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河南省天立教育2027届高二年级阶段教学质量监测（一）
数学试卷
本试题卷共4页，四大题，19小题，满分150分。考试时间120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
已知曲线在点处的切线与抛物线相切，则
A．18 B．16 C．12 D．8
已知函数与其导函数的图象如图所示，则
A．曲线为函数的图象 B．
C．在单调递增 D．在单调递减
若，则
A． B． C． D．
已知三次函数，若不等式的解集为，则m的值为
A．0 B．1 C．2 D．4
已知函数在区间上单调递减，则实数a的最小值为
A． B． C． D．e
已知函数是函数的极值点，下列结论中正确的是
A． B． C． D．
过作函数的切线恰好能作两条，则实数a的取值范围为
A． B．
C． D．
已知函数的导函数为，若存在使得，则称是的一个“巧值点”．下列四个函数中，没有“巧值点”的是
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
已知函数，下列结论中正确的是
A．
B．函数的值域为R
C．若是的极值点，则
D．若是的极小值点，则在区间单调递减
已知方程在上有两个不同的实根，则实数a的取值可以是
A．e B． C． D．
设函数与直线交于两点，，则
A． B． C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为　　　　　．
若函数有极值点，，且，则关于的方程的不同实根个数是　　　　　个．
已知函数，对任意，都有，则m的取值范围为　　　　　．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（13分）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若，且存在，使得成立，求a的取值范围．
（15分）已知函数．
（1）求函数的单调区间和极值；
（2）求证：当且时，．
（15分）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在，，，使得，求a的最大值．
（17分）设函数．
（1）若，求的图象在处的切线方程；
（2）若在上恒成立，求a的取值范围；
（3）当时，若满足，求证：．
（17分）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，若对任意，恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当时，函数有两个零点，，求证：．
河南省天立教育2027届高二年级阶段教学质量监测（一）
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 B D A D B D
题号 7 8 9 10 11
答案 D B ABC BD ACD
12．/
【详解】由求导得，则，
故切线方程为，令，得，令，得，
即切线与坐标轴分别交于，故切线与两坐标轴围成的三角形面积为.
故答案为：.
13．3
【详解】，则由题、是方程的两根，
所以可得或．
函数定义域为R，因为，
所以时，时，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
作出函数草图如图所示：
由图象可知有2个解，有1个解，
因此的不同实根个数为3.
故答案为：3．
14．
【详解】，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增.
当时，当时，该函数单调递增，
所以，
所以对任意，都有，一定有成立，
解得，这与相矛盾，不符合题意；
当时，当时，，
所以对任意，都有，一定有成立，而，
所以；
当时，设表示两数中最大的数，
因为当时，单调递增，
当时，单调递减，
当时，单调递增.
所以当时，，
对任意，都有，一定有且，
解得，
综上所述：，
所以的取值范围为.
15．(1)
(2)
【详解】（1）当时，，有，由，有，
故曲线在点处的切线方程为．
（2），其中，，
时，，时，,
故在上单调递减，在上单调递增.
若，则时，，不符合题意；
若，则时，，
由题意，有，即，
因为，有，即，得，
故的取值范围是．
16．(1)答案见解析
(2)答案见解析
【详解】（1）函数的定义域为， ,令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增。
所以的单调递减区间是，单调递增区间是；
极小值为，无极大值.
（2）令，则 ，
由（1）可知，即的最小值为，
已知，代入得： ，
因此对任意恒成立，故在上单调递增，
当时，，即： 得证.
17．(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.
(2)
【详解】（1）由题得，
若，则在上恒成立，所以在上单调递减，
若，当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由（1）得，若存在，，使得，
则必有，由.
所以等价于，
即，化简得：
设，，则，
所以在上单调递减，所以，
此时，.
所以当，时等号成立，所以的最大值为.
18．(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）时，，对函数求导得.
所以.
所以的图象在处的切线方程为，即.
（2）由得.
因为在上单调递增，所以.
若，则在上恒成立，所以在上单调递增，
又，所以在上恒成立，
若，令得或，且.
当时，，单调递减，
所以，与在上恒成立矛盾，
综上所述，的取值范围是.
（3）证明：当时，，
所以在上单调递增，又，
所以时，时，.
若，则，不合题意；
若，则，不合题意，所以.
设，则.
所以在上单调递增，因为，所以.
因为，所以.
又，所以，即.
又在上单调递增，所以，即.
所以，即.
19．(1)答案见解析
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）函数，其定义域为，∴.
当时，恒成立，∴在上单调递增；
当时，令，解得，
当时，，当时，，
∴在上单调递减，在上单调递增.
综上所述，当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）由题意，∴即.
∵，∴不等式可化为，即.
设，则当时，；当时，；当时，.
，当时，，在上单调递增.
当时，，，故，
当时，，，，在上恒成立，
即在上恒成立.
设，，则，
在上单调递增，，
∴，
综上实数a的取值范围是.
（3）由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增.
函数有两个零点，，不妨设，则.
要证，只要证，，，只要证.
又∵，∴只要证.
设，，
则.
当时，，，，
∴，∴单调递减，∴.
，即，
∴.

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