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第三节　直角三角形
课时1　直角三角形的性质与判定
基础过关
1．(2025佛山期中)在平面直角坐标系中，点P(3，2)到原点的距离是(　　)
A．1 B．
C． D．
2．将一个含30°角的三角尺和一把直尺按如图所示的方式放置，若∠1＝50°，则∠2的度数是(　　)
第2题图
A．60° B．50°
C．40° D．30°
3．写出“全等三角形对应边相等”的逆命题：如果__________________________，那么__________________________．这个逆命题是________(填“真”或“假”)命题．
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，CD＝2，则AD的长为________．
第4题图
5．如图，已知等边三角形ABC的边长为4，AD⊥BC，垂足为D，求△ABC的面积．
第5题图
能力提升
6．如图，甲船从港口O出发，以8海里/时的速度向北偏西50°方向(OA方向)航行，乙船同时从港口O出发，沿OB方向以15海里/时的速度航行，航行2小时后，两船相距34海里，则乙船航行的方向是(　　)
第6题图
A．南偏西40°方向 B．南偏西50°方向
C．西偏南40°方向 D．西南方向
7．如图，在直线l上方有正方形①，②，③.若正方形①和③的面积分别为4和16，则正方形②的面积为________．
第7题图
8．(新BS八下P27)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E为BC上的一点，且∠BAE＝25°，∠CDE＝65°，AE＝2，DE＝3，求AD的长．
第8题图
思维拓展
9．定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．如图，“垂美”四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O.若AB＝5，CD＝6，则AD2＋BC2的值为________．
第9题图
课时2　直角三角形全等的判定
基础过关
1．(2025揭阳期末)图1是一座大桥的实景图，图2是其侧面示意图，其中AB⊥CD，现添加以下条件，仍不能判定△ABC≌△ABD的是(　　)
第1题图
A．∠ABC＝∠ABD B．∠ACB＝∠ADB
C．AC＝AD D．BC＝BD
2．如图，AC⊥CF于点C，DE⊥CF于点E，AB＝DF，CE＝BF.求证：AB∥DF.
第2题图
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上的点，且AD＝BC，DE⊥AC于点D，AB＝AE.求证：AE⊥AB.
第3题图
能力提升
4．【应用意识】(新BS八下P27)用三角尺可以画角平分线：如图，在已知∠AOB的两边上分别取点M，N，使OM＝ON，再过点M画OA的垂线，过点N画OB的垂线，两垂线交于点P，那么射线OP就是∠AOB的平分线．请你证明这一结论．
第4题图
思维拓展
5．如图，在△ABC中，∠C＝90°.点D在△ABC外部，连接AD，过点D作DE⊥AB于点E，交BC于点F，AD＝AB，AE＝AC.
(1)求证：DE＝BC；
(2)若BF＝2，CF＝1，求DF的长．
第5题图
微专题2　与等腰、直角三角形有关的分类讨论
1．(2025深圳期中)已知直角三角形的两条边的边长分别为5和12，则这个直角三角形的第三条边的边长为________．
2．(2025深圳期末)如图，小坪想做一个等腰三角形形状的风筝，于是找来了三根木棒做等腰三角形的框架，在做完后，小坪用角度仪测量了等腰三角形的一个内角为50°，则这个风筝的顶角可能是(　　)
第2题图
A．80° B．50° C．50°或65° D．50°或80°
3．一个等腰三角形一条腰上的高与另一条腰的夹角为45°，则它的底角度数是________．
4．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝50°，F为边AB上一点，当△BDF为直角三角形时，∠ADF的度数为________．
第4题图 第5题图
5．如图是4×4的正方形方格，其中每个小正方形的顶点称为格点，任意连接三个格点可得到一个三角形，则与点A，B连接能构成直角三角形ABC的格点C有________个．
6．已知等腰三角形一条腰上的中线将该等腰三角形的周长分为9 cm和12 cm两部分，则这个等腰三角形的腰长为________cm.
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，AC＝4 cm，动点P从点B出发沿射线BC以3 cm/s的速度匀速运动，设运动的时间为t s.
(1)求边BC的长；
(2)当△ABP为直角三角形时，求t的值；
(3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值．
第7题图　　　备用图
第三节　直角三角形
课时1　直角三角形的性质与判定
1．B　2.C
3．两个三角形的三边对应相等　这两个三角形全等　真
4.
5．解：∵等边三角形ABC的边长为4，
∴AB＝BC＝4.
又∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝BC＝2.
∴AD＝＝＝2.
∴S△ABC＝BC·AD＝×4×2＝4.
6．A　7.20
8．解：∵AB∥CD，∴∠BAD＋∠ADC＝180°.
∵∠BAE＝25°，∠CDE＝65°，
∴∠DAE＋∠ADE＝180°－∠BAE－∠CDE＝90°.
∴△ADE是直角三角形，且∠AED＝90°.
在Rt△ADE中，由勾股定理，
得AD＝＝.
9．61
课时2　直角三角形全等的判定
1．A
2．证明：∵CE＝BF，
∴CE＋BE＝BF＋BE，即CB＝EF.
∵AC⊥CF，DE⊥CF，∴∠C＝∠DEF＝90°.
在Rt△ACB和Rt△DEF中，
∴Rt△ACB≌Rt△DEF（HL）.
∴∠ABC＝∠F.∴AB∥DF.
3．证明：∵DE⊥AC，∴∠ADE＝90°.
在Rt△ADE和Rt△BCA中，
∴Rt△ADE≌Rt△BCA（HL）.∴∠BAC＝∠E.
∵∠E＋∠EAD＝90°，
∴∠BAC＋∠EAD＝90°，即∠EAB＝90°.
∴AE⊥AB.
4．证明：∵MP⊥OA，NP⊥OB，∴∠OMP＝∠ONP＝90°.
在Rt△OMP和Rt△ONP中，
∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）.
∴∠POM＝∠PON，即射线OP是∠AOB的平分线．
5．（1）证明：∵∠C＝90°，DE⊥AB，
∴△ADE和△ABC都是直角三角形．
在Rt△ADE和Rt△ABC中，
∴Rt△ADE≌Rt△ABC（HL）.∴DE＝BC.
（2）解：如答图1，连接AF.
答图1
∵BF＝2，CF＝1，∴BC＝BF＋CF＝3.
在Rt△AEF和Rt△ACF中，
∴Rt△AEF≌Rt△ACF（HL）.
∴EF＝CF.
∴DF＝DE＋EF＝BC＋CF＝3＋1＝4.
微专题2　与等腰、直角三角形
有关的分类讨论
1．13或　2.D　3.67.5°或22.5°　4.20°或60°　5.5　6.6或8
7．解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5 cm，AC＝4 cm，
∴BC＝＝3 cm.
（2）由题意，得BP＝3t cm.
∵∠B≠90°，∴分以下两种情况：
①当∠APB＝90°时，此时点P与点C重合．
∴BP＝BC，即3t＝3.
解得t＝1.
②如答图1，当∠PAB＝90°时．
答图1
∴CP＝BP－BC＝（3t－3）cm.
在Rt△ACP与Rt△ABP中，∠PAB＝90°，∠ACP＝90°，
∴AC2＋CP2＝AP2＝BP2－AB2，即42＋（3t－3）2＝（3t）2－52.解得t＝.
综上所述，当△ABP为直角三角形时，t的值为1或 .
（3）此时t的值为 或2或 .

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