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第二节　等腰三角形
课时1　等腰三角形的性质(1)
基础过关
1．(2025佛山期中)已知一个等腰三角形的顶角为140°，则它的底角为(　　)　　　 　　　 　　　　
A．10° B．20° C．30° D．40°
2．(2025揭阳期中)已知一个等腰三角形的两边长分别为3 cm，6 cm，则该三角形的周长为(　　)
A．12 cm B．15 cm
C．12 cm或15 cm D．以上都不对
3．(2025深圳期末)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝(　　)
第3题图
A．100° B．115° C．130° D．145°
4．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于地面BC，工程人员这种操作方法的依据是__________________________________________．
第4题图
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.求证：∠CBE＝∠BAC.
第5题图
能力提升
6．若等腰三角形一条腰上的高与另一条腰的夹角为20°，则它的底角为(　　)
A．35° B．55°
C．55°或35° D．70°或35°
7．【应用意识】如图，“三等分角器”由两根带槽的棒PA，PB组成，两棒在P点相连，并可绕点P转动，点C固定，点O，A可在槽内滑动，且OA＝OC＝PC，若∠AOB＝60°，则∠P的度数为________．
第7题图
8．(新BS八下P11改编)如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E都在边BC上，且AD＝AE.
(1)求证：BD＝CE；
(2)若∠B＝∠DAE＝45°，求∠BAD的度数．
第8题图
思维拓展
9．【几何直观】如图是由边长为1的小正方形组成的正方形网格，其中每一个小正方形的顶点称为格点，已知点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度的直尺画出∠B的平分线BP，交AC于点P.(保留作图痕迹，不写作法)
第9题图
课时2　等腰三角形的性质(2)
基础过关
1．如图，在△ABC中，D是边BC上的点．若△ACD是等边三角形，且BD＝AD，则∠B的度数为________．
第1题图
2．如图，在等边三角形ABC中，D为边BC的中点，E是边AC上的点．若AD＝AE，则∠ADE的度数为(　　)
　　　 　　　 　　　　
第2题图
A．85° B．75° C．65° D．55°
3．如图，直线l∥m，等边三角形ABC的两个顶点B，C分别落在直线l，m上，若∠ABE＝21°，则∠ACD的度数是________．
第3题图
4．如图，在等边三角形ABC中，D是边AC上一点，点E在边BC的延长线上，且BD＝DE，CE＝CD.求证：AD＝CD.
第4题图
能力提升
5．如图，△ABC和△DEF都是等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，若△ABC的周长为15，AF＝2，则BE的长为________．
第5题图
6．如图，已知△ABC和△ADE是等边三角形，BD与CE相交于点P.
(1)求证：BD＝CE；
(2)求∠DPC的度数．
第6题图
思维拓展
7．用一根长为a m的铁丝围成一个面积为b m2的等边三角形(无重合，无剩余)．若在该等边三角形内任取一点P，则点P到等边三角形三边的距离之和为(　　)
A． m B． m C． m D． m
课时3　等腰三角形的判定(1)
基础过关
1．(2025佛山期中)若用反证法来证明命题“若a>1，则a2>1”，第一步应假设(　　)
A．a2>1 B．a2≥1
C．a2≤1 D．a2<1
2．如图，AD＝BC，添加下列一个条件，不能证明△ABE是等腰三角形的是(　　)
第2题图
A．AE＝BE B．BD＝AC C．DE＝CE D．∠BAD＝∠ABC
3．(新BS八下P17)已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，AD∥BC，且∠1＝∠2，求证：AB＝AC.
第3题图
4．用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角．
已知：如图，在△ABC中，AB＝AC.
求证：∠B，∠C必为锐角．
第4题图
能力提升
5．如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，使点C，D分别落在点C′，D′处，C′E交AD于点G，若GE＝4，则GF的长为(　　)
第5题图
A．2 B．3 C．4 D．5
6．(新BS八下P17改编)如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在CA的延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F.
(1)求证：△AEF是等腰三角形；
(2)若AF＝2，CE＝7，求BF的长．
第6题图
思维拓展
7．【推理能力】如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形．若OA1＝2，则△A6B6A7的边长为________．
第7题图
课时4　等腰三角形的判定(2)
基础过关
1．在△ABC中，AB＝AC.添加下列条件，不能判定△ABC是等边三角形的是(　　)
A．∠A＝∠B B．∠B＝∠C
C．∠B＝60° D．AB＝BC
2．【应用意识】如图是某公园一段索道的示意图，A，B分别为索道的起点和终点，且A，B两点间的距离AB＝40 m，∠BAC＝30°，则缆车从A点到B点上升的高度(BC的长)为(　　)
第2题图
A．20 m B．17.5 m
C．15 m D．12.5 m
3．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，则△ABC的面积为________．
第3题图
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为边BC的中点，AE⊥BE，垂足为E，AB平分∠DAE，EB∥AC.求证：△ABC是等边三角形．
第4题图
能力提升
5．下列说法：①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③有一边上的高也是该边上的中线的三角形是等边三角形；④三个外角都相等的三角形是等边三角形．其中正确的有________．(填序号)
6．如图，在△ABC中，∠B＝∠C＝30°，AD是BC边上的中线，作CD的垂直平分线FM交AC于点F，交BC于点M.
(1)求证：△ADF是等边三角形；
(2)若AC＝12，求线段DM的长．
第6题图
思维拓展
7．(2025深圳期中)如图，∠AOB＝120°，OP平分∠AOB，且OP＝1.若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有(　　)
第7题图
A．1个
B．2个
C．3个
D．无数个
第二节　等腰三角形
课时1　等腰三角形的性质（1）
1．B　2.B　3.B　4.等腰三角形“三线合一”
5．证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝∠BAC.
∴∠CAD＋∠C＝90°.
∵BE⊥AC，∴∠CBE＋∠C＝90°.
∴∠CBE＝∠CAD＝∠BAC.
6．C　7.20°
8.（1）证明：如答图1，过点A作AM⊥BC于点M.
答图1
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BM＝CM，DM＝EM.
∴BM－DM＝CM－EM，
即BD＝CE.
（2）解：由（1），知∠AMB＝90°.
又∵∠B＝∠DAE＝45°，
∴∠BAM＝180°－∠AMB－∠B＝45°.
∵AD＝AE，AM⊥BC，
∴∠DAM＝∠DAE＝22.5°.
∴∠BAD＝∠BAM－∠DAM＝22.5°.
（解法不唯一）
9．解：如答图2，射线BP即为所求．
答图2
课时2　等腰三角形的性质（2）
1．30°　2.B　3.39°
4．证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ACB＝60°.
∵CE＝CD，∴∠E＝∠CDE.
又∵∠ACB＝∠E＋∠CDE＝2∠E，
∴∠E＝30°.
∵BD＝DE，∴∠DBE＝∠E＝30°.
∴∠BDC＝180°－∠DBE－∠ACB＝90°.
∴BD⊥AC.
又∵AB＝BC，∴AD＝CD.
5．3
6．（1）证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴AD＝AE，AB＝AC，∠DAE＝∠BAC＝60°.
∴∠DAE＋∠BAE＝∠BAC＋∠BAE，
即∠DAB＝∠EAC.
在△DAB和△EAC中，
∴△DAB≌△EAC（SAS）.∴BD＝CE.
（2）解：如答图1，设AB交CE于点O.
答图1
由（1），得△DAB≌△EAC.
∴∠ABD＝∠ACE.
∵∠AOC＝∠POB，
∴∠BPC＝∠BAC＝60°.
∴∠DPC＝180°－∠BPC＝120°.
7．C
课时3　等腰三角形的判定（1）
1．C　2.C
3．证明：∵AD∥BC，∴∠1＝∠B，∠2＝∠C.
∵∠1＝∠2，∴∠B＝∠C.∴AB＝AC.
4．证明：假设∠B，∠C为直角或钝角．
∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
当∠B，∠C为直角或钝角时，∠B＋∠C≥180°.
这与三角形内角和定理相矛盾，因此，“∠B，∠C为直角或钝角”的假设不成立．
∴∠B，∠C必为锐角．
5．C
6．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵EP⊥BC，∴∠EPC＝∠EPB＝90°.
∴∠C＋∠E＝90°，∠B＋∠BFP＝90°.
∴∠E＝∠BFP.
又∵∠BFP＝∠AFE，∴∠E＝∠AFE.
∴AE＝AF.
∴△AEF是等腰三角形．
（2）解：由（1），得AE＝AF＝2.
∴AB＝AC＝CE－AE＝7－2＝5.
∴BF＝AB－AF＝5－2＝3.
7．64
课时4　等腰三角形的判定（2）
1．B　2.A　3.4
4．证明：∵AB＝AC，D为边BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD.
又∵AB平分∠DAE，∴∠BAE＝∠BAD＝∠CAD.
∵AE⊥BE，∴∠E＝90°.
∵EB∥AC，∴∠EAC＝180°－∠E＝90°.
∴∠BAE＋∠BAD＋∠CAD＝90°.
∴∠BAD＝∠CAD＝30°.
∴∠BAC＝∠BAD＋∠CAD＝60°.
又∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形．
5．①④
6．（1）证明：∵∠B＝∠C＝30°，∴AB＝AC.
又∵AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC.
∴∠DAF＝90°－∠C＝60°.
∵FM垂直平分DC，∴CF＝DF.
∴∠C＝∠FDC＝30°.
∴∠ADF＝90°－∠FDC＝60°，∠AFD＝∠C＋∠FDC＝60°.
∴∠DAF＝∠ADF＝∠AFD.
∴△ADF是等边三角形．
（2）解：∵AD⊥BC，∠C＝30°，AC＝12，∴AD＝AC＝6.
∵△ADF是等边三角形，∴DF＝AD＝6.
∵FM⊥BC，∠FDC＝30°，∴MF＝DF＝3.
∴DM＝＝＝3.
7．D

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