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广东省深圳市2026年初中学业水平考试数学精选模拟卷
（时间：90分钟 满分：100分）
第Ⅰ卷
一、选择题（共8小题，满分24分，每小题3分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1．下列四个数中，最小的数是（ ）
A． B． C． D．0
2．如图，将小立方块①从个大小相同的小立方块所搭的几何体中移走后，所得几何体（　　）
A．从上面看到的图形改变，从左面看到的图形改变
B．从上面看到的图形不变，从左面看到的图形改变
C．从前面看到的图形改变，从左面看到的图形不变
D．从前面看到的图形不变，从左面看到的图形不变
3．对856.783取近似值，正确的是（ ）
A．856.79（精确到0.01） B．856.8（精确到十分位）
C．（精确到百位） D．（精确到十位）
4．运算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
5．今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？（选自《九章算术》）
题目大意：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有50钱；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有50钱．甲、乙两人各带了多少钱？设甲带了x钱，乙带了y钱．根据题意，列出的二元一次方程组为 （ ）
A． B．
C． D．
6．如图，与为位似图形，且顶点都在正方形格点上，若与的位似比为k，则位似中心的坐标与k的值分别为（　　）
A．， B．，2 C．， D．，2
7．如图，点O是半圆的圆心，是半圆的直径，点在半圆上，且，，，则过点D作于点C，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在正方形中，点在上，连接，作于点，交于点，作于点，交于点．若，则等于（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
9．因式分解：___________
10．华鑫学校运动队要从甲、乙、丙、丁四名跳高运动员中随机抽取一人参加比赛，甲的平时成绩最好，请问抽取甲参加比赛的概率是______．
11．公元前6世纪，古希腊学者泰勒斯用图1的方法巧测金字塔的高度．如图2，小明仿照这个方法，测量圆锥形小山包的高度，已知圆锥底面周长为．先在小山包旁边立起一根木棒，当木棒影子长度等于木棒高度时，测得小山包影子长为（直线过底面圆心），则小山包的高为____________（取）．
12．如图，在边长为1的正方形的对角线上取一点E，使，连接并延长至点F，连接，使，与相交于点H．则________．
13．如图，在矩形中，．将矩形对折，得到折痕；沿着折叠，点D的对应点为E，与的交点为F；再沿着折叠，使得与重合，折痕为，此时点B的对应点为G．则_________．
第Ⅱ卷
三．解答题（共7小题，满分61分）
14．（1）计算：
（2）解不等式组：
15．为了解A，B两款品质相近的智能玩具飞机在一次充满电后运行的最长时间，有关人员分别随机调查了A、B两款智能玩具飞机各10架，记录下它们运行的最长时间（分钟），并对数据进行整理、描述和分析（运行最长时间用x表示，共分为三组：合格，中等，优等），下面给出了部分信息：
A款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间是：60，64，67，69，71，71，72，72，72，82．
B款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间属于中等的数据是：70，71，72，72，73．
两款智能玩具飞机运行最长时间统计表
类别 A B
平均数 70 70
中位数 71 b
众数 a 67
方差
B款智能玩具飞机运行最长时间扇形统计图
根据以上信息，解答下列问题：根据以上信息，解答下列问题：
(1)求a，b，m的值；
(2)根据以上数据，你认为哪款智能玩具飞机运行性能更好？请说明理由（写出一条理由即可）．
16．当排球和足球纳入中招考试体育加试后，这两种球的销量逐步提升．某体育用品商店看准时机，第一次购入个排球和个足球共花费元．第二次购入个排球和个足球共花费元．商店将排球和足球以元个和元个的价格出售，前两次进货很快销售一空．
(1)求每个排球和足球的进价．
(2)该商店准备第三次购入排球和足球共个，根据市场需求，排球的购买个数不少于个且不超过个．购买时生产厂家对排球进行了优惠，规定购买排球不超过个时保持原价，超过个时超过的部分打八折．设第三次进货销售完的总利润为元（利润销售额成本），其中购进排球个．
求与的函数关系式；
商店为了回馈顾客，开展促销活动．将其中的（为正整数）个排球按元个，个足球按元个进行销售．若第三次进货销售完后，获得的最大利润不能低于元，求的最大值．
17．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，一次函数的图象与x轴，y轴交于，B两点，与反比例函数的图象交于点．
(1)求m和k的值；
(2)已知四边形是正方形，点P在反比例函数第三象限的图象上．当的面积等于正方形面积的一半时，求点P的坐标．
18．如图①，E、F分别为线段上的两个动点，且于E，于F，若，，交于点M．
(1)求证：，
(2)当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．
19．某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合．如图所示，喷水池中心为原点建立直角坐标系．
(1)求水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式；
(2)主师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池直径扩大到24米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的最大高度．
20．甲、乙两组参加“扇面制作”综合与实践活动．请根据活动情境完成以下三个任务：
【活动情景】如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺术风格．为了迎接2025年传统民俗文化活动的到来，某班组织同学们开展扇面制作展示活动．如图2所示，扇面形状为扇环，已知，，．
【任务一】确定弦的长度．
（1）如图2，求出弦的长度．
【任务二】设计甲组扇面．
（2）如图3，已知甲组的圆形卡纸直径为．甲组同学在圆形卡纸中设计出与图2相同的扇面，试求出需要剪掉的卡纸面积．
【任务三】确定卡纸大小．
（3）如图4，乙组利用矩形卡纸恰好能设计出与图2相同的扇面，试确定乙组需要准备的卡纸规格（即求和的长度）．
参考答案
1．A
【分析】根据有理数的大小比较及绝对值可直接进行排除选项．
【详解】解：∵，
∴，
∴最小的数是-2；
故选A．
【点睛】本题主要考查有理数的大小比较及绝对值，熟练掌握有理数的大小比较及绝对值是解题的关键．
2．A
【分析】本题考查从不同方向看空间组合体，熟记常见空间几何体的平面图形，培养空间想象力是解决问题的关键．
按照题意，将小立方块①从个大小相同的小立方块所搭的几何体中移走后，根据观察的角度得出新几何体的平面图形与原几何体的平面图形相比即可得到答案．
【详解】解：移除小立方块①前，从不同方向看几何体得到的平面图形：
移除小立方块①后，从不同方向看几何体得到的平面图形：
将小立方块①从个大小相同的小立方块所搭几何体中移走后，几何体从前面看到的图形不变、从左面看到的图形改变、从上面看到的图形改变，
故选：A．
3．B
【分析】本题考查了近似数的精确度，根据近似数的精确度要求，对856.783进行四舍五入，判断各选项的正确性．
【详解】解：A项：∵精确到0.01，∴需看千分位，千分位数字为，∴百分位不变，应为856.78，但选项为856.79，故A错误；
B项：∵精确到十分位，∴需看百分位，百分位数字为，∴十分位进1，应为856.8，与选项一致，故B正确；
C项：∵精确到百位，∴需看十位，十位数字为，∴百位进1，，但选项为，故C错误；
D项：∵精确到十位，∴需看个位，个位数字为，∴十位进1，，但选项为，故D错误，
故选：B．
4．C
【分析】本题主要考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．利用同底数幂的除法的法则，合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，对各项进行逐项运算即可作出判断．
【详解】解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C符合题意；
D、与不属于同类项，不能合并，故D不符合题意．
故选：C．
5．A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据“如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50钱”，列出一个关于x和y的二元一次方程；根据“如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有钱50钱”，列出一个关于x和y的二元一次方程，从而得到答案．
【详解】解：根据题意得：，
故选：A．
6．D
【分析】本题考查了位似变换、坐标与图形的性质等知识．两对对应点的连线的交点即为位似中心；找到任意一对对应边的边长，让其相比即可求得k．
【详解】解：如图，连接，延长交的延长线于点，
点就是位似中心，坐标为，
．
．
故选：D．
7．B
【分析】如图，连接，根据已知条件可得是等边三角形，再证明为等边三角形，求出的长，根据进行求解即可．
【详解】解：如图：连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵与与是等底等高的三角形，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了扇形面积的计算，等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等等，正确将不规则图形面积转换成规则图形的面积是解题的关键．
8．B
【分析】本题考查求角度，涉及正方形性质、全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．
由，四边形是正方形，可证明，得，故，同理可得，可证明，即得，得，从而求出，而，得，即得．
【详解】解：，
，
，
，
∴，
，
在正方形中，，
，即，
同理可得，
，
，即，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
∴，
故选：B．
9．
【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的几种常用方法．利用平方差公式进行因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
10．##
【分析】直接根据概率公式求解即可．
【详解】解：从甲、乙、丙、丁四名跳高运动员中随机抽取一人参加比赛，抽取甲参加比赛的概率是．
故答案为：．
【点睛】本题考查简单的概率计算，解答的关键是熟练掌握简单的概率计算方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A发生的概率是解决问题的关键．
11．
【分析】此题为平行投影，即可得相似三角形，那么可得到，根据圆锥底面周长求出圆锥底面圆的半径，最后推论出高．
【详解】连接，过作于，
由题意可知，
∴
∵圆锥底面周长为．
∴，解得，
∵,
∴
∴小山包的高为．
故答案为：．
【点睛】此题考查平行投影，解题关键是根据通过三角形相似，将小山包的高转化为的长进行求解．
12．##
【分析】连接交于点，根据正方形的性质得到，，，，，根据角的和差得到，则有，设，利用勾股定理列出方程，求出的值，得到，通过证明得到，求出的长，进而得到的长，即可得出答案．
【详解】解：如图，连接交于点，
∵边长为1的正方形，
∴，，，，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
解得，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，即，
解得，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形的性质、含30度角的直角三角形、勾股定理、相似三角形的性质与判定，添加适当的辅助线是解题的关键．
13．
【分析】先证明是直角三角形，设，则，由，求得，再证明，设，则，利用勾股定理求得，，据此求解即可．
【详解】解：由折叠可知：，，
∵，
∴，
∴是直角三角形，
设，则，
由折叠可知：，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵矩形中，，
∴，
由折叠可知：，
∴，
∴，
设，则，
∵，即，
解得，则，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查翻折问题，勾股定理，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，证明是直角三角形是解题的关键．
14．（1）（2）
【分析】本题考查实数的混合运算，求不等式组的解集：
（1）先进行开方，零指数幂和负整数指数幂以及去绝对值运算，再进行加减运算即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集．
【详解】解：（1）原式；
（2）
由①，得：，
由②，得：；
∴不等式组的解集为：．
15．(1)a，b，m的值分别为72，，10；
(2)A款智能玩具飞机运行性能更好，理由见解析．
【分析】本题主要考查了求中位数，众数，扇形统计图：
（1）根据中位数和众数的定义可求出a、b的值，用单位1减去B款中合格和中等的百分比即可求出m的值；
（2）根据A款的众数和中位数比B款的大即可得到结论．
【详解】（1）解：A款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间中，72出现的次数最多，故众数，
B款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间合格的有个，
∴B款智能玩具飞机10架一次充满电后运行最长时间把从小到大排列，排在中间的两个数是70和71，故中位数，
由题意得，，即；
∴a，b，m的值分别为72，，10；
（2）解：A款智能玩具飞机运行性能更好，理由如下：
虽然两款智能玩具飞机运行最长时间的平均数相同，但A款智能玩具飞机运行最长时间的中位数和众数均高于B款智能玩具飞机，所以A款智能玩具飞机运行性能更好（答案不唯一）．
16．(1)排球的进价为每个元，足球的进价为每个元；
(2) ； ．
【分析】（）根据题意列出相应的二元一次方程组，然后求解即可；
（）根据题意可以写出利润与的函数关系式，
根据的取值范围当，时和当时，及一次函数的性质，可以求得利润的最大值；
本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的方程组，写出相应的函数解析式，利用一次函数的性质求的最大值．
【详解】（1）设排球的进价为每个元，足球的进价为每个元，
根据题意，得，
解方程组，得，
答：排球的进价为每个元，足球的进价为每个元，
（2）当时，，
当时，
，
∴ ，
当时，，
∵，
∴随x的增大而减小，
∴当时，的值最大，最大值为，
∴，
解不等式，得；
当时，
，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，的值最大，最大值为，
∴，
解不等式，得，
∵是正整数，
∴的最大值为，
答：的最大值为．
17．(1)，
(2)
【分析】本题考查一次函数和反比例函数的交点，三角形的面积，解题的关键是正确求出函数解析式．
（1）把的坐标代入，即可求出，把代入，求出，把代入，求出；
（2）设的坐标是，由的面积等于正方形面积的一半，得到，求解，即可求解坐标．
【详解】（1）解：一次函数的图象过，
，
，
在函数的图象上，
，
在函数图象上，
；
（2）解：设的坐标是，
∵的面积等于正方形面积的一半
，
，
，
的坐标是．
18．(1)见详解
(2)成立，证明见详解
【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，以及平行线的判定，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）证明，得出四边形是平行四边形．再根据平行四边形的性质即可得出结论．
（2）证明，得出四边形是平行四边形．再根据平行四边形的性质即可得出结论．
【详解】（1）解：连接．
，
，
在和中，
，
，
，
∴四边形是平行四边形．
；
（2）解：成立．
连接．
∵于于，
，
在和中，
∴，
∴．
∴四边形是平行四边形．
∴．
19．(1)
(2)7
(3)
【分析】（1）利用轴对称性质可得水柱所在抛物线（第二象限部分）的顶点，根据顶点坐标可设抛物线函数为，再代入抛物线上已知点的坐标可求出的值，即可得出水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式；
（2）根据（1）所得的函数解析式，代入时求得的值，结合图形即可得出答案；
（3）根据（1）的函数解析式求出与轴的交点坐标，再二次函数图像的性质抛物线的形状不变时，可设改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为，再由函数图象过点代入函数表达式，求出的值，得到改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式，再利用配方法将二次函数表达式变形为顶点式，即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得第一象限抛物线的顶点坐标为，
∵水柱关于轴对称，
∴第二象限抛物线的顶点坐标为
设水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为，
将代入，得：，
解得：，
∴水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为．
（2）解：当函数值时，有，
解得，，
结合图形可得，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心7米以内．
（3）解：当时，，
喷出水柱的形状不变，水池的高度不变，
设改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为，
该函数图象过点，
，
解得，
改造后水柱所在抛物线（第二象限部分）的函数表达式为，
该抛物线的顶点坐标为，
故扩建改造后喷水池水柱的最大高度为米．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求二次函数解析式及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征求出当时的值；（3）根据点的坐标及二次函数性质，利用待定系数法求出二次函数表达式．
20．[任务一] ；[任务二] ；[任务三] ，
【分析】任务一：由弧所对的圆心角为，可得，求得，应用勾股定理求出，即可求解；
任务二：根据需要剪掉的卡纸面积为，结合扇形面积公式即可求解；
任务三：由题意得：设矩形的边与相切于点M，延长交于点，连接交于点N，连接， 由题意知，，由上得，可得，则，，由勾股定理得，那么，即，同理：，则，即．
【详解】任务一：解：过点O作，交于点，
，，
，
，
，，
；
任务二：解：需要剪掉的卡纸面积为
；
任务三：解：如图
由题意得：设矩形的边与相切于点M，延长交于点，连接，连接交于点N，交于点，
由题意知，，
由上得，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵矩形，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，，
由勾股定理得，
∴，
∴，
同理：，
∴，
同理：四边形为平行四边形，
∴．
【点睛】本题考查了圆的综合问题，涉及垂径定理，圆的切线的性质，扇形面积的求解，矩形的性质，勾股定理，角直角三角形的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
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