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人教版八年级下同步分层训练21.1四边形及多边形
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
阅卷人 一、夯实基础
得分
1．（2026八上·海珠期末） 如图， 在四边形ABCD中， BD平分∠ABC， 且AD=CD，若∠CBD=m， 则∠ADC一定等于 （　　)
A．3m B．90°+2m C．180°-2m D．180°-m
2．（2023七上·管城期中）一个多边形从一个顶点处可以引出10条对角线，这个多边形的边数是（　　）
A．7 B．8 C．12 D．13
3．（2026九上·南湖期末）若一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的一个外角为(　　)
A．90° B．60° C．45° D．30°
4．（2023八上·巴南月考）若一个边形的每个内角为，过一个顶点可以画出　 　条对角线．
5．如图，小明从点 A 出发沿直线前进10米到达点 B，向左转45°后又沿直线前进 10米到达点 C，再向左转 45°后沿直线前进 10米到达点 D……照这样走下去，小明第一次回到出发点 A 时所走的路程为　 　米.
6．（初中数学北师大版七年级上册4.3 多边形和圆的初步认识（同步练习））已知从n边形的一个顶点出发共有4条对角线；从m边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形分成7个三角形；正t边形的边长为6，周长为48，求代数式的值．
7．凸n 边形除去一个内角外，其余内角和为2570°，求n 的值.
8．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，点E在边AB上，∠AED=60°
求证：∠ADE=∠ADC。
阅卷人 二、能力提升
得分
9．（2025·莲都模拟）如图，一个正五边形纸片可裁成五个全等的等腰三角形和一个五边形，则图中的度数是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，线段 AB 所在的直线与线段CD 所在的直线互相垂直，若∠A=30°，∠D=50°，则∠E+∠F=（　　）.
A．190° B．180° C．170° D．160°
11．（2025八上·盐亭期中）将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果∠1=50°，∠2=40°，那么∠3的度数等于（　　）
A．10° B．12° C．15° D．20°
12．已知A和B分别是两个多边形，阅读A和B的对话，完成下列各题.
（1） 嘉嘉说：“因为B的边数比A多，所以B的外角和比A的大.”判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由.
（2） 设A的边数为.
① 若，求的值；
② 淇淇说：“无论取何值，的值始终不变.”请用列方程的方法说明理由.
13．探究归纳题：
（1）试验分析：
如图1，经过一个顶点（如点）可以作　 　条对角线，它把四边形分为　 　个三角形；
（2）拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：图2过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为　 　个三角形；图3过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为　 　个三角形；
（3）探索归纳：对于边形，过一个顶点的所有对角线把这个边形分为　 　个三角形．（用含的式子表示）
（4）特例验证：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为　 　个三角形．
阅卷人 三、拓展创新
得分
14．（初中数学苏科版七年级下册7.5 多边形的内角和与外角和 同步练习）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（　　）
A．27 B．35 C．44 D．54
15．（2024七下·洪山月考）已知直线，，，射线的反向延长线交于点F，若，则m的值为（　　）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
16．（2025七下·余姚期末） 如图， 已知点 C 为两条相互平行的直线 AB， ED 之间一动点， 和 的角平分线相交于 F， 若 ， 则 的度数为　 　.
17．如图
（1）如图①，四边形ABCD 中，∠ABC 和∠BCD 的平分线交于点 P，已知∠A+∠D=140°，求∠P 的度数.
（2）如图②，在四边形 ABCD 中， 和 外角的三等分线交于点 P，已知 ，请写出 与 的数量关系，并证明.
（3）如图③，E在CD 边的延长线上，F在AD 边的延长线上， 和 的平分线交于点 P，请直接写出 的数量关系.
18．（2025八上·深圳期末）如果一个四边形中有一组对角相等，且这组对角的顶点连线与该四边形的一边垂直，那么这个四边形叫做等垂四边形。如图1，在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD为等垂四边形。
（1）如图2和如图3，已知四边形ABCD为等垂四边形，。①在图2中，若，则的度数为 ▲ ；
②在图3中，若分别平分，请判断四边形CMAN是否为等垂四边形，并说明理由。
（2）如图4，在锐角中，，且是平面上一点，若以A，B，C，D为顶点的四边形为等垂四边形，请直接写出的大小（用含的式子表示）。
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：作DF⊥BC于点F，DE⊥AB交BA的延长线于点E，则∠E=∠BFD=∠DFC=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴ DE=DF，∠ABD=∠CBD=α，
在Rt△ADE和Rt△CDF中：AD=CD，DE=DF
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)，
∴∠ADE=∠CDF，
∴ ∠ADC= ∠CDF+∠ADF =∠ADE+∠ADF=∠EDF，
∵∠EDF=360°-∠E-∠BFD-∠ABC=180°-2m，
∴∠ADC=180°-2m，
故答案为：C.
【分析】作DF⊥BC于点F，DE⊥AB交BA的延长线于点E，则∠E=∠BFD=∠DFC=90°，首先根据角平分线的性质可得出DE=DF，再根据HL可证得Rt△ADE≌Rt△CDF，进而得出∠ADE=∠CDF，进一步根据四边形内角和即可得出∠ADC=∠EDF=180°-2m。
2．【答案】D
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：∵一个多边形从一个顶点处可以引出10条对角线，
∴n-3=10，
∴n=13，
故答案为：D．
【分析】根据多边形的对角线结合题意得到n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，进而即可求解。
3．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设正多边形的边数为，
∴，
解得，
又∵多边形的外角和为，
∴一个外角的度数为．
故选：B．
【分析】根据多边形内角和公式求出边数，再根据外角和定理求出一个外角的度数即可．
4．【答案】
【知识点】多边形的对角线；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：一个正边形的每个内角为，
)，
解得：．
过一个顶点可以画出．
故答案为：．
【分析】先根据多边形内角和公式求出边的数量，然后根据对角线的条数公式计算即可．
5．【答案】80
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵小明每次都是沿直线前进10米后向左转45度，
∴他走过的图形是正多边形
∴边数n=360°÷45°=8
∴他第一次回到出发点A时，一共走了8×10=80m
故答案为：80.
【分析】利用多边形外角和为360°，求出小明走过的正多边形的边数，再结合每边长度求出总路程.
6．【答案】解：因为从n边形的一个顶点出发共有4条对角线，
所以．
因为从m边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形分成7个三角形，
所以．
因为正t边形的边长为6，周长为48，
所以，
所以代数式．
【知识点】多边形的对角线；求代数式的值-直接代入求值；多边形的概念与分类
【解析】【分析】根据题意，由多边形的性质：从n边形的一个顶点出发能引出(n-3)条对角线，能分成(n-2)个三角形，分别求出n，m的值，再由正多边形的性质求出t，然后代入式子即可求解.
7．【答案】解：设除去的角为x°，则(n-2)×180=x+2570，
整理得：
∵0°∴当时，
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【分析】设除去的角为x°，可建立关于x，n的不定方程，结合多边形的性质即可求出答案.
8．【答案】证明：∠A=∠B=∠C，
∵由四边形的内角和为360°得
∠ADC=360°-∠A-∠B-∠C=360°-3∠A.
在△ADE中，∠ADE=180°-∠AED-∠A=120°-∠A，
∠ADE=∠ADC.
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】利用四边形内角和为360°，可以得出 ∠ADC=360°-3∠A，再利用三角形内角和为180°，得出 ∠ADE=120°-∠A，从而得出结果。
9．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：
如图，五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，
∴∠ABD==108°，∠DBC=∠BAC，
∵∠α+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠ACB=∠BAC=180°-108°=72°，
∴∠α=180°-∠ACB-∠BAC=180°-72°-72°=36°，
故答案为：C.
【分析】 根据题目描述，五个完全相同的等腰三角形组合构成了内外两个正五边形，通过计算正五边形的内角可知∠ABD为108度，运用三角形内角和为180度的性质，可以推导出∠ACB和∠BAC均为72度（180°-108°），最终即可求得∠α的具体数.
10．【答案】C
【知识点】角的运算；补角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：延长CD，BA 交于点G
∵线段AB所在的直线与线段CD所在的直线相互垂直
∴∠G=90°
∵∠BAF=30°，∠CDE=50°
∴∠GAF=150°，∠GDE=130°
∵五边形AFEDG中，
∠G+∠GAF+∠F+∠E+∠GDE=(5-2)×180°=540°
∴∠E+∠F=540°-90°-150°-130°=170°
故答案为：C
【分析】延长CD，BA 交于点G，由题意可得：∠G=90°，再根据补角可得∠GAF=150°，∠GDE=130°，再根据五边形内角和定理即可求出答案.
11．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：
在图中标上点A，B，C，如图所示.
根据题意得： ∠BAC = 180°-∠2-90°= 180°-40°-90°=50°；
∠ABC=180°-∠1-60°=180°-50°-60°= 70°；
∠ACB=180°-∠BAC-
∠ABC=180°-50°-70°= 60°.
-60°-108°= 12°.
故答案为： B .
【分析】在图中标上点A，B，C，利用平角等于180°及∠1， ∠2的度数， 可求出∠BAC及∠ABC的度数， 在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠ACB的度数， 再结合∠3=180°-∠ACB-108°即可求出∠3的度数.
12．【答案】（1）解：嘉嘉的说法不正确.
理由：多边形的外角和始终为 ，与多边形的边数无关.
（2）解：① 由题意，得，
解得，即的值为2.
②，
整理，得，
解得.
无论取何值，的值始终不变.
【知识点】多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【分析】(1)根据多边形外角和的性质判断嘉嘉说法的正误；
(2)①利用多边形内角和公式，结合已知条件列方程求解x的值；
②通过列方程并化简，说明x的值与n无关.
13．【答案】（1）1；2
（2）3；4
（3）
（4）8
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】(1) 解： 如下图：
经过A点可以做1条对角线，它把四边形ABCD分为2个三角形，
故答案为： 1， 2；
(2)解：拓展延伸：
运用 (1)的分析方法，可得：
图2过一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形；
图3过一个顶点，共有3条对角线，将这个多边形分为4个三角形；
故答案为： 3， 4；
(3) 解： 对于n边形(n>3)，过一个顶点的所有对角线把这个n边形分为(n-2)个三角形，
故答案为：(n-2)；
(4)解：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为10-2=8个三角形，
故答案为：8.
【分析】(1)根据对角线的定义，可得答案；
(2)n边形中过一个顶点的所有对角线有(n-3)条，把这个多边形分成(n-2)个三角形，根据这一点即可解答；
(3)n边形中过一个顶点的所有对角线有(n-3)条，把这个多边形分成(n-2)个三角形，根据这一点即可解答；
(4)n边形中过一个顶点的所有对角线有(n-3)条，把这个多边形分成(n-2)个三角形，根据这一点即可解答.
14．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个内角度数为x，边数为n，
∴（n﹣2）×180°﹣x=1510，
180n=1870+x，
∵n为正整数，
∴n=11，
∴=44，
故选：C．
【分析】设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法，即可解答．
15．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：延长AB交FN的延长线于点P，如图，
∵ AB∥DE，
∴ ∠NDE=∠FPB，
∵ ∠ABM=∠FBP，
∴ ∠F=180°-∠ABM-∠NDE，
∵ ∠CBM=m∠ABM，∠CDN=m∠NDE，
∴ 四边形BCDF中，∠FBC+∠C+∠CDF+∠F=360°，
即180°-∠CBM+∠C+180°-∠CDN+∠F=360°，
∴ 180°-m∠ABM+∠C+180°-m∠NDE+∠F=360°，
∴ 360°-m(180°-∠F)+∠C+∠F=360°，即(m+1)∠F+∠C=180°m，
∵ 4∠F+∠C=540°，
∴ m=3.
故答案为：B.
【分析】延长AB交FN的延长线于点P，根据平行线的性质可得∠NDE=∠FPB，根据三角形的内角和得∠F=180°-∠ABM-∠NDE，根据四边形的内角和列出等式可得(m+1)∠F+∠C=180°m，即可求得m的值.
16．【答案】120°
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵∠ABC和∠CDE的平分线交于点F
∴∠ABE=∠EBC，∠ADE=∠ADC
∵DE∥AB
∴∠BED=∠ABE=∠EBC，∠BAD=∠ADE=∠ADC
设∠BED=∠ABE=∠EBC=x，∠BAD=∠ADE=∠ADC=y
在中，由外角性质可知∠BFD=x+y
∵
∴
在四边形BCDF中，由四边形内角和为360°可得
化简得x+y=120°
∴
故答案为：120° .
【分析】本题主要条件是一组平行线，两条角平分线，解题中需将几者之间涉及的角关联起来，再结合多边形内角和公式整体求出∠BFD的大小，最后利用两个角之间的数量关系即可求∠BCD的度数。
17．【答案】（1）解：在四边形ABCD中，∠A+∠D+∠BCD+∠ABC=360°
∵∠A+∠D=140°
∴∠BCD+∠ABC=220°
∵∠ABC 和∠BCD 的平分线交于点P
∴∠BCD=2∠PCB，∠ABC=2∠PBC
∴2∠PCB+∠2∠PBC=220°
∴∠PCB+∠PBC=110°
∵∠P+∠PCB+∠PBC=180°
∴∠P+110°=180°
∴∠P=70°
（2）解：设∠ABP=x，∠ADP=y，
由题意可得：
由①得x-y=∠P-∠A ③
将③代入②，得
（3）∠F+∠B+∠C-2∠P=180°
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的概念；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：（3）设∠BAP=∠FAP=x，∠CEP=∠FEP=y
由题意可得：x-y=∠F-∠P
∵∠ADC =360°-∠B-∠C-2x=∠EDF=180°-∠F-2y
∴180°-∠B-∠C-2x+2y+∠F=0，即180°-∠B-∠C-2(∠F-∠P)+∠F=0
∴∠F+∠B+∠C-2∠P=180°
【分析】（1）根据四边形内角和定理可得∠BCD+∠ABC=220°，再根据角平分线定义可得∠BCD=2∠PCB，∠ABC=2∠PBC，则∠PCB+∠PBC=110°，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
（2）设∠ABP=x，∠ADP=y，根据题意建立方程组，解方程即可求出答案.
（3）设∠BAP=∠FAP=x，∠CEP=∠FEP=y，根据题意建立方程组，解方程即可求出答案.
18．【答案】（1）解：①70；
②四边形CMAN是等垂四边形，
理由如下：∵ CD//AB，
∴ ∠ACD=∠ CAB。
∵ CM，AN分别平分∠ACD，∠CAB，
∴∠MCD=∠ACD， ∠BAN=∠BAC，
∴ ∠MCD=∠BAN，
∵ ∠DAB=∠DCB，
∴∠MCN=∠MAN，
∵ AC⊥CN，
∴ 四边形CMAN是等垂四边形。
（2）解：∠D 的大小为80-α或50-α或130-2α。
【知识点】角的运算；角平分线的概念；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：（1）①∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠DCB＝∠ACB＋∠ACD＝130°，
∴∠DAB＝130°，
∴∠D＝360°-∠B-∠DAB-∠DCB＝360°-30°-130°-130°＝70°，
故答案为：70.
（2）若以B，C为顶点的一组对角相等时，
∴∠D＝360°-140°-140°-α＝80°-α；
若以B，A为顶点的一组对角相等时，
∴∠D＝360°-50°-2×（90°＋α）＝130°-2α；
若以C，A为顶点的一组对角相等时，
∴∠D＝360°-（130°-α）-2×（90°＋α）＝50°-α；
综上所述，∠D的大小为80°-α 或 50°-α 或130°-2α．
【分析】（1）①利用角的运算求出∠DCB＝∠ACB＋∠ACD＝130°，再求出∠D＝360°-∠B-∠DAB-∠DCB＝360°-30°-130°-130°＝70°即可；
②先利用角平分线的性质可得∠MCD=∠ACD， ∠BAN=∠BAC， 再利用角的运算和等量代换可得∠MCN=∠MAN，再结合AC⊥CN， 证出四边形CMAN是等垂四边形即可；
（2）分类讨论：①若以B，A为顶点的一组对角相等时，②若以C，A为顶点的一组对角相等时，再利用角的运算求解即可.
1 / 1人教版八年级下同步分层训练21.1四边形及多边形
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
题号 一 二 三 总分
评分
阅卷人 一、夯实基础
得分
1．（2026八上·海珠期末） 如图， 在四边形ABCD中， BD平分∠ABC， 且AD=CD，若∠CBD=m， 则∠ADC一定等于 （　　)
A．3m B．90°+2m C．180°-2m D．180°-m
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：作DF⊥BC于点F，DE⊥AB交BA的延长线于点E，则∠E=∠BFD=∠DFC=90°，
∵BD平分∠ABC，
∴ DE=DF，∠ABD=∠CBD=α，
在Rt△ADE和Rt△CDF中：AD=CD，DE=DF
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)，
∴∠ADE=∠CDF，
∴ ∠ADC= ∠CDF+∠ADF =∠ADE+∠ADF=∠EDF，
∵∠EDF=360°-∠E-∠BFD-∠ABC=180°-2m，
∴∠ADC=180°-2m，
故答案为：C.
【分析】作DF⊥BC于点F，DE⊥AB交BA的延长线于点E，则∠E=∠BFD=∠DFC=90°，首先根据角平分线的性质可得出DE=DF，再根据HL可证得Rt△ADE≌Rt△CDF，进而得出∠ADE=∠CDF，进一步根据四边形内角和即可得出∠ADC=∠EDF=180°-2m。
2．（2023七上·管城期中）一个多边形从一个顶点处可以引出10条对角线，这个多边形的边数是（　　）
A．7 B．8 C．12 D．13
【答案】D
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】解：∵一个多边形从一个顶点处可以引出10条对角线，
∴n-3=10，
∴n=13，
故答案为：D．
【分析】根据多边形的对角线结合题意得到n边形从一个顶点出发可引出条对角线，可组成个三角形，进而即可求解。
3．（2026九上·南湖期末）若一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的一个外角为(　　)
A．90° B．60° C．45° D．30°
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：设正多边形的边数为，
∴，
解得，
又∵多边形的外角和为，
∴一个外角的度数为．
故选：B．
【分析】根据多边形内角和公式求出边数，再根据外角和定理求出一个外角的度数即可．
4．（2023八上·巴南月考）若一个边形的每个内角为，过一个顶点可以画出　 　条对角线．
【答案】
【知识点】多边形的对角线；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：一个正边形的每个内角为，
)，
解得：．
过一个顶点可以画出．
故答案为：．
【分析】先根据多边形内角和公式求出边的数量，然后根据对角线的条数公式计算即可．
5．如图，小明从点 A 出发沿直线前进10米到达点 B，向左转45°后又沿直线前进 10米到达点 C，再向左转 45°后沿直线前进 10米到达点 D……照这样走下去，小明第一次回到出发点 A 时所走的路程为　 　米.
【答案】80
【知识点】多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：∵小明每次都是沿直线前进10米后向左转45度，
∴他走过的图形是正多边形
∴边数n=360°÷45°=8
∴他第一次回到出发点A时，一共走了8×10=80m
故答案为：80.
【分析】利用多边形外角和为360°，求出小明走过的正多边形的边数，再结合每边长度求出总路程.
6．（初中数学北师大版七年级上册4.3 多边形和圆的初步认识（同步练习））已知从n边形的一个顶点出发共有4条对角线；从m边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形分成7个三角形；正t边形的边长为6，周长为48，求代数式的值．
【答案】解：因为从n边形的一个顶点出发共有4条对角线，
所以．
因为从m边形的一个顶点出发的所有对角线把m边形分成7个三角形，
所以．
因为正t边形的边长为6，周长为48，
所以，
所以代数式．
【知识点】多边形的对角线；求代数式的值-直接代入求值；多边形的概念与分类
【解析】【分析】根据题意，由多边形的性质：从n边形的一个顶点出发能引出(n-3)条对角线，能分成(n-2)个三角形，分别求出n，m的值，再由正多边形的性质求出t，然后代入式子即可求解.
7．凸n 边形除去一个内角外，其余内角和为2570°，求n 的值.
【答案】解：设除去的角为x°，则(n-2)×180=x+2570，
整理得：
∵0°∴当时，
【知识点】多边形的内角和公式
【解析】【分析】设除去的角为x°，可建立关于x，n的不定方程，结合多边形的性质即可求出答案.
8．如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C，点E在边AB上，∠AED=60°
求证：∠ADE=∠ADC。
【答案】证明：∠A=∠B=∠C，
∵由四边形的内角和为360°得
∠ADC=360°-∠A-∠B-∠C=360°-3∠A.
在△ADE中，∠ADE=180°-∠AED-∠A=120°-∠A，
∠ADE=∠ADC.
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】利用四边形内角和为360°，可以得出 ∠ADC=360°-3∠A，再利用三角形内角和为180°，得出 ∠ADE=120°-∠A，从而得出结果。
阅卷人 二、能力提升
得分
9．（2025·莲都模拟）如图，一个正五边形纸片可裁成五个全等的等腰三角形和一个五边形，则图中的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：
如图，五个全等的等腰三角形拼成内外两个正五边形，
∴∠ABD==108°，∠DBC=∠BAC，
∵∠α+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠ACB=∠BAC=180°-108°=72°，
∴∠α=180°-∠ACB-∠BAC=180°-72°-72°=36°，
故答案为：C.
【分析】 根据题目描述，五个完全相同的等腰三角形组合构成了内外两个正五边形，通过计算正五边形的内角可知∠ABD为108度，运用三角形内角和为180度的性质，可以推导出∠ACB和∠BAC均为72度（180°-108°），最终即可求得∠α的具体数.
10．如图，线段 AB 所在的直线与线段CD 所在的直线互相垂直，若∠A=30°，∠D=50°，则∠E+∠F=（　　）.
A．190° B．180° C．170° D．160°
【答案】C
【知识点】角的运算；补角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：延长CD，BA 交于点G
∵线段AB所在的直线与线段CD所在的直线相互垂直
∴∠G=90°
∵∠BAF=30°，∠CDE=50°
∴∠GAF=150°，∠GDE=130°
∵五边形AFEDG中，
∠G+∠GAF+∠F+∠E+∠GDE=(5-2)×180°=540°
∴∠E+∠F=540°-90°-150°-130°=170°
故答案为：C
【分析】延长CD，BA 交于点G，由题意可得：∠G=90°，再根据补角可得∠GAF=150°，∠GDE=130°，再根据五边形内角和定理即可求出答案.
11．（2025八上·盐亭期中）将等边三角形、正方形、正五边形按如图所示的位置摆放，如果∠1=50°，∠2=40°，那么∠3的度数等于（　　）
A．10° B．12° C．15° D．20°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：
在图中标上点A，B，C，如图所示.
根据题意得： ∠BAC = 180°-∠2-90°= 180°-40°-90°=50°；
∠ABC=180°-∠1-60°=180°-50°-60°= 70°；
∠ACB=180°-∠BAC-
∠ABC=180°-50°-70°= 60°.
-60°-108°= 12°.
故答案为： B .
【分析】在图中标上点A，B，C，利用平角等于180°及∠1， ∠2的度数， 可求出∠BAC及∠ABC的度数， 在△ABC中，利用三角形内角和定理，可求出∠ACB的度数， 再结合∠3=180°-∠ACB-108°即可求出∠3的度数.
12．已知A和B分别是两个多边形，阅读A和B的对话，完成下列各题.
（1） 嘉嘉说：“因为B的边数比A多，所以B的外角和比A的大.”判断嘉嘉的说法是否正确，并说明理由.
（2） 设A的边数为.
① 若，求的值；
② 淇淇说：“无论取何值，的值始终不变.”请用列方程的方法说明理由.
【答案】（1）解：嘉嘉的说法不正确.
理由：多边形的外角和始终为 ，与多边形的边数无关.
（2）解：① 由题意，得，
解得，即的值为2.
②，
整理，得，
解得.
无论取何值，的值始终不变.
【知识点】多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【分析】(1)根据多边形外角和的性质判断嘉嘉说法的正误；
(2)①利用多边形内角和公式，结合已知条件列方程求解x的值；
②通过列方程并化简，说明x的值与n无关.
13．探究归纳题：
（1）试验分析：
如图1，经过一个顶点（如点）可以作　 　条对角线，它把四边形分为　 　个三角形；
（2）拓展延伸：
运用（1）的分析方法，可得：图2过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为　 　个三角形；图3过一个顶点作所有的对角线，把这个多边形分为　 　个三角形；
（3）探索归纳：对于边形，过一个顶点的所有对角线把这个边形分为　 　个三角形．（用含的式子表示）
（4）特例验证：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为　 　个三角形．
【答案】（1）1；2
（2）3；4
（3）
（4）8
【知识点】多边形的对角线
【解析】【解答】(1) 解： 如下图：
经过A点可以做1条对角线，它把四边形ABCD分为2个三角形，
故答案为： 1， 2；
(2)解：拓展延伸：
运用 (1)的分析方法，可得：
图2过一个顶点，共有2条对角线，将这个多边形分为3个三角形；
图3过一个顶点，共有3条对角线，将这个多边形分为4个三角形；
故答案为： 3， 4；
(3) 解： 对于n边形(n>3)，过一个顶点的所有对角线把这个n边形分为(n-2)个三角形，
故答案为：(n-2)；
(4)解：过一个顶点的所有对角线可把十边形分为10-2=8个三角形，
故答案为：8.
【分析】(1)根据对角线的定义，可得答案；
(2)n边形中过一个顶点的所有对角线有(n-3)条，把这个多边形分成(n-2)个三角形，根据这一点即可解答；
(3)n边形中过一个顶点的所有对角线有(n-3)条，把这个多边形分成(n-2)个三角形，根据这一点即可解答；
(4)n边形中过一个顶点的所有对角线有(n-3)条，把这个多边形分成(n-2)个三角形，根据这一点即可解答.
阅卷人 三、拓展创新
得分
14．（初中数学苏科版七年级下册7.5 多边形的内角和与外角和 同步练习）一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（　　）
A．27 B．35 C．44 D．54
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个内角度数为x，边数为n，
∴（n﹣2）×180°﹣x=1510，
180n=1870+x，
∵n为正整数，
∴n=11，
∴=44，
故选：C．
【分析】设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法，即可解答．
15．（2024七下·洪山月考）已知直线，，，射线的反向延长线交于点F，若，则m的值为（　　）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：延长AB交FN的延长线于点P，如图，
∵ AB∥DE，
∴ ∠NDE=∠FPB，
∵ ∠ABM=∠FBP，
∴ ∠F=180°-∠ABM-∠NDE，
∵ ∠CBM=m∠ABM，∠CDN=m∠NDE，
∴ 四边形BCDF中，∠FBC+∠C+∠CDF+∠F=360°，
即180°-∠CBM+∠C+180°-∠CDN+∠F=360°，
∴ 180°-m∠ABM+∠C+180°-m∠NDE+∠F=360°，
∴ 360°-m(180°-∠F)+∠C+∠F=360°，即(m+1)∠F+∠C=180°m，
∵ 4∠F+∠C=540°，
∴ m=3.
故答案为：B.
【分析】延长AB交FN的延长线于点P，根据平行线的性质可得∠NDE=∠FPB，根据三角形的内角和得∠F=180°-∠ABM-∠NDE，根据四边形的内角和列出等式可得(m+1)∠F+∠C=180°m，即可求得m的值.
16．（2025七下·余姚期末） 如图， 已知点 C 为两条相互平行的直线 AB， ED 之间一动点， 和 的角平分线相交于 F， 若 ， 则 的度数为　 　.
【答案】120°
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：∵∠ABC和∠CDE的平分线交于点F
∴∠ABE=∠EBC，∠ADE=∠ADC
∵DE∥AB
∴∠BED=∠ABE=∠EBC，∠BAD=∠ADE=∠ADC
设∠BED=∠ABE=∠EBC=x，∠BAD=∠ADE=∠ADC=y
在中，由外角性质可知∠BFD=x+y
∵
∴
在四边形BCDF中，由四边形内角和为360°可得
化简得x+y=120°
∴
故答案为：120° .
【分析】本题主要条件是一组平行线，两条角平分线，解题中需将几者之间涉及的角关联起来，再结合多边形内角和公式整体求出∠BFD的大小，最后利用两个角之间的数量关系即可求∠BCD的度数。
17．如图
（1）如图①，四边形ABCD 中，∠ABC 和∠BCD 的平分线交于点 P，已知∠A+∠D=140°，求∠P 的度数.
（2）如图②，在四边形 ABCD 中， 和 外角的三等分线交于点 P，已知 ，请写出 与 的数量关系，并证明.
（3）如图③，E在CD 边的延长线上，F在AD 边的延长线上， 和 的平分线交于点 P，请直接写出 的数量关系.
【答案】（1）解：在四边形ABCD中，∠A+∠D+∠BCD+∠ABC=360°
∵∠A+∠D=140°
∴∠BCD+∠ABC=220°
∵∠ABC 和∠BCD 的平分线交于点P
∴∠BCD=2∠PCB，∠ABC=2∠PBC
∴2∠PCB+∠2∠PBC=220°
∴∠PCB+∠PBC=110°
∵∠P+∠PCB+∠PBC=180°
∴∠P+110°=180°
∴∠P=70°
（2）解：设∠ABP=x，∠ADP=y，
由题意可得：
由①得x-y=∠P-∠A ③
将③代入②，得
（3）∠F+∠B+∠C-2∠P=180°
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的概念；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：（3）设∠BAP=∠FAP=x，∠CEP=∠FEP=y
由题意可得：x-y=∠F-∠P
∵∠ADC =360°-∠B-∠C-2x=∠EDF=180°-∠F-2y
∴180°-∠B-∠C-2x+2y+∠F=0，即180°-∠B-∠C-2(∠F-∠P)+∠F=0
∴∠F+∠B+∠C-2∠P=180°
【分析】（1）根据四边形内角和定理可得∠BCD+∠ABC=220°，再根据角平分线定义可得∠BCD=2∠PCB，∠ABC=2∠PBC，则∠PCB+∠PBC=110°，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
（2）设∠ABP=x，∠ADP=y，根据题意建立方程组，解方程即可求出答案.
（3）设∠BAP=∠FAP=x，∠CEP=∠FEP=y，根据题意建立方程组，解方程即可求出答案.
18．（2025八上·深圳期末）如果一个四边形中有一组对角相等，且这组对角的顶点连线与该四边形的一边垂直，那么这个四边形叫做等垂四边形。如图1，在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD为等垂四边形。
（1）如图2和如图3，已知四边形ABCD为等垂四边形，。①在图2中，若，则的度数为 ▲ ；
②在图3中，若分别平分，请判断四边形CMAN是否为等垂四边形，并说明理由。
（2）如图4，在锐角中，，且是平面上一点，若以A，B，C，D为顶点的四边形为等垂四边形，请直接写出的大小（用含的式子表示）。
【答案】（1）解：①70；
②四边形CMAN是等垂四边形，
理由如下：∵ CD//AB，
∴ ∠ACD=∠ CAB。
∵ CM，AN分别平分∠ACD，∠CAB，
∴∠MCD=∠ACD， ∠BAN=∠BAC，
∴ ∠MCD=∠BAN，
∵ ∠DAB=∠DCB，
∴∠MCN=∠MAN，
∵ AC⊥CN，
∴ 四边形CMAN是等垂四边形。
（2）解：∠D 的大小为80-α或50-α或130-2α。
【知识点】角的运算；角平分线的概念；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：（1）①∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACD＝40°，
∴∠DCB＝∠ACB＋∠ACD＝130°，
∴∠DAB＝130°，
∴∠D＝360°-∠B-∠DAB-∠DCB＝360°-30°-130°-130°＝70°，
故答案为：70.
（2）若以B，C为顶点的一组对角相等时，
∴∠D＝360°-140°-140°-α＝80°-α；
若以B，A为顶点的一组对角相等时，
∴∠D＝360°-50°-2×（90°＋α）＝130°-2α；
若以C，A为顶点的一组对角相等时，
∴∠D＝360°-（130°-α）-2×（90°＋α）＝50°-α；
综上所述，∠D的大小为80°-α 或 50°-α 或130°-2α．
【分析】（1）①利用角的运算求出∠DCB＝∠ACB＋∠ACD＝130°，再求出∠D＝360°-∠B-∠DAB-∠DCB＝360°-30°-130°-130°＝70°即可；
②先利用角平分线的性质可得∠MCD=∠ACD， ∠BAN=∠BAC， 再利用角的运算和等量代换可得∠MCN=∠MAN，再结合AC⊥CN， 证出四边形CMAN是等垂四边形即可；
（2）分类讨论：①若以B，A为顶点的一组对角相等时，②若以C，A为顶点的一组对角相等时，再利用角的运算求解即可.
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