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第一节　三角形内角和定理
课时1　三角形内角和定理(1)
基础过关
1．在△ABC中，∠A＝34°，∠B＝56°，则△ABC是(　　)
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．等边三角形 D．锐角三角形
2．若三角形三个内角的度数之比为2∶3∶4，则其最大的内角的度数为(　　)
A．60° B．80° C．100° D．120°
3．如图，分别过△ABC的顶点A，B作AD∥BE.若∠CAD＝25°，∠EBC＝80°，则∠C的度数为(　　)
第3题图
A．65° B．75° C．85° D．95°
4．将一副三角板按如图所示的方式放置，其中∠OCA＝30°，∠DCA＝45°，则∠DOC的度数为________．
第4题图
5．如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，DE∥AB，交BC于点E，∠A＝80°，∠BDE＝35°，求∠ABC和∠C的度数．
第5题图
能力提升
6．如图，岛B在岛A的南偏西40°方向，岛C在岛A的南偏东15°方向，岛C在岛B的北偏东80°方向，则从岛C看岛A，B的视角∠ACB的度数为________．
第6题图
7．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，E为AC上一点，连接BE交AD于点F，已知∠ABD＝40°，∠AFE＝70°.
(1)求证：BE平分∠ABC；
(2)若∠AFE＝∠AEF，求∠BAC的度数，并直接写出图中所有的直角三角形．
第7题图
思维拓展
8．折纸是我国一项古老的传统民间艺术，这项具有中国特色的文化在几何中可以得到新的解读，如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，DA′交AB于点P，若A′D∥BC，且∠B－∠A＝20°，则∠AED的度数为________．
第8题图
课时2　三角形内角和定理(2)
基础过关
1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝50°，则∠ACD的度数为(　　)
　
第1题图　　 　　　 　　　
A．120° B．130° C．140° D．150°
2．如图，已知∠1＝140°，∠2＝60°，则∠A的度数为(　　)
第2题图
A．60° B．80° C．90° D．140°
3．已知直线a∥b，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图所示的方式放置，其中∠A＝30°，∠ACB＝90°.若∠1＝45°，则∠2的度数为(　　)
第3题图
A．30° B．25° C．20° D．15°
4．如图，在△ABC中，点D，E在边AB上，则∠A，∠1，∠2按从大到小的顺序排列起来是________．
第4题图
5．如图，在△ABC中，D是边BC上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠C，∠B＝40°，求∠C的度数．
第5题图
能力提升
6．如图，将△ABC沿直线l折叠，点C落在点D的位置．若∠C＝35°，∠2＝40°，则∠1的度数为(　　)
第6题图
A．105° B．110° C．115° D．125°
7．如图，CE是△ABC的一个外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E.求证：∠BAC＝∠B＋2∠E.
第7题图
思维拓展
8．(2025佛山期末)如图，起重机在工作时，起吊物体前，机械臂AB与操作台BC的夹角∠ABC＝120°，支撑臂BD为∠ABC的平分线．物体被吊起后，AB与BC的位置不变，支撑臂BD绕点B旋转一定的角度并缩短，此时∠CBD＝2∠ABD，∠BDC增大了10°，则∠DCE的变化情况为(　　)
第8题图
A．增大10° B．减小10°
C．增大30° D．减小30°
微专题1　双角平分线模型
基础过关
1．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线BD，CD相交于点D，BD的延长线与外角∠ACF的平分线CE相交于点E，∠BDC＝125°.
(1)∠A的度数为________；
(2)∠E的度数为________．
第1题图
2．如图，在△ABC中，∠B＝47°，外角∠DAC，∠ACF的平分线AE，CE相交于点E，则∠E的度数为________．
第2题图
3．如图1，已知线段AB，CD相交于点O，连接AC，BD，我们把形如这样的图形称为“8字型”，且有结论：∠A＋∠C＝∠B＋∠D.如图2，∠CAB和∠BDC的平分线AP，DP相交于点P，AP与CD相交于点M，DP与AB相交于点N.
(1)在图2中，以线段AC为边的“8字型”有________个；
(2)如图2，若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数．
第3题图
能力提升
4．如图，点M是△ABC两个内角的平分线的交点，点N是△ABC两个外角的平分线的交点，若∠M∶∠N＝3∶2，则∠A的度数为________．
第4题图
5．如图，∠AOB＝90°，点C，D分别在射线OA，OB上，连接CD，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线DF相交于点F.
(1)若∠OCD＝50°，则∠F的度数为________；
(2)当点C，D分别在射线OA，OB上移动时(不与点O重合)，判断∠F的大小是否发生变化，并说明理由．
第5题图
思维拓展
6．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D1，∠ABD1与∠ACD1的平分线交于点D2，∠ABD2与∠ACD2的平分线交于点D3，……按此规律进行下去，∠BD4C的度数为________．
第6题图
第一节　三角形内角和定理
课时1　三角形内角和定理（1）
1．B　2.B　3.B　4.75°
5．解：∵DE∥AB，∴∠ABD＝∠BDE＝35°.
∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD＝70°.
∴∠C＝180°－∠A－∠ABC＝30°.
6．85°
7．（1）证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.
∵∠BFD＝∠AFE＝70°，
∴∠DBF＝180°－∠ADB－∠BFD＝20°.
又∵∠ABD＝∠ABF＋∠DBF＝40°，
∴∠ABF＝∠ABD－∠DBF＝20°＝∠DBF.
∴BE平分∠ABC.
（2）解：∵∠ABE＝20°，∠AEF＝∠AFE＝70°，
∴∠BAC＝180°－∠ABE－∠AEF＝90°.
图中的直角三角形有△ABC，△ABE，△ABD，△ACD，△BDF.　
8．100°
课时2　三角形内角和定理（2）
1．C　2.B　3.D　4.∠2＞∠1＞∠A
5．解：在△ABD中，∠B＋∠1＋∠2＝180°.
又∵∠1＝∠2，∠B＝40°，
∴∠2＝（180°－∠B）＝70°.
∵∠2是△ADC的外角，∴∠2＝∠3＋∠C.
又∵∠3＝∠C，∴∠C＝∠2＝35°.
6．B
7．证明：∵∠BAC是△ACE的一个外角，
∴∠BAC＝∠E＋∠ACE.
∵CE平分∠ACD，∴∠ECD＝∠ACE.
∵∠ECD是△BCE的一个外角，
∴∠ECD＝∠B＋∠E.∴∠ACE＝∠B＋∠E.
∴∠BAC＝∠E＋∠B＋∠E＝∠B＋2∠E.
8．C
微专题1　双角平分线模型
1．（1）70°；（2）35°　2.66.5°
3．解：（1）3.
（2）在以点M为交点的“8字型”中，有∠P＋∠CDP＝∠C＋∠CAP.
在以点N为交点的“8字型”中，有∠P＋∠BAP＝∠B＋∠BDP.
∴2∠P＋∠BAP＋∠CDP＝∠B＋∠C＋∠CAP＋∠BDP.
∵AP，DP分别平分∠CAB，∠BDC，
∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP.
∴2∠P＝∠B＋∠C.
又∵∠B＝100°，∠C＝120°，
∴∠P＝（∠B＋∠C）＝110°.
4．36°
5．解：（1）45°.
（2）∠F的大小不发生变化．理由如下：
∵∠AOB＝90°，
∴∠CDO＝90°－∠OCD，∠ACD＝180°－∠OCD.
∵CE是∠ACD的平分线，DF是∠CDO的平分线，
∴∠ECD＝∠ACD＝90°－∠OCD，∠CDF＝∠CDO＝45°－∠OCD.
∵∠ECD＝∠F＋∠CDF，
∴∠F＝∠ECD－∠CDF＝90°－∠OCD－＝45°.
∴∠F的大小不发生变化．
6．67.5°

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