形，即可判断的形状；根据函数图象过点(10，10)，求得此时 的高，进而根据 的正弦值可得AB的长；易得当点P在AB上时， 有最大值，分别表示出此时CQ的长和CQ边上的高，进而得到用t表示的S，根据二次函数的性质可得当t=8时， 面积最大.
二、填空题(共6小题)
11．（2026九下·杭州月考）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】先提取公因式，然后根据平方差公式分解因式解答．
12．（2026九下·杭州月考）不等式组的解集为　 　．
【答案】-2【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得，x>-2，
解不等式②得，x<1，
所以不等式组的解集为：-2故答案为：-2【分析】先解两个不等式求出解集，然后得到公共解集解答即可.
13．（2026九下·杭州月考）如图，⊙O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB =∠FOB = 23.5°.夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点 F处的太阳高度角∠IFH(即平行于GD的光线HF与⊙O 的切线FI所成的锐角)的大小为　 　°.
【答案】43
【知识点】平行线的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：∵∠DOB=∠FOB=23.5°
∴∠DOF=∠DOB+∠FOB=47°
∵GD∥HF
∴∠OFH=180°-∠DOF=133°
∵FI是⊙O 的切线
∴OF⊥FI
∴∠OFI=90°
∴∠IFH=133°-90°=43°
故答案为： 43
【分析】根据角之间的关系可得∠DOF=∠DOB+∠FOB=47°，再根据直线平行性质可得∠OFH=180°-∠DOF=133°，根据切线性质可得OF⊥FI，即∠OFI=90°，再根据角之间的关系即可求出答案.
14．（2026九下·杭州月考）如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称这个三位数为“平稳数”，用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为　 　．
【答案】
【知识点】概率公式；用列举法求概率
【解析】【解答】解：依题意，用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，
可能结果有123，132，213，231，312，321，共六种可能，
只有123，321是“平稳数”，
∴恰好是“平稳数”的概率为．
故答案为：．
【分析】直接列举出所有等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
15．（2026九下·杭州月考）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律(如图)，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了(a+b)"(n=0， 1， 2， 3， 4， …)的展开式的系数规律(按a的次数由大到小的顺序).请依据上述规律，写出展开式中第三项的系数是　 　．
【答案】10
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：由题知， 展开式中各项的系数依次为1，5，10，10， 5， 1，
所以 展开式中第三项的系数是10.
故答案为：10.
【分析】根据题意，得出“杨辉三角”中数是其肩上的两数之和(最外侧的数除外)，据此可解决问题.
16．（2026九下·杭州月考）如图，在平行四边形ABCD中，E 为对角线AC上一点，AE=CE，将△BCE沿 BE折叠，点 C的对应点F刚好落在AD边上，则△ABF与平行四边形ABCD的面积之比为　 　。
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，
设，则，
由折叠的性质可得，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：.
【分析】设，则，由折叠的性质可得，利用平行四边形的性质可得，进而证得，再通过相似三角形的性质求得，即可表示出，利用平行线的性质可得，然后求得△ABF与平行四边形ABCD的面积之比.
三、解答题(共10小题)
17．（2026九下·杭州月考）
（1） 计算： ．
（2）先化简，再求值： 其中a=2．
【答案】（1）解：
（2）解：
当a=2时，
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）分别计算负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值和算术平方根，再进行加减运算；
（2）先对括号内的式子进行通分，再将除法转化为乘法，最后进行约分，化简后将(a=2代入求值.
18．（2026九下·杭州月考） 解方程：
（1）
（2）．
【答案】（1）解：
因式分解，得：
(2x-3)(x-2)=0
解得：
2x-3=0或x-2=0
或x2=2；
（2）解：方程两边同时乘以(x-2)，得：(x-1)+(x-2)=1
去括号得：x-1+x-2=1
移项得：x+x=1+1+2
合并同类项得：2x=4
系数化为1得：x=2
经检验，当x=2时，x-2=0，所以x=2是增根，
原分式方程无解.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解分式方程
【解析】【分析】（1）把方程左边分解得到(2x-3)(x-2)=0，原方程化为2x-3=0或x-2=0，然后解两个一次方程即可；
（2）先通过去分母将分式方程化为整式方程，再求解整式方程，最后需要检验所得的根是否为增根.
19．（2026九下·杭州月考） 如图，在△ABC中，AB=AC，点O为BC中点，点D在边AB上，连接OD.
（1）如图1，若OD⊥AB，OE⊥AC于点E，求证：OE=OD；
（2）如图2，已知∠BAC=90°，AB=4，AD=1. 若点F在边AC上，OF=OD，求AF的长.
【答案】（1）证明：如图1，连接 OA，
∵AB=AC， 点O为BC中点，
∴AO平分∠BAC
∵OD⊥AB， OE⊥AC，
∴OE=OD
（2）解：接OA，过点O作OG⊥AB于点G，OH⊥AC于点H，
则∠OGB=∠OGA=∠OHC=∠OHA = 90°，
∵AB=AC=4，∠BAC=90°，
点O为BC中点，
∴∠B=∠C=45°，OA平分∠BAC，
OA=BC=OB=OC，
∴OG=OH，AH=CH=AC=2，
AG=BG=AB=2，
∴AH = AG，
∵AD =1，
∴DG=AG-AD =1，
分两种情况：
①点F在线段AH上时，
在Rt△OHF和Rt△OGD中
，
∴Rt△OHF≌Rt△OGD(HL)，
∴FH= DG =1，
∴AF=AH-FH=1；
②点F在线段CH上时，
同理可证：Rt△OHF≌Rt△OGD(HL)
∴FH=DG=1，
∴AF=AH+FH=2+1=3；
综上所述，AF的长为1或3
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰直角三角形；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】 (1) 根据等腰三角形三线合一的性质及角平分线定理的逆定理即可得证；
（2）连接OA，过点O作OG⊥AB于点G，OH⊥AC于点H，由等腰直角三角形的性质得∠B=∠C=45°，再由等腰三角形三线合一的性质，得出AH=AG，及DG的长度，再分两种情况，①点F在线段AH上时，通过HL证明Rt△OHF≌Rt△OGD，得FH=DG=1，则可得出AF的长度；②点F在线段CH上时，同理①可得出AF的长度；即可得出结论.
20．（2026九下·杭州月考）某校随机抽取50位学生测试劳动素养，并将测试结果分别绘制成如图所示的扇形统计图和未完成的频数分布直方图(每组不含前一个边界值，含后一个边界值).已知测试综合得分大于 70分的学生劳动素养为优良．
（1）补全频数分布直方图．
（2）该校共有1000名学生，估计劳动素养为优良的人数．
【答案】（1）解：80 ~90的频数为：=50-1-13-20=16，
补全频数分布直方图如下：
（2）解： )(人)，
答：估计劳动素养为优良的人数为980人.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】(1)根据各组频数之和等于样本容量即可求出80 ~90的值，即可补全频数分布直方图；
(2)根据样本估计总体进行计算即可.
21．（2026九下·杭州月考）跟华罗庚学猜数：
我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．
你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗 请按照下面的方法试一试：①又∵1000<59319<1000000，
∴能确定 59319的立方根是个两位数．
②59319的个位数是9， 又∵，能确定 59319 的立方根的个位数是9．
③若划去59319后面的三位319得到数59，而 可得 由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．
（1）现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空：
①它的立方根是　 　位数；
②它的立方根的个位数字是　 　；
③19683 的立方根是　 　 ．
（2）求110592的立方根．(过程可按题目中的步骤写)
【答案】（1）两；7；27
（2）解：
∴能确定110592的立方根是个两位数.
②19683的个位数是2，
能确定110592的立方根的个位数是8.
③若划去110592后面的三位592得到数110，
而
则
由此确定110592的立方根的十位数是4，
因此110592的立方根是48.
【知识点】无理数的估值；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：
∵1000 <19683<1000000，
∴能确定19683的立方根是个两位数.
②19683的个位数是3，
能确定59319的立方根的个位数是7.
③若划去19683后面的三位683得到数19，
而
则
由此确定19683的立方根的十位数是2，
因此19683的立方根是27.
故答案为： ①两； ②7； ③27；
【分析】(1)利用题干中的方法分步解答即可；
(2)利用题干中的方法分步解答即可.
22．（2026九下·杭州月考） 如图， 在矩形ABCD中， 点E在AD边上(不与点A， D重合)， 连接BE， CE．
（1）若点E是AD边的中点.求证：BE=CE．
（2）设 ．
①求证： ．
②若 求k的值．
【答案】（1）证明： ∵矩形ABCD，
∵点E是AD边的中点，
在 和 中，
（2）①证明：∵矩形ABCD中， 点E在AD边上， α， ∠CED=β，
②过C作 于H，如图：
设AE=m，则AB=2m，
中，
中，
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)根据矩形的性质，利用SAS证明 即可证；
(2)①根据三角函数定义， 把tanα、tanβ用线段比表示，化简即可得证；
②过C作于H，AE=m，则AB=2m，用m的代数式表示BE、BC、DE的长度，即可得到 的值，即k的值.
23．（2026九下·杭州月考）在平面直角坐标系中，抛物线 过点(1，0)， (-2，-3)．
（1）请用含a的代数式表示b．
（2）若该抛物线关于y轴对称后的图象经过点(3，0)，求该抛物线的函数表达式．
（3）当1【答案】（1）解：∵抛物线 (a≠0)过点(1，0)，((-2，-3)，
解得
（2）解：∵该抛物线关于 y轴对称后的图象经过(3，0)，
∴对称前，该抛物线经过点(-3，0)，
∴设y=a(x+3)(x-1).
∵抛物线 过点(-2，-3)，
解得a=1，
∴该抛物线的函数表达式为.y=
（3）由(1)得b=a+1，c=-2a-1，
设
∴抛物线的对称轴为直线
当a>0时，如图(1)，
当1∴当x=3时， 即9a+
解得
当a<0时，如图(2)，
当1∴当x=1时，
即 恒成立，
∴当 或a<0时，y【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的对称变换；利用一般式求二次函数解析式；利用交点式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)将两个点的坐标代入函数关系式，解之即可；
(2)先求出对称前该抛物线经过点(-3，0)，再设抛物线的关系式为y=a(x+3)(x-1)，然后将点(-2，-3)代入可得答案；
(3)由(1)可得 2a-1，进而得出 ax-2a-1，得到抛物线的对称轴，再分两种情况：当a>0时，当124．（2026九下·杭州月考）如图，已知AE是⊙O的直径，D是⊙O上一点.过D作直线DB与AE的延长线交于B点.过点A作AC⊥BD于C点， 连结AD、DE， 且∠AED=∠ADC．
（1） 求证： 直线BC 是⊙O 的切线；
（2） 若求DE与BD的长度；
（3） 在 (2) 的条件下， 若F为 上的一动点，且F 在直线AB 上方，连结AF 、DF 、EF．当四边形ADEF 面积最大时，求DF 的长度．
【答案】（1）证明： 连接OD， 则OD=OE，
∵AE是⊙O的直径，
∵OD是⊙O的半径；
∴直线BC是⊙O的切线；
（2）解： D，
解得BD=0(舍去)或
（3）解：当四边形ADEF面积最大时， 面积最大，点F到AE的距离最大，点F是 的中点，
过A作 于G， EH⊥DF于H，
与 是等腰直角三角形，
∴四边形ADEF的面积
【知识点】切线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)连接OD， 可得∠ODE =∠OED， ∠ODE=∠ADC， 由直径性质， 得∠ADE = 90°， 可得∠ODC = 90°， 即得证明结论；
(2)证明∠CAD=∠DAE， 得tan∠CAD=tan∠ 得 可得DE=6， 证明△BDE∽△BAD， 得 BD，由 求出BD长即可；
(3)当四边形ADEF面积最大时，△AEF面积最大，点F是AE的中点， 可得AF = EF， 得到∠AEF =∠EAF =45°，根据等腰直角三角形的判定和性质以及三角形的面积公式即可得到结论.
1 / 1浙江省杭州市拱墅区育才中学2025-2026学年九年级下学期周测数学试卷(3月)
一、选择题(共10小题)
1．（2026九下·杭州月考）某天14：00，我国五个城市的气温如表，其中与北京气温最接近的城市是 (　　)
城市 哈尔滨 北京 广州 武汉 杭州
气温/℃ -20 -8 10 5 0
A．哈尔滨 B．广州 C．武汉 D．杭州
2．（2026九下·杭州月考）榫卯结构是两个构件采取凹凸结合的连接方式.如图是某个构件的截面图，其中AD∥BC，∠ABC=70°，则∠BAD= (　　)
A．70° B．100° C．110° D．130°
3．（2026九下·杭州月考）舌尖上的浪费让人触目惊心，据统计局统计中国每年浪费的食物总量折合粮食约499.5亿千克，将4995000000用科学记数法应表示为(　　)
A． B．
C． D．
4．（2026九下·杭州月考）2025年9月3日，中国战略反击体系中的重要组成—东风5C液体洲际战略核导弹亮相纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式，一句“打击范围覆盖全球”给所有人都留下了极为深刻的印象.如图为东风-5C洲际导弹的部分图片及其示意图，关于它的三视图，下列说法正确的是（　　）
A．主视图与左视图相同 B．主视图与俯视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都不相同
5．（2026九下·杭州月考）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF 是以原点O为位似中心的位似图形，DF=2AC，点B坐标为 则点E的坐标为(　　)
A． B． C．(-2，1) D．(-1，2)
6．（2026九下·杭州月考）我国古代数学名著《算法统宗》是明代数学家程大位所著，名著里有一道关于“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地.送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算出索长有几 ”其大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺(水平距离)时，秋千的踏板离地5尺，秋千的绳索始终是拉直的，试问绳索有多长.设绳索长为x尺，则x满足的方程为(　　)
A． B．
C． D．
7．（2026九下·杭州月考）如图，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数与方差均发生变化，关于这两个统计量的变化情况，描述正确的是（　　）.
A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大
C．平均数变大，方差变大 D．平均数变大，方差变小
8．（2026九下·杭州月考）如图，CD是△ABC的角平分线.按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边AB相交于点E，与边AC相交于点F；②以点B为圆心，AE长为半径画弧，与边BC相交于点G；③以点G为圆心，EF长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点H；④作射线BH，与CD相交于点M，与边AC相交于点N.则下列结论一定正确的是（　　）
A．∠ABN=∠A B．BN⊥AC C．CM=AD D．BM=BD
9．（2026九下·杭州月考） 点(x1，y1)， (x2， y2)， (x3， y3)在反比例函数 的图象上， 则下列判断正确的是(　　)
A．若 则 B．若 则
C．若 则 D．若 则
10．（2026九下·杭州月考） 如图1， 在△ABC中， ∠C=90°， BC=4cm， AB= ncm. 动点P ， Q均以1cm/s的速度从点C同时出发，点P沿折线C→B→A向点A运动，点Q沿边CA 向点A运动.当点Q运动到点A时，两点都停止运动.△PCQ的面积S (单位：cm2)与运动时间t (单位：s)的关系如图2所示，则下列正确的是(　　)
A．m=9 B．t=5时， △PCQ为直角三角形
C．n=12 D．t=7.5时， △PCQ面积最大
二、填空题(共6小题)
11．（2026九下·杭州月考）因式分解：　 　．
12．（2026九下·杭州月考）不等式组的解集为　 　．
13．（2026九下·杭州月考）如图，⊙O是地球的示意图，其中AB表示赤道，CD，EF分别表示北回归线和南回归线，∠DOB =∠FOB = 23.5°.夏至日正午时，太阳光线GD所在直线经过地心O，此时点 F处的太阳高度角∠IFH(即平行于GD的光线HF与⊙O 的切线FI所成的锐角)的大小为　 　°.
14．（2026九下·杭州月考）如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称这个三位数为“平稳数”，用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为　 　．
15．（2026九下·杭州月考）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方的展开式各系数规律(如图)，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了(a+b)"(n=0， 1， 2， 3， 4， …)的展开式的系数规律(按a的次数由大到小的顺序).请依据上述规律，写出展开式中第三项的系数是　 　．
16．（2026九下·杭州月考）如图，在平行四边形ABCD中，E 为对角线AC上一点，AE=CE，将△BCE沿 BE折叠，点 C的对应点F刚好落在AD边上，则△ABF与平行四边形ABCD的面积之比为　 　。
三、解答题(共10小题)
17．（2026九下·杭州月考）
（1） 计算： ．
（2）先化简，再求值： 其中a=2．
18．（2026九下·杭州月考） 解方程：
（1）
（2）．
19．（2026九下·杭州月考） 如图，在△ABC中，AB=AC，点O为BC中点，点D在边AB上，连接OD.
（1）如图1，若OD⊥AB，OE⊥AC于点E，求证：OE=OD；
（2）如图2，已知∠BAC=90°，AB=4，AD=1. 若点F在边AC上，OF=OD，求AF的长.
20．（2026九下·杭州月考）某校随机抽取50位学生测试劳动素养，并将测试结果分别绘制成如图所示的扇形统计图和未完成的频数分布直方图(每组不含前一个边界值，含后一个边界值).已知测试综合得分大于 70分的学生劳动素养为优良．
（1）补全频数分布直方图．
（2）该校共有1000名学生，估计劳动素养为优良的人数．
21．（2026九下·杭州月考）跟华罗庚学猜数：
我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．
你知道华罗庚是怎样迅速准确地计算出来的吗 请按照下面的方法试一试：①又∵1000<59319<1000000，
∴能确定 59319的立方根是个两位数．
②59319的个位数是9， 又∵，能确定 59319 的立方根的个位数是9．
③若划去59319后面的三位319得到数59，而 可得 由此确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．
（1）现在换一个数19683，按这种方法求立方根，请完成下列填空：
①它的立方根是　 　位数；
②它的立方根的个位数字是　 　；
③19683 的立方根是　 　 ．
（2）求110592的立方根．(过程可按题目中的步骤写)
22．（2026九下·杭州月考） 如图， 在矩形ABCD中， 点E在AD边上(不与点A， D重合)， 连接BE， CE．
（1）若点E是AD边的中点.求证：BE=CE．
（2）设 ．
①求证： ．
②若 求k的值．
23．（2026九下·杭州月考）在平面直角坐标系中，抛物线 过点(1，0)， (-2，-3)．
（1）请用含a的代数式表示b．
（2）若该抛物线关于y轴对称后的图象经过点(3，0)，求该抛物线的函数表达式．
（3）当124．（2026九下·杭州月考）如图，已知AE是⊙O的直径，D是⊙O上一点.过D作直线DB与AE的延长线交于B点.过点A作AC⊥BD于C点， 连结AD、DE， 且∠AED=∠ADC．
（1） 求证： 直线BC 是⊙O 的切线；
（2） 若求DE与BD的长度；
（3） 在 (2) 的条件下， 若F为 上的一动点，且F 在直线AB 上方，连结AF 、DF 、EF．当四边形ADEF 面积最大时，求DF 的长度．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法；有理数减法的实际应用
【解析】【解答】解：∵-20<-8<0<5<10，且-8-(-20)=12，0-(-8)=8，
∴与北京气温最接近的城市为杭州，
故答案为：D.
【分析】先根据有理数比较大小，然后求出相邻两个城市的温度差，比较解答即可.
2．【答案】C
【知识点】两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：
故选： C.
【分析】由平行线的性质推出即可求出的度数.
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：
故选： D.
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中 n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数.
4．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：东风-5C洲际导弹的三视图为：
所以主视图与俯视图相同，左视图与俯视图和主视图不相同.
故选： B.
【分析】根据简单组合体三视图的画法画出它的三视图即可.
5．【答案】D
【知识点】图形位似变换的点的坐标特征
【解析】【解答】解：
与 的相似比为AC：DF=1：2，
∵点B坐标为
∴点E的坐标为 即(-1，2)，
故选： D.
【分析】由题意得， 与 的相似比为AC：DF=1：2，进而可得答案.
6．【答案】B
【知识点】列一元一次方程；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：由题意得，
故选： B.
【分析】根据各边之间的关系，利用勾股定理，可得出关于x的一元二次方程，此题得解.
7．【答案】A
【知识点】方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数变小，方差变小；
故答案为：A.
【分析】根据平均数和方差的定义，即可得出答案.
方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.
8．【答案】D
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】如图，
根据尺规作图得：，
∵CD是△ABC的角平分线，
∴，
∴，，
∴，
∴BM=BD，故Ｄ正确.
∵根据已知不能得，故∠ABN≠∠A，故A错误.
∵，，
又∵无法证明，
∴无法证明，即无法证明BN⊥AC，故Ｂ错误.
∵根据条件无法证明CM=AD，故Ｃ错误.
故答案为：Ｄ.
【分析】根据尺规作图得相等，根据角平分线定义得相等，再根据三角形外角性质得，，进一步推理得，再根据等角对等边即可得BM=BD，而根据已知条件无法得，故∠ABN≠∠A，故A错误，无法证明，即无法证明BN⊥AC，根据条件无法证明CM=AD，故Ｃ错误，即可得答案.
9．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：反比例函数 中，
反比例函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内 y随x的增大而增大.
若 当 时，则 故A错误；
若 当 时，则 故B错误；
若 当 时，则 得到 故C错误；
若 故D正确.
故选 D.
【分析】根据反比例函数的性质，根据象限内点的坐标特征逐项判断解答即可.
10．【答案】C
【知识点】二次函数的最值；三角形的面积；动点问题的函数图象；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：当t=4时，点P与点B重合，如图1，此时BC=CQ=4，
故A选项错误，不符合题意；
t=5时，点P在线段AB上，如图， 为锐角三角形，
故B选项错误，不符合题意；
当点P在AB上时， 函数图象过点(10，10)， 如图3，作 '于点M， 则CQ=10，BP=6，
故C选项正确，符合题意.
由函数图象可得：当点P在AB上时，如图3， 有最大值.
由题意得：CQ=tcm，则AP=4+12-t=(16-t)cm，
∴当t=8时， 面积最大，故D选项错误，不符合题意.
故选： C.
【分析】根据所给函数图象上的关键点(4，m)判断出此时点P的位置，即可求得m的值；进而得到当t=5时，点P的位置，画出图形，即可判断的形状；根据函数图象过点(10，10)，求得此时 的高，进而根据 的正弦值可得AB的长；易得当点P在AB上时， 有最大值，分别表示出此时CQ的长和CQ边上的高，进而得到用t表示的S，根据二次函数的性质可得当t=8时， 面积最大.
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】先提取公因式，然后根据平方差公式分解因式解答．
12．【答案】-2【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得，x>-2，
解不等式②得，x<1，
所以不等式组的解集为：-2故答案为：-2【分析】先解两个不等式求出解集，然后得到公共解集解答即可.
13．【答案】43
【知识点】平行线的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：∵∠DOB=∠FOB=23.5°
∴∠DOF=∠DOB+∠FOB=47°
∵GD∥HF
∴∠OFH=180°-∠DOF=133°
∵FI是⊙O 的切线
∴OF⊥FI
∴∠OFI=90°
∴∠IFH=133°-90°=43°
故答案为： 43
【分析】根据角之间的关系可得∠DOF=∠DOB+∠FOB=47°，再根据直线平行性质可得∠OFH=180°-∠DOF=133°，根据切线性质可得OF⊥FI，即∠OFI=90°，再根据角之间的关系即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】概率公式；用列举法求概率
【解析】【解答】解：依题意，用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，
可能结果有123，132，213，231，312，321，共六种可能，
只有123，321是“平稳数”，
∴恰好是“平稳数”的概率为．
故答案为：．
【分析】直接列举出所有等可能结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算即可．
15．【答案】10
【知识点】多项式乘多项式；探索数与式的规律；探索规律-数阵类规律
【解析】【解答】解：由题知， 展开式中各项的系数依次为1，5，10，10， 5， 1，
所以 展开式中第三项的系数是10.
故答案为：10.
【分析】根据题意，得出“杨辉三角”中数是其肩上的两数之和(最外侧的数除外)，据此可解决问题.
16．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，
设，则，
由折叠的性质可得，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
.
故答案为：.
【分析】设，则，由折叠的性质可得，利用平行四边形的性质可得，进而证得，再通过相似三角形的性质求得，即可表示出，利用平行线的性质可得，然后求得△ABF与平行四边形ABCD的面积之比.
17．【答案】（1）解：
（2）解：
当a=2时，
【知识点】负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）分别计算负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值和算术平方根，再进行加减运算；
（2）先对括号内的式子进行通分，再将除法转化为乘法，最后进行约分，化简后将(a=2代入求值.
18．【答案】（1）解：
因式分解，得：
(2x-3)(x-2)=0
解得：
2x-3=0或x-2=0
或x2=2；
（2）解：方程两边同时乘以(x-2)，得：(x-1)+(x-2)=1
去括号得：x-1+x-2=1
移项得：x+x=1+1+2
合并同类项得：2x=4
系数化为1得：x=2
经检验，当x=2时，x-2=0，所以x=2是增根，
原分式方程无解.
【知识点】因式分解法解一元二次方程；解分式方程
【解析】【分析】（1）把方程左边分解得到(2x-3)(x-2)=0，原方程化为2x-3=0或x-2=0，然后解两个一次方程即可；
（2）先通过去分母将分式方程化为整式方程，再求解整式方程，最后需要检验所得的根是否为增根.
19．【答案】（1）证明：如图1，连接 OA，
∵AB=AC， 点O为BC中点，
∴AO平分∠BAC
∵OD⊥AB， OE⊥AC，
∴OE=OD
（2）解：接OA，过点O作OG⊥AB于点G，OH⊥AC于点H，
则∠OGB=∠OGA=∠OHC=∠OHA = 90°，
∵AB=AC=4，∠BAC=90°，
点O为BC中点，
∴∠B=∠C=45°，OA平分∠BAC，
OA=BC=OB=OC，
∴OG=OH，AH=CH=AC=2，
AG=BG=AB=2，
∴AH = AG，
∵AD =1，
∴DG=AG-AD =1，
分两种情况：
①点F在线段AH上时，
在Rt△OHF和Rt△OGD中
，
∴Rt△OHF≌Rt△OGD(HL)，
∴FH= DG =1，
∴AF=AH-FH=1；
②点F在线段CH上时，
同理可证：Rt△OHF≌Rt△OGD(HL)
∴FH=DG=1，
∴AF=AH+FH=2+1=3；
综上所述，AF的长为1或3
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰直角三角形；全等三角形中对应边的关系；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】 (1) 根据等腰三角形三线合一的性质及角平分线定理的逆定理即可得证；
（2）连接OA，过点O作OG⊥AB于点G，OH⊥AC于点H，由等腰直角三角形的性质得∠B=∠C=45°，再由等腰三角形三线合一的性质，得出AH=AG，及DG的长度，再分两种情况，①点F在线段AH上时，通过HL证明Rt△OHF≌Rt△OGD，得FH=DG=1，则可得出AF的长度；②点F在线段CH上时，同理①可得出AF的长度；即可得出结论.
20．【答案】（1）解：80 ~90的频数为：=50-1-13-20=16，
补全频数分布直方图如下：
（2）解： )(人)，
答：估计劳动素养为优良的人数为980人.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】(1)根据各组频数之和等于样本容量即可求出80 ~90的值，即可补全频数分布直方图；
(2)根据样本估计总体进行计算即可.
21．【答案】（1）两；7；27
（2）解：
∴能确定110592的立方根是个两位数.
②19683的个位数是2，
能确定110592的立方根的个位数是8.
③若划去110592后面的三位592得到数110，
而
则
由此确定110592的立方根的十位数是4，
因此110592的立方根是48.
【知识点】无理数的估值；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：
∵1000 <19683<1000000，
∴能确定19683的立方根是个两位数.
②19683的个位数是3，
能确定59319的立方根的个位数是7.
③若划去19683后面的三位683得到数19，
而
则
由此确定19683的立方根的十位数是2，
因此19683的立方根是27.
故答案为： ①两； ②7； ③27；
【分析】(1)利用题干中的方法分步解答即可；
(2)利用题干中的方法分步解答即可.
22．【答案】（1）证明： ∵矩形ABCD，
∵点E是AD边的中点，
在 和 中，
（2）①证明：∵矩形ABCD中， 点E在AD边上， α， ∠CED=β，
②过C作 于H，如图：
设AE=m，则AB=2m，
中，
中，
【知识点】矩形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)根据矩形的性质，利用SAS证明 即可证；
(2)①根据三角函数定义， 把tanα、tanβ用线段比表示，化简即可得证；
②过C作于H，AE=m，则AB=2m，用m的代数式表示BE、BC、DE的长度，即可得到 的值，即k的值.
23．【答案】（1）解：∵抛物线 (a≠0)过点(1，0)，((-2，-3)，
解得
（2）解：∵该抛物线关于 y轴对称后的图象经过(3，0)，
∴对称前，该抛物线经过点(-3，0)，
∴设y=a(x+3)(x-1).
∵抛物线 过点(-2，-3)，
解得a=1，
∴该抛物线的函数表达式为.y=
（3）由(1)得b=a+1，c=-2a-1，
设
∴抛物线的对称轴为直线
当a>0时，如图(1)，
当1∴当x=3时， 即9a+
解得
当a<0时，如图(2)，
当1∴当x=1时，
即 恒成立，
∴当 或a<0时，y【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数图象的对称变换；利用一般式求二次函数解析式；利用交点式求二次函数解析式
【解析】【分析】(1)将两个点的坐标代入函数关系式，解之即可；
(2)先求出对称前该抛物线经过点(-3，0)，再设抛物线的关系式为y=a(x+3)(x-1)，然后将点(-2，-3)代入可得答案；
(3)由(1)可得 2a-1，进而得出 ax-2a-1，得到抛物线的对称轴，再分两种情况：当a>0时，当124．【答案】（1）证明： 连接OD， 则OD=OE，
∵AE是⊙O的直径，
∵OD是⊙O的半径；
∴直线BC是⊙O的切线；
（2）解： D，
解得BD=0(舍去)或
（3）解：当四边形ADEF面积最大时， 面积最大，点F到AE的距离最大，点F是 的中点，
过A作 于G， EH⊥DF于H，
与 是等腰直角三角形，
∴四边形ADEF的面积
【知识点】切线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】(1)连接OD， 可得∠ODE =∠OED， ∠ODE=∠ADC， 由直径性质， 得∠ADE = 90°， 可得∠ODC = 90°， 即得证明结论；
(2)证明∠CAD=∠DAE， 得tan∠CAD=tan∠ 得 可得DE=6， 证明△BDE∽△BAD， 得 BD，由 求出BD长即可；
(3)当四边形ADEF面积最大时，△AEF面积最大，点F是AE的中点， 可得AF = EF， 得到∠AEF =∠EAF =45°，根据等腰直角三角形的判定和性质以及三角形的面积公式即可得到结论.
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